3.2函数的表示法 讲义-2025年暑假新高一数学人教A版（2019）必修第一册

3.2函数的表示法 学习目标及重难点 1 知识梳理 2 知识点1 函数的表示法 2 知识点2 分段函数 2 题型训练 2 题型1 函数的三种表示法 2 题型2 待定系数法求函数解析式 5 题型3 换元法求函数解析式 7 题型4 方程组法求函数解析式 8 题型5 求分段函数解析式或分段函数的值 10 题型6 已知分段函数的值求参数或自变量 12 题型7 分段函数的值域 15 题型8 解分段不等式 17 题型9 根据实际问题作函数图象 21 过关检测 24 学习目标： 1．熟知函数的解析法、列表法、图象法这三种表示方法，明晰各自优点，并能依题意灵活选用。 2．准确理解分段函数概念，掌握其表示形式，会求解分段函数相关问题。 3．借由函数不同表示法间的转换，增强数形结合思维，提升数学应用能力。 重难点： 重点：掌握函数三种表示法，学会综合运用其解决问题；理解分段函数并能正确处理。 难点：依据实际情境，恰当选择函数表示法；深入理解分段函数在不同区间的对应关系。 知识点1 函数的表示法 函数的表示法 解析法 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系 列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系 注意：列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示． 知识点2 分段函数 1．分段函数就是在函数定义域内，对于自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数． 2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集． 注意：(1)分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数． （2）分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．如，其“段”是不等长的． （3）分段函数的图象要分段来画． 题型1 函数的三种表示法 1．水以恒速注入下图所示容器中，则水的高度与时间满足的函数图象是（    ） A． B． C． D． 2．如图，是函数的图象上的三点，其中，则的值为（   ）    A． 0 B． 1 C．2 D．3 3．（多选）甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是.如图所示表示甲同学从家山发到乙同学家经过的路程与时间的关系，下列结论正确的是（    ） A．甲同学从家出发到乙同学家走了 B．甲从家到公园的时间是 C．当时，与的关系式为 D．甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢 4．一个游泳池的底面是一个正方形，边长为，泳池正常使用时水面高度为，现在为了清洗游泳池，需要把泳池的水全部排掉，已知水流速度是，求泳池内水面高度与时间之间的函数解析式． 5．已知函数，分别由下表给出 x 1 2 3 2 3 1 3 2 1 （1）则当时， ． （2）则 ． 题型2 待定系数法求函数解析式 6．已知对任意的，都有，则一次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 7．若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 8．已知是反比例函数，且，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 9．已知一次函数满足，则 . 10．设二次函数，集合，且，求函数的解析式. 题型3 换元法求函数解析式 11．已知，则（   ） A． B． C． D． 12．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 13．若函数，则（    ） A． B． C． D． 14．已知，则 ． 15．已知函数满足，求函数的解析式． 题型4 方程组法求函数解析式 16．（多选）若函数满足关系式，则（    ） A． B． C． D． 17．已知函数的定义域是一切非零实数，且满足，则的表达式为 . 18．已知函数的定义域为R，且满足，则的解析式是 ． 19．已知函数满足. (1)求的解析式； (2)求函数在上的值域. 题型5 求分段函数解析式或分段函数的值 20．已知函数，则（    ） A． B． C．2 D．4 21．已知函数的图象如图所示，则的解析式是 ．    22．已知函数，则 23．函数，已知，则 ． 24．已知函数，则 ． 25．已知函数的图象是折线段，且，则函数的图象与轴围成的图形面积为 . 题型6 已知分段函数的值求参数或自变量 26．已知函数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 27．设函数，若，则（   ） A．或 B．或 C． D． 28．已知函数，若，则x的可能取值为 . 29．已知函数，若，则实数的值为 ． 30．已知函数，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 31．设，若，则实数 . 题型7 分段函数的值域 32．函数的值域为（   ） A． B． C． D． 33．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 34．已知，则函数的值域为 ． 35．作出下列函数的图象并求出其值域． (1)； (2)． 题型8 解分段不等式 36．设函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 37．已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 38．如图，函数的图象为折线段，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 39．已知函数的定义域为，且的图象如图所示，则不等式的解集为 ． 40．已知函数，若，则的取值范围是 . 41．已知函数则不等式的解集为 ． 题型9 根据实际问题作函数图象 42．已知边长为1的正方形，为边的中点，动点在正方形边上沿运动，设点经过的路程为，的面积为，则关于的函数的图像大致为（    ） A． B． C． D． 43．一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与快车行驶时间t（小时）之间的函数图象是（    ） A． B． C． D． 44．海尔学校组织体测，小海同学沿直线跑道从起点出发，前进了akm，觉得有点累，休息了一会，不想坚持下去了就沿原路返回bkm（b＜a）．听到老师和同学的鼓舞，小海同学认为海尔学子应当不怕困难，便转头继续前进．则该同学离起点的位移s与时间t的图象大致为（　　） A． B． C． D． 45．杭州亚运会火炬如图（1）所示，小红在数学建模活动时将其抽象为图（2）所示的几何体.假设火炬装满燃料，燃烧时燃料以均匀的速度消耗，记剩余燃料的高度为，则关于时间的函数的大致图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   一、单选题 1．已知函数的对应关系如下表，函数的图象是如下图的曲线，其中，则（   ） x 1 2 3 2 3 0 A．3 B．2 C．1 D．0 2．设，则（    ） A． B． C． D． 3．若函数，则（ ） A． B． C． D． 5．称方程的根为函数的“+1点”，则函数的“点”为（   ） A． B．或 C．或1 D． 6．设，若，则（    ） A． B． C． D． 7．已知则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 8．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（   ） A．的值域为 B．满足 C． D．存在x，y是无理数，使得 9．已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（    ） A． B．若，则的值是 C．的解集为 D．的值域为 三、填空题 10．设，函数满足，函数的解析式为 . 11．如图所示，函数的图像是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为， ，，则 . 12．已知函数，若存在，且，使得成立，则实数k的取值范围是 . 四、解答题 13．求下列函数的解析式. (1)已知，求； (2)已知，求； (3)已知，求. 14．给定函数，，． (1)在同一直角坐标系中画出函数，的图象； (2)，用表示，中的较大者，记为．请分别用图象法和解析法表示函数． 15．设函数 (1)若，求实数的值； (2)求不等式的解集. 16．如图，是边长为2的正三角形，记位于直线右侧的图形的面积为函数．    (1)求的解析式； (2)已知时，．若正实数满足，求的最小值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.2函数的表示法 学习目标及重难点 1 知识梳理 2 知识点1 函数的表示法 2 知识点2 分段函数 2 题型训练 2 题型1 函数的三种表示法 2 题型2 待定系数法求函数解析式 5 题型3 换元法求函数解析式 7 题型4 方程组法求函数解析式 8 题型5 求分段函数解析式或分段函数的值 10 题型6 已知分段函数的值求参数或自变量 12 题型7 分段函数的值域 15 题型8 解分段不等式 17 题型9 根据实际问题作函数图象 21 过关检测 24 学习目标： 1．熟知函数的解析法、列表法、图象法这三种表示方法，明晰各自优点，并能依题意灵活选用。 2．准确理解分段函数概念，掌握其表示形式，会求解分段函数相关问题。 3．借由函数不同表示法间的转换，增强数形结合思维，提升数学应用能力。 重难点： 重点：掌握函数三种表示法，学会综合运用其解决问题；理解分段函数并能正确处理。 难点：依据实际情境，恰当选择函数表示法；深入理解分段函数在不同区间的对应关系。 知识点1 函数的表示法 函数的表示法 解析法 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系 列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系 注意：列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示． 知识点2 分段函数 1．分段函数就是在函数定义域内，对于自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数． 2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集． 注意：(1)分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数． （2）分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．如，其“段”是不等长的． （3）分段函数的图象要分段来画． 题型1 函数的三种表示法 1．水以恒速注入下图所示容器中，则水的高度与时间满足的函数图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】此容器从下往上口径先由大变小，再由小变大，故等速注入液体其高度增加变化率先由慢变快，再由快变慢， A、B、C选项中：函数图象中高度变化率分别是先快后慢、先慢后快、匀速的增加，与题干不符，故排除； D选项：当注水开始时，函数图象中高度变化率是先由慢变快，再由快变慢，符合题意； 故选：D. 2．如图，是函数的图象上的三点，其中，则的值为（   ）    A． 0 B． 1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】由图象可知，所以， 故选：D. 3．（多选）甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是.如图所示表示甲同学从家山发到乙同学家经过的路程与时间的关系，下列结论正确的是（    ） A．甲同学从家出发到乙同学家走了 B．甲从家到公园的时间是 C．当时，与的关系式为 D．甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢 【答案】BCD 【详解】由已知得，甲在公园休息的时间是， 所以甲同学从家出发到乙同学家走了，A错； 由图像知，甲从家到公园的时间是，B正确； 甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用时间长， 而距离相等，所以甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，D正确； 当时，设， 则，解得，C正确. 故选：BCD 4．一个游泳池的底面是一个正方形，边长为，泳池正常使用时水面高度为，现在为了清洗游泳池，需要把泳池的水全部排掉，已知水流速度是，求泳池内水面高度与时间之间的函数解析式． 【答案】 【详解】由题，泳池正常使用时总的水量为，随时间的推移排出的水量为， 又因为泳池排完所有水总共用时为， 故泳池内水面高度与时间之间的函数解析式为． 5．已知函数，分别由下表给出 x 1 2 3 2 3 1 3 2 1 （1）则当时， ． （2）则 ． 【答案】 1 3 【详解】根据函数和表格中的数据，可得： 由和，可得，所以； 又由，所以. 故答案为：；. 题型2 待定系数法求函数解析式 6．已知对任意的，都有，则一次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设， 则， 因为，即， 则，解得，所以. 故选：C. 7．若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设（），由，则， 由，则， 整理可得，则，解得， 所以. 故选：B. 8．已知是反比例函数，且，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设， ∵，， ∴. 故选：B. 9．已知一次函数满足，则 . 【答案】 【详解】设，由， 即，即， 即，解得，所以. 故答案为：. 10．设二次函数，集合，且，求函数的解析式. 【答案】 【详解】由可得， 又因为集合，所以得解为和， 代入得，解得， 所以. 题型3 换元法求函数解析式 11．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 且，或， 当且仅当即时取等. 所以. 故选：D. 12．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则，， 由， ∴， ∴． 故选：B． 13．若函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由， 而， 所以． 故选：D． 14．已知，则 ． 【答案】 【详解】令，则，故，故 故答案为： 15．已知函数满足，求函数的解析式． 【答案】 【详解】因为． 故． 题型4 方程组法求函数解析式 16．（多选）若函数满足关系式，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】令为代入计算，得到， 结合，两式联立解得. 对于A，令，则，则A正确； 对于B，令，则，则B正确； 对于C，令，则，令，则.，则C错误； 对于D，令，代入原已知式子，则，即，则D正确. 故选：ABD. 17．已知函数的定义域是一切非零实数，且满足，则的表达式为 . 【答案】 【详解】由得， 联立两式解得. 故答案为：. 18．已知函数的定义域为R，且满足，则的解析式是 ． 【答案】 【详解】由，得， 联立两式消去，得，解得， 所以的解析式是. 故答案为： 19．已知函数满足. (1)求的解析式； (2)求函数在上的值域. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由可得： ， 通过消元可得. （2）由题意可得， 因为的图象的对称轴为，在上单调递增， 所以， ， 所以在上的值域为. 题型5 求分段函数解析式或分段函数的值 20．已知函数，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【详解】. 故选：C. 21．已知函数的图象如图所示，则的解析式是 ．    【答案】 【详解】当时，为一次函数的一部分， 把点和代入到中， 解得，即； 当时，也为一次函数的一部分， 把点和代入到中， 解得，即.综上所述，. 故答案为：. 22．已知函数，则 【答案】 【详解】因为，所以， 故答案为：. 23．函数，已知，则 ． 【答案】0 【详解】时，，； 时，，. 综上所述，. 故答案为：0 24．已知函数，则 ． 【答案】 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 25．已知函数的图象是折线段，且，则函数的图象与轴围成的图形面积为 . 【答案】 【详解】由题可得，， ， 设函数的图象与轴围成的图形面积为， 如图，由二次函数和可知，曲边三角形的面积等于曲边三角形的面积， 所以. 故答案为：. 题型6 已知分段函数的值求参数或自变量 26．已知函数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当时，由得，解得. 当时，由得，得. 所以由得或， 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 27．设函数，若，则（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【详解】当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递增， 又，若，此时，不合题设， 所以，即， 由，可得， 整理得，解得或（舍去）， 所以． 故选：C. 28．已知函数，若，则x的可能取值为 . 【答案】1或 【详解】当时，，解得； 当时，，解得； 综上，或． 故答案为：1或． 29．已知函数，若，则实数的值为 ． 【答案】 【详解】①当，即时，，由解得（舍）， ②当，即时，， （Ⅰ）若，即时，有，解得； （Ⅱ）若时，即时，有方程无解. 综上，． 故答案为： 30．已知函数，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为当时，单调递增，当时，单调递减， 所以．由，得， 所以．令，得， 因为在上单调递增， 所以， 故选：A. 31．设，若，则实数 . 【答案】 【详解】因为， 又当时，， 所以， 因为当时，， 所以， 因为， 故， 所以. 故答案为：. 题型7 分段函数的值域 32．函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，， 而当时，，当且仅当时等号成立， 故函数的值域为， 故选：D. 33．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，； 当时，； 当时，， 所以函数的值域为. 故选:A. 34．已知，则函数的值域为 ． 【答案】 【详解】令，解得， 函数大致图像如下： 由图可知，函数， 故答案为：. 35．作出下列函数的图象并求出其值域． (1)； (2)． 【答案】(1)图像见解析， (2)图像见解析， 【详解】（1）因为， 列表如下： x … 1 2 3 … y … 4 2 1 2 3 … 当时,图像是反比例函数图像的一部分； 当时,图像是直线的一部分,作该分段函数的图像如图所示, 由图可得函数的值域是. （2）当,即时,； 当,即时,； 所以， 作该分段函数的图像如图所示, 由图可得函数的值域是. 题型8 解分段不等式 36．设函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意，由于函数， 那么可知当，则，解得； 当，则，即，解得或， 综上，不等式的解集是. 故选：A. 37．已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得或， 解得， 所以不等式的解集为. 故选：A 38．如图，函数的图象为折线段，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的图象为折线段，且, 故可设， 且，，， 所以，， 所以， 当时，不等式可化为，， 即，故（舍去）， 当时，不等式可化为，， 即，故. 所以不等式的解集是. 故选：D. 39．已知函数的定义域为，且的图象如图所示，则不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】由图象：当时，设的解析式为，将代入， 可得到方程组，解得，故当时，； 同理可得，当时，． 当时，不等式， 可化为， 解得，所以． 当时，不等式， 可化为， 解得，所以． 综上所述，不等式的解集为． 故答案为： 40．已知函数，若，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】令，则，原不等式化为， 当时，，解得，即； 当时，，解得，即， ①， 当时，，解得；当时，，无解， 因此， ②， 当时，，解得；当时，，解得， 因此或， 所以a的取值范围是：. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：设，分类讨论求出t的范围是求解的关键. 41．已知函数则不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】， ， 当时，． 当时，，故． 总综上知． 故答案为：． 题型9 根据实际问题作函数图象 42．已知边长为1的正方形，为边的中点，动点在正方形边上沿运动，设点经过的路程为，的面积为，则关于的函数的图像大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当动点在正方形边上沿运动时， 则的面积为； 当动点在正方形边上沿运动时， 则的面积为； 当动点在正方形边上沿运动时， 则的面积为； 所以，所以A正确，BCD错误； 故选：A. 43．一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与快车行驶时间t（小时）之间的函数图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当两车同时相向出发时，相遇时间小时， 此时两车距离为0，快车行驶时间为4小时，故排除B选项； 相遇时，快车已经行驶的路程为千米， 还需要行驶小时才能到达乙地，故排除A选项； 特快车相遇时已经行驶的路程为千米， 只需要再行驶小时才能到达甲地， 所以当特快车停止行驶时，快车还在行驶，此时直线的倾斜程度要变小一些，故排除D选项. 故选：C. 44．海尔学校组织体测，小海同学沿直线跑道从起点出发，前进了akm，觉得有点累，休息了一会，不想坚持下去了就沿原路返回bkm（b＜a）．听到老师和同学的鼓舞，小海同学认为海尔学子应当不怕困难，便转头继续前进．则该同学离起点的位移s与时间t的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】小海同学沿直线跑道从起点出发，前进了akm，觉得有点累，休息了一会， 所以小海同学离起点的位移s先增大，后不变，可排除B， 之后小海同学不想坚持下去了就沿原路返回bkm（b＜a），听到老师和同学的鼓舞，小海同学认为海尔学子应当不怕困难，便转头继续前进， 所以之后s随t的增大先减小，再增大，故排除AC． 故选：D． 45．杭州亚运会火炬如图（1）所示，小红在数学建模活动时将其抽象为图（2）所示的几何体.假设火炬装满燃料，燃烧时燃料以均匀的速度消耗，记剩余燃料的高度为，则关于时间的函数的大致图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【详解】由图可知，该火炬中间细，上下粗，燃烧时燃料以均匀的速度消耗， 燃料在燃烧时，燃料的高度一直在下降，刚开始时下降的速度越来越快， 燃料液面到达火炬最细处后，燃料的高度下降得越来越慢， 结合所得的函数图象，A选项较为合适. 故选：A. 一、单选题 1．已知函数的对应关系如下表，函数的图象是如下图的曲线，其中，则（   ） x 1 2 3 2 3 0 A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【详解】由的图象与的对应法则表可知，所以． 2．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 则，故B正确. 故选：B 3．若函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】利用配凑法分析可得出函数的解析式，需要注意定义域. 【详解】对于函数，，可得，故函数的定义域为， 当时，，即函数的图象过原点，排除B选项； 当时，，则，排除AD选项. 故选：C. 5．称方程的根为函数的“+1点”，则函数的“点”为（   ） A． B．或 C．或1 D． 【答案】A 【详解】由题意可得，当时，由，解得（舍去）， 当时，由，解得或（舍去）， 综上所述，函数的“点”为. 故选：A 6．设，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知， 当时，，所以由得； 当时，，所以由得，无解. 综上，. 故选：C. 7．已知则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，， 当时，是单调递减的一次函数，，取值范围是， 当时，是单调递增的一次函数，取值范围是, 所以的值域为. 令，设，则，， 得， 当时，；当时，的取值范围是， 所以的取值范围是，即的值域为. 故选：B 二、多选题 8．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（   ） A．的值域为 B．满足 C． D．存在x，y是无理数，使得 【答案】BCD 【详解】对于A，的函数值只可能是0或1，所以的值域为，故A错误； 对于B，若，则，可得； 若，则，可得． 综上所述，对于任意，总有成立，故B正确； 对于C，若，则，可得， 若，则，可得， 综上所述，，故C正确； 对于D，取，则，故D正确． 故选：BCD． 9．已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（    ） A． B．若，则的值是 C．的解集为 D．的值域为 【答案】AB 【详解】对A：因为，则，故A正确； 对B：当时，，解得（舍去）， 当时，，解得或（舍去），故B正确； 对C：当时，，解得， 当时，，解得， 所以的解集为，故C错误； 对D：当时，的取值范围是， 当时，的取值范围是， 因此的值域为，故D错误； 故选：AB. 三、填空题 10．设，函数满足，函数的解析式为 . 【答案】 【详解】由，，① 将换成得：，② ①②得：， 即， 故答案为：. 11．如图所示，函数的图像是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为， ，，则 . 【答案】0 【详解】由图知，， 所以， ， 故答案为：0. 12．已知函数，若存在，且，使得成立，则实数k的取值范围是 . 【答案】 【详解】当时，为增函数，且当时，， 因为存在，且，使得成立， 所以在时不单调或， 即或，解得或， 所以实数k的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 13．求下列函数的解析式. (1)已知，求； (2)已知，求； (3)已知，求. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）令，则， 于是有， 所以. （2）函数，又的值域为， . （3）∵， ∴用替换上式中的，得到， 解方程组，得. 14．给定函数，，． (1)在同一直角坐标系中画出函数，的图象； (2)，用表示，中的较大者，记为．请分别用图象法和解析法表示函数． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【详解】（1）同一直角坐标系中函数，的图象如下：    （2）结合的定义，可得函数的图象：    由，得，解得，或． 由图易知的解析式为. 15．设函数 (1)若，求实数的值； (2)求不等式的解集. 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）当，，即，解得（不符题意舍去）； 当，，解得. 故当时，或 （2）由于，则； 当，，即，整理得，结合，解得； 当，，即，解得. 于是的解集为 16．如图，是边长为2的正三角形，记位于直线右侧的图形的面积为函数．    (1)求的解析式； (2)已知时，．若正实数满足，求的最小值． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）当时，， 当时，； 当时，； 综上所述 （2）由（1）知，当时，，或-1（舍去）； 当时，，或3（舍去）； 所以． ， 都是正实数，， 当且仅当，即，时，等号成立， 取最小值，的最小值为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$