精品解析：重庆市江津区江津二中教育集团2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023-2024学年度下期定时作业初2025届数学题卷 （满分 150 分，考试时间 120 分钟） 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分．个小题都给出代号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应的正确答案标号涂黑） 1. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（    ） A. ，2， B. 2，3，4 C. 8，24，25 D. 1，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理逆定理，根据勾股定理逆定理逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形； B、，不能构成直角三角形； C、，不能构成直角三角形； D、，能构成直角三角形； 故选D． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的加法、减法、乘法、除法法则依次判断即可． 【详解】解：，故A选项符合题意； 与不是同类项，不能进行加减运算，故B选项不符合题意； ，故C选项不符合题意； ，故D选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题考查了二次根式的运算法则，熟记法则是解题的关键． 3. 对于一次函数，下列说法错误的是（    ） A. 随的增大而减小 B. 图象与轴交点为 C. 图象经过第二、三、四象限 D. 图象经过点 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一次函数图象的增减性，求函数值，与坐标轴交点，能正确根据判断增减性是解题的关键．根据一次函数的性质，与坐标轴的交点，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：中，，； A. ，y随x的增大而减小，故该选项正确，不符合题意；        B. 当时，则图象与轴交点为，故该选项正确，不符合题意； C.，，则图象经过第一、二、四象限，故该选项错误，符合题意； D. 当时，，则图象经过点，故该选项正确，不符合题意； 故选：C． 4. 估计的值应在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的混合运算进行化简，进而估算即可求解． 【详解】解：原式 ＝， ， ， 故选B． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，无数的估算，正确的计算是解题的关键． 5. 如果一次函数（、是常数，）的图像经过第一、三、四象限，那么、应满足的条件是（ ） A. ，且 B. ，且 C. ，且 D. ，且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与性质．根据一次函数图象与系数的关系求解即可． 【详解】解：一次函数（、是常数，）的图像经过第一、三、四象限，， ，且， 故选：． 6. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. AB//DC，AD//BC B. AB=DC，AD=BC C. AO=CO，BO=DO D. AB//DC，AD=BC 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、由“AB//DC，AD//BC”可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； B、由“AB=DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； C、由“AO=CO，BO=DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； D、由“AB//DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形．故本选项符合题意． 故选D． 7. 甲、乙两位同学放学后走路回家，他们走过的路程（千米）与所用的时间（分）之间的函数关系如图所示．根据图中信息，下列说法正确的是（ ） A. 前10分钟，甲比乙的速度快 B. 甲的平均速度为0.06千米/分钟 C. 经过30分钟，甲比乙走过的路程少 D. 经过20分钟，甲、乙都走了1.6千米 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的图象及其在行程问题中的应，理解函数图象是解题关键． 根据函数关系图算出前10分钟，甲的速度，乙的速度，可判断A；根据函数关系图即可得算出甲的平均速度，即可判断选项B；观察函数关系图即可得从甲，乙两位同学放学后走路回家开始，经过30分钟，甲、乙走的路程，即可判断选项C；观察函数关系图即可得从甲，乙两位同学放学后走路回家开始，经过20分钟，甲、乙走的路程，即可判断选项D． 【详解】解：A．前10分钟，甲走了0.8千米，乙走了1.2千米，所以乙比甲的速度快，故此选项错误，不符合题意； B．根据图象可知，甲40分钟走了3.2千米，所以甲的平均速度为千米分钟，故此选项错误，不符合题意； C．经过30分钟，甲走了2.4千米，乙走了2千米，所以甲比乙走过的路程多，故此选项错误，不符合题意； D．经过20分钟，由函数图象可知，甲、乙都走了1.6千米，故此选项正确，符合题意． 故选：D． 8. 