精品解析：河南省新乡市红旗区第一中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

新乡市一中2023－2024学年下期初二年级期末考试 数学试卷 命题人：丁奂 审题人：王念友 分值：120分 时间：100分钟 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 某校“校园之声”社团招新时，需考查应聘学生的应变能力、知识储备、朗读水平三个项目，布布的三个项目得分分别为85分、90分、92分．若评委按照应变能力占，知识储备占，朗读水平占计算加权平均数来作为最终成绩，则布布的最终成绩为（ ） A. 85分 B. 89分 C. 90分 D. 92分 3. 满足下列条件的不是直角三角形的是（ ）． A. B. C. D. 4. 有以下4个命题：①两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；②两条对角线互相垂直的四边形是正方形；③两条对角线相等的四边形是菱形；④两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形．其中正确命题的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 已知一次函数的图象如图所示，则下列判断中正确的是（ ） A. ， B. 方程的解是 C. 当时， D. 随的增大而减小 6. 如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点E，连接，若，，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 7. 如图，根据图象，可得关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中不能证明勾股定理的是（ ）． A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边在x轴的正半轴上，A，C两点的坐标分别为，，点B在第一象限，将直线沿x轴向上平移个单位．若平移后的直线与边有交点，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，动点P、Q在平行四边形的边和对角线上运动，动点P的运动轨迹为折线，动点Q的运动轨迹为折线，两动点同时开始运动，且运动速度均为．设动点运动时间为x秒，两动点间距离为，x与y的函数关系式如图所示．当点P在平行四边形的边上运动时，两动点间的最短距离为m，此时运动时间为（）秒，则m的值为（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 12. 甲乙丙丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数及方差如下表所示： 甲 乙 丙 丁 9 8 9 9 1.6 0.8 3 0.8 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择的运动员是______． 13. 已知关于一次函数的图象上有任意两个点若，则的取值范围是______． 14. 在RtABC中，C=90°，AC=5，BC=12，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN、MN的中点，则DE的最小值是______． 15. 如图，在矩形ABCD中，BC＝4，∠BDC的平分线交BC于点P，作点P关于BD的对称点，若点落在矩形ABCD的边上，则AB的长为 _______． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算： （1）． （2）． 17. 百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称B款）．有关人员开展了A，B两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息： 抽取的对A款聊天机器人的评分数据中“满意”的数据： 84，86，86，87，88，89； 抽取的对B款聊天机器人的评分数据： 66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100； 抽取的对A，B款聊天机器人的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 b 96 B 88 87 c 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______，______； （2）根据以上数据，你认为哪款聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）在此次测验中，有240人对A款聊天机器人进行评分、300人对B款聊天机器人进行评分，请通过计算，估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有多少人？ 18. 如图，已知网格中有一个，顶点A、B、C、D都在格点上，要求仅利用已有的格点和无刻度直尺作图（注意：不能用圆规），找出格点P（一个即可），使平分．小明和小天分别采用了不同的方法： 小明：在边上找到格点P，连接，可知平分． 小天：在边上找到某个格点E，连接，发现线段上存在格点P，使平分． 请根据两人的思路，分别在图1和图2中完成小明和小天的图形（标出两人所说的点，画出相应的图形） 19. 某中学组织九年级数学研学小组，进行了“测量古树高度”项目式学习活动．其中甲、乙两个研学小组分别设计了不同的测量方案；他们各自设计的测量方案示意图及测量数据如表所示： 活动课题 测量古树的高度 研学小组 甲组 乙组 测量示意图 测量说明 于点E，为一个矩形架，图中所有的点都在同一平面内． 于点D，图中所有的点都在同一平面内． 测量数据 ，， ，， 请你选择其中的一种测量方案，求古树的高度．（结果保留根号） 20. 如图，在平行四边形中，，点F是的中点，连接并延长，交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求四边形的面积． 