精品解析：山东省淄博市张店区淄博实验中学2023-2024学年高二下学期6月月考数学试题

2024年 淄博实验中学 高二年级第二学期 第三次月考 2024.06 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设等比数列的前项和为，若，则公比为（ ） A. 1或5 B. 5 C. 1或 D. 5或 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式及前n项和公式，采用基本量思想进行计算即可. 【详解】由得，， 所以，即， 所以，所以或 . 故选：D. 2. 已知随机变量，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正态分布曲线的性质即可得解. 【详解】随机变量，且， . 故选：A 3. 设等差数列的前项和为，已知，则（ ） A. 272 B. 270 C. 157 D. 153 【答案】D 【解析】 【分析】根据下标和性质及等差数列求和公式计算可得. 【详解】因为，所以， 故． 故选：D 4. 展开式中的系数为（ ） A. B. 5 C. 15 D. 35 【答案】A 【解析】 【分析】由分类、分步计数原理结合组合数即可运算求解. 【详解】若要产生这一项，则 当在中取1时，再在中取2个、取4个1， 当在中取时，再在中取3个、取3个1， 所以展开式中的系数为. 故选：A. 5. 若函数在上不单调，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导，分析可知在内有根，在内有根，结合零点存在性定理分析求解. 【详解】由题意可知：的定义域为，且， 因为在上不单调，等价于在上有极值点， 等价于在内有根，即在内有根， 结合的形式特征可得：原题意等价于，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 6. 小明在某不透明的盒子中放入4红4黑八个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）.现从剩下7个小球中取出两个小球，结果都是红球，则丢掉的小球也是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由古典概率公式求出，再由全概率公式求出，最后由条件概率求出即可. 【详解】用表示丢掉一个小球后任取两个小球均为红球，用表示丢掉的小球为红球，表示丢掉的小球为黑球， 则，， 由全概率公式可得 ， 所以， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：条件概率公式为，全概率公式为. 7. 曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出两曲线的切线方程，再构造函数，利用导数求得单调性和最值，即可求得的取值范围. 【详解】两个函数求导分别为， 设，图象上的切点分别为，， 则过这两点处的切线方程分别为，， 则，，所以， 设，，， 令，所以， 所以在上单调递增，且， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以，. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用公切线的定义得到，从而构造函数即可得解. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】与运用作差法比大小，再把看作，可构造函数，求导并借助函数的单调性，可得到；与运用作差法比大小，再把看作，可构造函数，求导并借助函数的单调性，可得到.从而得到. 【详解】令，则， 令，则， 当时，，所以在上单调递减， 所以，即，所以在上单调递减， 所以，即，所以，即； 令，则， 令，则，所以在上单调递增， 所以，即，所以在上单调递增， 所以，即，所以，即. 所以. 故选:. 【点睛】方法点睛：比较代数式大小的常见方法有： （1）利用函数单调性； （2）利用中间量； （3）构造函数. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 线性回归分析中可以用决定系数来刻画回归的效果，若的值越大，则模型的拟合效果越好 B. 已知随机变量服从二项分布，若，，则 C. 已知关于的回归直线方程为，则样本点的残差为 D. 已知随机事件，满足，，则 【答案】ABCD 【解析】 【分析】根据决定系数的性质、二项分布的期望和方差的计算公式、线性回归方程的残差以及条件概率的计算公式，对每个选项进行逐一分析，即可判断. 【详解】对于A，线性回归分析中可以用决定系数用来刻画回归的效果，若的值越大，则模型的拟合效果越好，故A正确； 对于B，随机变量服从二项分布，若， 则，解得，故B正确； 对于C，关于的线性回归方程为，将代入回归方程中得，即残差为，故C正确； 对于D，因为, 所以，故D正确； 故选：ABCD 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）． A. 若在R上单调递增，则 B. 若，则过点能作两条直线与曲线相切 C. 若有两个极值点，，且，则a的取值范围为 D. 若，且的解集为，则 【答案】AC 【解析】 【分析】A.由导数和单调性的关系，转化为恒成立，再利用参变分离，转化为最值问题，即可求解；B.首先设切点，利用导数的几何意义求切线方程，转化为关于切点的方程有2个实数根，利用导数以及零点存在性定理，即可判断；C.转化为导函数有2个零点，利用数形结合，即可求解；D.首先求解不等式，再将转化为关于的式子，即可求解. 【详解】对于A，对求导得：， 因为函数在R上单调递增，所以恒成立， 即恒成立，记，则， 因为，当时，，即函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 因此，函数在处取得最大值，所以，即，故选项A正确； 对于B，时，，， 设图象上一点，则， 故过点的切线方程为， 将代入上式得，整理得， 构造函数，则， 构造函数，则， 令得，令得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以， 所以函数单调递增， 又，， 即方程在区间仅有一解，从而在R上也仅有一解， 所以过点只能作一条直线与曲线相切，B选项错误； 对于C，因为函数有两个极值点，， 所以有两个零点，，即方程有两个解为，， 记，因为， 当时，，即函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 因此，函数在处取得最大值， 方程有两个解为，等价于与图像有两个不同公共点， 所以，所以，C选项正确； 对于D，由，得，等价于，即， 当时，，，又，故，所以， 当时，，无解， 故的解集为， 此时， 当时，，，从而D错误． 故选：AC． 【点睛】关键点点睛：本题前3个选项都是利用导数解决函数问题，尤其是BC选项，属于函数零点问题，B选项转化为判断零点各数，C选项是已知零点个数，求参数的取值范围. 11. 已知是正项数列的前项积，且，将数列的第1项，第3项，第7项，…，第项抽出来，按原顺序组成一个新数列，令，数列的前项和为，且不等式对恒成立，则（ ） A. 数列是等比数列 B. C. D. 实数的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用数列前项积和通项公式的关系判断A，B，利用错位相减法判断C，分类讨论结合数列的性质判断D即可. 【详解】因为，所以，当时，由是正项数列的前项积， 得，即，所以，所以， 所以数列是公差为1的等差数列，不是等比数列，故A错误; 当时，，即，又，解得(其它根舍去)， 所以，当时，， 又，满足上式，所以，故B正确， 由题意知，所以， 则，， 两式相减得， ，所以，故C正确; 由，易知单调递增，故，当为奇数时，由， 对恒成立，得恒成立，即，而，故， 当为偶数时，由恒成立，得，此时， 故，所以实数的取值范围是，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题考查数列，解题关键是合理分类讨论，然后进行分离参数，得到所要求的取值范围即可． 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 从5名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛，如果4人中必须既有男生又有女生，有种__________选法. 【答案】120 【解析】 【分析】从反面考虑，考虑4人中全是男生和全是女生的情况，从而得到答案. 【详解】从5名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛，共有种情况， 其中4人中全是男生的情况有种，全是女生的情况有种， 故如果4人中必须既有男生又有女生，有种情况. 故答案为：120 13. 已知数列的首项，且满足，则____. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，即是首项为，公比为的等比数列，即可求出，进而求出. 【详解】因为，所以， 则，所以是首项为，公比为的等比数列， ，所以， 所以. 故答案为：. 14. 对任意，函数恒成立，则a的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】变形为，构造，求导得到单调性进而恒成立，故，分当和两种情况，结合单调性和最值，得到，得到答案. 【详解】由题意得， 因为，所以， 即， 令，则恒成立， 因为， 令得，，单调递增， 令得，，单调递减， 且当时，恒成立，当时，恒成立， 因为，所以恒成立，故， 当时，，此时满足恒成立， 当，即时，由于在上单调递增， 由得， 令，， 则，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故在处取得极大值，也是最大值，， 故，即，所以，a的取值范围是. 故答案为： 【点睛】导函数求解参数取值范围，当函数中同时出现指数函数与对数函数，通常使用同构来进行求解，本题难点是两边同时乘以，变形得到，从而构造进行求解. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列是等差数列，其前和为，，，数列满足 （1）求数列，的通项公式； （2）若对数列，，在与之间插入个2（），组成一个新数列，求数列的前83项的和. 【答案】（1）， （2）180 【解析】 【分析】（1）设出公差，得到方程组，求出首项和公差，得到的通项公式，并利用求出的通项公式； （2）分析出数列前项是项之后还有项为2，从而分组求和，得到答案. 【小问1详解】 设公差为， 故，解得， 故， 故，① 当时，， 当时，，② 式子①-②得，， 即， 当时，也满足上式，故； 【小问2详解】 因为，所以在中，从项开始，到项为止， 共有项数为， 当时，，当时，， 故数列前项是项之后还有项为2， . 16. 为了了解高中学生课后自主学习数学时间（x分钟/每天）和他们的数学成绩（y分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）. 编号 1 2 3 4 5 学习时间x 30 40 50 60 70 数学成绩y 65 78 85 99 108 （1）求数学成绩y与学习时间x的相关系数（精确到0.001）; （2）请用相关系数说明该组数据中y与x之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求出y关于x的回归直线方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩（参考数据:，） （3）基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学习.经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生.按照是否参与周末在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到2×2列联表（表二）.