第08讲 二次函数与一元二次方程、不等式（4大知识点+15大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假新高一数学衔接讲义（人教A版2019必修第一册）

第08讲 二次函数与一元二次方程、不等式（4大知识点+15大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 求二次函数的值域或最值 题型二 二次函数的图象分析与判断 题型三 判断二次函数的单调性和求解单调区间 题型四 一元二次不等式的概念及辨析 题型五 解不含参数的一元二次不等式 题型六 解含有参数的一元二次不等式 题型七 由一元二次不等式的解确定参数 题型八 一元二次方程根的分布问题 题型九 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 题型十 一元二次不等式在实数集上恒成立问题 题型十一 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 题型十二 一元二次不等式在某区间上有解问题 题型十三 一元二次不等式的实际应用 题型十四 已知二次函数单调区间求参数值或范围 题型十五 根据二次函数的最值或值域求参数 知识点一：一元二次不等式的有关概念 1、一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式,一元二次不等式的一般形式： ①（其中均为常数） ②（其中均为常数） ③（其中均为常数） ④（其中均为常数） 2、一元二次不等式的解与解集 使某一个一元二次不等式成立的的值，叫作这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集. 将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫作不等式的同解变形. 知识点二：四个二次的关系 2.1一元二次函数的零点 一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点． 2.2次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 判别式 二次函数(的图象 一元二次方程 ()的根 有两个不相等的实数根，() 有两个相等的实数根 没有实数根 ()的解集 ()的解集 知识点三：一元二次不等式的解法 1：先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； 2：写出相应的方程，计算判别式： ①时，求出两根，且（注意灵活运用十字相乘法）； ②时，求根； ③时，方程无解 3：根据不等式，写出解集. 知识点四：解分式不等式 4.11、分式不等式 4.1.1定义： 与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如或（其中,为整式且的不等式称为分式不等式。 4.1.2分式不等式的解法 ①移项化零：将分式不等式右边化为0： ② ③ ④ ⑤ 【典型例题一 求二次函数的值域或最值】 1．（23-24高一上·辽宁抚顺·开学考试）二次函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·陕西西安·阶段练习）设函数，，则的最小值和最大值为（    ） A．，11 B．，3 C．，4 D．，11 3．（23-24高一上·上海·期末）函数，的最小值是 . 4．（23-24高一上·北京房山·期中）函数在上的最小值为 ． 5．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）已知一元二次函数 (1)求其图象的顶点坐标，并指出图象由函数怎么变化而来. (2)当时,求y的最值. 【典型例题二 二次函数的图象分析与判断】 1．（23-24高三上·全国·期末）二次函数满足条件，则的值为（    ） A．5 B．6 C．8 D．7 2．（23-24高一上·江西南昌·开学考试）在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·吉林通化·阶段练习）若，使，则a的取值集合是 ． 4．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）已知二次函数图象如图所示，则不等式的解集为 ．    5．（23-24高一上·新疆喀什·期中）已知二次函数且满足． (1)求函数的解析式； (2)若函数的定义域为，作出函数图象并求其值域． 【典型例题三 判断二次函数的单调性和求解单调区间】 1．（22-23高二下·山东潍坊·期末）已知二次函数的图像与x轴交点的横坐标为和3，则二次函数的单调递减区间为（    ）． A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏常州·期中）二次函数的部分对应值如下表： x 0 1 2 3 4 y 6 0 0 6 则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·北京东城·期中）函数函数的单调减区间是 ，在区间的最大值是 ． 4．（23-24高一上·山东济南·期中）已知二次函数，能说明“若，则在上单调递增”为假命题的一个函数解析式是 . 5．（23-24高一上·浙江宁波·期中）已知二次函数． (1)记的最小值为，求的解析式； (2)记的最大值为，求的解析式． 【典型例题四 一元二次不等式的概念及辨析】 1．（22-23高一上·山西·阶段练习）已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（    ） A．或 B． C．或 D． 2．（23-24高一·全国·课后作业）“”的一个充分不必要条件是“”，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一上·河南商丘·期中）不等式 的解集是 ． 4．（23-24高一上·北京丰台·期中）已知方程的两个实数根分别为，，则不等式 的解集为 . 5．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知集合A是不等式的解集，集合B是不等式的解集. （1）求集合A与B. （2）求. 【典型例题五 解不含参数的一元二次不等式】 1．（23-24高二上·广东湛江·阶段练习）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·安徽·阶段练习）不等式的解集为（    ） A．或 B． C．或 D． 3．（23-24高二下·广西崇左·期末）不等式的解集为，则不等式的解集是 ． 4．（2023高二·全国·竞赛）设，则的最大值与最小值的和为 . 5．（23-24高一上·湖南益阳·期末）已知函数，． (1)若，求使的x的取值范围； (2)当时，设，求在区间上的最小值． 【典型例题六 解含有参数的一元二次不等式】 1．（23-24高二下·安徽马鞍山·阶段练习）若，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）若关于的不等式的解集中，恰有3个整数，则实数的取值集合是（    ） A． B． C．或 D．或 3．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）解关于的不等式．（只需结果，不需过程） 可因式分解为 ． 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ． 4．（23-24高三下·北京·开学考试）关于的不等式的解集中至多包含1个整数，写出满足条件的一个的取值范围 . 5．（2025高三·全国·专题练习）已知函数． (1)若关于x的不等式的解集为R，求实数a的取值范围； (2)解关于x的不等式． 【典型例题七 由一元二次不等式的解确定参数】 1．（23-24高一下·云南·阶段练习）若关于的不等式的解集中恰有三个整数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·江苏宿迁·期中）已知关于的一元二次不等式的解集为，且实数，满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·上海·开学考试）已知关于的不等式的解集非空，则实数的取值范围是 . 4．（22-23高一上·全国·期中）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为 . 5．（23-24高一下·湖南株洲·阶段练习）已知不等式，的解集是． (1)求常数的值； (2)若关于的不等式的解集为，求的取值范围． 【典型例题八 一元二次方程根的分布问题】 1．（23-24高三上·四川·阶段练习）若关于的方程在区间上有两个不相等的实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·北京·期中）如果关于的一元二次方程有两个不同的正数实数根，那么的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）已知方程的一个实根小于2，另一个实根大于2，求实数的取值范围 . 4．（23-24高一上·浙江·阶段练习）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实根，且．则实数a的取值范围为 ． 5．（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）已知函数 (1)方程在有两个不等实数根，求的取值范围． (2)求解关于不等式． 【典型例题九 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系】 1．（23-24高一上·四川成都·期中）一元二次不等式的解为，那么的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·重庆·期中）若命题“”为真命题，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 3．（23-24高三上·河北沧州·期末）若正数a，b满足，则的最小值是 . 4．（23-24高一上·天津红桥·阶段练习）已知 二 次 函 数图象如图所示，那 么 二次函数的零点是 ；一元二次不等式的 解集是 .    5．（23-24高一下·云南·阶段练习）已知二次函数的解集为. (1)若，求的值； (2)若，求实数的取值范围. 【典型例题十 一元二次不等式在实数集上恒成立问题】 1．（23-24高二下·浙江·期中）关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 2．（2024·浙江·模拟预测）若不等式的解为全体实数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024高三·全国·专题练习）若函数的定义域为R，则实数a的取值范围为 ； 4．（2007高一·全国·竞赛）关于的不等式的解集是，则的取值范围是 . 5．（23-24高一上·山西朔州·期末）已知命题，不等式恒成立；命题，使成立. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题中恰有一个为真命题，求实数的取值范围. 【典型例题十一 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题】 1．（23-24高一下·贵州贵阳·期中）对任意的，恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·辽宁·期中）关于的不等式的解集为，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·湖南郴州·期末），不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 4．（23-24高一上·江苏扬州·期中）若，使恒成立，则的取值范围为 5．（2024高三·全国·专题练习）设函数 (1)若不等式对一切实数x恒成立，求a的取值范围； (2)解关于的不等式：． 【典型例题十二 一元二次不等式在某区间上有解问题】 1．