21. 阅读名著，感受经典，丰富内涵，品味人生．某书店售卖的《儒林外史》和《水浒传》两本名著的单本进价和售价如表所示： 进价（元/本） 售价（元/本） 《儒林外史》 a 《水浒传》 b 已知该书店购进本《儒林外史》和8本《水浒传》共需元；购进本《儒林外史》和5本《水浒传》共需元． （1）求a、b的值； （2）该书店一次购进《儒林外史》和《水浒传》共本，其中购进《儒林外史》数量不少于《水浒传》的，销售完这本书获得的总利润为w元，要使获得的总利润最大，应怎样购进《儒林外史》和《水浒传》？总利润最大是多少元？ 22. 如图，正比例函数图象与一次函数的图象交于点一次函数图象经过点，与y轴交于点C，与x轴的交点为D． （1）求一次函数解析式； （2）一次函数的图象上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； （3）如果在y轴上存在一点Q，使是以为底边等腰三角形，请直接写出点Q的坐标． 23. 【问题原型】如图，在正方形中，．则与的数量关系为______，请你给出这一问题的证明过程． 【问题应用】如图，在正方形中，，分别是边上的点，且． （1）如图，连接交于点，为的中点，连接，．当为的中点时，四边形的面积为______； （2）如图，连接，当点在边上运动时，的最小值为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新乡市一中2023－2024学年下期初二年级期末考试 数学试卷 命题人：丁奂 审题人：王念友 分值：120分 时间：100分钟 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件： （1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解：A、，不属于最简二次根式，故本选项不符合题意； B、，不属于最简二次根式，故本选项不符合题意； C、，不属于最简二次根式，故本选项不符合题意； D、属于最简二次根式，故本选项符合题意． 故选：D 【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的概念是解答本题的关键． 2. 某校“校园之声”社团招新时，需考查应聘学生的应变能力、知识储备、朗读水平三个项目，布布的三个项目得分分别为85分、90分、92分．若评委按照应变能力占，知识储备占，朗读水平占计算加权平均数来作为最终成绩，则布布的最终成绩为（ ） A. 85分 B. 89分 C. 90分 D. 92分 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数，掌握加权平均数的计算公式是解题的关键，根据加权平均数的求法可以求得布布的最终成绩，本题得以解决． 【详解】解：根据题意得： （分）， 布布的最终成绩是90分． 故选：C． 3. 满足下列条件的不是直角三角形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理等知识，根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理分析判断即可． 【详解】解：A、若，则有，可得，故是直角三角形，该选项不符合题意； B、若，则有，可得，由勾股定理的逆定理可知是直角三角形，该选项不符合题意； C、 若，设，，，则有，解得，所以，，，故不是直角三角形，该选项符合题意； D、若，设，，，则有，可得，故是直角三角形，该选项不符合题意； 故选：C． 4. 有以下4个命题：①两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；②两条对角线互相垂直的四边形是正方形；③两条对角线相等的四边形是菱形；④两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形．其中正确命题的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形、平行四边形、矩形、正方形的判定去判断结论是否正确即可． 【详解】解：①两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，属于平行四边形的判定定理，成立． ②两条对角线互相垂直的四边形有可能是一般四边形，不成立． ③两条对角线相等的四边形有可能是等腰梯形，不成立． ④两条对角线相等且互相垂直的四边形有可能是等腰梯形，不成立． 正确的命题只有1个， 故选A． 【点睛】此题考查的知识点：菱形、平行四边形、矩形、正方形的判定，准确掌握特殊四边形的判定定理是解答此题的关键． 5. 已知一次函数的图象如图所示，则下列判断中正确的是（ ） A. ， B. 方程的解是 C. 当时， D. 随的增大而减小 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与系数的关系，以及一次函数的性质．根据图象可得，该一次函数的图象过一、二、三象限，进而可得k、b的值，以及与轴交点，函数的增减性，即可得出答案． 【详解】解：图象过一、二、三象限，且与轴交于正半轴， ，， 故A错误，不符合题意； 图象与轴交于点， 方程的解是， 故B正确，符合题意； 由图知，当时，， 故C错误，不符合题意； ， 随的增大而增大； 故D错误，不符合题意； 故选：B． 6. 如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点E，连接，若，，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形性质，直角三角形的性质，菱形的面积公式，关键是根据直角三角形斜边上的中线性质求得，由菱形的性质得出，，，则，由直角三角形斜边上的中线性质得出，再由菱形的面积求出，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵菱形的面积， ∴， ∴， 故选：C． 7. 如图，根据图象，可得关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据图象，写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：根据图象，可得：不等式的解集是． 