精品解析：福建省漳州市实验高级中学2023-2024学年高一下学期3月质量检测数学试题

漳州实验高级中学2023—2024学年第二学期高一年3月质量检测 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列说法中正确是（ ） A 单位向量都相等 B. 若满足且与同向，则 C. 对于任意向量，必有 D. 平行向量不一定共线向量 2. 已知复数，其中为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，，，则角B的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，若间的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 5. O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满足：，则直线AP一定通过的（    ） A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 6. 某中学校园内的红豆树已有百年历史，小明为了测量红豆树高度，他选取与红豆树根部在同一水平面的，两点，在点测得红豆树根部在北偏西的方向上，沿正西方向步行40米到处，测得树根部在北偏西的方向上，树梢的仰角为，则红豆树的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 如图，圆为的外接圆，，为边的中点，则（ ） A. 10 B. 13 C. 18 D. 26 8. 我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设的三个内角所对的边分别为，，，面积为S，则“三斜求积”公式为，若，，则用“三斜求积”公式求得的面积为（ ） A. B. C. D. 1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知i为虚数单位，则以下四个说法中正确的是（ ） A. B. 复数的虚部为 C. 若复数，则 D. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 在中，，则为锐角三角形 B. 已知为的内心，且，则 C. 已知非零向量满足：，则的最小值为 D. 已知，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围是 11. 对于，下列说法正确是（ ） A. 若，则只有一解 B. 若，则一定为等腰三角形 C. 若，则 D. 若，则一定为锐角三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数满足，则（为虚数单位）最大值为_________． 13. 已知向量夹角为，，对任意，有恒成立，若为实数，则的最小值是______． 14. 窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，正八边形内角和为，若，则的值为______；若正八边形的边长为2，P是正八边形八条边上的动点，则的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 16. 已知复数，，. （1）若复数在复平面内的对应点落在第二象限，求实数的取值范围； （2）若虚数是方程的一个根，求实数的值. 17. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． （1）求B； （2）若的中线长为，求面积的最大值． 18. 某海岸的A哨所在凌晨1点15分发现哨所北偏东方向20 n mile处的D点出现可疑船只，因天气恶劣能见度低，无法对船只进行识别，所以将该船雷达特征信号进行标记并上报周围哨所．早上5点15分位于A哨所正西方向20 n mile的B哨所发现了该可疑船只位于B哨所北偏西方向60 n mile处的E点，并识别出其为走私船，立刻命令位于B哨所正西方向30 n mile处C点的我方缉私船前往拦截，已知缉私船速度大小为30 n mile/h．（假设所有船只均保持匀速直线航行） （1）求走私船的速度大小； （2）缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船，并求出截获走私船的具体时间． 19. 如图，在凸四边形中，．设． （1）若，求的长． （2）当多大时，的长度最大，并求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 漳州实验高级中学2023—2024学年第二学期高一年3月质量检测 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列说法中正确的是（ ） A. 单位向量都相等 B. 若满足且与同向，则 C. 对于任意向量，必有 D. 平行向量不一定是共线向量 【答案】C 【解析】 【分析】根据相等向量的定义可判断A；由向量不能比较大小可判断B；由向量加法的几何意义可判断C；由共线向量的定义可判断D. 【详解】A，方向相同，模相等的向量为相等向量，单位向量的方向不一定相同，故A错误； B，向量模能比较大小，向量不能比较大小，故B错误； C，根据向量加法的几何意义可得，故C正确； D，平行向量也是共线向量，故D错误. 故选：C 2. 已知复数，其中为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题首先可根据复数的除法运算得出，然后通过共轭复数的性质得出，最后两者相加，即可得出结果. 【详解】因为， 所以，，， 故选：D. 3. 在中，，，，则角B的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦定理即可求解. 【详解】在中，，，， 由正定理得：， 由于，所以 故选：A 4. 已知向量，若间的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，展开利用数量积公式求解即可. 【详解】因为，间夹角为， 所以， 又， 所以， 故选：A 5. O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满足：，则直线AP一定通过的（    ） A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算结合三角形四心的定义即可得解. 【详解】取线段BC的中点E，则， 动点P满足：， 则，则，所以， 又为两向量的公共起点，所以三点共线， 所以直线一定通过的重心． 故选：C． 6. 某中学校园内的红豆树已有百年历史，小明为了测量红豆树高度，他选取与红豆树根部在同一水平面的，两点，在点测得红豆树根部在北偏西的方向上，沿正西方向步行40米到处，测得树根部在北偏西的方向上，树梢的仰角为，则红豆树的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形，在中利用正弦定理求得的值，在中求出的值. 【详解】依题意可得如下图形： 在中，，，，， 所以由正弦定理得：，解得：， 在，， 所以，则红豆树的高度为米. 故选：D 7. 如图，圆为的外接圆，，为边的中点，则（ ） A. 10 B. 13 C. 18 D. 26 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形外接圆的性质，结合数量积的几何意义求解可得可得与，再根据平面向量运算可得出结论． 【详解】是边的中点，可得， 是的外接圆的圆心， ， 同理可得， ． 故选：B． 8. 我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设的三个内角所对的边分别为，，，面积为S，则“三斜求积”公式为，若，，则用“三斜求积”公式求得的面积为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】对于，利用正弦定理角化边可得，继而化简可得，代入“三斜求积”公式即得答案. 【详解】由得， 由得， 故， 股癣：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知i为虚数单位，则以下四个说法中正确的是（ ） A. B. 复数的虚部为 C. 若复数，则 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，结合复数的运算法则，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，根据虚数的运算法则，可得，所以A正确； 对于B中，由复数，可得其的虚部为，所以B错误； 对于C中，由复数，可得，所以，所以C正确； 对于D中，设，可得， 则 ， 所以，所以D正确. 故选：ACD. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 在中，，则为锐角三角形 B. 已知为的内心，且，则 C. 已知非零向量满足：，则的最小值为 D. 已知，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围是 【答案】BD 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的运算，三角形内心的向量表达以及由向量夹角的情况求参数范围的方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对A：在中，，即为钝角，则为锐角，无法推出为锐角三角形，故A错误； 对B：根据题意，连接，并延长交于点，如下所示： 不妨设，则， 因为为△的内心，故可设， 由角平分线定理可得，故，代入上式可得： ，又三点共线，故，解得， 故， 即，即，故B正确； 对C：因为，设的夹角为，则，， 故， 又， 当且仅当，即时取得等号；故的最小值为，C错误； 对D：，则， 因为与的夹角为钝角，则一方面有，解得：； 另一方面有与不共线，即，解得； 令二者同时满足，知的取值范围为：，故D正确； 故选：BD. 【点睛】关键点点睛：本题B选项处理，可以用奔驰定理直接解决，也可采用本题的处理方法；C选项的处理，比较考验学生的计算能力，D选项需要注意共线情况的取舍. 11. 对于，下列说法正确的是（ ） A. 若，则只有一解 B. 若，则一定为等腰三角形 C. 若，则 D. 若，则一定为锐角三角形 【答案】AD 【解析】 【分析】由正弦定理代入计算，即可判断A；根据正弦定理和诱导公式计算即可判断B；由余弦定理和基本不等式计算化简即可判断C；根据诱导公式和两角和的正切公式化简计算即可判断D. 【详解】对于A，由正弦定理可得，即， 且，则，所以只有一解，故A正确； 对于B，在中，若， 因为， 则或，所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形，故B错误； 对于C，由余弦定理， 得，又， 所以， 即， 即， 又，当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为，所以，所以， 又因，所以，故C错误； 对于D，， 所以， 所以， 所以三个数有个或个为负数， 又因为最多一个钝角， 所以，即都是锐角， 所以一定为锐角三角形，故D正确. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数满足，则（为虚数单位）最大值为_________． 【答案】6 【解析】 【分析】由复数的几何意义求解即可. 【详解】设(为实数)， 则复数满足的几何意义是以原点为圆心，以1为半径的圆上的点， 则表示的几何意义是圆上的点到的距离， 根据圆的性质可知，所求最大值为. 故答案为：6. 13. 已知向量夹角为，，对任意，有恒成立，若为实数，则的最小值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，转化为对任意恒成立，利用，求得，进而求得，再由，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由题意知，对任意，有恒成立， 因为，平方展开得， 即对任意恒成立， 所以，所以， 所以，所以， 又由向量夹角为，且，可得， 可得，则， 所以， 所以，当时，取得最小值，最小值为. 故答案为：. 14. 窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，正八边形内角和为，若，则的值为______；若正八边形的边长为2，P是正八边形八条边上的动点，则的取值范围为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，得到向量的坐标，得到方程组，求出，由投影向量的定义可知当在线段上时，取的最大值，当在线段上时，取的最小值，得到答案. 【详解】以为坐标原点，，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 设正八边形的边长为2， 则， ， 由得， 即，解得， 故； 由投影向量可知，当在线段上时，取的最大值， 最大值为， 当在线段上时，取最小值， 最小值为， 故的取值范围是. 故答案为：， 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量平行得出，进而由模长公式的得出的值； （2）根据向量垂直的坐标表示得出的值． 【小问1详解】 由得，∴，∴ 【小问2详解】 由已知， 又，∴，解得 16. 已知复数，，. （1）若复数在复平面内的对应点落在第二象限，求实数的取值范围； （2）若虚数是方程的一个根，求实数的值. 【答案】（1） （2）17 【解析】 【分析】（1）计算出，根据对应点所在象限列出不等式组，求出实数的取值范围； （2）根据题意得也是方程的一个根，由两根之和求出，进而得到，计算出的值. 【小问1详解】 . 因为在复平面内的对应点落在第二象限，所以， 解得.因此，实数的取值范围是. 【小问2详解】 因为虚数是方程的一个根， 所以也是方程的一个根， 于是，解得. 所以，， 因此. 17. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． （1）求B； （2）若的中线长为，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理结合三角恒等变换计算即可； （2）利用平面向量知，利用数量积与模关系及基本不等式可得，再根据面积公式求最值即可. 【小问1详解】 中，由正弦定理得：， 而， 所以， 化简得， 因为，则，， 即，所以， 又因为，所以，即. 【小问2详解】 由是的中线，可知， 所以，即， 可得，即， 当且仅当时，等号成立， 所以三角形面积， 即的面积的最大值为. 18. 某海岸的A哨所在凌晨1点15分发现哨所北偏东方向20 n mile处的D点出现可疑船只，因天气恶劣能见度低，无法对船只进行识别，所以将该船雷达特征信号进行标记并上报周围哨所．早上5点15分位于A哨所正西方向20 n mile的B哨所发现了该可疑船只位于B哨所北偏西方向60 n mile处的E点，并识别出其为走私船，立刻命令位于B哨所正西方向30 n mile处C点的我方缉私船前往拦截，已知缉私船速度大小为30 n mile/h．（假设所有船只均保持匀速直线航行） （1）求走私船的速度大小； （2）缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船，并求出截获走私船的具体时间． 【答案】（1）n mile/h （2）缉私船沿北偏西方向行驶，3小时后即早上8点15分可截获走私船． 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理即可求解； （2）设在F点处截获走私船，截获走私船所需时间为t，利用余弦定理即可求解． 【小问1详解】 点位于哨所北偏东方向n mile处， 点位于哨所北偏西方向n mile处， ， ， n mile/h， 走私船的速度大小为n mile/h. 【小问2详解】 设在点处截获走私船，截获走私船所需时间为， ， ， ，， 走私船速度为n mile/h，缉私船速度为n mile/h， ， 在中，根据余弦定理，， ， 化简得，(舍去)，或， 此时，， 缉私船沿北偏西方向行驶，3小时后即早上8点15分可截获走私船． 19. 如图，在凸四边形中，．设． （1）若，求的长． （2）当多大时，的长度最大，并求的最大值． 【答案】（1） （2）时，的长度最大，最大值为 【解析】 【分析】（1）根据题意，在中由余弦定理可求得，在由勾股定理代入计算，即可求解； （2）根据题意，在中由余弦定理可求得，由正弦定理可得，再由余弦定理可得，由正弦型函数的值域即可求得结果. 【小问1详解】 在中，， 所以，所以， 在中，， 所以. 【小问2详解】 设，则， 在中，，即， 由正弦定理可得，所以， 在中， ， 因为，则， 当时，即时，的长度最大， 且的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$