第05讲 全称量词与存在量词（4大知识点+11大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假新高一数学衔接讲义（人教A版2019必修第一册）

第05讲 全称量词与存在量词（4大知识点+11大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 判断命题是否为全称命题 题型二 用全称量词改写命题 题型三 判断全称命题的真假 题型四 根据全称命题的真假求参数 题型五 判断命题是否为特称（存在性）命题 题型六 用存在量词改写命题 题型七 判断特称（存在性）命题的真假 题型八 根据特称（存在性）命题的真假求参数 题型九 全称命题的否定及其真假判断 题型十 特称命题的否定及其真假判断 题型十一 含有一个量词的命题的否定的应用 知识点01：全称量词与全称量词命题 概念:短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“”表示.含有全称量词的命题,叫做全称量词命题. 表示:全称量词命题“对中任意一个,成立”可用符号简记为.　 对全称量词与全称量词命题的理解 (1)从集合的观点看,全称量词命题是陈述某集合中的所有元素都具有某种性质的命题.注意:全称量词表示的数量可能是有限的,也可能是无限的,由题目而定. (2)常见的全称量词还有“一切”“任给”等. (3)一个全称量词命题可以包含多个变量,如“”. (4)全称量词命题含有全称量词,有些全称量词命题中的全称量词是省略的,理解时需把它补充出来.例如,命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”. 知识点02：存在量词与存在量词命题 概念:短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,用符号“”表示.含有存在量词的命题,叫做存在量词命题. 表示:存在量词命题“存在中的元素,成立”,可用符号简记为. 对存在量词与存在量词命题的理解 (1)从集合的观点看,存在量词命题是陈述某集合中有(存在)一些元素具有某种性质的命题. (2)常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等. (3)含有存在量词的命题,不管包含的程度多大,都是存在量词命题. (4)一个存在量词命题可以包含多个变量,如“”. (5)含有存在量词“存在”“有一个”等的命题,或虽没有写出存在量词,但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题. 知识点03：全称量词命题和存在量词命题的否定 1全称量词命题及其否定（高频考点） ①全称量词命题：对中的任意一个，有成立；数学语言：. ②全称量词命题的否定：. 2存在量词命题及其否定（高频考点） ①存在量词命题：存在中的元素，有成立；数学语言：. ②存在量词命题的否定：. 知识点4：常用的正面叙述词语和它的否定词语 正面词语 等于（） 大于（） 小于（） 是 否定词语 不等于（） 不大于（） 不小于（） 不是 正面词语 都是 任意的 所有的 至多一个 至少一个 否定词语 不都是 某个 某些 至少两个 一个也没有 【典型例题一 判断命题是否为全称命题】 1．（23-24高一上·陕西榆林·阶段练习）下列命题是全称量词命题的是（    ） A．存在一个实数的平方是负数 B．至少有一个整数x，使得是质数 C．每个四边形的内角和都是360° D．， 2．（22-23高一上·河南·期中）下列命题是全称量词命题的是（    ） A．存在一个实数的平方是负数 B．每个四边形的内角和都是360° C．至少有一个整数，使得是质数 D．， 3．（23-24高一上·贵州黔东南·阶段练习）下列命题中： ①任意一个自然数都是正整数； ②有的菱形是正方形； ③三角形的内角和是180°. 其中是全称量词命题的是： . 4．（23-24高一上·全国·课后作业）将“方程无实根”改写成含有一个量词的命题的形式，可以写成 ． 5．（22-23高一·全国·随堂练习）判断下列命题是不是全称量词命题，如果是，指出其中的全称量词： (1)每一个多边形的外角和都是； (2)所有的素数都是奇数； (3)对任意的无理数x，也是无理数； (4)，x都有平方根； (5)，有． 【典型例题二 用全称量词改写命题】 1．（23-24高一·全国·课后作业）将“x2+y2≥2xy”改写成全称命题，下列说法正确的是（　　） A．∀x，y∈R，都有x2+y2≥2xy B．∃x，y∈R，都有x2+y2≥2xy C．∀x＞0，y＞0，都有x2+y2≥2xy D．∃x＜0，y＜0，都有x2+y2≤2xy 2．（23-24高二上·宁夏固原·期末）“三个数a，b，c不都为0”的否定为（    ） A．三个数a，b，c都不是0 B．三个数a，b，c至多有一个为0 C．三个数a，b，c至少一个为0 D．三个数a，b，c都为0 3．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）观察下面几个算式， ； ； ； ； ； 得到含有量词的全称量词命题或存在量词命题为 4．