（23-24高一上·安徽宣城·期末）若命题“，使”是真命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2023高一上·安徽·竞赛）若命题：，是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·上海·期中）若存在，使得，则实数a的取值范围 ． 4．（23-24高一上·江苏镇江·期中）若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围 . 5．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知函数． (1)不等式的解集为，求实数的值； (2)若在上的解集非空，求实数的取值范围． 【典型例题十三 一元二次不等式的实际应用】 1．（2023高二·湖北·学业考试）为建设美丽中国，增强民众幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区计划建设一块长为、宽为的矩形花园，其四周种植花卉，中间种植草坪（如图所示）．如果花卉带的宽度相同，且草坪的面积不超过总面积的三分之一，那么花卉带的宽度可能为（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24高一上·陕西·阶段练习）某礼服租赁公司共有300套礼服供租赁，若每套礼服每天的租价为200元，则所有礼服均被租出；若将每套礼服每天的租价在200元的基础上提高10x元（，），则被租出的礼服会减少10x套.若要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超过6.24万元，则该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为（    ） A．220元 B．240元 C．250元 D．280元 3．（23-24高一上·贵州贵阳·阶段练习）一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量（单位：辆）与创造的价值（单位：元）之间有如下的关系：.若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，则在一个星期内大约应该生产 （填写区间范围）辆摩托车？ 4．（2022高二下·福建·学业考试）如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪，如果要求草坪外侧四周的花卉带的宽度都相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，则花卉带的宽度至少应为 ．    5．（23-24高一上·上海青浦·期中）第六届中国国际进口博览会将于2023年11月5日至10日在国家会展中心（上海）举行，主题为“新时代共享未来”，届时将有很多展客商参与.为了解路况，现经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间的函数关系为：. (1)在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大?最大车流量为多少?（保留分数形式） (2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内? 【典型例题十四 已知二次函数单调区间求参数值或范围】 1．（23-24高一上·浙江·单元测试）设函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·广东东莞·期中）若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·辽宁·期末）已知函数在上单调递增，则的取值范围是 . 4．（23-24高一上·吉林·期中）函数在上是增函数，那么实数的取值范围是 . 5．（23-24高一上·北京·期中）已知函数，． (1)当时，画出函数图象并指出函数的最大值和最小值； (2)求实数的取值范围，使在区间上是单调函数． 【典型例题十五 根据二次函数的最值或值域求参数】 1．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）函数在区间上的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·湖南永州·阶段练习）已知函数，若函数的定义域为，值域为，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·湖北咸宁·阶段练习）已知函数的值域为，且，则 4．（23-24高一上·辽宁大连·阶段练习）已知二次函数的值域为，则的最小值 ． 5．（22-23高一上·广东深圳·期末）已知二次函数且，． (1)若函数的最小值为，求的解析式，并写出单调区间； (2)在（1）的条件下，在区间上恒成立，试求k的取值范围． 【变式训练1 求二次函数的值域或最值】 1．（2024·陕西西安·模拟预测）已知全集，集合，则（    ）． A． B． C． D． 2．（23-24高一上·四川达州·期中）函数在上的最小值为 . 3．（2024·山东·二模）已知是二次函数，且． (1)求的解析式； (2)若，求函数的最小值和最大值． 【变式训练2 二次函数的图象分析与判断】 1．（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   2．（23-24高一上·江西南昌·阶段练习）函数的定义域为，值域为，则 ． 3．（23-24高一上·新疆伊犁·期中）已知二次函数. (1)若，求在上的值域； (2)当时，在上恒成立，求b的取值范围. 【变式训练3 判断二次函数的单调性和求解单调区间】 1．（23-24高一上·全国·课后作业）下列区间中，使函数逐渐增加的区间是（　　） A． B． C． D． 2．（22-23高二下·新疆阿克苏·阶段练习）函数的单调递增区间为 . 3．（23-24高一·全国·课后作业）已知函数在上具有单调性，求实数k的取值范围. 【变式训练4 一元二次不等式的概念及辨析】 1．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）一元二次不等式的解集为的充要条件是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高三·全国·对口高考）已知集合，则 ． 3．（23-24高一上·上海金山·期中）设，，. （1）若，求的值； （2）若，求的值. 【变式训练5 解不含参数的一元二次不等式】 1．（23-24高二上·湖南长沙·期末）集合，集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高二下·上海·开学考试）不等式的解集为 . 3．（23-24高二下·陕西渭南·阶段练习）已知. (1)当时，求满足的值的集合； (2)求满足的值的集合； (3)当时，恒成立，求满足条件的的取值范围. 【变式训练6 解含有参数的一元二次不等式】 1．（23-24高一上·江苏南京·期末）设为实数，则关于的不等式的解集不可能是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·山东日照·期中）若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是 . 3．（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）已知：实数满足，其中；：实数满足 (1)若，且，均正确，求实数的取值范围： (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【变式训练7 由一元二次不等式的解确定参数】 1．（23-24高一下·广东湛江·开学考试）关于的不等式的解集为，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·浙江杭州·期中）不等式的解集是，则不等式的解集是（用集合表示） ． 3．（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）已知关于的一元二次不等式的解集为． (1)求和的值； (2)求不等式的解集． 【变式训练8 一元二次方程根的分布问题】 1．（23-24高一上·甘肃武威·开学考试）关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 2．（23-24高一上·北京·期中）已知方程有两个不相等的正根，则实数的取值范围是 . 3．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)若上述方程的两根都是正数，求实数的取值范围； (2)若上述方程的两根恰有一个是正数，且为整数，如果有直接写出实数的取值，如果不存在，说明理由． 【变式训练9 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系】 1．（23-24高三上·山东菏泽·期中）已知不等式组的解集是关于的不等式的解集的子集，则实数a的取值范围为（    ） A．a≤0 B．a<0 C．a≤-1 D．a<-2 2．（23-24高一上·湖南岳阳·期中）已知关于x的不等式的解集为或，不等式的解集为 ． 3．（23-24高一上·北京·期中）函数 (1)若，求的解集； (2)当恒成立时，求的取值范围； (3)若方程有两个实数根，且，求的取值范围 【变式训练10 一元二次不等式在实数集上恒成立问题】 1．（2024高三·全国·专题练习）若不等式对一切恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）已知函数对任意实数都有成立，则实数的取值范围是 . 3．（22-23高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知命题，为真命题. (1)求实数的取值集合A； (2)设为非空集合，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【变式训练11 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题】 1．（23-24高一上·天津·期中）若命题“”为假命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·吉林四平·阶段练习）已知命题；命题.若都是假命题，则实数的取值范围是 . 3．（23-24高一上·福建福州·期中）已知二次函数. (1)当时，解不等式； (2)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围 【变式训练12 一元二次不等式在某区间上有解问题】 1．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）命题：“使得不等式成立”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2023高一·江苏·专题练习）已知命题“对于任意，函数”，若此命题是假命题，则实数的取值范围为 ．若此命题是真命题，则实数的取值范围为 ． 3．（23-24高一上·山东淄博·期中）设函数. (1)若命题：是假命题，求的取值范围； (2)若存在成立，求实数的取值范围. 【变式训练13 一元二次不等式的实际应用】 1．（23-24高一上·河北沧州·阶段练习）某商店购进一批纪念章，每枚的最低售价为15元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出45枚，每枚售价每提高1元，日销售量将减少3枚，为了使这批纪念章每天获得600元以上的销售额，则这批纪念章的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·湖北宜昌·阶段练习）某商店的圆珠笔以每支3元的价格销售，每年可以售出6万支．根据市场调查，该圆珠笔的单价每提高0.1元，销售量就减少1000支．设每支圆珠笔的定价为（且）元，要使得提价后的年总销售额比原来至少多2万元，则的最小值为 ． 3．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）2020年11月23日，贵州宣布最后9个深度贫困县退出贫困县序列，这不仅标志着贵州省66个贫困县实现整体脱贫，这也标志着国务院扶贫办确定的全国832个贫困县全部脱贫摘帽，全国脱贫攻坚目标任务已经完成．