故选：D． 8. 勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中不能证明勾股定理的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的证明，先用不同方法表示出图形中各个部分的面积，利用面积不变得到等式，变形再判断即可． 【详解】解：A．大正方形的面积等于四个矩形的面积的和， ∴， 以上公式为完全平方公式， ∴A选项不能说明勾股定理，符合题意； B．由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积， ∴， 整理得， ∴B选项可以证明勾股定理，不符合题意； C．大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， ∴， 整理得， ∴C选项可以证明勾股定理，不符合题意； D，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， ∴， 整理得， ∴D选项可以说明勾股定理，不符合题意． 故选：A． 9. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边在x轴的正半轴上，A，C两点的坐标分别为，，点B在第一象限，将直线沿x轴向上平移个单位．若平移后的直线与边有交点，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、平移的性质以及两条直线相交的问题，解题的关键是求解一次函数的解析式．平移后的直线解析式为．根据平行四边形的性质结合点的坐标即可求出点的坐标，再由平移后的直线与边有交点，再求解直线过临界点的解析式，即可得出结论． 【详解】解：∵将直线沿轴向上平移个单位． ∴平移后的直线解析式为． ∵四边形为平行四边形，且点， ∴， ∴点． ∵平移后的直线与边有交点， 当直线过， ∴， 解得：， 当直线过， ∴， 解得：， ∴． 故选：D． 10. 如图，动点P、Q在平行四边形的边和对角线上运动，动点P的运动轨迹为折线，动点Q的运动轨迹为折线，两动点同时开始运动，且运动速度均为．设动点运动时间为x秒，两动点间距离为，x与y的函数关系式如图所示．当点P在平行四边形的边上运动时，两动点间的最短距离为m，此时运动时间为（）秒，则m的值为（ ）． A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查函数图象，平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理． 根据图象可得，当点P在上，点Q在上运动时，过点O作于点E，交于点F，则的长为，间的距离．通过“”证明，得到，从而当点P运动至点E时，点Q运动至点F，此时，根据勾股定理求出的长，即可得到，从而解答． 【详解】解：由图可知，当点P从点O向点A，点Q从点O向点C运动时，间距离y逐渐增大， 当点P运动到点A，点Q运动到点C时，由图象可知， ∴， ∵四边形四边形是平行四边形， ∴， 此时它们运动了， 当点P在上，点Q在上运动时， 过点O作于点E，交于点F，则的长为，间的距离 ∵在平行四边形中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点P，Q的运动速度相同， ∴当点P运动至点E时，点Q运动至点F，此时， 根据图象可知点P从点A运动至点E，需要， ∴， ∵， ∴中，， ∵， ∴， ∴， 即． 故选：B 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了代数式有意义时字母的取值范围，代数式有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当代数式是整式时，字母可取全体实数；②当代数式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当代数式是二次根式时，被开方数为非负数．根据被开方数且分母不为零列式求解即可． 【详解】解：由题意，得 且， 解得且． 故答案为：且． 12. 甲乙丙丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数及方差如下表所示： 甲 乙 丙 丁 9 8 9 9 1.6 0.8 3 0.8 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择的运动员是______． 【答案】丁 【解析】 【分析】结合表中数据，先找出平均数最大的运动员；再根据方差的意义，找出方差最小的运动员即可． 【详解】解：选择一名成绩好的运动员，从平均数最大的运动员中选取， 由表可知，甲，丙，丁平均值最大，都是9， ∴从甲，丙，丁中选取， ∵甲的方差是1.6，丙的方差是3，丁的方差是0.8， ∴S 2丁＜S 2甲＜S 2乙， ∴发挥最稳定的运动员是丁， ∴从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择丁． 故答案为丁． 【点睛】本题主要考查运用方差作决策，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 13. 已知关于的一次函数的图象上有任意两个点若，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标的特征．由可得随的增大（减小）而减小（增大），利用一次函数图象的性质解答即可． 【详解】解：， ，，或，． ，，或，． 即随的增大而减小或随的减小而增大． ． ． 故答案为：． 14. 在RtABC中，C=90°，AC=5，BC=12，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN、MN的中点，则DE的最小值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】作CH⊥AB于H，连接CM，首先根据三角形中位线的性质得出DE=CM，只要找到CM的最大值和最小值即可，根据垂线段最短可知当CM⊥AB时，CM最短，此时利用勾股定理和三角形的面积公式即可求解 【详解】解：连接CM， ∵点D、E分别为CN，MN中点， ∴DE＝CM， 当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小， 由勾股定理得： AB= ∵＝AB⋅CM=AC⋅BC， ∴CM＝， ∴DE＝CM=， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，垂线段最短，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 15. 