依据表中数据及小概率值α＝0.001的独立性检验，分析“周末在校自主学习与成绩进步”是否有关. 没有进步 有进步 合计 参与周末在校自主学习 35 130 165 未参与周末不在校自主学习 25 30 55 合计 60 160 220 附： 随机变量 0.010 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）0.996 （2），140.5分 （3）认为“周末自主学习与成绩进步”有关. 【解析】 【分析】（1）先算出，再代入相关系数公式，计算即得； （2）因r＝0.996接近1，故y与x之间具有极强的线性相关关系；依次运用公式计算和，即得线性回归方程，代入x＝100即得数学预测成绩； （3）设出零假设，利用卡方公式计算卡方值，判断与小概率值的大小即得结论. 【小问1详解】 因，，， . 【小问2详解】 由（1）知r＝0.996接近1，故y与x之间具有极强的线性相关关系，可用线性回归直线方程模型进行拟合； 由， 故得，当x＝100时，y＝140.5， 故预测每天课后自主学习数学时间达到100分钟时的数学成绩为140.5分. 【小问3详解】 零假设为H0:学生周末在校自主学习与成绩进步无关. 根据数据，计算得到: ≈12.22,因为12.22＞10.828， 所以依据α＝0.001的独立性检验，可以认为“周末自主学习与成绩进步”有关. 17. 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求实数的取值范围； （3）若对任意的恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导，分和讨论判断正负，得解； （2）根据题意，问题转化为有两解，令，利用导数判断函数的单调性极值情况得解； （3）根据题意，问题转化为，对恒成立．当时，上式显然成立；当时，上式转化为，令利用导数求出最值得解. 【小问1详解】 ， ， 当时，，所以在上单调递增． 当时，令，则． 若，即时，恒成立，所以在上单调递增． 若，即时，方程的根为， 当时，或，在和上单调递增； 当时，，在上单调递减． 综上所述，当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增， 在上单调递减． 【小问2详解】 令，则． 令，则． 所以当时，，在上单调递减． 当时，，在上单调递增． 又当时，，且；当时，， 所以当时，先减后增，且在处有最小值， 此时直线与有两个交点， 所以实数的取值范围为． 【小问3详解】 因为，即， 即，对恒成立． 当时，上式显然成立； 当时，上式转化为， 令，， ，所以函数在上单调递增， ，， 综上所述，实数的取值范围为. 【点睛】关键点睛：第三问解题的关键是转化为在上恒成立，构造函数并利用导数研究单调性求最值，进而确定参数范围. 18. 年九省联考后很多省份宣布高考数学采用新的结构，多选题由道减少到道，分值变为一题分，多选题每个小题给出的四个选项中有两项或三项是正确的，全部选对得分，有错选或全不选的得分若正确答案是“两项”的，则选对个得分若正确答案是“三项”的，则选对个得分，选对个得分某数学兴趣小组研究答案规律发现，多选题正确答案是两个选项的概率为，正确答案是三个选项的概率为其中． （1）在一次模拟考试中，学生甲对某个多选题完全不会，决定随机选择一个选项，若，求学生甲该题得分的概率 （2）针对某道多选题，学生甲完全不会，此时他有三种答题方案： Ⅰ 随机选一个选项 Ⅱ 随机选两个选项 Ⅲ 随机选三个选项． 若，且学生甲选择方案Ⅰ，求本题得分的数学期望 以本题得分的数学期望为决策依据，的取值在什么范围内唯独选择方案Ⅰ最好 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由全概率公式求解即可； （2）记为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，求出的可能取值及其概率，即可求出的分布列，再由期望公式求出； 记分别为“从四个选项中随机选择一个选项、两个选项和三个选项的得分”，求出的数学威望，由题意可得，解不等式即可得出答案. 【小问1详解】 记事件为“正确答案选两个选项”，事件为“学生甲得分”． ， 即学生甲该题得分的概率为． 【小问2详解】 记为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，则可以取，，， ， ， ， 所以的分布列为 则数学期望． 记为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”， 则， ， ， 所以 记为“从四个选项中随机选择两个选项的得分”， 则， ， ， 所以 记为“从四个选项中随机选择三个选项的得分”， 则， ， 所以． 要使唯独选择方案Ⅰ最好，则， 解得：，故的取值范围为． 19. 如图所示数阵，第行共有个数，第m行的第1个数为，第2个数为，第个数为，规定：. （1）计算前4行的最后两个数，试判断每一行的最后两个数的大小关系，并证明你的结论； （2）从第1行起，每一行最后一个数依次构成数列，设数列的前项和为，是否存在正整数，使得对任意正整数，恒成立？如存在，请求出的最大值；如不存在，请说明理由. 【答案】（1）(1)第1行最后两数是，第2行的最后两数是.第3行的最后两数为.第4行的最后两数为.每一行的最后两个数相等，证明见解析； （2）存在，最大值为3 【解析】 【分析】(1)利用组合数计算公式计算出前4行的最后两个数，在根据计算结果预测每一行最后2个数的大小关系，再利用组合数的性质和组合数的阶乘公式，即可证明. （2）首先根据特殊值判断的最大值，再利用放缩法求数列的前n项和的不等式，即可证明不等式. 【小问1详解】 第1行最后两数为， 第2行的最后两数为. 第3行的最后两数为. 第4行的最后两数为. 根据前4行最后两数的计算结果推测： 第行的第个数为，第个数为， 猜测：每一行的最后两个数相等. 即证：， 证明：因为. 又因为， 即，所以每一行的最后两个数相等. 【小问2详解】 根据题意， 当时，，， 当时，此时显然不成立. 猜测：存在正整数，使得对任意正整数，恒成立，的最大值为3. 下证：当时，恒成立. 由（1）知，，则， 因为. 又，当时，. 当时，， 所以. 综上：存在正整数，使得对任意正整数，恒成立，的最大值为3. 【点睛】思路点睛：抽象出每行的组合数以及最后两个数的组合数，再利用组合数的性质和公式，即可证明，利用迭代的方法证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年 淄博实验中学 高二年级第二学期 第三次月考 2024.06 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设等比数列的前项和为，若，则公比为（ ） A. 1或5 B. 5 C. 1或 D. 5或 2. 已知随机变量，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 设等差数列的前项和为，已知，则（ ） A. 272 B. 270 C. 157 D. 153 4. 展开式中的系数为（ ） A. B. 5 C. 15 D. 35 5. 若函数在上不单调，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 小明在某不透明的盒子中放入4红4黑八个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）.现从剩下7个小球中取出两个小球，结果都是红球，则丢掉的小球也是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 线性回归分析中可以用决定系数来刻画回归的效果，若的值越大，则模型的拟合效果越好 B. 已知随机变量服从二项分布，若，，则 C. 已知关于的回归直线方程为，则样本点的残差为 D. 已知随机事件，满足，，则 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）． A. 若在R上单调递增，则 B. 若，则过点能作两条直线与曲线相切 C. 若有两个极值点，，且，则a的取值范围为 D. 若，且的解集为，则 11. 已知是正项数列的前项积，且，将数列的第1项，第3项，第7项，…，第项抽出来，按原顺序组成一个新数列，令，数列的前项和为，且不等式对恒成立，则（ ） A. 数列是等比数列 B. C. D. 实数的取值范围是 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 从5名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛，如果4人中必须既有男生又有女生，有种__________选法. 13. 已知数列的首项，且满足，则____. 14. 对任意，函数恒成立，则a的取值范围为___________． 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列是等差数列，其前和为，，，数列满足 （1）求数列，的通项公式； （2）若对数列，，在与之间插入个2（），组成一个新数列，求数列的前83项的和. 16. 为了了解高中学生课后自主学习数学时间（x分钟/每天）和他们的数学成绩（y分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）. 编号 1 2 3 4 5 学习时间x 30 40 50 60 70 数学成绩y 65 78 85 99 108 （1）求数学成绩y与学习时间x的相关系数（精确到0.001）; （2）请用相关系数说明该组数据中y与x之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求出y关于x的回归直线方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩（参考数据:，） （3）基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学习.经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生.按照是否参与周末在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到2×2列联表（表二）.依据表中数据及小概率值α＝0.001的独立性检验，分析“周末在校自主学习与成绩进步”是否有关. 没有进步 有进步 合计 参与周末在校自主学习 35 130 165 未参与周末不在校自主学习 25 30 55 合计 60 160 220 附： 随机变量 0.010 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求实数的取值范围； （3）若对任意的恒成立，求实数的取值范围． 18. 年九省联考后很多省份宣布高考数学采用新的结构，多选题由道减少到道，分值变为一题分，多选题每个小题给出的四个选项中有两项或三项是正确的，全部选对得分，有错选或全不选的得分若正确答案是“两项”的，则选对个得分若正确答案是“三项”的，则选对个得分，选对个得分某数学兴趣小组研究答案规律发现，多选题正确答案是两个选项的概率为，正确答案是三个选项的概率为其中． （1）在一次模拟考试中，学生甲对某个多选题完全不会，决定随机选择一个选项，若，求学生甲该题得分的概率 （2）针对某道多选题，学生甲完全不会，此时他有三种答题方案： Ⅰ 随机选一个选项 Ⅱ 随机选两个选项 Ⅲ 随机选三个选项． 若，且学生甲选择方案Ⅰ，求本题得分的数学期望 以本题得分的数学期望为决策依据，的取值在什么范围内唯独选择方案Ⅰ最好 19. 如图所示数阵，第行共有个数，第m行的第1个数为，第2个数为，第个数为，规定：. （1）计算前4行的最后两个数，试判断每一行的最后两个数的大小关系，并证明你的结论； （2）从第1行起，每一行最后一个数依次构成数列，设数列的前项和为，是否存在正整数，使得对任意正整数，恒成立？如存在，请求出的最大值；如不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $