精品解析：2024年陕西省西安市高新逸翠园初级中学中考十七模数学试题

试卷类型：A卷 西安市高新逸翠园中学2023-2024学年度第二学期 九年级第十七次模考 数学试卷 一．选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 我市某天的最高气温是4℃，最低气温是℃，则这一天的最高气温与最低气温的差为（　　） A. 6℃ B. 2℃ C. ℃ D. ℃ 2. 既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 菱形 B. 等边三角形 C. 平行四边形 D. 扇形 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知AB∥FE，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，平分交于点D，，交于点E，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 已知一次函数的函数值y随x的增大而减小，那么下列哪个点一定不在该函数图象上（ ） A. B. C. D. 7. 如图，内接于，点B是的中点，是的直径．若，，则的长为（ ） A. 5 B. C. D. 8. 若二次函数与x轴没有交点，则二次函数的图象的顶点在（ ） A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限 二．填空题（共5小题，每题3分，共15分） 9. 实数a和b在数轴上的位置如图所示，则|a|_____b．（填“”“”或“”） 10. 正n边形的中心角为72°，则______． 11. 2023年第19届杭州亚运会的会徽“潮涌”将自然奇观与人文精神进行巧妙融合，其中浪潮设计借助了黄金分割比以给人协调的美感．如图，若点C可看做是线段的黄金分割点（），，则______．（结果保留根号） 12. 已知函数与的图象相交于，两点，若，则的值为______． 13. 如图，在扇形中，，，点C是上一动点，连接，过点A作于点D，连接．当的长度最小时，图中阴影部分的面积为____________． 三．解答题（共13小题，共81分） 14. 计算：． 15. 解不等式组：． 16. 解方程：． 17. 如图，为上一点，已知，．求证：． 18. 已知．请用尺规作图法，在边上找一点P，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 小明要代表班级参加学校举办的消防知识竞赛，共有25道题，规定答对一道题得6分，答错或不答一道题扣2分，只有得分超过90分才能获得奖品，问小明至少答对多少道题才能获得奖品？ 20. 刘老师将1个红球和若干个黄球放入一个不透明的口袋中并搅匀，这些球除颜色不同外其余都相同．他让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球，记下颜色后，放回搅匀，经过多次实验发现，从袋中摸出一个球是红球的频率稳定在0.25附近． （1）估算袋中黄球的个数； （2）在（1）的条件下，小强同学从中任意摸出一个球，放回并摇匀，再摸一次球，用画树状图或列表的方法计算他两次都摸出黄球的概率． 21. 如图，小明同学看见斜坡上有一棵小树，他想测量小树的高度，站在坡底B处，目光从点A出发，以水平视线观察小树底端Q，即，在阳光照射下，小树的影子顶端与小明的影子顶端在地面的点G处重合（可视为P，A，G三点在同一直线上）．小明通过测量估算斜坡的坡度，，，，，图中所有点均在同一平面内，请你根据题中数据计算小树的高度．（结果精确到0.1 m） 22. 沙漏又称“沙钟”，是我国古代一种计量时间的装置．它是根据均匀的沙粒从一玻璃球漏到另一个玻璃球的数量来计量时间．其中上面玻璃球中沙粒完全流入下面玻璃球后立即将沙漏倒置（倒置时间忽略不计），重新进行计时，周而复始．某课外数学小组观察发现：该沙漏上面玻璃球沙粒剩余量粒与流入时间秒成一次函数关系（不考虑其他因素），当流入时间在第秒时，上面玻璃球剩余沙粒粒，当流入时间在第秒时，上面玻璃球剩余沙粒粒． （1）求出上面玻璃球沙粒余量粒与流入时间（秒）之间的函数关系式； （2）求沙漏恰好完成第一次倒置所需时间． 23. 2023年春节假期，西安文旅全面复苏，接待人次、旅游收入双创新高：重点景区人气爆棚，持续高位运行．据统计，2023年1月21日到1月27日期间，西安共接待游客约881万人次．其中著名打卡景区有，A：大唐不夜城，B：秦始皇帝陵博物院，C：大唐芙蓉园，D：华清宫景区，E：华山景区，F：其他．小志为了解哪个景区最受欢迎，随机调查了自己学校的部分同学，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图． 请你根据统计图中的信息，解决下列问题： （1）这次调查一共抽取了___________名同学：扇形统计图中，旅游地点D所对应的扇形圆心角的度数___________． （2）请补全条形统计图． （3）若小志所在学校共有3000名学生，请你根据调查结果估计该校最喜爱“大唐不夜城”和“大唐芙蓉园”的学生人数． 24. 如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，． （1）求的度数； （2）过点作交的延长线于点，若，，求此圆半径的长． 25. 如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器．