如图，在矩形ABCD中，BC＝4，∠BDC的平分线交BC于点P，作点P关于BD的对称点，若点落在矩形ABCD的边上，则AB的长为 _______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意可得，结合矩形的性质可得，则，在中，勾股定理即可求得． 【详解】四边形是矩形， ，， 平分∠BDC， ， 作点P关于BD的对称点，若点落在矩形ABCD的边上， ， ， ， ， ， 在中， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理，求得是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化为最简二次根式以后运用二次根式的加减运算即可． （2）结合完全平方公式及平方差公式运算即可． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算及乘法公式在二次根式运算中的运用，熟练掌握完全平方公式及二次根式的混合运算是解题关键． 17. 百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称B款）．有关人员开展了A，B两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息： 抽取的对A款聊天机器人的评分数据中“满意”的数据： 84，86，86，87，88，89； 抽取的对B款聊天机器人的评分数据： 66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100； 抽取的对A，B款聊天机器人的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 b 96 B 88 87 c 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______，______； （2）根据以上数据，你认为哪款聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）在此次测验中，有240人对A款聊天机器人进行评分、300人对B款聊天机器人进行评分，请通过计算，估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有多少人？ 【答案】（1）15，，98 （2）款，理由见解析 （3）69人 【解析】 【分析】本题考查了平均数、众数、中位数、统计图、样本与总体等，解题的关键是熟知以上概念并能灵活进行分析和计算． （1）先根据A款“满意”的人数求出“满意”所占百分比，用1减去其它三个所占百分比可得a值，根据各等级所占百分比判断中位数中“满意”组中，根据中位数的定义即可求出b值，根据众数的定义即可得出c值； （2）根据平均数相同，中位数大的更受用户喜爱解答即可；． （3）先求出B款中“不满意”所占百分比，再用各款总人数乘以各款“不满意”所占百分比，求和即可得答案． 【小问1详解】 A款机器人的评分数据中“满意”的有6人， “满意”所占百分比为， “非常满意”所占百分比为，“不满意”所占百分比为， “比较满意”所占百分比为， ， “不满意”所占百分比为，“比较满意”所占百分比为， “不满意”“比较满意”共有（人）， “满意”的有6人， 中位数在“满意”这组数据中， 第10和第11个数据为88，89， 中位数为，故， B款数据中，98出现4次，次数最多， B款众数为98，故， 故答案为：15，，98； 【小问2详解】 A款聊天机器人更受用户喜爱，理由如下： 因为两款的评分数据的平均数都是88，但A款评分数据的中位数比B款高，所以A款聊天机器人更受用户喜爱． 【小问3详解】 B款中“不满意”的有3人，所占百分比为， 估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有（人）， 答：估计此次测验中，对聊天机器人不满意的人有69人． 18. 如图，已知网格中有一个，顶点A、B、C、D都在格点上，要求仅利用已有的格点和无刻度直尺作图（注意：不能用圆规），找出格点P（一个即可），使平分．小明和小天分别采用了不同的方法： 小明：在边上找到格点P，连接，可知平分． 小天：在边上找到某个格点E，连接，发现线段上存在格点P，使平分． 请根据两人的思路，分别在图1和图2中完成小明和小天的图形（标出两人所说的点，画出相应的图形） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，平行四边形的性质，根据两人的思路进行作图求解即可. 【详解】解：如图1和图2所示，即为所求； 图1中易证明，则，再由平行四边形的性质结合平行线的性质可得，则，则点P即为所求； 图2中，易证明，点P为的中点，则由三线合一定理可得平分． 19. 某中学组织九年级数学研学小组，进行了“测量古树高度”的项目式学习活动．其中甲、乙两个研学小组分别设计了不同的测量方案；他们各自设计的测量方案示意图及测量数据如表所示： 活动课题 测量古树的高度 研学小组 甲组 乙组 测量示意图 测量说明 于点E，为一个矩形架，图中所有的点都在同一平面内． 于点D，图中所有的点都在同一平面内． 测量数据 ，， ，， 请你选择其中的一种测量方案，求古树的高度．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题是解直角三角形的应用， 选甲组，根据矩形的性质得出的长，再根据锐角三角函数求出的长即可得出结果； 选乙组，根据锐角三角函数得出与的长即可得出结果； 掌握锐角三角函数及特殊角三角函数值是解题的关键． 