在脱贫攻坚过程中，某地县乡村三级干部在帮扶走访中得知某贫困户的实际情况后，为他家量身定制了脱贫计划，政府无息贷款10万元给该农户种养羊，每万元可创造利润0.15万元．若进行技术指导，养羊的投资减少了万元，且每万元创造的利润变为原来的倍．若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润，求x的取值范围； 【变式训练14 已知二次函数单调区间求参数值或范围】 1．（23-24高三上·陕西渭南·阶段练习）若二次函数在上为减函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高三上·陕西咸阳·阶段练习）若函数在上是增函数，则实数的取值范围是 . 3．（23-24高一上·云南大理·期末）已知二次函数，且函数的最小值为. (1)求解析式； (2)若函数在上的最小值为求实数的值. 【变式训练15 根据二次函数的最值或值域求参数】 1．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）已知函数​其中​是实数​中，​的取值范围是​，若关于​的不等式​的解集为​，则实数​的值为（   ） A．​ B．​ C．​ D．​ 2．（23-24高一上·全国·单元测试）已知函数. （1）若在区间上为单调函数，则a的取值范围为 ； （2）若在区间上的最小值为，则a的值为 . 3．（23-24高一上·河南·阶段练习）已知二次函数的图象关于直线对称，且经过点： (1)求函数的解析式； (2)若函数在上的值域为，求的值. 1．（2024·天津·模拟预测）已知，，则是的（    ）条件 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．（23-24高一下·河南·阶段练习）若命题“，”为假命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·河北石家庄·阶段练习）不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 4．（2024·江西南昌·三模）已知“”，“”，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（2024·河北张家口·三模）已知正数m，n满足，则的最大值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 6．（2024高二下·天津南开·学业考试）已知当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ． 7．（23-24高二下·天津·阶段练习）关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 ． 8．（2024·云南·模拟预测）已知集合，若且，则实数的取值范围是 . 9．（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）已知，不等式的解集是．若不等式组的正整数解只有一个，则实数k的取值范围是 10．（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）已知函数，若不等式的解集是，则实数的值为 ． 11．（23-24高二下·河北沧州·阶段练习）已知集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围 12．（2024高三下·全国·专题练习）若关于x的不等式的解集是一个开区间，且区间的长度L满足，求实数m的取值范围（注：开区间的长度）. 13．（23-24高三下·北京·阶段练习）已知关于的不等式的解集是． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的值． 14．（2024·内蒙古锡林郭勒盟·模拟预测）已知函数． (1)当时，求的最大值； (2)求使成立的的取值范围． 15．（23-24高一上·四川乐山·期中）已知函数． (1)求不等式的解集； (2)若，不等式恒成立，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 二次函数与一元二次方程、不等式（4大知识点+15大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 求二次函数的值域或最值 题型二 二次函数的图象分析与判断 题型三 判断二次函数的单调性和求解单调区间 题型四 一元二次不等式的概念及辨析 题型五 解不含参数的一元二次不等式 题型六 解含有参数的一元二次不等式 题型七 由一元二次不等式的解确定参数 题型八 一元二次方程根的分布问题 题型九 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 题型十 一元二次不等式在实数集上恒成立问题 题型十一 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 题型十二 一元二次不等式在某区间上有解问题 题型十三 一元二次不等式的实际应用 题型十四 已知二次函数单调区间求参数值或范围 题型十五 根据二次函数的最值或值域求参数 知识点一：一元二次不等式的有关概念 1、一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式,一元二次不等式的一般形式： ①（其中均为常数） ②（其中均为常数） ③（其中均为常数） ④（其中均为常数） 2、一元二次不等式的解与解集 使某一个一元二次不等式成立的的值，叫作这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集. 将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫作不等式的同解变形. 知识点二：四个二次的关系 2.1一元二次函数的零点 一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点． 2.2次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 判别式 二次函数(的图象 一元二次方程 ()的根 有两个不相等的实数根，() 有两个相等的实数根 没有实数根 ()的解集 ()的解集 知识点三：一元二次不等式的解法 1：先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； 2：写出相应的方程，计算判别式： ①时，求出两根，且（注意灵活运用十字相乘法）； ②时，求根； ③时，方程无解 3：根据不等式，写出解集. 知识点四：解分式不等式 4.11、分式不等式 4.1.1定义： 与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如或（其中,为整式且的不等式称为分式不等式。 4.1.2分式不等式的解法 ①移项化零：将分式不等式右边化为0： ② ③ ④ ⑤ 【典型例题一 求二次函数的值域或最值】 1．（23-24高一上·辽宁抚顺·开学考试）二次函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数最值求法直接求解即可. 【详解】， 当时，. 故选：B. 2．（22-23高一上·陕西西安·阶段练习）设函数，，则的最小值和最大值为（    ） A．，11 B．，3 C．，4 D．，11 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质求得正确答案. 【详解】函数是开口向上的二次函数，对称轴为直线， 所以的最小值为， 最大值为. 故选：D 3．（23-24高一上·上海·期末）函数，的最小值是 . 【答案】 【分析】根据二次函数的单调性进行求解即可. 【详解】因为的图象开口向上，对称轴为， 又，所以的最小值是. 故答案为：. 4．（23-24高一上·北京房山·期中）函数在上的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据二次函数性质直接求解即可. 【详解】函数对称轴为，函数图象开口向上， 所以函数在上的最小值为. 故答案为： 5．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）已知一元二次函数 (1)求其图象的顶点坐标，并指出图象由函数怎么变化而来. (2)当时,求y的最值. 【答案】(1)答案见解析 (2)， 【分析】（1）配方，再根据二次函数的性质即可求出顶点坐标，再根据平移变换即可得解； （2）根据二次函数的性质即可得解. 【详解】（1）， 其图象的顶点坐标为， 其图象是由函数的图象先向右平移个单位，再向上平移个单位得到的； （2）由， 当时，，当时，. 【典型例题二 二次函数的图象分析与判断】 1．（23-24高三上·全国·期末）二次函数满足条件，则的值为（    ） A．5 B．6 C．8 D．7 【答案】A 【分析】根据题意，由二次函数的对称性，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为函数满足条件， 所以的图像关于直线对称， 则． 故选：A． 2．（23-24高一上·江西南昌·开学考试）在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可判断出，由此可判断二次函数的图象可能的位置，即得答案. 【详解】根据一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可判断出，则图像，开口向上，对称轴为；D正确. 故选：D 3．（23-24高一上·吉林通化·阶段练习）若，使，则a的取值集合是 ． 【答案】 【分析】及方程有解. 【详解】，使,即方程有解， 则，解得. 故答案为： 4．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）已知二次函数图象如图所示，则不等式的解集为 ．    【答案】 【分析】利用图象计算再结合一元二次不等式的解法计算即可. 【详解】由题意可知，且， 所以不等式，计算可得不等式解集为. 故答案为：. 5．（23-24高一上·新疆喀什·期中）已知二次函数且满足． (1)求函数的解析式； (2)若函数的定义域为，作出函数图象并求其值域． 【答案】(1)； (2)作图见解析，． 【分析】（1）由，列方程求出，可得函数的解析式； （2）由二次函数的图象特征，作出函数图象，根据图象求值域． 【详解】（1）二次函数满足， 则有，解得， 所以. （2）函数的定义域为，函数图象如图所示，    由函数图象可知，函数的值域为 【典型例题三 判断二次函数的单调性和求解单调区间】 1．（22-23高二下·山东潍坊·期末）已知二次函数的图像与x轴交点的横坐标为和3，则二次函数的单调递减区间为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意求得对称轴，再由开口方向求解. 【详解】解：因为二次函数的图像与x轴交点的横坐标为和3， 所以其对称轴方程为：， 又， 所以二次函数的单调递减区间为， 故选：A 2．（23-24高一上·江苏常州·期中）二次函数的部分对应值如下表： x 0 1 2 3 4 y 6 0 0 6 则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数值确定函数的对称轴，得到函数的单调区间，得到不等式的解. 【详解】当时函数值相等，故二次函数的对称轴为； 根据函数值的大小知：函数在上单调递增，在上单调递减， 故不等式的解集为. 故选：C. 3．（23-24高一上·北京东城·期中）函数函数的单调减区间是 ，在区间的最大值是 ． 【答案】 4   【分析】由二次函数的对称轴及开口方向得单调性，由单调性可得最值． 【详解】由题意，它的图象是开口向下的抛物线， 对称轴是直线，因此减区间是， 在区间上，时，递增，时，递减，因此， 故答案为：；4. 4．（23-24高一上·山东济南·期中）已知二次函数，能说明“若，则在上单调递增”为假命题的一个函数解析式是 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】写出一个满足条件的二次函数的解析式，得到在上不单调，得出命题是假命题即可. 【详解】解：令，对称轴是， 根据对称性可知，在递减，在递增， 故“，则在上单调递增”是假命题， 故答案为：. 5．（23-24高一上·浙江宁波·期中）已知二次函数． (1)记的最小值为，求的解析式； (2)记的最大值为，求的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合二次函数的图像和性质，分类讨论单调性和最小值，求出，最后写成分段函数的形式即可； （2）结合二次函数的图像和性质，分类讨论函数最大值，求出，最后写成分段函数的形式即可． 【详解】（1）二次函数的图像抛物线开口向上，对称轴为直线， （）当，即时，此时在区间上单调递增，所以的最小值； （）当，即时，此时在区间上单调递减，所以的最小值； （）当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 此时的最小值； 综上所述，. （2）二次函数的图像抛物线开口向上，对称轴为直线， （）当，即时，右端点距离对称性较远，此时的最大值； （）当，即时，左端点距离对称轴较远，此时的最大值； 综上所述，. 【典型例题四 一元二次不等式的概念及辨析】 1．（22-23高一上·山西·阶段练习）已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】D 【分析】由不等式的解集是可得，，从而不等式可化为. 【详解】关于的不等式的解集为， ，， 可化为， 即 ， 关于的不等式的解集是. 故选：D. 2．（23-24高一·全国·课后作业）“”的一个充分不必要条件是“”，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由真子集列不等式组求解可得. 【详解】易知．∵“”的一个充分不必要条件是“”， ∴，则或，解得． ∴实数a的取值范围为． 故选：D 3．（22-23高一上·河南商丘·期中）不等式 的解集是 ． 【答案】 【分析】分式不等式可转化为整式不等式求解，但要注意分母不为零. 【详解】不等式等价于 ，解得. 故解集为：. 故答案为： 4．（23-24高一上·北京丰台·期中）已知方程的两个实数根分别为，，则不等式 的解集为 . 【答案】 【解析】由题意得方程的两根为和1，由根与系数的关系可得，，代入即可得解. 【详解】方程的两根为和1，由根与系数的关系可得， ，， 可变为，即，解得. 故答案为：. 5．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知集合A是不等式的解集，集合B是不等式的解集. （1）求集合A与B. （2）求. 【答案】(1) ， (2)见解析 【分析】（1）解绝对值不等式与一元二次不等式即可得到结果； （2）对分类讨论，求交集即可. 【详解】（1）由不等式可得， ∴ ∴集合 由可得 ∴ ∴集合 （2）结合（1）可知：当时，， 当时，. 【点睛】本题考查绝对值不等式与一元二次不等式解法，考查交集运算，考查分类讨论思想，属于简单题. 【典型例题五 解不含参数的一元二次不等式】 1．（23-24高二上·广东湛江·阶段练习）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将原不等式转化为或，再由二次不等式和一次不等式的解法，即可得到解集． 【详解】不等式化为，即有0， 于是或，解得或， 所以原不等式的解集为. 故选：B 2．（23-24高一下·安徽·阶段练习）不等式的解集为（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】移项、通分，再转化为等价的一元二次不等式，解得即可. 【详解】不等式，即，等价于，解得或， 所以原不等式的解集为或. 故选：A 3．（23-24高二下·广西崇左·期末）不等式的解集为，则不等式的解集是 ． 【答案】或 【分析】由题意可得，且为方程的两根，利用根与系数的关系可得，代入中化简可求得其解集. 【详解】因为不等式的解集为， 所以，且为方程的两根， 所以，得， 所以可化为， 因为，所以， 所以，解得，或， 的解集是或． 故答案为：或． 4．（2023高二·全国·竞赛）设，则的最大值与最小值的和为 . 【答案】 【分析】先证明的取值范围是，然后用韦达定理即可. 【详解】一方面，若，则， 从而，代入得到. 故，这是关于的方程，由于其有解，故判别式非负， 即. 这得到，即. 另一方面，若，则， 从而关于的方程即有解， 取一解为，则. 然后再取， 则，且， 所以， 从而，且. 综上，的取值范围就是， 从而由韦达定理，最大值和最小值的和也就是方程的两根之和，为. 故答案为：. 5．（23-24高一上·湖南益阳·期末）已知函数，． (1)若，求使的x的取值范围； (2)当时，设，求在区间上的最小值． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）解一元二次不等式可得结果. （2）结合基本（均值）不等式求和的最小值. 【详解】（1）由题意可知：． 所以，满足条件的x的取值范围是． （2），， 当时，， （当且仅当即时取“”）， 所以． 【典型例题六 解含有参数的一元二次不等式】 1．（23-24高二下·安徽马鞍山·阶段练习）若，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断出，进而解不等式，得到解集. 【详解】因为，所以， 故的解集为. 故选：C 2．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）若关于的不等式的解集中，恰有3个整数，则实数的取值集合是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】对不等式因式分解，分，，三种情况，得到不等式解集，结合恰有3个整数得到不等式，求出答案. 【详解】， 当时，不等式解集为，此时恰有3个整数解， 则3个整数解分别为，故，解得， 当时，不等式解集为，此时恰有3个整数解， 则3个整数解分别为，故，解得， 当时，不等式解集为，不合要求， 故实数的取值集合为或. 故选：D 3．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）解关于的不等式．（只需结果，不需过程） 可因式分解为 ． 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ． 【答案】 【分析】根据题意，结合一元二次不等式的解法，合理分类讨论，即可求解. 【详解】由题意得：方程可分解为， 若时，不等式即为，解得，不等式的解集为； 若时，令，解得或， 当时，即时，由，解得，此时解集为； 当时，即时，由，解得，此时解集为； 当时，即或时，由，解得，此时解集为； 故答案为：；；；；；；；；；；. 4．（23-24高三下·北京·开学考试）关于的不等式的解集中至多包含1个整数，写出满足条件的一个的取值范围 . 【答案】 【分析】把不等式化为 , 讨论 和 时, 求出不等式的解集, 即可得出满足题意 的取值范围. 【详解】关于的不等式 可化为 , 当 时, 解不等式得 , 当 时, 解不等式得 , 因为不等式的解集中至多包含 1 个整数, 所以 或 , 当 时，不等式的解集为 ，也满足题意； 所以 的取值范围是 . 故答案为:. 5．（2025高三·全国·专题练习）已知函数． (1)若关于x的不等式的解集为R，求实数a的取值范围； (2)解关于x的不等式． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据题意，由条件可得，代入计算，即可求解； （2）根据题意，分与讨论，即可求解. 【详解】（1）若不等式的解集为R， 则， 解得， 即实数的取值范围； （2）不等式， ①当时，即时，不等式的解集为， ②当时，即或时， 由，解得或， 所以不等式的解集为， 综上所述，当时，不等式的解集为； 当或时，不等式的解集为． 【典型例题七 由一元二次不等式的解确定参数】 1．（23-24高一下·云南·阶段练习）若关于的不等式的解集中恰有三个整数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分类讨论的两根大小，结合已知条件，通过求一元二次不等式即可求解. 【详解】原不等式可化为， 当时，得，此时解集中的整数为2，3，4，则； 当时，得，此时解集中的整数为，，，则， 综上所述，的取值范围是. 故选：A 2．（22-23高一上·江苏宿迁·期中）已知关于的一元二次不等式的解集为，且实数，满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由不等式的解集可得方程的根，由根与系数的关系，代入不等式，结合判别式求实数的取值范围. 【详解】由不等式的解集可得，方程的根为， 可得，， 由，得或， 由，得 即，解得或， 综上，实数的取值范围是. 故选：D 3．（23-24高一下·上海·开学考试）已知关于的不等式的解集非空，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】分和讨论即可. 【详解】当时，，解得，解集不是非空， 则当不等式的解集为空时，， 则解集非空时实数的取值范围是， 故答案为：. 4．（22-23高一上·全国·期中）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由不等式分解因式，再对参数进行分类讨论，分别依题求出参数范围，最后综合考虑即得. 【详解】不等式，即. ①当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有3个整数， 这3个整数只能是，故得：； ②当时，不等式解集为，此时不符合题意； ③当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有3个整数， 这3个整数只能是，故得:. 综上，实数的取值范围为. 故答案为：. 5．（23-24高一下·湖南株洲·阶段练习）已知不等式，的解集是． (1)求常数的值； (2)若关于的不等式的解集为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可得和为关于的方程的两根且，利用韦达定理得到方程，求出的值； （2）依题意可得关于的不等式的解集为，则，即可求出的取值范围. 【详解】（1）因为的解集是， 所以和为关于的方程的两根且， 所以，解得. （2）由（1）可得关于的不等式的解集为， 所以，解得， 即的取值范围为. 【典型例题八 一元二次方程根的分布问题】 1．（23-24高三上·四川·阶段练习）若关于的方程在区间上有两个不相等的实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，依题意可得，解得即可. 【详解】令，因为方程在区间上有两个不相等的实数解， 所以，即，解得， 所以的取值范围是． 故选：A． 2．（23-24高一上·北京·期中）如果关于的一元二次方程有两个不同的正数实数根，那么的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程有两个不同的正实根，则两根之和大于零，两根之积大于零及，列出不等式组，解出即可. 【详解】因为关于的一元二次方程有两个不同的正数实数根， 则有， 故选：A 3．（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）已知方程的一个实根小于2，另一个实根大于2，求实数的取值范围 . 【答案】 【分析】设，结合题意，得到，即可求解. 【详解】设， 因为方程 的一个实根小于2，另一个实根大于2， 则满足，解得，即实数的取值范围为. 故答案为：. 4．（23-24高一上·浙江·阶段练习）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实根，且．则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】构造函数，利用一元二次方程的实根分布列式求解即得. 【详解】令函数，依题意，的两个不等实根满足， 而函数图象开口向上，因此，则，解得， 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 5．（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）已知函数 (1)方程在有两个不等实数根，求的取值范围． (2)求解关于不等式． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由图象得出方程在有两个不等实数根，应满足的条件列出不等式组即得. （2）根据方程的判别式进行讨论即得. 【详解】（1）因为方程在有两个不等实数根， 由图知满足的条件为： 解得：    （2）由得出 ①若时，即或，方程有两个相等的实数根为， 此时原不等式解集为； ②若时，即，方程无实数根. 此时原不等式解集为; ③若时，即或， 方程有两个不相等的实数根分别为，或， 此时原不等式解集为， 综上所述： ①当或，不等式解集为. ②当或，不等式解集为. ③当，不等式的解集为． 【典型例题九 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系】 1．（23-24高一上·四川成都·期中）一元二次不等式的解为，那么的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得出a、b、c的关系，代入新的一元二次不等式求解即可. 【详解】一元二次不等式的解为， 所以的解为，且， 由韦达定理得，代入得 ， 故选：D. 2．（23-24高一上·重庆·期中）若命题“”为真命题，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】命题为真命题转化为二次不等式有解问题，再转化为二次函数图象与轴有交点得，由此解得的取值范围. 【详解】由题意，不等式有解. 即不等式有解. 设，则函数图象开口向上， 要使不等式有解，则函数图象与轴有交点， 则，化简得， 解得，或. 故选：D. 3．（23-24高三上·河北沧州·期末）若正数a，b满足，则的最小值是 . 【答案】 【分析】根据题意，转化为关于的方程存在实数解，结合，即可求解. 【详解】由题意知，正数满足， 即关于的方程存在正实数解， 由方程的图象表示开口向上的抛物线，且对称轴为， 要使得方程存在正实数解， 则只需满足，即， 因为，可得，解得，所以的最小值为. 故答案为：. 4．（23-24高一上·天津红桥·阶段练习）已知 二 次 函 数图象如图所示，那 么 二次函数的零点是 ；一元二次不等式的 解集是 .    【答案】 ， 或 【分析】根据三个二次之间的关系结合图象，即可得解. 【详解】根据图象可得函数的零点是，， 一元二次方程的根是，， 则一元二次不等式的解集是或， 故答案为：，；或． 5．（23-24高一下·云南·阶段练习）已知二次函数的解集为. (1)若，求的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，转化为是方程的两个实数根，结合根与系数的关系，以及，即可求解. （2）根据题意，转化为方程的两个负实数根，结合一元二次方程根的分布情况，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：当时，函数， 因为 的解集为，且， 即是方程的两个实数根，可得， 则. （2）解：因为 的解集为，且， 即是方程的两个实数根， 又因为，即方程的两个负实数根， 则满足，解得且， 所以实数的取值范围为. 【典型例题十 一元二次不等式在实数集上恒成立问题】 1．（23-24高二下·浙江·期中）关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】由题意可知恒成立，根据判别式即可求出. 【详解】的解集为, 即恒成立， 当时，即，不符合题意， 当时，则’解得 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B 2．（2024·浙江·模拟预测）若不等式的解为全体实数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分类讨论与两种情况，结合二次不等式恒成立问题的解决方法即可得解. 【详解】当时，不等式可化为，显然不合题意； 当时，因为的解为全体实数， 所以，解得； 综上：. 故选：C. 3．（2024高三·全国·专题练习）若函数的定义域为R，则实数a的取值范围为 ； 【答案】 【分析】由题意得恒不为零，由此可得，解一元二次不等式即可求解. 【详解】的定义域为R，则恒不为零，即没有实数根， 所以，解得， 所以实数a的取值范围为. 故答案为：. 4．（2007高一·全国·竞赛）关于的不等式的解集是，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意，转化为恒成立，结合，即可求解. 【详解】由，则原不等式可化为， 整理后恒成立， 则，即，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 5．（23-24高一上·山西朔州·期末）已知命题，不等式恒成立；命题，使成立. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题中恰有一个为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由在上恒成立可得即可. （2）由在上有解可得，即可得为真时的范围，再结合一真一假求解即可. 【详解】（1）根据题意，命题，不等式恒成立， 若命题为真命题，则，解得， 故实数的取值范围为. （2）根据题意，命题，使成立， 则，即， 或， 又命题中恰有一个为真命题，则命题一真一假， ①当真假时，，解得； ②当假真时，，解得. 综上，实数的取值范围为. 【典型例题十一 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题】 1．（23-24高一下·贵州贵阳·期中）对任意的，恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】参变分离可得对任意的恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为对任意的，恒成立， 所以对任意的，恒成立， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，解得，即的取值范围为. 故选：D 2．（23-24高一上·辽宁·期中）关于的不等式的解集为，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为对于任意的，恒成立，根据一元二次不等式与二次函数的关系，即可求解. 【详解】由于,则对于任意的，恒成立， 设， 所以，解得, 故选：B 3．（23-24高一上·湖南郴州·期末），不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】将不等式转化为对恒成立，利用基本不等式求解最值即可. 【详解】，不等式恒成立，即， 由于函数，当且仅当，即时等号成立， 故，即，则， 故答案为： 4．（23-24高一上·江苏扬州·期中）若，使恒成立，则的取值范围为 【答案】 【分析】参变分离可得，使恒成立，由二次函数的性质求出，即可得解. 【详解】因为，使恒成立， 所以，使恒成立， 又函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，即，所以， 即的取值范围为. 故答案为： 5．（2024高三·全国·专题练习）设函数 (1)若不等式对一切实数x恒成立，求a的取值范围； (2)解关于的不等式：． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）对是否为零进行讨论，再结合二次函数的性质即可求解. （2）不等式化简为，根据一元二次不等式的解法，分类讨论即可求解. 【详解】（1）对一切实数x恒成立，等价于恒成立. 当时，不等式可化为，不满足题意. 当，有，即，解得 所以的取值范围是． （2）依题意，等价于， 当时，不等式可化为，所以不等式的解集为. 当时，不等式化为，此时，所以不等式的解集为. 当时，不等式化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为； ③当时，，不等式的解集为； 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【典型例题十二 一元二次不等式在某区间上有解问题】 1．（23-24高一上·安徽宣城·期末）若命题“，使”是真命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由存在性问题得即可得解. 【详解】由题意命题“，使”是真命题，所以， 当且仅当，有，所以实数m的取值范围是. 故选：C. 2．（2023高一上·安徽·竞赛）若命题：，是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变形为在上有解，利用基本不等式求出最小值，从而得到，得到答案. 【详解】由题意得在上有解， 即在上有解， 其中，当且仅当，即时，等号成立， 故，故实数的取值范围为. 故选：C. 3．（23-24高三上·上海·期中）若存在，使得，则实数a的取值范围 ． 【答案】 【分析】根据给定的不等式分离参数，利用基本不等式求出最小值即得. 【详解】当时，，显然，当且仅当取等号， 由存在，使得，得， 所以实数a的取值范围是. 故答案为： 4．（23-24高一上·江苏镇江·期中）若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围 . 【答案】 【分析】 根据二次函数的性质，结合配方法进行求解即可. 【详解】， 设， ，该二次函数的对称轴为，开口向下， 当时，， 要想关于的不等式在区间内有解， 只需， 所以实数的取值范围为， 故答案为： 5．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知函数． (1)不等式的解集为，求实数的值； (2)若在上的解集非空，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）不等式即的解集为可知是方程的根，将2代入方程求参即可； （2）由在上的解集非空，可知求解不等式即可. 【详解】（1）因为不等式即的解集为 所以是方程的根， 所以，解得． （2）因为在上的解集非空， 所以在上解集非空， 所以解得或， 所以实数的取值范围是． 【典型例题十三 一元二次不等式的实际应用】 1．（2023高二·湖北·学业考试）为建设美丽中国，增强民众幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区计划建设一块长为、宽为的矩形花园，其四周种植花卉，中间种植草坪（如图所示）．如果花卉带的宽度相同，且草坪的面积不超过总面积的三分之一，那么花卉带的宽度可能为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设花卉带的宽度为，由题设有且求范围，即可得答案. 【详解】设花卉带的宽度为，则， 所以，即，可得， 又，故，而，则可能取值为2. 故选：B 2．（23-24高一上·陕西·阶段练习）某礼服租赁公司共有300套礼服供租赁，若每套礼服每天的租价为200元，则所有礼服均被租出；若将每套礼服每天的租价在200元的基础上提高10x元（，），则被租出的礼服会减少10x套.若要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超过6.24万元，则该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为（    ） A．220元 B．240元 C．250元 D．280元 【答案】C 【分析】根据题意列出收入表达式，则得到一元二次不等式，解出即可. 【详解】依题意，每天有套礼服被租出， 该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入为 元. 因为要使该礼服租赁公司每天租赁6.24万元， 所以， 即，解得.因为且，所以， 即该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为250元. 故选：C. 3．（23-24高一上·贵州贵阳·阶段练习）一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量（单位：辆）与创造的价值（单位：元）之间有如下的关系：.若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，则在一个星期内大约应该生产 （填写区间范围）辆摩托车？ 【答案】51~59 【分析】依据题意列出不等关系，解不等式再根据实际意义即可求出需生产51~59辆摩托车. 【详解】根据题意可知， 转化为不等式，即可得， 解得； 所以应该生产51~59辆摩托车. 故答案为：51~59 4．（2022高二下·福建·学业考试）如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪，如果要求草坪外侧四周的花卉带的宽度都相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，则花卉带的宽度至少应为 ．    【答案】1 【分析】设花卉带的宽度为米，根据题设有求解集，即可确定最小值. 【详解】设花卉带的宽度为米，则，即， 所以，故， 所以花卉带的宽度至少应为1米. 故答案为：1 5．（23-24高一上·上海青浦·期中）第六届中国国际进口博览会将于2023年11月5日至10日在国家会展中心（上海）举行，主题为“新时代共享未来”，届时将有很多展客商参与.为了解路况，现经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间的函数关系为：. (1)在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大?最大车流量为多少?（保留分数形式） (2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内? 【答案】(1)当时，车流量最大，最大车流量约为千辆/时； (2)汽车的平均速度应大于且小于. 【分析】（1）化简得，再利用基本不等式求解； （2）解不等式即得解. 【详解】（1）解：依题得. 当且仅当，即时，等号成立， （千辆/时）. 当时，车流量最大，最大车流量约为千辆/时； （2）由条件得，因为， 所以整理得，即，解得. 如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于且小于. 【典型例题十四 已知二次函数单调区间求参数值或范围】 1．（23-24高一上·浙江·单元测试）设函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由对称轴求解. 【详解】解：函数的对称轴方程为：， 因为函数在区间上是减函数， 所以，解得， 故选：B 2．（22-23高一上·广东东莞·期中）若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数性质运算求解即可 【详解】因为函数开口向上，对称轴为， 若函数在区间上是增函数， 则，所以，故实数的取值范围是； 故选：A． 3．（23-24高一上·辽宁·期末）已知函数在上单调递增，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意，由二次函数的单调性，即可得到结果. 【详解】图像的对称轴为直线， 因为在上单调递增， 所以，则. 故答案为： 4．（23-24高一上·吉林·期中）函数在上是增函数，那么实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据二次函数的单调性与开口方向和对称轴有关，先求出函数的对称轴，然后结合开口方向以及函数的单调性可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， 因为函数在上是增函数，则，解得. 故答案为：. 5．（23-24高一上·北京·期中）已知函数，． (1)当时，画出函数图象并指出函数的最大值和最小值； (2)求实数的取值范围，使在区间上是单调函数． 【答案】(1)作图见解析，最大值为，最小值为 (2) 【分析】（1）当时，作出函数在上的图象，结合图象可得出函数的最大值和最小值； （2）对函数在上的单调性进行分类讨论，可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）解：当时，，， 作出函数在上的图象如下图所示： 由图可知，，. （2）解：二次函数的图象开口向上，对称轴为直线. 当时，即当时，函数在上单调递增； 当时，即当时，函数在上单调递减. 综上所述，实数的取值范围是. 【典型例题十五 根据二次函数的最值或值域求参数】 1．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）函数在区间上的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知条件结合二次函数的图象性质，判断实数的取值范围. 【详解】函数的图像抛物线开口向上，对称轴方程为， ，， 函数在区间上的值域为，则有. 故选：B 2．（23-24高一上·湖南永州·阶段练习）已知函数，若函数的定义域为，值域为，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图象，分类讨论即可求解值域求解. 【详解】，且，， 当，此时在单调递减，此时值域为，不符合要求， 当，此时在单调递减，此时值域为，符合要求， 当，此时在单调递减，在单调递增，此时值域为，符合要求， 当，此时在单调递减，在单调递增，此时值域为，而，不符合要求， 综上可得：， 故选：C      3．（23-24高一上·湖北咸宁·阶段练习）已知函数的值域为，且，则 【答案】 【分析】由条件可得函数的对称轴为，结合最小值为2运算得解. 【详解】依题意，函数满足， 所以函数关于对称，则，所以， 所以，又的值域为， 所以，， 所以函数 故答案为： 4．（23-24高一上·辽宁大连·阶段练习）已知二次函数的值域为，则的最小值 ． 【答案】 【分析】根据题意，结合二次函数的性质，列出不等式组，求得，化简，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为二次函数的值域为， 所以，解得，则， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为5. 故答案为：. 5．（22-23高一上·广东深圳·期末）已知二次函数且，． (1)若函数的最小值为，求的解析式，并写出单调区间； (2)在（1）的条件下，在区间上恒成立，试求k的取值范围． 【答案】(1)，单调减区间为，单调增区间为 (2) 【分析】（1）根据函数的最小值为，可得，且，可得的值，从而得到的解析式，根据对称轴和开口方向写单调区间； （2）分离参数，求解二次函数在区间上的最小值，即可得的范围． 【详解】（1）由题意知，且， ∴，∴， 因为函数对称轴，开口向上， ∴单调减区间为，单调增区间为； （2）在区间上恒成立， 转化为在上恒成立． 设，且对称轴为， 则在取得最小值， ∴． ∴，即的取值范围为． 【变式训练1 求二次函数的值域或最值】 1．（2024·陕西西安·模拟预测）已知全集，集合，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求集合中函数的值域，得到集合，再由集合交集和补集的定义求. 【详解】函数值域为，则， 又，则有，所以. 故选：D. 2．（23-24高一上·四川达州·期中）函数在上的最小值为 . 【答案】 【分析】二次函数在某区间的最值，结合图像的开口方向，对称轴，离对称轴的远近可得. 【详解】函数,其图像开口向下，对称轴为， ，离对称轴较远，则 故答案为： 3．（2024·山东·二模）已知是二次函数，且． (1)求的解析式； (2)若，求函数的最小值和最大值． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】（1）设二次函数为，根据题意，列出方程组，求得的值，即可求解； （2）根据二次函数的性质，求得函数的单调区间，进而求得其最值. 【详解】（1）解：设二次函数为， 因为，可得，解得， 所以函数的解析式． （2）解：函数，开口向下，对称轴方程为， 即函数在单调递增，在单调递减， 所以，． 【变式训练2 二次函数的图象分析与判断】 1．（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】首先根据一元二次不等式与对应方程的关系，求解的关系，再代入函数，即可分析函数的图象. 【详解】因为的解集为，所以方程的两根分别为和，且，则，， 故函数的图象开口向下，且与轴的交点坐标为和，故选项的图象符合. 故选：A 2．（23-24高一上·江西南昌·阶段练习）函数的定义域为，值域为，则 ． 【答案】2 【分析】根据二次函数的性质即可求解。 【详解】由的定义域为，值域为可得 ，解得， 故答案为：2 3．（23-24高一上·新疆伊犁·期中）已知二次函数. (1)若，求在上的值域； (2)当时，在上恒成立，求b的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，列出方程组，求得的值，得到函数的解析式，结合二次函数的性质，即可求解； （2）根据题意，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：因为，可得，解得， 所以，可得图象的对称轴为直线，且开口向上， 所以在上单调递增， 又因为，所以在上的值域为. （2）解：当时，可得. 因为在上恒成立，则满足， 解得，所以实数的取值范围为. 【变式训练3 判断二次函数的单调性和求解单调区间】 1．（23-24高一上·全国·课后作业）下列区间中，使函数逐渐增加的区间是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次函数的单调性可得出结果. 【详解】二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， 所以，函数的增区间为， 故选：D. 2．（22-23高二下·新疆阿克苏·阶段练习）函数的单调递增区间为 . 【答案】 【分析】结合二次函数的图象可得答案. 【详解】因为的图象是开口向上，对称轴为的抛物线， 所以单调递增区间为. 故答案为：. 3．（23-24高一·全国·课后作业）已知函数在上具有单调性，求实数k的取值范围. 【答案】 【分析】由题意结合二次函数的单调性与对称性，即可得到结果. 【详解】由题意得，或，解得，或， 故的范围． 【变式训练4 一元二次不等式的概念及辨析】 1．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）一元二次不等式的解集为的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式解集，结合对应二次函数的性质列不等式组，即可得答案. 【详解】由的解集为空，结合对应二次函数性质有. 故选：B 2．（22-23高三·全国·对口高考）已知集合，则 ． 【答案】 【分析】根据分式不等式的解法求解即可. 【详解】解：原不等式等价于，化简得， 所以，又等价于，解得： 所以， 故答案为：． 3．（23-24高一上·上海金山·期中）设，，. （1）若，求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1）3；（2）. 【分析】解一元二次方程化简集合的表示. （1）根据，可以得到之间的关系，根据根与系数关系求出的值； （2）根据，可以得到，通过代入思想、分类讨论思想求出的值. 【详解】，，可以得出 ∴，， （1）∵， ∴， ∵， ∴，，解得； （2）∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得或， 当时，，此时舍去； 当时，，此时满足题意. 综上，. 【点睛】本题考查了已知集合运算的结果求参数问题，考查了数学运算能力. 【变式训练5 解不含参数的一元二次不等式】 1．（23-24高二上·湖南长沙·期末）集合，集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】求解不等式化简，再用充分必要条件判定得答案. 【详解】或， 或， 则，反之不成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 2．（23-24高二下·上海·开学考试）不等式的解集为 . 【答案】. 【分析】由，将原不等式转化为求解. 