将一半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，第1个图形有4个小圆，第2个图形有8个小圆，第3个图形有14个小圆，…，依此规律，第9个图形的小圆个数是(　　) A. 36 B. 74 C. 90 D. 92 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形的变化寻找规律即可求解． 【详解】观察图形的变化可知： 第1个图形有1×2+2=4个小圆， 第2个图形有2×3+2=8个小圆， 第3个图形有3×4+2=14个小圆， …， 发现规律： 第n个图形的小圆个数是n(n+1)+2． 所以第9个图形的小圆个数是9×10+2=92． 故选：D． 【点睛】本题考查了规律型−图形的变化，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律并总结规律，会利用找到的规律进行解题． 9. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，小星根据图象得到如下结论： ①在一次函数的图象中，的值随着值的增大而增大； ②方程组的解为； ③方程的解为； ④当时，． 其中结论正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由函数图象经过的象限可判断①，由两个一次函数的交点坐标可判断②，由一次函数与坐标轴的交点坐标可判断③④，从而可得答案． 【详解】解：由一次函数的图象过一，二，四象限，的值随着值的增大而减小； 故①不符合题意； 由图象可得方程组的解为，即方程组的解为； 故②符合题意； 由一次函数的图象过 则方程的解为；故③符合题意； 由一次函数的图象过 则当时，．故④不符合题意； 综上：符合题意的有②③， 故选B 【点睛】本题考查的是一次函数的性质，一次函数的图象的交点坐标与二元一次方程组的解，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练的运用数形结合的方法解题是关键． 10. 如图，点、分别在正方形的边、上，，已知，，则（ ） A. 6 B. 15 C. 12 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】作交的延长线于点，证、即可求解． 【详解】解：作交的延长线于点，如图： 设，则 ∵ 解得： ∴ 故选：B 【点睛】本题考查了“半角模型”，熟记相关模型的构成、求解及结论是解题关键． 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分） 11. 函数的自变量的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】由有意义可得：再解不等式可得答案． 【详解】解：由有意义可得： 即 解得： 故答案为： 【点睛】本题考查的是二次根式与分式有意义的条件，函数自变量的取值范围，理解函数自变量的取值范围的含义是解本题的关键． 12. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【分析】先化简两个二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解： 故答案为： 【点睛】本题考查的是二次根式的加减运算，掌握“二次根式的化简与合并同类二次根式”是解本题的关键． 13. ，是一次函数图像上的两个点，则，的大小关系是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数图像的性质，掌握一次函数图像的增减性是解题的关键．根据一次函数图像的性质，，y随x的增大而增大，由此即可求解． 【详解】解：一次函数中， ， y随x的增大而增大， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在正方形的外侧，作等边，则__________度． 【答案】45 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，根据正方形的性质，等边三角形的性质，推出为等腰三角形，三角形的内角和定理求出的度数，再根据角的和差关系求出的度数即可． 【详解】解：∵正方形，等边， ∴， ∴，， ∴； 故答案为：45． 15. 已知，如图直线与直线交于点，则不等式的解集为 ___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据函数图象交点左侧直线图象在直线：图象的下面，即可得出不等式的解集． 【详解】解：∵直线，与直线交于点， ∴不等式为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 16. 菱形的边长为2，，点、分别是、上的动点，的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点C作CE⊥AB于E，交BD于G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE为FG+CG的最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小，在直角三角形BEC中，勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过点C作CE⊥AB于E，交BD于G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE为FG+CG的最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小， 菱形的边长为2，， 中， PQ+QC的最小值为 故答案为： 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，轴对称的性质，掌握轴对称的性质求线段和的最小值是解题的关键． 17. 