精品解析：湖南省湖湘教育三新探索协作体2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试题

2024年4月湖湘教育三新探索协作体高一期中联考 数学 班级：______姓名：______准考证号：______ （本试卷共4页，19题，考试用时120分钟，全卷满分150分） 注意事项： 1．答题前，先将自己的班级、姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，将答题卡上交． 一、选择题：共8个小题，每个小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 设命题p：，（其中m为常数），则“命题p为真命题”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，是不共线的单位向量，，若，则，的夹角为（ ） A. B. C. 60° D. 120° 4. 已知函数（e为自然对数的底数），且，则（ ） A. 2024 B. C. 2022 D. 5. 在正方形ABCD中，P是BC的中点，AP与BD交于点Q，则在上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 6. 的重心为O，过点O的直线与AB，BC所在直线交于点E，F，若，（），则xy的最小值为（ ） A. B. C. D. 4 7. 水是生命之源，我国是一个严重缺水的国家，保护水资源是每个公民的义务．在日常生活中淡水需过滤后才能作为饮用水供人们生活使用，假设某工厂在淡水的过滤过程中的各种有害物质的残留数量Y（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的关系满足，其中为正常数，为原有害物质数量．该工厂某次过滤淡水时，若前4个小时淡水中的有害物质恰好被过滤掉90%，那么再继续过滤4小时，淡水中有害物质的残留量约为原有害物质的（ ） A. 5% B. 3% C. 2% D. 1% 8. 若函数的图象关于点对称，在定义域上单调递增，则不等式的解是（ ） A. B. ， C. ， D. ， 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题为真命题有（ ） A. 若，则 B. 不等式对任意x，恒成立 C. 已知实数a，b满足，则 D. 若关于x的不等式的解集是，则 10. 已知非零向量，满足，则（ ） A. ，夹角为 B. C. 若，，则外接圆半径长为 D. 若，向量满足，则的最大值是 11. 定义在上的偶函数满足，时，则（ ） A. 是周期为4的函数 B. 相邻两条对称轴间的距离为4 C. 时，的解是 D. 若（）有2024个零点，则的最小值是4047 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则______． 13. 已知复数z满足，且，则复数z表示的轨迹长为______． 14. 已知中，点满足，且，点是的外心，则______． 四、解答题：本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在平面直角坐标系中，已知向量，，，且，为非零向量． （1）若B是AD的中点，求的坐标； （2）若，，求四边形ABCD的面积． 16. 已知函数． （1）求的最小正周期及单调递增区间； （2）若，求的值． 17. 已知函数． （1）是否存在，使得为定值，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由； （2）若，方程有两个根，，且，，求的取值范围． 18. 如图，一艘货轮从码头O出发沿北偏东30°的OD方向以20海里/小时的速度驶往目的地，出发后发现燃料不足，立即联系位于O正东方向120海里的A处的加油船在中途加油补充燃料，假设加油船与货轮同时出发，但加油船要先到小岛B处补给物资再赶往货轮处，已知小岛B在码头O北偏东60°方向，也在A北偏西30°方向上，加油船在B处补给物资需要1个小时，且加油船航行速度始终为60海里/小时． （1）求加油船到达小岛B所需的时间； （2）两艘船最少经过多少小时能相遇？ 19. 若函数在定义域区间上连续，对任意恒有，则称函数是区间上的上凸函数，若恒有，则称函数是区间上的下凸函数，当且仅当时等号成立，这个性质称为函数的凹凸性．上述不等式可以推广到取函数定义域中的任意n个点，即若是上凸函数，则对任意恒有，若是下凸函数，则对任意恒有，当且仅当时等号成立．应用以上知识解决下列问题： （1）判断函数（，），，在定义域上是上凸函数还是下凸函数；（只写出结论，不需证明） （2）利用（1）中的结论，在中，求的最大值； （3）证明函数是上凸函数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年4月湖湘教育三新探索协作体高一期中联考 数学 班级：______姓名：______准考证号：______ （本试卷共4页，19题，考试用时120分钟，全卷满分150分） 注意事项： 1．答题前，先将自己的班级、姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，将答题卡上交． 一、选择题：共8个小题，每个小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算即可得到答案. 【详解】， 故选：B. 2. 设命题p：，（其中m为常数），则“命题p为真命题”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由全称量词命题为真命题，求出的范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】由命题p为真命题，得，解得，显然， 所以“命题p为真命题”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3. 已知，是不共线的单位向量，，若，则，的夹角为（ ） A. B. C. 60° D. 120° 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量数量积的运算律和定义得到关于的方程，解出即可. 【详解】由已知得，设，的夹角为（）， 又，且|， 解得：，则． 故选：C． 4. 已知函数（e为自然对数的底数），且，则（ ） A. 2024 B. C. 2022 D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先证明，则得到，代入计算即可. 【详解】， 所以，又， 所以. 故选：D. 5. 在正方形ABCD中，P是BC的中点，AP与BD交于点Q，则在上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似三角形和投影向量的定义即可得到答案. 【详解】如图， ∵P是BC的中点，则，则， 则，过点作于点，则， 所以在上的投影向量是， 故选：. 6. 的重心为O，过点O的直线与AB，BC所在直线交于点E，F，若，（），则xy的最小值为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量线性运算，结合三角形重心的性质及共线向量定理的推论得，再利用基本不等式求解即得. 【详解】由O为的重心，得延长线必过的中点， 则，由，，得，， 即，又E，O，F三点共线，因此， 即，又，则， 即，当且仅当时取等号， 则xy的最小值是. 故选：C 7. 水是生命之源，我国是一个严重缺水的国家，保护水资源是每个公民的义务．在日常生活中淡水需过滤后才能作为饮用水供人们生活使用，假设某工厂在淡水的过滤过程中的各种有害物质的残留数量Y（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的关系满足，其中为正常数，为原有害物质数量．该工厂某次过滤淡水时，若前4个小时淡水中的有害物质恰好被过滤掉90%，那么再继续过滤4小时，淡水中有害物质的残留量约为原有害物质的（ ） A. 5% B. 3% C. 2% D. 1% 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定函数模型，由，，求出，再求出时的值即可. 【详解】依题意，当时，，则，解得，即， 因此，再过滤4小时有害物质的残留量， 即当时， 所以有害物质的残留量为原来的． 故选：D 8. 若函数的图象关于点对称，在定义域上单调递增，则不等式的解是（ ） A. B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的对称性可得，再变形不等式并借助单调性脱去法则，最后解三角不等式即得. 【详解】由函数的图象关于点对称，得，即， 则， 又在定义域上单调递增，因此，即， 则，解得，即， 所以不等式的解是，. 故选：C 【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，， ①存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称. ②存在常数a使得，则函数图象关于直线对称. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题为真命题的有（ ） A. 若，则 B. 不等式对任意的x，恒成立 C. 已知实数a，b满足，则 D. 若关于x的不等式的解集是，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对AB利用作差法即可判断；对C举反例即可；对D，利用一元二次方程的根与系数关系即可判断. 【详解】A选项中，，所以，即A选项正确； B选项中，由， 知对任意的恒成立，所以B选项正确； C选项中，若，代入，则结论不成立，所以C选项错误； D选项中，知方程有两个根1和， 所以，且，所以符合要求，故D选项正确. 故选：ABD. 10. 已知非零向量，满足，则（ ） A. ，的夹角为 B. C. 若，，则的外接圆半径长为 D. 若，向量满足，则的最大值是 【答案】BCD 【解析】 【分析】令，利用数量积的运算律及数量积的性质计算判断ABD；利用正弦定理求出外接圆半径判断C. 【详解】非零向量满足，设，则， 对于A，由，得，解得， ，而，则，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，由选项A知，，则的外接圆半径，C正确； 对于D，显然，由， 得，则，当且仅当时取等号， 于是，解得，因此的最大值是，D正确. 故选：BCD 11. 定义在上的偶函数满足，时，则（ ） A. 是周期为4的函数 B. 相邻两条对称轴间的距离为4 C. 时，的解是 D. 若（）有2024个零点，则的最小值是4047 【答案】AC 【解析】 【分析】对A，得到即可判断；对B，得到其对称轴即可判断；对C，时，，代入即可得到解析式，最后解方程即可判断；对D，利用其周期性和每个周期的零点即可得到最值. 【详解】对A，由知，，所以周期为4，即A选项正确； 对B，由是偶函数，所以有， 所以关于对称，结合其为偶函数则相邻两条对称轴间的距离为2，即B选项错误； 对C，当时，，所以， 则方程即为，解得，所以C选项正确； 对D，即方程在有2024个根， 易知在每个周期上有2个根，1011个周期有2022个根， 结合图象可知当均为的零点时，最小， 当时，令，解得（正舍）， 根据，则，则1为的一个根， 不妨设，根据任意两个相邻根差值为2知，则， 即此时取得最小值，最小值为，所以D选项错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理进行角换边，再利用余弦定理和同角三角函数关系即可得到答案. 【详解】由正弦定理知，所以， 则，又，所以. 故答案为：. 13. 已知复数z满足，且，则复数z表示轨迹长为______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复数的几何意义确定复数对应点的轨迹得解. 【详解】由，得在复平面内，复数对应点在以原点为圆心，2为半径的圆及内部， 由，得，则点到和对应的点的距离相等， 即点在以为端点的线段的中垂线上， 因此点的轨迹是直线在上述圆及内部，显然直线过圆心， 所以所求轨迹长度为4. 故答案为：4 14. 已知中，点满足，且，点是的外心，则______． 【答案】 【解析】 【分析】设角，，所对边分别为，，，根据平面向量线性运算得到，依题意可得，结合平面向量基本定理求出，再根据数量积的运算律及外心的性质计算可得. 【详解】设的角，，所对边分别为，，， ， ， 又， ， 又、不共线， ，， ，又是的外心， 设为的中点，为的中点，则，， 所以， 同理可得， ． 故答案为：． 四、解答题：本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在平面直角坐标系中，已知向量，，，且，为非零向量． （1）若B是AD的中点，求的坐标； （2）若，，求四边形ABCD的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量线性运算和向量相当得到方程组，解出即可； （1）根据向量的平行和垂直得到方程组，解出，最后根据面积公式计算即可. 【小问1详解】 由题意知，因为是的中点， 所以有，即， 即，解得，所以. 【小问2详解】 由得，即①， 由得，即有② 由①②解得，或（舍去）， 所以， 所以四边形的面积. 16. 已知函数． （1）求的最小正周期及单调递增区间； （2）若，求的值． 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】（1）化简函数，再根据最小正周期公式和余弦函数的增区间即可求解. （2）由求出即可求解. 【小问1详解】 由题 ， 所以的最小正周期为， 令，， 所以的单调递增区间为. 【小问2详解】 由（1）即， 故， 所以或， 又， 所以或. 17. 已知函数． （1）是否存在，使得为定值，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由； （2）若，方程有两个根，，且，，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接计算，则得到关于的方程，解出即可； （2）首先整理得，数形结合得，再表示出，计算之和即可. 【小问1详解】 ， 若为定值则应，解得，即. 当时，，当时，. 所以存在符合要求. 【小问2详解】 时，方程即为，整理得，即， 因为方程有两个根，由图象可知，，即， 且，得，同理有，得， 所以， 由，得，所以的取值范围是. 18. 如图，一艘货轮从码头O出发沿北偏东30°的OD方向以20海里/小时的速度驶往目的地，出发后发现燃料不足，立即联系位于O正东方向120海里的A处的加油船在中途加油补充燃料，假设加油船与货轮同时出发，但加油船要先到小岛B处补给物资再赶往货轮处，已知小岛B在码头O北偏东60°方向，也在A北偏西30°方向上，加油船在B处补给物资需要1个小时，且加油船航行速度始终为60海里/小时． （1）求加油船到达小岛B所需的时间； （2）两艘船最少经过多少小时能相遇？ 【答案】（1）1小时 （2）3小时 【解析】 【分析】（1）根据含直角三角形的性质即可得到路程，再除以速度即可； （2）设t小时后恰与货船在C处相遇，在中利用余弦定理即可得到方程，解出即可. 【小问1详解】 由题意知，在中，，，，则 于是，而加油船的速度为60海里/小时， 所以加油船从港口A到小岛B的航行时间为1小时； 【小问2详解】 由（1）知，加油船从港口A驶离2小时后，从小岛B出发与科考船汇合， 为使航行的时间最少，加油船从小岛B驶离后必须按直线方向航行，设t小时后恰与货船在C处相遇， 在中，，，， 所以，而在中，，，， 由余弦定理可得， 即， 即，解得或，故． 即加油船驶离港口A后，最少经过3小时能和货船相遇． 19. 若函数在定义域区间上连续，对任意恒有，则称函数是区间上的上凸函数，若恒有，则称函数是区间上的下凸函数，当且仅当时等号成立，这个性质称为函数的凹凸性．上述不等式可以推广到取函数定义域中的任意n个点，即若是上凸函数，则对任意恒有，若是下凸函数，则对任意恒有，当且仅当时等号成立．应用以上知识解决下列问题： （1）判断函数（，），，在定义域上是上凸函数还是下凸函数；（只写出结论，不需证明） （2）利用（1）中的结论，在中，求的最大值； （3）证明函数是上凸函数． 【答案】（1）答案见解析； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用上凸函数、下凸函数的定义，作差，结合和角及二倍角的正弦推理判断即可. （2）利用（1）的结论，结合三角形三内角和定理求出最大值. （3）作差，结合对数运算、对数函数性质，基本不等式及不等式性质推理判断即得. 【小问1详解】 函数，，， ， 当时，，是下凸函数； 当时，，是上凸函数， ， ，显然，则， 因此，函数是上凸函数. 【小问2详解】 由（1）知函数，是上凸函数， 在中，， 即，当且仅当取等号， 所以的最大值是. 【小问3详解】 函数定义域是， 要证函数是上凸函数，即证，， 因为 ＝， 显然，则， 而，即，则， 又，有，则，， 所以函数是上凸函数． 【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$