将发石车置于山坡底部处，以点为原点，水平方向为轴方向，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分，山坡上有一堵防御墙，其竖直截面为，墙宽米，与轴平行，点与点的水平距离为28米、垂直距离为6米．已知发射石块在空中飞行的最大高度为10米 （1）求抛物线的解析式； （2）试通过计算说明石块能否飞越防御墙； 26. “乐思”小组开展探究四点共圆的条件活动时，得到结论：对角互补的四边形的四个顶点共圆，该小组继续利用上述结论进行探究． （1）问题探究：如图，四边形为矩形，平分，交于点F，． ①判断A、B、C、E四点是否共圆？填（“是”或“不是”）__________ ②__________ （2）问题解决：如图，某公园内有一个五边形人工湖，已知，米，，点是上一点，且，点是直线上一点，夏季来临，为了增加游客的安全性，欲在其中央建造一个以为斜边的等腰直角型救助站，如图所示，已知湖岸米，点是上的中点，是湖岸通向救助站的唯一通道，若修筑通道的造价为每米300元，求当造价最低时，四边形的面积为多少？并求出通道的最低造价． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 试卷类型：A卷 西安市高新逸翠园中学2023-2024学年度第二学期 九年级第十七次模考 数学试卷 一．选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 我市某天的最高气温是4℃，最低气温是℃，则这一天的最高气温与最低气温的差为（　　） A. 6℃ B. 2℃ C. ℃ D. ℃ 【答案】A 【解析】 【分析】利用有理数的减法即可求出答案． 【详解】解：根据题意得：， 则这一天的最高气温与最低气温的差为6℃． 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数减法的实际应用，解题的关键是依据题意正确地列出算式． 2. 既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 菱形 B. 等边三角形 C. 平行四边形 D. 扇形 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、菱形轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； B、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； D、扇形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图重合． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合选项分别进行二次根式的加减运算和乘除运算，然后选择正确选项即可． 【详解】解：A．与不是同类二次根式，不能相加，故本选项错误，不符合题意； B．，故本选项错误，不符合题意； C．，故本选项错误，不符合题意； D．，故本选项正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的加减法和乘除法，解答本题的关键是掌握二次根式的加减运算法则和乘除运算法则． 4. 如图，已知AB∥FE，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线的性质求出∠BFD的度数，由补角的定义求出∠CFD的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论． 【详解】解：∵AB∥FE， ∴， ∴； 又∵， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 5. 如图，在中，，平分交于点D，，交于点E，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，再利用三角形的内角和定理即可求得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查平行线的性质、角平分线的定义及三角形内角和定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 6. 已知一次函数的函数值y随x的增大而减小，那么下列哪个点一定不在该函数图象上（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的增减性与的关系；把各个选项的坐标代入函数解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征求出k值，结合y随x的增大而减小即可确定结论． 【详解】解：一次函数的函数值y随x的增大而减小， ∴， A、若在该函数图象上，则， 解得：，故选项A不符合题意； B、若在该函数图象上，则， 解得：，故选项B不符合题意； C、若在该函数图象上，则， 解得：，故选项C不符合题意； D、若在该函数图象上，则， 解得：，故选项D符合题意； 故选：D． 7. 如图，内接于，点B是的中点，是的直径．若，，则的长为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，先求得，再利用直角三角形的性质求得，又由点是的中点得，进而利用勾股定理即可得解． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴即， 解得， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，圆周角定理，直角三角形的性质，弧、弦之间的关系，熟练掌握圆周角定理及勾股定理是解题的关键． 