（23-24高一上·江苏·课前预习）全称量词与全称量词命题 （1）短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做 ，用符号 表示； （2）含有 量词的命题叫做全称量词命题，其一般形式为： . 5．（23-24高一上·全国·课后作业）用量词“∀”表达下列命题： (1)实数都能写成小数形式; (2)凸n边形的外角和等于360°; (3)任意一个实数乘 都等于它的相反数． 【典型例题三 判断全称命题的真假】 1．（2024高三·全国·专题练习）下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（ ） A．， B．对任意实数，，若，则 C．若为偶数，则 D．是无理数 2．（23-24高一上·河北沧州·阶段练习）关于命题“，”，下列判断正确的是（    ） A．该命题是全称量词命题，且是真命题 B．该命题是存在量词命题，且是真命题 C．该命题是全称量词命题，且是假命题 D．该命题是存在量词命题，且是假命题 3．（23-24高三下·全国·自主招生）下列哪些命题是真命题？ （1）是的充要条件 （2） （3），使得 （4）若为无理数，则为无理数 4．（23-24高一上·全国·课后作业）对每一个x1∈R，x2∈R，且x1<x2，都有<是 (填“全称”或“存在”)量词命题，是 (填“真”或“假”)命题. 5．（2023高一·全国·课后作业）能说明“若，则”为假命题的一组，的值依次为？ 【典型例题四 根据全称命题的真假求参数】 1．（22-23高三上·山东淄博·阶段练习）若命题p：“，”是真命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·江苏南京·期中）已知为实数，使“”为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·广西玉林·阶段练习）已知集合，若命题“，恒成立”为真命题，则实数的取值范围是 . 4．（23-24高一上·陕西榆林·阶段练习）命题：“，”为假命题，则的取值范围为 . 5．（23-24高一上·全国·课后作业）若命题“，一次函数的图象在x轴上方”为真命题，求实数m的取值范围． 【典型例题五 判断命题是否为特称（存在性）命题】 1．（23-24高一上·山东青岛·阶段练习）已知命题：存在集合使得，则命题是（    ） A．全称量词命题，且是真命题 B．全称量词命题，且是假命题 C．存在量词命题，且是真命题 D．存在量词命题，且是假命题 2．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）下列命题与“，”表述意义不一致的是（    ） A．有一个实数x令成立 B．有些实数x令成立 C．任何一个实数x都令成立 D．至少有一个实数x令成立 3．（2023高一·江苏·专题练习）下列命题中，是全称量词命题的是 ；是存在量词命题的是 (填序号). （1）每一个矩形的对角线都互相平分；（2）有些集合无真子集；（3）能被8整除的数也能被2整除. 4．（23-24高一上·河北保定·阶段练习）现有下列4个命题：①菱形的四条边相等；②；③存在一个质数为偶数；④正数的平方是正数，其中，全称量词命题的个数为 . 5．（2023高一·江苏·专题练习）判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题： (1)正方形的四条边相等； (2)至少有一个正整数是偶数； (3)正数的平方根不等于0； (4)有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形. 【典型例题六 用存在量词改写命题】 1．（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）下列命题与“，”表述一致的（    ） A．只有一个实数x，使得 B．不存在实数x，使得 C．所有实数x，都有 D．至少有一个实数x，使得 2．（23-24高一上·全国·课后作业）命题“，”不可以表述为（    ） A．有一个，使得 B．对有些，使得 C．任选一个，使得 D．至少有一个，使得 3．（23-24高一上·江苏·课前预习）存在量词与存在量词命题 （1）短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做 ，用符号 表示； （2）含有 量词的命题叫做存在量词命题，其一般形式为： . 4．（23-24高一上·福建福州·期中）选择适当的符号“”､“”表示下列命题：有一个实数x，使： . 5．（2023高一·江苏·专题练习）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“”或“”表示下列命题： (1)自然数的平方大于或等于零； (2)有的一次函数图象经过原点； (3)所有的二次函数的图象的开口都向上． 【典型例题七 判断特称（存在性）命题的真假】 1．