湖南省湖湘教育三新探索协作体2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试题

湖南省湖湘教育三新探索协作体2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试题 一、选择题：共8个小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 1．（5分）设复数z满足（1﹣i）z＝3+i，则z＝（　　） A．1+2i B．2+2i C．2﹣i D．1+i 2．（5分）设命题p：∀x∈R，x2+4x+2m≥0（其中m为常数），则“命题p为真命题”是“m＞”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（5分）已知，是不共线的单位向量，＝+2，若||＝，则，的夹角为（　　） A．30° B．45° C．60° D．120° 4．（5分）已知函数（e为自然对数的底数），且f（2）＝2024，则f（﹣2）＝（　　） A．2024 B．﹣2024 C．2022 D．﹣2022 5．（5分）在正方形ABCD中，P是BC的中点，AP与BD交于点Q，则在上的投影向量是（　　） A． B． C． D． 6．（5分）△ABC的重心为O，过点O的直线与AB，BC所在直线交于点E，F，若，（x，y＞0），则xy的最小值为（　　） A． B． C． D．4 7．（5分）水是生命之源，我国是一个严重缺水的国家，保护水资源是每个公民的义务．在日常生活中淡水需过滤后才能作为饮用水供人们生活使用．假设某工厂在淡水的过滤过程中的各种有害物质的残留数量Y（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的关系满足，其中λ为正常数，Y0为原有害物质数量．该工厂某次过滤淡水时，若前4个小时淡水中的有害物质恰好被过滤掉90%，那么再继续过滤4小时，淡水中有害物质的残留量约为原有害物质的（　　） A．5% B．3% C．2% D．1% 8．（5分）若函数f（x）的图象关于点（1，0）对称，f（x）在定义域R上单调递增，则不等式f的解是（　　） A． B．，k∈Z C．，k＝Z D．，k＝Z． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． （多选）9．（6分）下列命题为真命题的有（　　） A．若a＞b＞c＞0，则 B．不等式x2+y2+1＞2（x+y﹣2）对任意的x，y∈R恒成立 C．已知实数a，b满足a+b＝1，则 D．若关于x的不等式x2+mx+2＞0的解集是（﹣∞，1）∪（n，+∞），则m+n＝﹣1 （多选）10．（6分）已知非零向量，满足||＝||＝|﹣|，则（　　） A．，的夹角为 B．|+|＝|| C．若，，则△OAB的外接圆半径长为|| D．若||＝1，向量满足（﹣）•（﹣）＝0，则||的最大值是 （多选）11．（6分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）＝f（x﹣3），x∈[﹣2，0]时f（x）＝x2，则（　　） A．f（x）是周期为4的函数 B．f（x）相邻两条对称轴间的距离为4 C．x∈[4，6]时，f（x）＝3的解是 D．若y＝f（x）﹣1[m，n]（n＞m）有2024个零点，则n﹣m的最小值是4047 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin2B+sin2A＝sin2C+，则sinC＝　 　． 13．（5分）已知复数z满足|z|≤2，且，则复数z表示的轨迹长为 　 　． 14．（5分）已知△ABC中AB＝2，点D满足，且，点O是△ABC的外心，则＝　 　． 四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分）在平面直角坐标系中，已知向量，，，且，为非零向量． （1）若B是AD的中点，求的坐标； （2）若，，求四边形ABCD的面积． 16．（15分）已知函数． （1）求f（x）的最小正周期及单调递增区间； （2）若，求tanx的值． 17．（15分）已知函数． （1）是否存在m∈R，使得f（x）+f（2﹣x）为定值，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由； （2）若m＝1，方程|有两个根x1，x2，且x1＜0，x2＞0，求x1+x2的取值范围． 18．（17分）如图，一艘货轮从码头O出发沿北偏东30°的OD方向以20海里/小时的速度驶往目的地，出发后发现燃料不足，立即联系位于O正东方向120海里的A处的加油船在中途加油补充燃料，假设加油船与货轮同时出发，但加油船要先到小岛B处补给物资再赶往货轮处，已知小岛B在码头O北偏东60°方向，也在A北偏西30°方向上，加油船在B处补给物资需要1个小时，且加油船航行速度始终为60海里/小时． （1）求加油船到达小岛B所需的时间； （2）两艘船最