【详解】解：选甲组： ∵四边形为矩形，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即古树的高度为； 选乙组： ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即古树的高度为． 20. 如图，在平行四边形中，，点F是的中点，连接并延长，交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）6 【解析】 【分析】（1）通过条件可证得，，得出四边形是平行四边形，通过邻边相等的平行四边形是菱形即可得证； （2）先利用勾股定理求出，利用菱形面积等于对角线乘积的一半即可得解． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ， ， 点F是的中点， ， 在和中， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 是菱形． 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形， 是菱形， ， ， 在中，， ． 【点睛】本题考查勾股定理、平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 21. 阅读名著，感受经典，丰富内涵，品味人生．某书店售卖的《儒林外史》和《水浒传》两本名著的单本进价和售价如表所示： 进价（元/本） 售价（元/本） 《儒林外史》 a 《水浒传》 b 已知该书店购进本《儒林外史》和8本《水浒传》共需元；购进本《儒林外史》和5本《水浒传》共需元． （1）求a、b的值； （2）该书店一次购进《儒林外史》和《水浒传》共本，其中购进《儒林外史》的数量不少于《水浒传》的，销售完这本书获得的总利润为w元，要使获得的总利润最大，应怎样购进《儒林外史》和《水浒传》？总利润最大是多少元？ 【答案】（1）a的值为，b的值为 （2）当购进本《儒林外史》，本《水浒传》时总利润最大，为元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用．熟练掌握二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用是解题的关键． （1）依题意得，，计算求解，然后作答即可； （2）设购m本《儒林外史》，则购进本《水浒传》．依题意得，解得．由题意得，根据一次函数的图象与性质，求解作答即可． 【小问1详解】 解：依题意得，， 解得， ∴a的值为，b的值为． 【小问2详解】 解：设购m本《儒林外史》，则购进本《水浒传》． 依题意得， 解得． 由题意得， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w取得最大值， 此时本，元． ∴当购进本《儒林外史》，本《水浒传》时总利润最大，为元． 22. 如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点一次函数图象经过点，与y轴交于点C，与x轴的交点为D． （1）求一次函数解析式； （2）一次函数的图象上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； （3）如果在y轴上存在一点Q，使是以为底边的等腰三角形，请直接写出点Q的坐标． 【答案】（1）一次函数解析式为 （2）存在，P点的坐标或 （3）点Q的坐标为 【解析】 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由，即可求解； （3）由得：，即可求解． 【小问1详解】 解：∵正比例函数的图象与一次函数的图象交于点， ∴可有， 解得， ∴A点的坐标； ∵一次函数的图象过点和点 则有， 解得：， ∴一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：存在，理由如下： 设点，对于一次函数，令， 则有， 解得， ∴点， 根据题意可知：， 解得， 当时，， 当时，， ∴P点的坐标或； 【小问3详解】 解：设点， 则， 即， 解得：， 即点Q的坐标为：． 【点睛】本题主要考查了正比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式、一次函数图象与坐标轴交点以及一次函数几何问题等知识，解题关键是熟练掌握相关知识，并运用数形结合的思想分析问题． 23. 【问题原型】如图，在正方形中，．则与的数量关系为______，请你给出这一问题的证明过程． 【问题应用】如图，在正方形中，，分别是边上的点，且． （1）如图，连接交于点，为的中点，连接，．当为的中点时，四边形的面积为______； （2）如图，连接，当点在边上运动时，的最小值为______． 【答案】【问题原型】，见解析；【问题应用】（）；（）． 【解析】 【分析】【问题原型】设与交于点，由正方形的性质得，，而，即可证明得； 【问题应用】（） 由正方形的性质得，， 由，为的中点，推导出，即可证明，得，则，所以，由， 得 ，求得，则，即可由S四边形 ，求得，于是得到问题的答案； （）连接，可证明，得，延长到点，使，则，垂直平分，连接，则，则， 由勾股定理得，因为，所以 ，则的最小值是，于是得到问题的答案． 【详解】【问题原型】 证明：如图，设与交于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【问题应用】 （）解：如图， ∵四边形是正方形，， ∴，， ∵，为的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， 故答案为：； （）解： 如图，连接， ∵，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 延长到点，使，则，垂直平分，连接， 则， ∴，， ∵， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查了正方形的性质、同角的余角相等、直角三角形的两个锐角互余、全等三角形的判定与性质、勾股定理、两点之间线段最短、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，熟练掌握知识点的应用，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$