【详解】因为， 所以原不等式转化，即， 解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 3．（23-24高二下·陕西渭南·阶段练习）已知. (1)当时，求满足的值的集合； (2)求满足的值的集合； (3)当时，恒成立，求满足条件的的取值范围. 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3) 【分析】（1）直接利用一元二次不等式的解法计算即可； （2）带着参数分类讨论解不等式即可； （3）变换主元，利用一次函数的单调性计算不等式即可. 【详解】（1）当时，， 则； （2）易知， 若，则， 若，则或， 若，则，此时， 若，此时， 若，则，此时， 综上所述：时，解集为， 时解集为， 时解集为， 时解集为，时解集为； （3）由题意可知对任意恒成立， 所以，解之得. 【变式训练6 解含有参数的一元二次不等式】 1．（23-24高一上·江苏南京·期末）设为实数，则关于的不等式的解集不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分类讨论解不等式，判断不可能的解集. 【详解】关于的不等式， 若，不等式为，解得，此时解集为； 若，方程，解得或， 时，不等式解得或，此时解集为； 时，，不等式解得，此时解集为； 时，，不等式解集为， 时，，不等式解得，此时解集为； 所以不等式的解集不可能是. 故选：B 2．（23-24高一上·山东日照·期中）若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是 . 【答案】或 【分析】根据一次不等式的解集可得且，代入二次不等式运算求解即可. 【详解】若关于的不等式的解集是，则2为方程的根，且， 可得且，即且， 则关于的不等式即为，且， 可得，解得或， 所以关于的不等式的解集是或. 故答案为：或. 3．（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）已知：实数满足，其中；：实数满足 (1)若，且，均正确，求实数的取值范围： (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解不等式，取交集即得； （2）由题设可推得集合间的包含关系，从而得到关于的不等式组，求解即得． 【详解】（1）时，由解得：， 由解得：， 因均正确，故， 即实数的取值范围是． （2）由是的充分不必要条件， 则是的充分不必要条件， 因为，为，故为的真子集， ，解得：， 故实数的取值范围是． 【变式训练7 由一元二次不等式的解确定参数】 1．（23-24高一下·广东湛江·开学考试）关于的不等式的解集为，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将问题转化为是方程的两个实根，再直接代入方程得到关于的方程组，解之即可得解. 【详解】因为不等式的解集为， 所以是方程的两个实根， 所以，解得， 所以. 故选：C. 2．（23-24高一上·浙江杭州·期中）不等式的解集是，则不等式的解集是（用集合表示） ． 【答案】 【分析】根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系，求出b、c与a的关系，代入所求不等式，求出解集即可． 【详解】不等式的解集为， ∴，且1，2是方程的两个实数根， ∴，解得，，其中； ∴不等式化为， 即，解得， 因此所求不等式的解集为 . 故答案为：． 3．（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）已知关于的一元二次不等式的解集为． (1)求和的值； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】（1）依题意和是方程的两个根，利用韦达定理得到方程组，解得即可； （2）依题意可得，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集. 【详解】（1）由题意知和是方程的两个根且， 由根与系数的关系得，解得； （2）由、，不等式可化为， 即，则该不等式对应方程的实数根为和． 当时，，解得，即不等式的解集为， 当时，，不等式的解集为空集， 当时，，解得，即不等式的解集为， 综上：当时，解集为， 当时，解集为空集， 当时，解集为． 【变式训练8 一元二次方程根的分布问题】 1．（23-24高一上·甘肃武威·开学考试）关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根的分布，结合韦达定理即可求解. 【详解】根据题意可知；， 由韦达定理可得，解得， 故选：B 2．（23-24高一上·北京·期中）已知方程有两个不相等的正根，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用判别式与韦达定理得到关于的不等式组，从而得解. 【详解】因为有两个不相等的正根，即有两个不相等的正根， 所以，解得. 故答案为：. 3．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)若上述方程的两根都是正数，求实数的取值范围； (2)若上述方程的两根恰有一个是正数，且为整数，如果有直接写出实数的取值，如果不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见详解 【分析】（1）根据两根都是正整数得出判别式及根与系数关系列不等式组求解即可； （2）根据题意分析可知：，结合韦达定理分析判断. 【详解】（1）由题意得，设此方程的两实数根分别为， 由，解得， 由题意得，，即，解得. 所以实数的取值范围. （2）不存在，理由如下： 由（1）可知：，解得， 且，则可知，此时， 即同号，不合题意， 所以符合条件的k不存在. 【变式训练9 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系】 1．（23-24高三上·山东菏泽·期中）已知不等式组的解集是关于的不等式的解集的子集，则实数a的取值范围为（    ） A．a≤0 B．a<0 C．a≤-1 D．a<-2 【答案】A 【分析】先求出不等式组的解集，然后根据是的解集的子集，用二次函数的性质来列出不等式组，解出的取值范围. 【详解】，解得：，因为是不等式的解集的子集，故要满足：，解得：， 故选：A 2．（23-24高一上·湖南岳阳·期中）已知关于x的不等式的解集为或，不等式的解集为 ． 【答案】. 【分析】根据不等式解集知，利用韦达定理得，代入目标不等式求解即可. 【详解】因为不等式的解集为或， 所以，且和4为方程的两根， 故，得， 又，所以，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 3．（23-24高一上·北京·期中）函数 (1)若，求的解集； (2)当恒成立时，求的取值范围； (3)若方程有两个实数根，且，求的取值范围 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）把代入，结合二次不等式的求解方法可得答案； （2）讨论二次型函数的系数，结合判别式可得答案； （3）利用韦达定理及限制条件可得答案. 【详解】（1）当时，原不等式等价于，解得，所以的解集为. （2）当时，恒成立； 当时，恒成立，则有，解得， 当时，显然不恒成立. 综上，的取值范围是. （3）有两个实数根，所以，，解得或，， 因为，所以， 解得或， 综上可得或. 【变式训练10 一元二次不等式在实数集上恒成立问题】 1．（2024高三·全国·专题练习）若不等式对一切恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对二次项系数进行分类讨论可得符合题意，当时利用判别式可求得结果. 【详解】当，即时，不等式为对一切恒成立． 当时，需满足， 即，解得. 综上可知，实数a的取值范围是． 故选：C 2．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）已知函数对任意实数都有成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】讨论二次项系数结合判别式列不等式求解即可. 【详解】由题意知当时，符合题意； 当时，则 则实数的取值范围是. 故答案为：. 3．（22-23高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知命题，为真命题. (1)求实数的取值集合A； (2)设为非空集合，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把给定命题转化为不等式恒成立，再利用判别式求解． （2）由已知结合集合的包含关系列出不等关系，求解即可． 【详解】（1）依题意，关于的不等式恒成立， 于是得，解得， 所以实数的取值的集合． （2）因为是的必要不充分条件，所以为的真子集． 又为非空集合， 所以， 得， 所以实数的取值范围为. 【变式训练11 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题】 1．（23-24高一上·天津·期中）若命题“”为假命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意可得命题“”为真命题，根据二次函数的性质只需即可. 【详解】因为命题“”为假命题， 所以命题“”为真命题， 因为函数在上单调递减， 所以只需，解得， 即的取值范围为. 故选：A 2．（23-24高一上·吉林四平·阶段练习）已知命题；命题.若都是假命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用命题的否定都是真命题求得参数范围． 【详解】命题的否定为真命题， 当时恒成立，当时，可得，故. 命题的否命题为真命题， 所以，解得或， 综上，的取值范围是. 故答案为：. 3．（23-24高一上·福建福州·期中）已知二次函数. (1)当时，解不等式； (2)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入后，利用因式分解法解不等式即可； （2）利用参变分离法，结合基本不等即可得解. 【详解】（1）当时，， 所以由，得，即，解得， 所以的解集为． （2）因为当时，不等式恒成立， 即，即在上恒成立， 而，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即实数a的取值范围是． 【变式训练12 一元二次不等式在某区间上有解问题】 1．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）命题：“使得不等式成立”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，转化为不等式在有解，结合二次函数的性质，求得其最小值，即可求解. 【详解】由使得不等式成立是真命题， 即不等式在有解， 因为，当时，， 所以，即实数的取值范围为. 故选：C. 2．（2023高一·江苏·专题练习）已知命题“对于任意，函数”，若此命题是假命题，则实数的取值范围为 ．若此命题是真命题，则实数的取值范围为 ． 【答案】 或 【分析】根据原命题是假命题时，其否定为真命题，得“存在，函数”，则，解不等式即可；原命题为真命题时，则，解不等式即可． 【详解】因为全称量词命题“对于任意，函数”的否定为：“存在，函数”． 当此命题是假命题时，其否定为真命题， 所以，解得或． 当此命题是真命题时，知， 则，得， 故答案为：或；． 3．（23-24高一上·山东淄博·期中）设函数. (1)若命题：是假命题，求的取值范围； (2)若存在成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可得是真命题，分和两种情况讨论； （2）依题意参变分离可得存在使得成立，则只需，，利用基本不等式求出即可得解. 【详解】（1）若命题：是假命题，则是真命题， 即在上恒成立， 当时，，符合题意； 当时，需满足，解得； 综上所述，的取值范围为. （2）若存在成立， 即存在使得成立，故只需，， 因为，所以，则， 当且仅当，即时取等号， 所以，所以. 【变式训练13 一元二次不等式的实际应用】 1．（23-24高一上·河北沧州·阶段练习）某商店购进一批纪念章，每枚的最低售价为15元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出45枚，每枚售价每提高1元，日销售量将减少3枚，为了使这批纪念章每天获得600元以上的销售额，则这批纪念章的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得出关于的不等式，再结合可得出答案. 【详解】由题意，得，即， ∴，解得， 又每枚的最低售价为15元，∴. 故选：B. 2．（23-24高一下·湖北宜昌·阶段练习）某商店的圆珠笔以每支3元的价格销售，每年可以售出6万支．根据市场调查，该圆珠笔的单价每提高0.1元，销售量就减少1000支．设每支圆珠笔的定价为（且）元，要使得提价后的年总销售额比原来至少多2万元，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】定价为元时，销售数量为，从而求出定价为元时的总销售额，依据题意列出不等式解出即可. 【详解】当定价为元时，销售数量为 所以总销售额而 由题意得：（） 解的： 则的最小值为：4 故答案为：4. 3．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）2020年11月23日，贵州宣布最后9个深度贫困县退出贫困县序列，这不仅标志着贵州省66个贫困县实现整体脱贫，这也标志着国务院扶贫办确定的全国832个贫困县全部脱贫摘帽，全国脱贫攻坚目标任务已经完成．在脱贫攻坚过程中，某地县乡村三级干部在帮扶走访中得知某贫困户的实际情况后，为他家量身定制了脱贫计划，政府无息贷款10万元给该农户种养羊，每万元可创造利润0.15万元．若进行技术指导，养羊的投资减少了万元，且每万元创造的利润变为原来的倍．若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润，求x的取值范围； 【答案】 【分析】根据题意分别求技术指导前后的利润，再求解不等式，即可求解. 【详解】由题意，得 ， 整理得，解得：，又， 所以， 答：的取值范围为 【变式训练14 已知二次函数单调区间求参数值或范围】 1．（23-24高三上·陕西渭南·阶段练习）若二次函数在上为减函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由求解. 【详解】解：因为二次函数在上为减函数， 所以，解得， 所以的取值范围为， 故选：D 2．（22-23高三上·陕西咸阳·阶段练习）若函数在上是增函数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】函数的对称轴为，由即可求得． 【详解】函数的对称轴为， 又函数在，上是增函数， ，． 故答案为：． 3．（23-24高一上·云南大理·期末）已知二次函数，且函数的最小值为. (1)求解析式； (2)若函数在上的最小值为求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知条件和二次函数的性质直接算出即可； （2）配方，找到对称轴，分和两种情况，结合函数的单调性讨论. 【详解】（1） 为二次函数，且最小值为， 令， 又，，即. （2），对称轴为， 当时，在单调递增， 所以， 解得与矛盾，故； 当时，在单调递减，在单调递增， 所以，解得，又， 所以 ， 综上，. 【变式训练15 根据二次函数的最值或值域求参数】 1．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）已知函数​其中​是实数​中，​的取值范围是​，若关于​的不等式​的解集为​，则实数​的值为（   ） A．​ B．​ C．​ D．​ 【答案】A 【分析】由二次函数值域可得，再利用不等式的解集，结合一元二次方程根与系数的关系列式求解即得. 【详解】因为的取值范围是，则，解得， 因为不等式的解集为， 令，即，则此方程的两根为，， 且，解得，而， 于是， 即，解得， 所以实数的值为16. 故选：A 2．（23-24高一上·全国·单元测试）已知函数. （1）若在区间上为单调函数，则a的取值范围为 ； （2）若在区间上的最小值为，则a的值为 . 【答案】 【分析】第一空：先根据换元法求得，进而根据二次函数的单调性求解即可得答案； 第二空：分，，三种情况讨论求解即可得答案. 【详解】令，则， 所以， 所以 对于第一空，因为图像的对称轴为， 由题意知或，解得或. 故实数a的取值范围为. 对于第二空，当时，， 解得(舍去)； 当时， ， 解得； 当时， ， 解得 (舍去). 综上，. 故答案为：；. 3．（23-24高一上·河南·阶段练习）已知二次函数的图象关于直线对称，且经过点： (1)求函数的解析式； (2)若函数在上的值域为，求的值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据题意，可设，代入的坐标，列出方程组，求得的值，即可得到函数的解析式； （2）由，得到，根据二次函数的性质可知，得到在上单调递增，结合题意，列出方程组，即可求解. 【详解】（1）解：因为二次函数的图象关于直线对称，设， 把点代入可得，解得， 所以，即二次函数的解析式为. （2）解：因为，且在上的值域为， 所以，可得， 由二次函数的性质可知，在上单调递增，所以在上单调递增， 因为在上的值域为，所以，即， 即是方程的两个根， 又因为，解得. 1．（2024·天津·模拟预测）已知，，则是的（    ）条件 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】分别求得对应命题的范围，根据集合语言和命题语言的关系，即可判断. 【详解】由得， 由得， 则是的必要不充分条件. 故选：B. 2．（23-24高一下·河南·阶段练习）若命题“，”为假命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】命题“，”为假命题，所以它的否定为真命题，建立不等式求解即可. 【详解】因为命题“，”为假命题， 所以它的否定“，”为真命题， 则，解得． 故选：D 3．（23-24高三上·河北石家庄·阶段练习）不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】化分式不等式为一元二次不等式求解即得. 【详解】不等式化为：，解得， 所以不等式的解集是. 故选：B 4．（2024·江西南昌·三模）已知“”，“”，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用给定条件得到，再利用分离参数法求解参数范围即可. 【详解】若是的充分不必要条件，故在时恒成立， 故得，令，由二次函数性质得在时单调递增， 则，可得，故B正确. 故选：B 5．（2024·河北张家口·三模）已知正数m，n满足，则的最大值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】在等式两边同时乘以，利用基本不等式可得出关于的不等式，进而可解得的最大值. 【详解】因为m，n为正数，则，当且仅当时，等号成立， 因为， 所以，在等式两边同时乘以，可得： ， 即，解得. 当且仅当时，即当时，取得最大值8. 故选：D. 6．（2024高二下·天津南开·学业考试）已知当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分析可知：原题意等价于当时，不等式恒成立，结合基本不等式运算求解. 【详解】因为当时，不等式恒成立，则， 原题意等价于当时，不等式恒成立， 又因为，当且仅当，即等号成立， 可得，所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 7．（23-24高二下·天津·阶段练习）关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可知恒成立，分、两种情况讨论，结合判别式即可求出. 【详解】因为的解集为， 即恒成立， 当时，即，解得，不符合题意； 当时，则’解得； 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为： 8．（2024·云南·模拟预测）已知集合，若且，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据已知条件，利用分式不等式求解集合，结合集合交集､并集的定义，即可求解. 【详解】由得：， 所以， 因为且， 所以. 故答案为：. 9．（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）已知，不等式的解集是．若不等式组的正整数解只有一个，则实数k的取值范围是 【答案】 【分析】根据不等式的解集是，得到0，5是一元二次方程的两个实数根，利用韦达定理得到参数所满足的条件，最后求得的解析式；先求得不等式组的解，根据只有一个正整数解，得到参数所满足的条件，求得结果. 【详解】因为不等式的解集是， 所以0，5是一元二次方程的两个实数根， 可得，解得，所以； 不等式组，即为，解得， 因为不等式组的正整数解只有一个，可得该正整数解就是6， 可得，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 10．（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）已知函数，若不等式的解集是，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意，可得一元二次不等式的解集是，由此列式算出实数的值． 【详解】，即，解集是， 所以，且是方程的两个实数根， 于是由韦达定理可得， 解得不符合题意，舍去）． 故答案为：． 11．（23-24高二下·河北沧州·阶段练习）已知集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围 【答案】(1)或 (2). 【分析】（1）解不等式，求出，利用交集的概念求出答案； （2）先得到，根据必要条件得到，从而得到不等式，求出实数的取值范围. 【详解】（1）， 当时，或， 所以或； （2）由（1）得，或， 故， 因为“”是“”的必要条件，所以， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 12．（2024高三下·全国·专题练习）若关于x的不等式的解集是一个开区间，且区间的长度L满足，求实数m的取值范围（注：开区间的长度）. 【答案】 【分析】设方程的两根为，由，和，结合韦达定理解关于m的不等关系式即可. 【详解】据题意得，设等价于， ，得或， 则，，由得， 即，化简得， ∴ 等价于解得 ∵，，∴m的取值范围是. 13．（23-24高三下·北京·阶段练习）已知关于的不等式的解集是． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）直接将代入不等式即可解出； （2）使用二次函数知识将二次不等式化为两根式，然后比较系数得到方程组，再解出方程组即可. 【详解】（1）等价于原不等式对成立，即. 解得，所以的取值范围是. （2）意味着，且. 展开并比较系数可知，故. 而，故，从而，解得，进而得到. 经验证当，时条件满足，所以，. 14．（2024·内蒙古锡林郭勒盟·模拟预测）已知函数． (1)当时，求的最大值； (2)求使成立的的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由可知， 化简利用基本不等式可求得结果； （2）由题意可得，根据分式不等式的解法求解即可. 【详解】（1）， 当时，， 因为， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为 （2）因为，若，所以， 得或 解得或，即的取值范围是． 15．（23-24高一上·四川乐山·期中）已知函数． (1)求不等式的解集； (2)若，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）直接解不等式即可； （2）转化问题转化为恒成立，然后利用基本不等式求出的最小值即可. 【详解】（1）不等式，即为， 则有， 解得或， 所以不等式的解集为或． （2）不等式，即为， 所以，只需的最小值大于或等于即可， 因为， 当且仅当即时取等号． 所以的最小值为，所以， 故的取值范围是 学科网（北京）股份有限公司 $$