8. 若二次函数与x轴没有交点，则二次函数的图象的顶点在（ ） A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限 【答案】A 【解析】 【分析】先判断，再求解二次函数的对称轴，判断二次函数与x轴的交点情况，从而可得答案． 【详解】解：∵二次函数与x轴没有交点， ∴， 解得：， ∴， ∵二次函数的对称轴为直线， 而， 当时，， 函数与轴有两个交点，且函数图象的开口向上， ∴结合函数图象可得二次函数的图象的顶点在第四象限． 故选A． 【点睛】本题考查的是二次函数与x轴的交点问题，二次函数的图象与性质，掌握“利用数形结合的方法解题”是关键． 二．填空题（共5小题，每题3分，共15分） 9. 实数a和b在数轴上的位置如图所示，则|a|_____b．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，根据正方向向右的数轴上的数，左边的数小于右边的数即可得到答案． 【详解】解：由数轴上数的位置可知， 故答案为：． 10. 正n边形的中心角为72°，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据正多边形的中心角之和为360°计算即可． 【详解】根据题意有：， 故答案为：5． 【点睛】本题考查的是正多边形和圆，熟知正多边形的中心角之和为360°是解答本题的关键． 11. 2023年第19届杭州亚运会的会徽“潮涌”将自然奇观与人文精神进行巧妙融合，其中浪潮设计借助了黄金分割比以给人协调的美感．如图，若点C可看做是线段的黄金分割点（），，则______．（结果保留根号） 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，解题的关键是根据黄金分割的定义列式计算，即可解答． 【详解】解：点可看作是线段的黄金分割点，， ， 故答案为：． 12. 已知函数与的图象相交于，两点，若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正比例函数的图象、反比例函数图象的性质得出交点与交点关于原点对称，进而得出其纵坐标互为相反数，然后根据正比例函数与反比例函数图象上点的坐标特征即可得出答案． 【详解】由题意可知与关于原点对称， ，， ，， 函数与的图象相交于，两点， ，， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数、反比例函数图象的交点，理解正比例函数、反比例函数图象的对称性是解题的关键． 13. 如图，在扇形中，，，点C是上一动点，连接，过点A作于点D，连接．当的长度最小时，图中阴影部分的面积为____________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知点D在以AO为直径的圆上运动，设圆心为P，则当B、D、P三点共线时，BD的长度最小．过点D作于点E，于点F．根据题意可求出，从而可利用勾股定理求出．易证四边形OFDE为矩形，即得出，．根据平行线截线段成比例可得出，代入数据可求出，从而可求出．最后根据结合扇形面积公式和三角形面积公式即可求解． 【详解】∵， ∴点D在以AO为直径的圆上运动，设圆心为P， ∴当B、D、P三点共线时，BD的长度最小． 如图，过点D作于点E，于点F， ∵AO为直径， ∴． ∵， ∴在中，． 又∵，， ∴四边形OFDE为矩形， ∴，， ∴，即， ∴， ∴． ∴ ． 故答案为． 【点睛】本题考查圆周角定理，矩形的判定和性质，勾股定理，平行线截线段成比例以及扇形的面积公式．理解点D在以AO为直径的圆上运动，设圆心为P，当B、D、P三点共线时，BD的长度最小是解题关键． 三．解答题（共13小题，共81分） 14. 计算：． 【答案】-2 【解析】 【分析】首先根据特殊角的三角函数值、去绝对值符号法则、负整数指数幂的运算法则，进行运算，再进行二次根式的混合运算，即可求得． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算及三角函数值的运算，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键． 15. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】先解得每个不等式的解集，然后求出它们的公共部分即可求解． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答的关键． 16. 解方程：． 【答案】x=-3 【解析】 【分析】根据解分式方程的步骤解答即可． 【详解】解：． 方程的两边同乘3（x-1）得：6+3x-3=2x， 解这个方程得：x=-3， 经检验，x=-3是原方程的解． 【点睛】本题主要考查了解分式方程，会把分式方程转化为整式方程是解答本题的关键，注意，解分式方程需要验根． 17. 如图，为上一点，已知，．求证：． 【答案】 证明：∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】根据证明即可． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是准确找出三角形全等的条件． 18. 已知．请用尺规作图法，在边上找一点P，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】图见解析 【解析】 【分析】作出的平分线交于点，点即为所求． 【详解】解：如图，点即为所求； ∵ 四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查基本作图—角平分线．解题的关键是确定是的平分线． 19. 小明要代表班级参加学校举办的消防知识竞赛，共有25道题，规定答对一道题得6分，答错或不答一道题扣2分，只有得分超过90分才能获得奖品，问小明至少答对多少道题才能获得奖品？ 【答案】小明至少答对18道题才能获得奖品. 【解析】 【详解】试题分析：设小明答对x道题，根据“共有25道题，规定答对一道题得6分，答错或不答一道题扣2分，只有得分超过90分才能获得奖品”，列出不等式，解不等式即可. 试题解析： 设小明答对x道题，根据题意得， 6x-2（25-x）>90 解这个不等式得，， ∵x为非负整数 ∴x至少为18 答：小明至少答对18道题才能获得奖品. 考点：一元一次不等式的应用. 20. 刘老师将1个红球和若干个黄球放入一个不透明的口袋中并搅匀，这些球除颜色不同外其余都相同．他让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球，记下颜色后，放回搅匀，经过多次实验发现，从袋中摸出一个球是红球的频率稳定在0.25附近． （1）估算袋中黄球的个数； （2）在（1）的条件下，小强同学从中任意摸出一个球，放回并摇匀，再摸一次球，用画树状图或列表的方法计算他两次都摸出黄球的概率． 【答案】（1）3；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意直接利用频数÷频率=总数，得出总的球数进而减去红球个数即可求出答案； （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到黄球的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：（1）由题意可知从袋中摸出一个球是红球的频率稳定在0.25， 故黄球的个数为：1÷0.25-1=3（个）， 答：口袋中黄球的个数为3个； （2）画树状图得： ∵共有16种等可能的结果，两次都摸到黄球的有9种情况， ∴两次都摸出黄球的概率为：. 【点睛】本题考查重复概率事件以及频率求法和树状图法与列表法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 21. 如图，小明同学看见斜坡上有一棵小树，他想测量小树的高度，站在坡底B处，目光从点A出发，以水平视线观察小树底端Q，即，在阳光照射下，小树的影子顶端与小明的影子顶端在地面的点G处重合（可视为P，A，G三点在同一直线上）．小明通过测量估算斜坡的坡度，，，，，图中所有点均在同一平面内，请你根据题中数据计算小树的高度．（结果精确到0.1 m） 【答案】 【解析】 【分析】首先延长交于点，由可得四边形为矩形，进而得出，然后由斜坡的坡度可得出，再证明，根据相似三角形的性质可得出结论 【详解】如图，延长交于点， ， ∴四边形为矩形， ， ∵斜坡的坡度，即， ， 解得，， ， ， ， 即， ， 解得，， 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，相似三角形的判定与性质，关键是构造直角三角形根据相似三角形的判定与性质求解． 22. 沙漏又称“沙钟”，是我国古代一种计量时间的装置．它是根据均匀的沙粒从一玻璃球漏到另一个玻璃球的数量来计量时间．其中上面玻璃球中沙粒完全流入下面玻璃球后立即将沙漏倒置（倒置时间忽略不计），重新进行计时，周而复始．某课外数学小组观察发现：该沙漏上面玻璃球沙粒剩余量粒与流入时间秒成一次函数关系（不考虑其他因素），当流入时间在第秒时，上面玻璃球剩余沙粒粒，当流入时间在第秒时，上面玻璃球剩余沙粒粒． （1）求出上面玻璃球沙粒余量粒与流入时间（秒）之间的函数关系式； （2）求沙漏恰好完成第一次倒置所需时间． 【答案】（1） （2）秒 【解析】 【分析】（1）设一次函数的解析式，待定系数法求解析式即可求解； （2）根据题意，沙漏恰好完成第一次倒置，令，即可求解． 【小问1详解】 解：设一次函数的解析式． 将和分别代入．得 解得． ∴． 【小问2详解】 解：∵沙漏恰好完成第一次倒置， ∴． 即，解得． ∴沙漏恰好完成第一次倒置的时间是60秒． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据题意列出一次函数关系式是解题的关键． 23. 2023年春节假期，西安文旅全面复苏，接待人次、旅游收入双创新高：重点景区人气爆棚，持续高位运行．据统计，2023年1月21日到1月27日期间，西安共接待游客约881万人次．其中著名打卡景区有，A：大唐不夜城，B：秦始皇帝陵博物院，C：大唐芙蓉园，D：华清宫景区，E：华山景区，F：其他．小志为了解哪个景区最受欢迎，随机调查了自己学校的部分同学，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图． 请你根据统计图中的信息，解决下列问题： （1）这次调查一共抽取了___________名同学：扇形统计图中，旅游地点D所对应的扇形圆心角的度数___________． （2）请补全条形统计图． （3）若小志所在学校共有3000名学生，请你根据调查结果估计该校最喜爱“大唐不夜城”和“大唐芙蓉园”的学生人数． 【答案】（1）60， （2）见详解 （3）1350名 【解析】 【分析】（1）利用A景区的人数除以其所占百分比即可求出样本总人数；用D的人数除以样本总人数再乘以，即可作答； （2）根据总人数即可求出C景区的人数，据此补全图形即可； （3）利用总人数乘以样本中喜爱“大唐不夜城”和“大唐芙蓉园”人数和在样本中的占比，即可作答． 