一次函数的图象经过点，且和轴交于点，如果该函数图象与坐标轴围成的三角形的面积为，那么一次函数的比例系数_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，求一次函数解析式，利用点的坐标求出及的值，再根据三角形的面积求出点的坐标，把的坐标代入一次函数解析式即可求出的值，掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴，， ∴一次函数解析式为， ∵该函数图象与坐标轴围成的三角形的面积为， ∴， ∴， ∴或， 把代入得，， ∴； 把代入得，， ∴； ∴， 故答案为：． 18. 如果一个自然数M能分解成，其中A和B都是两位数，且A与B的十位数字之和为10，个位数字之和为9，则称M为“十全九美数”，把M分解成A×B的过程称为“全美分解”．那么2100是否是“十全九美数”？_____（填“是”或“否）”；若自然数M是“十全九美数”，“全美分解”为，将A的十位数字与个位数字的差，与B的十位数字与个位数字的和求和记为：将A的十位数字与个位数字的和，与B的十位数字与个位数字的差求差记为．当能被5整除时，则满足条件的最小自然数M为_______． 【答案】 ①. 是 ②. 1164 【解析】 【分析】根据“十全九美数”的定义直接判定即可；设A的十位数字为m，个位数字为n，得出，，当能被5整除时，设值为k，再分类进行讨论即可求解． 【详解】解：∵，且， ∴2100是“十全九美数”； 设A的十位数字为m，个位数字为n，则B的十位数字为，个位数字为， 则，， ∵M是“十全九美数”，， 由题意得， ， 则 (k为整数)， 由题意知，，且都为整数， ，， 当时，， ∴或或， 解得或 (舍去)或； 当时，， ∴，解得 (舍去)， 当时，， ∴，解得， ∴，； 或，； 或，； ∴， 或， 或， 综上，满足“十全九美数”条件的M有：1564或1914或1164． ∴最小的“十全九美数”是1164； 故答案为：是，1164． 【点睛】本题是新定义题，主要考查了列代数式，以及因式分解的应用，一元一次方程的应用，关键是准确理解“十全九美数”含义． 三、解答题（本大题共8个小题，第19题8分，其余每小题10分，共78分） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算、完全平方公式、平方差公式是解题的关键． （1）先利用二次根式的乘除法运算法则计算，再进行减法计算即可． （2）利用完全平方公式和平方差公式化简，再进行加减法计算即可． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把的值代入进行计算即可．本题考查的是分式的化简求值，分母有理化，在解答此类题目时要注意通分及约分的灵活应用． 【详解】解： ， 把代入． 21. 如图，在菱形中，对角线、相交于点O． （1）尺规作图：在的延长线上截取，连接，再过点B作的垂线交于点F（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：四边形为矩形． 证明：∵ ∴ ① ∵四边形是菱形 ∴，， ∴ ∵ ∴ ② 又∵ ∴四边形为平行四边形 ∴ ③ ∴ ∴ ④ ∴ ∴四边形为矩形． 【答案】（1） 如图： （2） 证明：∵ ∴ ∵四边形是菱形 ∴，， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴四边形为平行四边形 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴四边形为矩形． 【解析】 【分析】（1）根据题意画图即可； （2）根据垂直的性质可得，根据菱形的性质可得，根据平行四边形的性质可得，根据平行线的性质可得，根据矩形的判定可得四边形为矩形． 【小问1详解】 作法：延长，以为圆心，的长为半径，在的延长线上画弧，即为点；连接，分别以，为圆心，的长为半径，在的上方画弧，两弧交于一点，连接该点与点，与交于一点，即为点 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了尺规作图，菱形的性质，平行四边形的性质，平行线的性质，矩形的判定等，解题的关键是根据要求尺规作图． 22. 如图，已知，延长到，使，连接，，，若． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（）由四边形是平行四边形，则，，又得四边形是平行四边形及，结合可得，由此可得平行四边形是矩形； （）连接，由（）得，，，所以，则，又四边形是矩形，故有，，然后通过勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：如图，连接， 由（）得，，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 23. 如图，铁路上A、B两点相距，C、D为两村庄，于A，于B，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？ 【答案】E站应建在离A站处． 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，利用得出是解决问题的关键．设出的长，可将和的长表示出来，列出方程进行求解即可． 【详解】解：∵C，D两村到E站的距离相等， ∴． ∵于A，于B， ∴， ∴， ∴， 设，则． ∵，， ∴， 解得：， ∴． 答：E站应建在离A站处． 24. 商店销售1台A型和2台B型电脑的利润为400元，销售2台A型和1台B型电脑的利润为350元． （1）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润y元． ①求y关于x的函数关系式； ②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？ （2）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调为元，且限定商店最多购进A型电脑70台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（1）中条件，设计出售这100台电脑销售总利润最大的进货方案． 【答案】（1）①，，且x为整数； ②购买34台A型电脑，66台B型电脑，才能使销售利润最大； （2）进货方案为：购买34台A型电脑，66台B型电脑 【解析】 【分析】（1）①设销售1台A型电脑的利润是a元，销售1台B型电脑的利润是b元，根据题意列出二元一次方程组求出a、b，即可作答；根据①的结果：，，且x为整数，可知y随x的值增大而减小即可作答； （2）A型电脑出厂价下调m元，则A型电脑的销售利用上涨m元，即为(100+m)元，则此时：，根据，可知，则有的值是随x的增大而减小，即可知当x=34时，y有最大值，即此时利润最大，即可确定进货方案． 【小问1详解】 ①设销售1台A型电脑的利润是a元，销售1台B型电脑的利润是b元， 根据题意有： ，解得， 进购x台A型电脑，则进购(100-x)台B型电脑， 根据题意有：，且x为整数， 即有，，且x为整数； ②根据①的结果：，，且x为整数， ∵y随x的增大而减小 可知当x=34时，y有最大值，即此时利润最大， 即100-34=66（台）， 即购买34台A型电脑，66台B型电脑，才能使销售利润最大； 【小问2详解】 A型电脑出厂价下调m元，则A型电脑的销售利用上涨m元，即为(100+m)元， 则此时：， 进购A型电脑的数量最多为70台，结合， 可知，且x为整数， ∵， ∴， ∴的值是随x的增大而减小， 即可知当x=34时，y有最大值，即此时利润最大， 即100-34=66（台）， 即进货方案为：购买34台A型电脑，66台B型电脑． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的性质等知识，明确题意是解答本题的关键． 25. 一次函数的图象经过点，并且与直线相交于点B，与x轴相交于点C，若点B的横坐标为3，求： （1）B点的坐标和k，b的值； （2）在y轴上是否存在这样的点P，使得以点P，B，A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）存在，，， 【解析】 【分析】本题考查一次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）根据点的横坐标，求出点坐标，再利用待定系数法求出k，b的值即可； （2）设，分三种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：当时，， ∴， 把，，代入，得： ，解得：； 【小问2详解】 存在； ∵，， ∴， 设，则：，， 当时，，解得：或， ∴，， 当时，，解得：或（舍去）， ∴， 当时，，解得：， ∴． 26. 如图1，矩形ABCD中，AB＝，BC＝9，点E在BC边上，BE＝4，点F，G在线段AD上运动（点F在点G的左侧），且始终保持FG＝BE． （1）求证：四边形BEGF是平行四边形； （2）当四边形BEGF是菱形时，求线段DG的长； （3）将△BEF沿EF折叠得到△B′EF，连结B′G（如图2），当以点B′，G，E，F为顶点的四边形是矩形时，直接写出线段DG的长． 【答案】（1）见解析；（2）DG＝5−；（3）DG＝1或2或4 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得出AD∥BC，即可得出四边形BEGF是平行四边形； （2）根据菱形的性质得出BF＝FG＝BE＝4，再用勾股定理即可； （3）分两种情况讨论，①当BF⊥EF，由直角三角形的面积得出EF•BF＝4，再利用勾股定理得出BF2＋EF2＝16，联立方程组求出BF，再用勾股定理求出AF即可，②当EF⊥BC时，四边形ABEF是矩形，即可求出DG的长度． 【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∵FG＝BE， ∴四边形BEGF是平行四边形； （2）∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝9，∠BAD＝90°， ∵四边形BEGF是菱形， ∴BF＝FG＝BE＝4， 在Rt△ABF中，AF＝=； ∴DG＝AD−AF−FG＝9−4−＝5−； （3）∵△BEF沿EF折叠得到△B'EF， ∴∠BFE＝∠B'FE， ∵点B′，G，E，F为顶点的四边形是矩形， ①当BF⊥EF，过点F作FH⊥BC于H， ∴∠BFE＝∠B'FE＝90°， ∴FH＝， ∵BE＝4， 根据直角三角形的面积得，EF•BF＝AB•BE＝4 在Rt△BEF中，BF2＋EF2＝16 解得：BF＝2或BF＝2， 当BF＝2时，根据勾股定理得，AF＝1， DG＝AD−AF−FG＝9−1−4＝4， 当BF＝2，根据勾股定理得，AF＝3， ∴DG＝AD−AF−FG＝9−3−4＝2． 即：DG＝2或4． ②当EF⊥BC时，四边形ABEF是矩形， ∴AF＝BE＝4， ∵FG＝BE＝4， ∴DG＝AD−AF−FG＝1， 即：DG＝1或2或4． 【点睛】此题是四边形的综合题，主要考查了平行四边形的判定，菱形的性质，矩形的性质，解题的关键是熟练掌握特殊平行四边形的性质及判定，熟练运用勾股定理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度下期定时作业初2025届数学题卷 （满分 150 分，考试时间 120 分钟） 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分．个小题都给出代号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应的正确答案标号涂黑） 1. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（    ） A. ，2， B. 2，3，4 C. 8，24，25 D. 1，， 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 对于一次函数，下列说法错误的是（    ） A. 随的增大而减小 B. 图象与轴交点为 C. 图象经过第二、三、四象限 D. 图象经过点 4. 估计的值应在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 5. 如果一次函数（、是常数，）的图像经过第一、三、四象限，那么、应满足的条件是（ ） A. ，且 B. ，且 C. ，且 D. ，且 6. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. AB//DC，AD//BC B. AB=DC，AD=BC C. AO=CO，BO=DO D. AB//DC，AD=BC 7. 甲、乙两位同学放学后走路回家，他们走过的路程（千米）与所用的时间（分）之间的函数关系如图所示．根据图中信息，下列说法正确的是（ ） A. 前10分钟，甲比乙的速度快 B. 甲的平均速度为0.06千米/分钟 C. 经过30分钟，甲比乙走过的路程少 D. 经过20分钟，甲、乙都走了1.6千米 8. 将一半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，第1个图形有4个小圆，第2个图形有8个小圆，第3个图形有14个小圆，…，依此规律，第9个图形的小圆个数是(　　) A. 36 B. 74 C. 90 D. 92 9. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，小星根据图象得到如下结论： ①在一次函数的图象中，的值随着值的增大而增大； ②方程组的解为； ③方程的解为； ④当时，． 其中结论正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，点、分别在正方形的边、上，，已知，，则（ ） A. 6 B. 15 C. 12 D. 30 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分） 11. 函数的自变量的取值范围是_______． 12. 计算：___________． 13. ，是一次函数图像上的两个点，则，的大小关系是_______． 14. 如图，在正方形的外侧，作等边，则__________度． 15. 已知，如图直线与直线交于点，则不等式的解集为 ___________． 16. 菱形的边长为2，，点、分别是、上的动点，的最小值为______． 17. 一次函数的图象经过点，且和轴交于点，如果该函数图象与坐标轴围成的三角形的面积为，那么一次函数的比例系数_____． 18. 如果一个自然数M能分解成，其中A和B都是两位数，且A与B的十位数字之和为10，个位数字之和为9，则称M为“十全九美数”，把M分解成A×B的过程称为“全美分解”．那么2100是否是“十全九美数”？_____（填“是”或“否）”；若自然数M是“十全九美数”，“全美分解”为，将A的十位数字与个位数字的差，与B的十位数字与个位数字的和求和记为：将A的十位数字与个位数字的和，与B的十位数字与个位数字的差求差记为．当能被5整除时，则满足条件的最小自然数M为_______． 三、解答题（本大题共8个小题，第19题8分，其余每小题10分，共78分） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如图，在菱形中，对角线、相交于点O． （1）尺规作图：在的延长线上截取，连接，再过点B作的垂线交于点F（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：四边形为矩形． 证明：∵ ∴ ① ∵四边形是菱形 ∴，， ∴ ∵ ∴ ② 又∵ ∴四边形为平行四边形 ∴ ③ ∴ ∴ ④ ∴ ∴四边形为矩形． 22. 如图，已知，延长到，使，连接，，，若． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 23. 如图，铁路上A、B两点相距，C、D为两村庄，于A，于B，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？ 24. 商店销售1台A型和2台B型电脑的利润为400元，销售2台A型和1台B型电脑的利润为350元． （1）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润y元． ①求y关于x的函数关系式； ②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？ （2）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调为元，且限定商店最多购进A型电脑70台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（1）中条件，设计出售这100台电脑销售总利润最大的进货方案． 25. 一次函数的图象经过点，并且与直线相交于点B，与x轴相交于点C，若点B的横坐标为3，求： （1）B点的坐标和k，b的值； （2）在y轴上是否存在这样的点P，使得以点P，B，A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由． 26. 如图1，矩形ABCD中，AB＝，BC＝9，点E在BC边上，BE＝4，点F，G在线段AD上运动（点F在点G的左侧），且始终保持FG＝BE． （1）求证：四边形BEGF是平行四边形； （2）当四边形BEGF是菱形时，求线段DG的长； （3）将△BEF沿EF折叠得到△B′EF，连结B′G（如图2），当以点B′，G，E，F为顶点的四边形是矩形时，直接写出线段DG的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $