精品解析：湖南省邵阳市邵东市创新高级中学有限公司2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题

2024年上学期高二期中考试数学试卷 （分值：150分 时间:120分钟 命题人：林老师） 第Ⅰ卷 （选择题 共58分） 一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数对应的点位于直线上，则的值为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 3. “”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若幂函数的图象关于y轴对称，且与x轴无公共点，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 5. 给定一组数据，设这组数据的平均数为，中位数为，众数为，则（ ） A B. C. D. 6. 现在，很多人都喜欢骑“共享单车”，但也有很多市民并不认可.为了调查人们对这种交通方式的认可度，某同学从交通拥堵不严重的城市和交通拥堵严重的城市分别随机调查了20名市民，得到如下列联表： 总计 认可 13 5 18 不认可 7 15 22 总计 20 20 40 附：. 0.1 0.05 0010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 根据表中的数据，下列说法中正确的是（ ） A. 没有95%以上把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关” B. 有99%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关” C. 可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关” D. 可以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关” 7. 已知正三棱锥的底面边长为4，侧棱长为8，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在R上单调递增，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、 选择题：本题共3小题 ，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知a，b，c满足，且，则下列选项中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知是单位向量，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 的最大值为 D. 的最小值是 11. 已知四棱锥，底面为矩形，且平面，，分别为棱的中点，则下列选项正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 平面平面 D. 平面平面 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、 填空题 ：本题共 3 小题，每小题 5分，共15分. 12. 某科研院校培育橘树新品种，经统计，单个果品的质量（单位：g）近似服从正态分布，且，则在1000个橘果中，估计单个果品质量不低于94g的橘果个数为______. 13. 在的展开式中，的系数是___________. 14. 已知函数，若对任意实数，关于的不等式在区间上总有解，则实数的最大值为________． 四、 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数f(x)＝sin 2x－cos 2x＋1. （1）求f(x)在[0，π]上的单调递减区间； （2）若f(α)＝，α∈，求sin 2α的值． 16. 某社区为奖励参加过社区举办的“我劳动，我光荣”公益性志愿活动的中小学生，举办了一场回馈志愿者福利活动，活动规则为：箱子中装有大小质地完全相同且标有的小球，从中任意抽取4个，凡选出的4个号码中含有1个或1个以上基本号码就能中奖（基本号码为），根据基本号码个数的多少中奖的等级分为三等奖，二等奖，一等奖和特等奖，其所对应选中的基本号码个数分别为．若小明是该社区的其中一名志愿者，并参加了本次回馈活动，据此回答下列问题： （1）求小明在此次活动中至少中二等奖概率； （2）若三等奖，二等奖，一等奖，特等奖的奖金分别为495元，990元，1485元，b元，且小明在此次活动中获得的奖金数的期望（X表示在一次抽取中所获的奖金数），则特等奖的奖金为多少? 17. 已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有． （1）求函数的解析式； （2）判断的单调性，并证明； （3）解不等式． 18. 如图，在直三棱柱中，，M为的中点． （1）若，证明：平面； （2）若是正三角形，P为线段上的动点，求与平面所成角的正弦值的取值范围． 19. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）若，角A的平分线交BC于点D，求AD； （3）若的面积为，求a的最小值； （4）若BC边上的中线长为，且的外接圆半径为，求的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年上学期高二期中考试数学试卷 （分值：150分 时间:120分钟 命题人：林老师） 第Ⅰ卷 （选择题 共58分） 一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件利用补集、并集的定义直接计算即得. 【详解】因为集合，，则，而， 所以. 故选：C 2. 复数对应的点位于直线上，则的值为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法法则及几何意义，得到对应点为，再根据条件即可求出结果. 【详解】因为，对应点为， 由题知，，解得. 故选：B. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可 【详解】当时，成立， 而当时，如时，，所以当时，不一定成立， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 4. 若幂函数的图象关于y轴对称，且与x轴无公共点，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂函数的图象和性质依次判断选项即可. 【详解】A：函数的图象关于y轴对称，且与x轴有公共点，故A不符合题意； B：函数的图象关于原点对称，且与x轴有公共点，故B不符合题意； C：函数的图象关于原点对称，且与x轴无公共点，故C不符合题意； D：函数的图象关于y轴对称，且与x轴无公共点，故D符合题意. 故选：D. 5. 给定一组数据，设这组数据的平均数为，中位数为，众数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求得平均数、中位数、众数，由此确定正确选项. 【详解】， 平均数， 中位数， 众数， 所以 故选：B 6. 现在，很多人都喜欢骑“共享单车”，但也有很多市民并不认可.为了调查人们对这种交通方式的认可度，某同学从交通拥堵不严重的城市和交通拥堵严重的城市分别随机调查了20名市民，得到如下列联表： 总计 认可 13 5 18 不认可 7 15 22 总计 20 20 40 附：. 0.1 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 根据表中的数据，下列说法中正确的是（ ） A. 没有95%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关” B. 有99%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关” C. 可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关” D. 可以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关” 【答案】D 【解析】 【分析】 计算出，比较所给数据，可得结论． 【详解】由题意，根据列联表中的数据，得， 又， 所以可以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”. 故选：D. 7. 已知正三棱锥的底面边长为4，侧棱长为8，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意求出三棱锥高，根据棱锥的体积公式，即可求得答案. 【详解】如图正三棱锥，设其高为，O为底面中心， 则，故， 故三棱锥的体积为， 故选：A 8. 已知函数在R上单调递增，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对勾函数的性质以及反比例函数的性质，即可由分类讨论，结合分段函数的单调性求解. 【详解】因为函数，在上单调递增， 当时，由于和均在单调递增函数， 故在上单调递增， 所以，解得， 当时，根据对勾函数的性质可知，若在上单调递增， 则，解得， 当时，，此时，显然满足在上单调递增， 综上，． 故选：B 二、 选择题：本题共3小题 ，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知a，b，c满足，且，则下列选项中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由已知条件得出，且的符号不确定，利用不等式的性质以及特殊值法可判断各选项中不等式的正误. 【详解】且，，且的符号不确定. 对于A，，，由不等式的基本性质可得，故A一定能成立； 对于B，，，，，即，故B一定能成立； 对于C，取，则，若，有，故C不一定成立； 对于D，，，，故D一定能成立. 故选：ABD 10. 已知是单位向量，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 的最大值为 D. 的最小值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用向量数量积的定义及运算法则可判断AB，利用坐标法可判断CD. 【详解】∵， ∴，， ∴，故A正确； 由，可得， 即，则不一定成立，故B错误； 又是单位向量，， 不妨设，设，又， ∴，， ∴，即， 由可知圆心为，半径为， ∴，故C正确； 由上可知，，即， 又∵， ∴的最小值是，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知四棱锥，底面为矩形，且平面，，分别为棱的中点，则下列选项正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 平面平面 D. 平面平面 【答案】ABD 【解析】 【分析】连接，得到，利用线面平行判定定理，可判定A正确；分别证得和，证得平面，进而可判定B正确；设，证得和，得到为平面与平面的二面角的平面角，利用余弦定理，求得，可得判定C错误； 根据题意，证得平面，得到，进而证得平面，可判定D正确. 【详解】对于A中，连接，因为分别为棱的中点，可得， 又因为平面，平面，所以平面，所以A正确； 对于B中，因为底面为矩形，且，所以为正方形，可得， 又因为平面，平面，所以， 因为，且平面，所以平面， 又因为，所以平面，所以B正确； 对于C中，设，连接交于点， 因为平面，且平面，所以， 又因为，所以，所以， 因为，且的中点，所以为的中点，所以，， 所以为平面与平面的二面角的平面角， 不妨设，则， 所以， 在中，可得， 所以，所以平面与平面不垂直，所以C错误； 对于D中，因为，且为的中点，可得， 因为底面为矩形，可得， 又因为平面，且平面，所以， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面，所以D正确. 故选：ABD. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、 填空题 ：本题共 3 小题，每小题 5分，共15分. 12. 某科研院校培育橘树新品种，经统计，单个果品的质量（单位：g）近似服从正态分布，且，则在1000个橘果中，估计单个果品质量不低于94g的橘果个数为______. 【答案】300 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性可得，即可求解个数. 【详解】由于，故， 所以1000个橘果中，估计单个果品质量不低于94g的橘果个数为， 故答案为：300 13. 在的展开式中，的系数是___________. 【答案】112 【解析】 【分析】由二项式定理求解 【详解】由二项式定理知的展开式的通项为 令得 故 故答案为：112 14. 已知函数，若对任意实数，关于的不等式在区间上总有解，则实数的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】作出函数的图象，将函数的图象向下平移个单位，使得时，函数在区间上的最大值最小，求出的值，可得出，进而可求得实数的最大值. 【详解】函数在区间上的图象如下图所示： 根据题意，对任意实数，关于不等式在区间上总有解， 只要找到其中一个实数，使得的最大值最小即可， 如图，函数向下平移到一定的程度时，函数的最大值最小， 此时只有当时，才能保证函数的最大值最小， 设函数的图象向下平移了个单位，其中，则，解得， 此时函数，. 因此，实数的最大值为. 故答案为：. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 四、 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数f(x)＝sin 2x－cos 2x＋1. （1）求f(x)在[0，π]上的单调递减区间； （2）若f(α)＝，α∈，求sin 2α的值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由辅助角公式化简函数f(x)，再根据正弦函数的单调性建立不等式＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解之可得答案. （2）由（1）求得sin＝－，再由角的范围求得cos，观察角之间的关系凑角sin 2α＝sin，再运用正弦的和角公式可得答案. 【详解】（1）f(x)＝sin 2x－cos 2x＋1＝sin＋1，由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 又∵x∈[0，π]，∴函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间为. （2）由（1）知f(x)＝sin＋1， 又∵f(α)＝，∴sin＝－， ∵α∈，∴2α－∈， ∵sin＝－＜0， ∴cos＝－＝－. ∴sin 2α＝sin＝sincos＋cossin＝－×＋×＝. 【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，正弦函数的性质，同角三角函数间的关系，以及正弦的和角公式，属于中档题. 16. 某社区为奖励参加过社区举办的“我劳动，我光荣”公益性志愿活动的中小学生，举办了一场回馈志愿者福利活动，活动规则为：箱子中装有大小质地完全相同且标有的小球，从中任意抽取4个，凡选出的4个号码中含有1个或1个以上基本号码就能中奖（基本号码为），根据基本号码个数的多少中奖的等级分为三等奖，二等奖，一等奖和特等奖，其所对应选中的基本号码个数分别为．若小明是该社区的其中一名志愿者，并参加了本次回馈活动，据此回答下列问题： （1）求小明在此次活动中至少中二等奖的概率； （2）若三等奖，二等奖，一等奖，特等奖的奖金分别为495元，990元，1485元，b元，且小明在此次活动中获得的奖金数的期望（X表示在一次抽取中所获的奖金数），则特等奖的奖金为多少? 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】（1）由古典概型的概率公式结合组合数公式可得答案； （2）由超几何分布的概率公式求出X为0，495，990，1485，b的概率，再利用期望公式结合求答案即可. 【小问1详解】 设小明在此次活动中至少中二等奖为事件A， 则 ； 【小问2详解】 由题意可知X的可能取值为0，495，990，1485，b． 则，，，，， 其分布列为： X 0 495 990 1485 b P 所以， 解得， 所以特等奖的奖金为元． 17. 已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有． （1）求函数的解析式； （2）判断的单调性，并证明； （3）解不等式． 【答案】（1） （2）在为增函数，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质，即可求出，再由求出，即可求出当时函数解析式，再由奇函数的性质求出时解析式； （2）利用定义法证明函数的单调性即可； （3）结合奇偶性与单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【小问1详解】 因为函数是定义在上的奇函数，所以，即，解得， 因为，所以，所以， 所以当时，， 当时，， 则， 综上所述，； 【小问2详解】 函数在上为增函数． 证明：任取，且， 则 ， ， ，即， 故在上为增函数； 【小问3详解】 因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 又由（2）知在上为增函数， 所以，解得， 故原不等式解集为． 18. 如图，在直三棱柱中，，M为的中点． （1）若，证明：平面； （2）若是正三角形，P为线段上的动点，求与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的性质得到，再由，即可得到平面，从而得到，再由勾股定理逆定理得到，从而得证； （2）取的中点为，连接，取的中点，连接，由面面垂直的性质得到平面，建立如图所示空间直角坐标系，设，，与平面所成角为，利用空间向量法求出线面角的正弦值， 【小问1详解】 证明：在直三棱柱中，平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以， 又在矩形中，，，即， 所以， 因为，平面，所以平面， 【小问2详解】 解：取的中点为，连接，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，取的中点，连接，同理可得平面， 如图建立空间直角坐标系，则，，，，设，，则， 易知平面的法向量为，设与平面所成角为，设， 所以 当时， 当时，，因为在上单调递减， 所以关于单调递减， 故， 综上可得 19. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）若，角A的平分线交BC于点D，求AD； （3）若的面积为，求a的最小值； （4）若BC边上的中线长为，且的外接圆半径为，求的周长． 【答案】（1） （2） （3）1 （4） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换可得，即可利用三角函数的性质求解， （2）利用等面积法，结合三角形的面积公式即可求解， （3）根据面积公式以及余弦定理可得，即可利用不等式求解最值， （4）根据向量的模长公式可得，进而结合余弦定理即可求解. 【小问1详解】 由已知及正弦定理得， 因为， 所以， 即， 由于中，，所以，所以， 因为，所以， 所以，故． 【小问2详解】 设是角的平分线，因为， 所以， 结合（1）得， 解得． 小问3详解】 由（1）得，则， 又，所以， 则，解得， 当且仅当时取等号，故的最小值为1． 【小问4详解】 由正弦定理得， 设的中点为，连接，则， 两边平方得， 即，即①， 由余弦定理得②， 解得， 故的周长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$