【小问1详解】 （人）， ， 故答案为：60，； 【小问2详解】 样本中喜欢C景点的人数为：（人）， 补全条形图如下： 【小问3详解】 （人）， 答：该校最喜爱“大唐不夜城”和“大唐芙蓉园”的学生人数为1350人． 【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图，补全条形统计图，利用样本估计总体的知识，将条形统计图和扇形统计图的数据加以联系，并注重数形结合是解答本题的关键． 24. 如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，． （1）求的度数； （2）过点作交的延长线于点，若，，求此圆半径的长． 【答案】（1） （2）圆的半径长是4． 【解析】 【分析】（1）证明，则，根据圆内接四边形的性质得到； （2）证明是等边三角形，则，得到，则，则，再利用直角三角形的性质即可到答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴，， ∵四边形是圆内接四边形． ∴． ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴是圆的直径， ∵， ∴ ， ∴是等边三角形， ∴， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴圆的半径是4． 【点睛】此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、等边三角形的判定和性质、含角直角三角形的性质等知识，得到是解题的关键． 25. 如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器．将发石车置于山坡底部处，以点为原点，水平方向为轴方向，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分，山坡上有一堵防御墙，其竖直截面为，墙宽米，与轴平行，点与点的水平距离为28米、垂直距离为6米．已知发射石块在空中飞行的最大高度为10米 （1）求抛物线的解析式； （2）试通过计算说明石块能否飞越防御墙； 【答案】（1） （2）石块能飞越防御墙 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用．熟练掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，根据函数值求函数值，是解题的关键． （1）根据石块在空中飞行的最大高度为10米，得到抛物线解析式为，将点代入，求得，即得抛物线解析式为，化为顶点式为； （2）根据墙宽米，与轴平行，点与点的水平距离为28米、垂直距离为6米，得到，当时，，得到石块能飞越防御墙． 【小问1详解】 ∵发射石块在空中飞行的最大高度为10米， ∴抛物线解析式为：， 将点代入， 得， 解得：， ∴抛物线解析式为，， 即； 【小问2详解】 ∵墙宽米，与轴平行，点与点的水平距离为28米、垂直距离为6米， ∴点C与点的水平距离为30米、垂直距离为6米， ∴， 当时， ， ∴石块能飞越防御墙． 26. “乐思”小组开展探究四点共圆的条件活动时，得到结论：对角互补的四边形的四个顶点共圆，该小组继续利用上述结论进行探究． （1）问题探究：如图，四边形为矩形，平分，交于点F，． ①判断A、B、C、E四点是否共圆？填（“是”或“不是”）__________ ②__________ （2）问题解决：如图，某公园内有一个五边形人工湖，已知，米，，点是上一点，且，点是直线上一点，夏季来临，为了增加游客的安全性，欲在其中央建造一个以为斜边的等腰直角型救助站，如图所示，已知湖岸米，点是上的中点，是湖岸通向救助站的唯一通道，若修筑通道的造价为每米300元，求当造价最低时，四边形的面积为多少？并求出通道的最低造价． 【答案】（1）①是；② （2），元 【解析】 【分析】（1）①由四边形为矩形，得，故，因此A、B、C、E四点共圆； ②由角平分线可求，而A、B、C、E四点共圆，则得到，故； （2）延长交于点H，连接，过点M作于点R，过点M作于点J，连接并延长交于点K，过点H作于点Q，可证，则，故平分，则，由点N为中点，，则，故点N在以点H为圆心，为半径的上运动，由，得当点M与点Q重合，点N与点T重合时，最小即为，可求，故，因此最低造价为：元，当点M与点Q重合时，可得到，而，因此． 【小问1详解】 解：①：∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴A、B、C、E四点共圆， 故答案为：是； ②∵，平分， ∴， ∵A、B、C、E四点共圆， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：延长交于点H，连接，过点M作于点R，过点M作于点J，连接并延长交于点K，过点H作于点Q， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∵点N为中点，， ∴， ∴点N在以点H为圆心，为半径的上运动， ∵， ∴当点M与点Q重合，点N与点T重合时，最小即为， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴最低造价为：元， 当点M与点Q重合时，如图： ∵，，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，解直角三角形，矩形的判定与性质，全等数学的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $