精品解析：湖北省仙桃市田家炳实验高级中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题

仙桃市田家炳实验高中2024年春季学期期中考试 高一数学试卷 命题人：马俏 审核人：闵娟 李厚祥 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，，则的实部与虚部分别为（ ） A ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知向量，且与共线，则（ ） A. B. C. D. 3. （ ） A. B. C. D. 4 若，，则（ ） A. B. C. 3 D. 5 5. 已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（ ） A. 、、三点共线 B. 、、三点共线 C. 、、三点共线 D. 、、三点共线 6. △ABC中，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 在中，是线段上一点，满足是线段的中点，设，则（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，且函数在恰好有5个零点，则正实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知平面向量，，下列叙述正确的是（ ） A. 与的夹角为 B. 与的夹角为 C. D. 在上的投影向量为 10. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 函数的周期为 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在单调递减 D. 该图象先向右平移个单位，再把图象上所有的点横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），可得的图象 11. 已知在中，角的对边分别为，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则必是等边三角形 B. ，，则外接圆半径是2 C. 若，则 D. 若，则一定是锐角三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若复数，则_________. 13. 已知向量，且，则_________． 14. 若，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，， （1）求向量的坐标； （2）若向量与互相垂直，求实数的值． 16. （1）已知，是第四象限角，，是第二象限角，求的值. （2）已知，且，求的值. 17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求B； （2）若△ABC的周长为，且，求的面积． 18. 在△ABC中，已知，，，，点N是AC中点，AM，BN相交于点P. （1）求线段BN的长； （2）求； （3）求的余弦值． 19. 设函数，且函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为. （1）若，求的取值范围； （2）把函数图像上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将所得图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，讨论函数的单调性； （3）如图，在△ABC中，记，已知，△ABC外接圆面积为，，的内角平分线与外角平分线分别交直线BC于D，E两点，求DE的长度. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 仙桃市田家炳实验高中2024年春季学期期中考试 高一数学试卷 命题人：马俏 审核人：闵娟 李厚祥 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，，则的实部与虚部分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】应用复数加法求，根据实部、虚部定义得答案. 【详解】因，，所以，其实部与虚部分别为，. 故选：A 2. 已知向量，且与共线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量共线的坐标运算可得解. 【详解】，，又与共线， ，化简得. 故选：C. 3. （ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由余弦的差角公式代入计算，即可得到结果. 【详解】. 故选：B 4. 若，，则（ ） A. B. C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量加法和数量积的坐标表示直接计算求解即可. 【详解】由题意可知， 所以， 故选：B 5. 已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（ ） A. 、、三点共线 B. 、、三点共线 C. 、、三点共线 D. 、、三点共线 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量共线则判断即可. 【详解】对A，因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故A错误； 对B，因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故B错误； 对C，因为，，则，故、、三点共线，故C正确； 对D，因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故D错误. 故选：C 6. 在△ABC中，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理计算即可. 【详解】由正弦定理得，即，解得. 故选：A. 7. 在中，是线段上一点，满足是线段的中点，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的线性运算，求出，得到的值，再对各选项分析判断即可求出结果. 【详解】因为是线段上一点，满足，所以， 又是线段的中点，所以， 所以， 所以，故， 故选：B. 8. 设函数，且函数在恰好有5个零点，则正实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简为，当时，得到.若函数在恰好有5个零点，只需函数在区间上恰有5条对称轴．结合正弦函数的图象可建立，求解即可. 【详解】， 令，得， 因为函数在恰好有5个零点， 所以函数在上恰有5条对称轴． 当时，， 令， 则在上恰有5条对称轴，如图： 所以，解得． 故选：B． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知平面向量，，下列叙述正确的是（ ） A. 与的夹角为 B. 与的夹角为 C. D. 在上的投影向量为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，由平面向量的坐标运算，代入计算，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】因为，，则， 且，所以，故A正确，B错误； ，则，故C正确； 在上投影向量为，故D正确； 故选：ACD 10. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 函数的周期为 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在单调递减 D. 该图象先向右平移个单位，再把图象上所有的点横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），可得的图象 【答案】ABD 【解析】 【分析】由图像可知：，周期，从而利用周期公式可求出的值，再将点坐标代入解析式可求出的值，从而可得函数解析式，然后利用三角函数的图像和性质逐个分析判断即可 【详解】由图像可知：，周期，∴； 由解得： 故函数 对于A：，故A正确； 对于B：故B正确； 对于C：当时，所以在上不单调．故C错误； 对于D：向右平移个单位得到，再把横坐标伸长为原来的2倍，可得的图象，故D正确． 故选：ABD 11. 已知在中，角的对边分别为，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则必是等边三角形 B. ，，则的外接圆半径是2 C. 若，则 D. 若，则一定是锐角三角形 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，由余弦定理得，即为等腰三角形；对于B，根据正余弦定理得即可；对于C，由正弦定理及可得，根据的取值范围即可判断；对于D，余弦定理得，即角为锐角，不能判断角也为锐角. 【详解】对于A，由余弦定理， 化简得，故为等腰三角形，故A错误； 对于B，由正弦定理得，所以外接圆半径为，故B正确； 对于C，由正弦定理及可得，即，所以，故C正确； 对于D，由余弦定理得，所以角为锐角，不能判断角也为锐角，所以D错误. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若复数，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算计算即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 13. 已知向量，且，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由向量数量积的运算律以及模长公式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，则，且，， 则，则. 故答案为： 14. 若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式和余弦的二倍角公式求解即可. 【详解】因为， 所以 . 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，， （1）求向量的坐标； （2）若向量与互相垂直，求实数的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量垂直和平行的坐标表示，即可求解； （2）根据向量垂直的坐标表示，即可求解. 【小问1详解】 由，则，得， 则，，所以，得， 所以，； 【小问2详解】 ，， 若向量与互相垂直， 则，解得： 16. （1）已知，是第四象限角，，是第二象限角，求的值. （2）已知，且，求的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】利用同角三角函数基本关系和余弦的和差公式计算即可. 【详解】（1），是第三象限角，，是第二象限角， ，， . （2）已知，且， ，， . 17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求B； （2）若△ABC的周长为，且，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角互化进行化简，结合正弦的和差角公式代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由余弦定理可得，再由三角形的面积公式代入计算，即可求解. 【小问1详解】 ， 由正弦定理得：， 又， ， 化简得：， 由得，又，故. 【小问2详解】 由题可知：，且，故， 由余弦定理得：， 即，解得：， . 18. 在△ABC中，已知，，，，点N是AC的中点，AM，BN相交于点P. （1）求线段BN的长； （2）求； （3）求的余弦值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）解法一：根据线性运算得到，然后利用数量积的运算律求模长； 解法二：建系，利用坐标求模长； （2）解法一：利用线性运算进行转化得到，，然后利用数量积的运算律计算； 解法二：利用坐标求数量积； （3）解法一：利用线性运算和数量积的运算律得到，然后利用数量积的公式计算夹角； 解法二：利用坐标求夹角. 【小问1详解】 解法一：由N为的中点得：． ，且， ； 解法二：（坐标法）：以A为原点建如图所示直角坐标系， 则，，,，， 故，， . 【小问2详解】 解法一：由知：， ， ； 解法二：. 【小问3详解】 解法一：由（2）知： ， 又，， ， 即； 解法二：， . 19. 设函数，且函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为. （1）若，求的取值范围； （2）把函数图像上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将所得图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，讨论函数的单调性； （3）如图，在△ABC中，记，已知，△ABC外接圆面积为，，的内角平分线与外角平分线分别交直线BC于D，E两点，求DE的长度. 【答案】（1） （2）递增区间为，递减区间为 （3） 【解析】 【分析】（1）化简得到，根据题意求得，结合正弦函数的性质，即可求解； （2）根据三角函数的图象变换，求得，结合正弦型函数的性质，即可求解； （3）由，求得，得到，得到，结合的外接圆半径，以及，即可求解. 【小问1详解】 解：由 ， 设函数的最小正周期为，故，解得， 因为，所以，解得，则， 若，则，所以. 【小问2详解】 解：因为，所以， 令，解得， 再令 ，解得 ， 所以的递增区间为， 递减区间为. 【小问3详解】 解：， 因为，可得，即， 又因为，故， 因为为的外角平分线，所以，， 又因为为的平分线，所以，， 由于，因此， 又的外接圆半径，所以， 因为， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$