（2024高三·全国·专题练习）下列正确命题的个数为（    ） ①，；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24高一上·新疆·阶段练习）下列三个命题中有几个真命题（    ） ①，；②，；③至少有一个实数，使得 A．0 B．1 C．2 D．3 3．（23-24高一上·山西大同·阶段练习）命题是 (填“全称量词命题”或“存在量词命题”)，它是 命题(填“真”或“假”)． 4．（23-24高一上·全国·课后作业）在下列存在量词命题中是真命题的有 . ①有的实数是无限不循环小数；②有些三角形不是等腰三角形；③有的菱形是正方形. 5．（22-23高一·全国·课堂例题）判断下列命题的真假． (1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对都对应一点P． (2)每一条线段的长度都能用正有理数来表示． (3)至少有一个直角三角形不是等腰三角形． (4)存在一个实数x，使得方程成立． (5)，． (6)，，． 【典型例题八 根据特称（存在性）命题的真假求参数】 1．（23-24高一上·山东潍坊·阶段练习）已知“，”为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·甘肃白银·期末）已知为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·山西吕梁·阶段练习）若命题：“，”为假命题，则实数m的取值范围为 . 4．（23-24高一上·湖北襄阳·阶段练习）若，，若命题为假且为真，则实数的取值范围是 ． 5．（2023高一·全国·专题练习）（1）已知对任意的，都有，求实数的取值范围； （2）已知存在实数，使，求实数的取值范围． 【典型例题九 全称命题的否定及其真假判断】 1．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）命题的否定是（    ） A． B． C． D． 2．（2024高二上·福建·学业考试）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·四川成都·模拟预测）已知命题，，则是 . 4．（22-23高三上·河北衡水·阶段练习）命题：“”的否定是 ． 5．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，写出这些命题的否定. (1)，与3的和不等于0； (2)，. 【典型例题十 特称命题的否定及其真假判断】 1．（2024·河南·三模）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二下·北京延庆·期末）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·河北沧州·阶段练习）命题“，使得”的否定为 . 4．（2024·重庆开州·模拟预测）命题“，”的否定形式是 5．（2023高一·江苏·专题练习）写出下列存在量词命题的否定，并判断所得命题的真假： (1)，； (2)至少有一个实数，使； (3)，． 【典型例题十一 含有一个量词的命题的否定的应用】 1．（2024·陕西安康·模拟预测）已知命题，则为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏南京·期末）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高三·全国·课后作业）写出“两个实数都不是无理数”的否定形式： ． 4．（22-23高一·全国·课后作业）写出下列语句的否定形式． （1）“都是”的否定形式是 ； （2）“大于等于”的否定形式是 ； （3）“且”的否定形式是 ． 5．（23-24高二上·江西赣州·阶段练习）（1）设p：；q：，若p是q的充分条件，求实数a的取值范围； （2）若命题“∀x∈R，x2－4x＋a≠0”为假命题，求实数a的取值范围. 【变式训练1 判断命题是否为全称命题】 1．（23-24高一上·辽宁朝阳·阶段练习）下列结论中正确的个数是（    ） ①命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题； ②命题“，”是全称量词命题； ③命题“，”是真命题； ④命题“有一个偶数是质数”是真命题． A．0 B．1 C．2 D．3 2．（23-24高一上·全国·课后作业）对于命题：①任意x∈N，都有x2>0；②任意x∈Q，都有x2∈Q；③存在x∈Z，x2>1；④存在x，y∈R，使|x|＋|y|>0，其中是全称量词命题并且是真命题的是 ．(填序号) 3．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知，命题． (1)判断是全称量词命题，还是存在量词命题； (2)若均为真命题，求的取值范围． 【变式训练2 用全称量词改写命题】 1．（2021·全国·模拟预测）命题的否定为（  ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·山东·期中）根据下述事实，写出一个含有量词的全称量词真命题或存在量词的真命题： ， ， ， …… 3．（22-23高一上·陕西宝鸡·期末）用符号“”与“”表示下列含有量词的命题，并判断真假． (1)对任意实数，方程有实根； (2)存在实数，使得； (3)存在实数，使得等于的10倍． 【变式训练3 判断全称命题的真假】 1．（23-24高一上·辽宁鞍山·期中）下列命题中为真命题的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（22-23高一上·浙江宁波·期中）下列三个命题中，真命题的个数是 个 ①，②，③为方程的根 3．（2023高一·江苏·专题练习）判断下列命题的真假： (1)有一些二次函数的图象过原点； (2)； (3)． 【变式训练4 根据全称命题的真假求参数】 1．（22-23高二下·内蒙古呼和浩特·期末）若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·福建莆田·阶段练习）已知命题“，”，命题“，”．若命题和命题都是真命题，则实数a的取值范围是 ． 3．（23-24高一上·宁夏吴忠·期中）已知集合，． (1)时，求 (2)若命题：“，”是真命题，求实数的取值范围． 【变式训练5 判断命题是否为特称（存在性）命题】 1．（2023·云南昆明·一模）下列判断不正确的是（    ） A．“若，互为相反数，则”是真命题 B．“，”是特称命题 C．若，则x，y都不为0 D．“且”是“”的充要条件 2．（23-24高二上·广东中山·期末）命题，是 (填“全称命题”或“特称命题”)，它是 命题(填“真”或“假”) 3．（23-24高一上·贵州遵义·阶段练习）判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题，并说明理由． (1)对一切实数a，b恒成立； (2)至少存在一对整数x，y，使得方程成立； (3)所有正方形的对角线都互相垂直． 【变式训练6 用存在量词改写命题】 1．（2020高三上·全国·专题练习）下列命题中正确的是（    ） A．命题“”的否定是“” B．若且，则 C．已知，则“”是“”的充分不必要条件 D．命题“若p，则q”的否命题是“若p，则” 2．（23-24高一上·江苏·课后作业）全称量词和全称量词命题 （1）短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号 表示； （2）含有全称量词的命题叫做全称量词命题，其一般形式为： .其中，为给定的集合，是一个含有的语句. 3．（2021高一·江苏·专题练习）用量词符号“”、“”表示下列命题，并判断下列命题的真假． （1）任意实数都有，； （2）存在实数，； （3）存在一对实数、，使成立； （4）有理数的平方仍为有理数； （5）实数的平方大于： （6）有一个实数乘以任意一个实数都等于． 【变式训练7 判断特称（存在性）命题的真假】 1．（23-24高一上·天津红桥·阶段练习）下列命题中错误的有（    ）个 ① ； ②； ③ ； ④ A．0 B．1 C．2 D．3 2．（22-23高一上·天津武清·阶段练习）下列四个命题：①，；②，；③，；④至少有一个实数x，使得．其中真命题的序号是 ． 3．（23-24高一上·江西宜春·开学考试）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假． (1)至少有一个整数，既能被11整除，又能被9整除； (2)，； (3)，使为29的约数； (4)，． 【变式训练8 根据特称（存在性）命题的真假求参数】 1．（23-24高一上·江西·期中）命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·四川泸州·期中）命题“，”是真命题，则实数的取值范围是 . 3．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知命题：，为假命题． (1)求实数的取值集合； (2)设非空集合，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值集合． 【变式训练9 全称命题的否定及其真假判断】 1．（2024·全国·模拟预测）已知命题，则为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·青海海东·阶段练习）命题“”的否定为 ． 3．（2023高一·江苏·专题练习）已知．若p的否定为假命题，求实数m的取值范围． 【变式训练10 特称命题的否定及其真假判断】 1．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山东潍坊·二模）已知命题：，，则为 ． 3．（23-24高一上·青海海东·阶段练习）写出下列命题的否定，并判断命题的否定的真假． (1)，； (2)有一个素数是偶数； (3)任意两个三角形的底边长和底边对应的高的长度相等，那么这两个三角形相似． 【变式训练11 含有一个量词的命题的否定的应用】 1．（23-24高一上·海南·期末）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·山东聊城·期末）已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是 ． 3．（23-24高一上·云南楚雄·期中）已知p：；q：． (1)若p是q的充分不必要条件，求m的取值范围； (2)若是q的必要不充分条件，求m的取值范围． 1．（22-23高二下·北京延庆·期末）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（ ） A．， B．对任意实数，，若，则 C．若为偶数，则 D．是无理数 3．（23-24高二下·浙江宁波·期中）命题“，”的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 4．（2023·天津和平·三模）命题“，”的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 5．（23-24高三下·青海西宁·阶段练习）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 6．（22-23高三上·河北衡水·阶段练习）命题：“”的否定是 ． 7．（2024·四川成都·模拟预测）已知命题，，则是 . 8．（24-25高一上·全国·课前预习）全称量词命题、存在量词命题及含量词命题的否定 命题名称 命题结构 命题简记 命题的否定 全称量词命题 对M中任意一个x，成立 存在量词命题 存在M中的元素x，成立 9．（23-24高一上·上海·期中）已知命题“如果，那么”是真命题，则实数的取值范围是 . 10．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）若命题“，使得”是真命题，则实数m的取值范围为 ． 11．（23-24高一上·新疆·阶段练习）写出下列命题的否定，并判断其真假： (1)； (2)p：有些三角形的三条边相等； (3)p：菱形的对角线互相垂直； (4)． 12．（23-24高一上·陕西延安·阶段练习）写出下列命题的否定，并判断其真假： (1)，方程必有实根； (2)，使得. 13．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）（1）“，使得方程有两个不同的实数解”是真命题，求集合A. （2）若命题“， ”为真命题，求实数a的最小值. 14．（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）设命题：方程有两个不相等的实数根；命题：. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题，一真一假，求实数的取值范围. 15．（22-23高一上·河南平顶山·阶段练习）已知集合，，且． (1)若是真命题，求实数的取值范围； (2)若是真命题，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 全称量词与存在量词（4大知识点+11大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 判断命题是否为全称命题 题型二 用全称量词改写命题 题型三 判断全称命题的真假 题型四 根据全称命题的真假求参数 题型五 判断命题是否为特称（存在性）命题 题型六 用存在量词改写命题 题型七 判断特称（存在性）命题的真假 题型八 根据特称（存在性）命题的真假求参数 题型九 全称命题的否定及其真假判断 题型十 特称命题的否定及其真假判断 题型十一 含有一个量词的命题的否定的应用 知识点01：全称量词与全称量词命题 概念:短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“”表示.含有全称量词的命题,叫做全称量词命题. 表示:全称量词命题“对中任意一个,成立”可用符号简记为.　 对全称量词与全称量词命题的理解 (1)从集合的观点看,全称量词命题是陈述某集合中的所有元素都具有某种性质的命题.注意:全称量词表示的数量可能是有限的,也可能是无限的,由题目而定. (2)常见的全称量词还有“一切”“任给”等. (3)一个全称量词命题可以包含多个变量,如“”. (4)全称量词命题含有全称量词,有些全称量词命题中的全称量词是省略的,理解时需把它补充出来.例如,命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”. 知识点02：存在量词与存在量词命题 概念:短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,用符号“”表示.含有存在量词的命题,叫做存在量词命题. 表示:存在量词命题“存在中的元素,成立”,可用符号简记为. 对存在量词与存在量词命题的理解 (1)从集合的观点看,存在量词命题是陈述某集合中有(存在)一些元素具有某种性质的命题. (2)常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等. (3)含有存在量词的命题,不管包含的程度多大,都是存在量词命题. (4)一个存在量词命题可以包含多个变量,如“”. (5)含有存在量词“存在”“有一个”等的命题,或虽没有写出存在量词,但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题. 知识点03：全称量词命题和存在量词命题的否定 1全称量词命题及其否定（高频考点） ①全称量词命题：对中的任意一个，有成立；数学语言：. ②全称量词命题的否定：. 2存在量词命题及其否定（高频考点） ①存在量词命题：存在中的元素，有成立；数学语言：. ②存在量词命题的否定：. 知识点4：常用的正面叙述词语和它的否定词语 正面词语 等于（） 大于（） 小于（） 是 否定词语 不等于（） 不大于（） 不小于（） 不是 正面词语 都是 任意的 所有的 至多一个 至少一个 否定词语 不都是 某个 某些 至少两个 一个也没有 【典型例题一 判断命题是否为全称命题】 1．（23-24高一上·陕西榆林·阶段练习）下列命题是全称量词命题的是（    ） A．存在一个实数的平方是负数 B．至少有一个整数x，使得是质数 C．每个四边形的内角和都是360° D．， 【答案】C 【分析】根据全称命题与特称命题中的量词即可判断求解. 【详解】选项A，B，D中，分别有“存在”，“至少”，“”这样的特称量词，所以选项A，B，D都为特称命题，选项C：因为有“每个”这样的全称量词，所以命题为全称命题. 故选：C. 2．（22-23高一上·河南·期中）下列命题是全称量词命题的是（    ） A．存在一个实数的平方是负数 B．每个四边形的内角和都是360° C．至少有一个整数，使得是质数 D．， 【答案】B 【分析】根据全称量词命题的定义分析判断. 【详解】对于ACD，均为存在量词命题， 对于B中的命题是全称量词命题. 故选：B 3．（23-24高一上·贵州黔东南·阶段练习）下列命题中： ①任意一个自然数都是正整数； ②有的菱形是正方形； ③三角形的内角和是180°. 其中是全称量词命题的是： . 【答案】①③ 【分析】由全称量词命题的定义判断. 【详解】①任意一个自然数都是正整数， “任意一个”是全称量词，命题是全称量词命题； ②有的菱形是正方形，“有的”是存在量词，命题为存在量词命题； ③三角形的内角和是180°，指的是所有三角形，命题是全称量词命题. 故答案为：①③. 4．（23-24高一上·全国·课后作业）将“方程无实根”改写成含有一个量词的命题的形式，可以写成 ． 【答案】 【分析】根据全称量词命题的形式改写即可． 【详解】由已知，“方程无实根”是全称量词命题， 故可改写为：， 故答案为：． 5．（22-23高一·全国·随堂练习）判断下列命题是不是全称量词命题，如果是，指出其中的全称量词： (1)每一个多边形的外角和都是； (2)所有的素数都是奇数； (3)对任意的无理数x，也是无理数； (4)，x都有平方根； (5)，有． 【答案】(1)是，“每一个” (2)是，“所有” (3)是，“任意” (4)是，“” (5)是，“” 【分析】根据全称量词命题的判断即可. 【详解】（1）命题中含有全称量词“每一个”，故是全称量词命题． （2）命题中含有存在量词“所有”，是全称量词命题． （3）命题中含有全称量词“任意”，是全称量词命题． （4）命题中含有全称量词“”，是全称量词命题． （5）命题中含有全称量词“”，是全称量词命题． 【典型例题二 用全称量词改写命题】 1．（23-24高一·全国·课后作业）将“x2+y2≥2xy”改写成全称命题，下列说法正确的是（　　） A．∀x，y∈R，都有x2+y2≥2xy B．∃x，y∈R，都有x2+y2≥2xy C．∀x＞0，y＞0，都有x2+y2≥2xy D．∃x＜0，y＜0，都有x2+y2≤2xy 【答案】A 【分析】根据两个实数变量x，y的取值对不等式成立无影响，再结合全称命题的定义改写即可． 【详解】因对于任意实数x，y，不等式x2+y2≥2xy都成立，于是将“x2+y2≥2xy”改写成全称命题为：“，都有x2+y2≥2xy”. 故选：A 2．（23-24高二上·宁夏固原·期末）“三个数a，b，c不都为0”的否定为（    ） A．三个数a，b，c都不是0 B．三个数a，b，c至多有一个为0 C．三个数a，b，c至少一个为0 D．三个数a，b，c都为0 【答案】D 【解析】根据“不都为”的否定是“都为”可得答案. 【详解】因为“不都为”的否定是“都为”， 所以“三个数a，b，c不都为0”的否定为“三个数a，b，c都为0”. 故选：D 3．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）观察下面几个算式， ； ； ； ； ； 得到含有量词的全称量词命题或存在量词命题为 【答案】，都有 【分析】根据所给算式规律写出一个全称命题即可. 【详解】由题设算式的规律知：，都有. 故答案为：，都有 4．（23-24高一上·江苏·课前预习）全称量词与全称量词命题 （1）短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做 ，用符号 表示； （2）含有 量词的命题叫做全称量词命题，其一般形式为： . 【答案】 全称量词 全称 5．（23-24高一上·全国·课后作业）用量词“∀”表达下列命题： (1)实数都能写成小数形式; (2)凸n边形的外角和等于360°; (3)任意一个实数乘 都等于它的相反数． 【答案】(1)，x能写成小数形式． (2)是凸n边形， ，且}，x的外角和等于360°． (3)， ． 【分析】根据全称命题以及特称命题的形式，即可求解. 【详解】（1），x能写成小数形式． （2）是凸n边形， ，且}，x的外角和等于360°． （3）， ． 【典型例题三 判断全称命题的真假】 1．（2024高三·全国·专题练习）下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（ ） A．， B．对任意实数，，若，则 C．若为偶数，则 D．是无理数 【答案】B 【分析】根据全称量词命题的定义判断即可. 【详解】对于A：，，为全称量词命题， 但是时，故为假命题，故A错误； 对于B：对任意实数，，若，则，为全称量词命题，且为真命题，故B正确； 对于C：若为偶数，则，为全称量词命题， 当时为偶数，但是，故为假命题，故C错误； 对于D：是无理数不是全称量词命题，故D错误. 故选：B. 2．（23-24高一上·河北沧州·阶段练习）关于命题“，”，下列判断正确的是（    ） A．该命题是全称量词命题，且是真命题 B．该命题是存在量词命题，且是真命题 C．该命题是全称量词命题，且是假命题 D．该命题是存在量词命题，且是假命题 【答案】A 【分析】根据全称命题的定义判断可得答案. 【详解】该命题是全称量词命题，对于，， 所以该命题为真命题. 故选：A. 3．（23-24高三下·全国·自主招生）下列哪些命题是真命题？ （1）是的充要条件 （2） （3），使得 （4）若为无理数，则为无理数 【答案】（1）（2）（3） 【分析】逐一判断命题的真假即可. 【详解】对（1）显然是成立的，故（1）是真命题； 对（2）当时，，，故（2）是真命题； 对（3）取，其中是不大于的最大整数，即的整数部分，则， 令，则，故（3）为真命题； 对（4）取，，可以验证（4）是假命题. 故答案为：（1）（2）（3） 4．（23-24高一上·全国·课后作业）对每一个x1∈R，x2∈R，且x1<x2，都有<是 (填“全称”或“存在”)量词命题，是 (填“真”或“假”)命题. 【答案】 全称 假 【分析】根据全称命题的定义及二次函数的单调性解题即可. 【详解】含有全称量词“每一个”，是全称量词命题，令x1=-1，x2=0，则>，故此命题是假命题. 故答案为：全称　假 5．（2023高一·全国·课后作业）能说明“若，则”为假命题的一组，的值依次为？ 【答案】，（答案不唯一，只要，均可） 【分析】本题属于开放性问题，只需找到符合题意的数对即可. 【详解】当时由不等式的性质可得， 当时由不等式的性质可得， 当，时满足，此时，，则， 故命题“若，则”为假命题， 所以只要满足，时均可说明命题“若，则”为假命题， 不妨令，（答案不唯一，只要，均可）. 【典型例题四 根据全称命题的真假求参数】 1．（22-23高三上·山东淄博·阶段练习）若命题p：“，”是真命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用基本不等式求实数a的取值范围. 【详解】由题可知，，则有， 因为，所以， 因为，当且仅当即时等号成立， 所以， 故选:C. 2．（22-23高一上·江苏南京·期中）已知为实数，使“”为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全称量词命题的真假性求得的取值范围，然后确定其充分不必要条件. 【详解】依题意，全称量词命题：为真命题， 在区间上恒成立，所以， 所以使“”为真命题的一个充分不必要条件是“”. 故选：B 3．（23-24高一上·广西玉林·阶段练习）已知集合，若命题“，恒成立”为真命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】转化为最值问题，由一次函数性质列式求解． 【详解】由题意得时，， 则，解得， 故答案为： 4．（23-24高一上·陕西榆林·阶段练习）命题：“，”为假命题，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意可得：，为真命题，从而得，求解即可. 【详解】∵为假命题， ∴：，为真命题， ∴，解得：， 即的取值范围为. 故答案为： 5．（23-24高一上·全国·课后作业）若命题“，一次函数的图象在x轴上方”为真命题，求实数m的取值范围． 【答案】 【分析】由得，要使一次函数的图象在轴上方，需，由此可得实数的取值范围． 【详解】解：当时，． 因为一次函数的图象在x轴上方， 所以，即， 所以实数m的取值范围是. 【典型例题五 判断命题是否为特称（存在性）命题】 1．（23-24高一上·山东青岛·阶段练习）已知命题：存在集合使得，则命题是（    ） A．全称量词命题，且是真命题 B．全称量词命题，且是假命题 C．存在量词命题，且是真命题 D．存在量词命题，且是假命题 【答案】C 【分析】根据全称量词命题和存在量词命题的定义，结合空集的性质，即可判断. 【详解】存在集合使得，是存在量词命题，且是真命题； 故选：C. 2．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）下列命题与“，”表述意义不一致的是（    ） A．有一个实数x令成立 B．有些实数x令成立 C．任何一个实数x都令成立 D．至少有一个实数x令成立 【答案】C 【分析】利用特称量词的概念判定选项即可. 【详解】“，”即存在实数，满足其平方大于3，显然并不是任意实数，存在即可. 故选:C 3．（2023高一·江苏·专题练习）下列命题中，是全称量词命题的是 ；是存在量词命题的是 (填序号). （1）每一个矩形的对角线都互相平分；（2）有些集合无真子集；（3）能被8整除的数也能被2整除. 【答案】 （1）（3） （2） 【分析】根据全称量和存在量词定义分别判断即可. 【详解】（1）中含有全称量词“每一个”，（3）中陈述的是所有满足条件的数，所以（1）（3）是全称量词命题； （2）中含有存在量词“有些”，所以(2)是存在量词命题． 故答案为：（1）（3）；（2）. 4．（23-24高一上·河北保定·阶段练习）现有下列4个命题：①菱形的四条边相等；②；③存在一个质数为偶数；④正数的平方是正数，其中，全称量词命题的个数为 . 【答案】2 【分析】根据全称量词和存在量词即可求解. 【详解】①和④是全称量词命题，②和③是存在量词命题., 故答案为：2 5．（2023高一·江苏·专题练习）判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题： (1)正方形的四条边相等； (2)至少有一个正整数是偶数； (3)正数的平方根不等于0； (4)有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形. 【答案】(1)全称量词命题 (2)存在量词命题 (3)全称量词命题 (4)全称量词命题 【分析】根据全称量词和存在量词的特点逐个判断即可 【详解】（1）正方形的四条边相等可以理解为所有正方形的四条边都相等，所以是全称量词命题； （2）至少有一个正整数是偶数可以理解为至少存在一个正整数是偶数，所以是存在量词命题； （3）正数的平方根不等于0可以理解为所有正数的平方根都不等于0，所以是全称量词命题； （4）有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形可以理解为所有的有两个角为45°的三角形都是等腰直角三角形，所以是全称量词命题. 【典型例题六 用存在量词改写命题】 1．（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）下列命题与“，”表述一致的（    ） A．只有一个实数x，使得 B．不存在实数x，使得 C．所有实数x，都有 D．至少有一个实数x，使得 【答案】D 【分析】根据存在量词命题的描述方法即可得解. 【详解】与“，”表述一致的为至少有一个实数x，使得. 故选：D. 2．（23-24高一上·全国·课后作业）命题“，”不可以表述为（    ） A．有一个，使得 B．对有些，使得 C．任选一个，使得 D．至少有一个，使得 【答案】C 【分析】,意为存在实数使得成立,故逐个选项判断即可. 【详解】“”是存在量词符号，与“有一个”、“有些”、“至少有一个”表示的含义相同， 但是“任选一个”是全称量词，所以C的表述不正确， 故选：C. 3．（23-24高一上·江苏·课前预习）存在量词与存在量词命题 （1）短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做 ，用符号 表示； （2）含有 量词的命题叫做存在量词命题，其一般形式为： . 【答案】 存在量词 存在 4．（23-24高一上·福建福州·期中）选择适当的符号“”､“”表示下列命题：有一个实数x，使： . 【答案】有． 【分析】根据特称命题定义即可求解． 【详解】有． 故答案为：有． 5．（2023高一·江苏·专题练习）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“”或“”表示下列命题： (1)自然数的平方大于或等于零； (2)有的一次函数图象经过原点； (3)所有的二次函数的图象的开口都向上． 【答案】(1)答案见详解 (2)答案见详解 (3)答案见详解 【分析】先根据全称量词命题和存在量词命题的定义判断，再用符号表示即可． 【详解】（1）全称量词命题．表示为，． （2）存在量词命题．表示为一次函数，它的图象过原点． （3）全称量词命题．表示为二次函数，它的图象的开口都向上． 【典型例题七 判断特称（存在性）命题的真假】 1．（2024高三·全国·专题练习）下列正确命题的个数为（    ） ①，；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用全称量词命题、存在量词命题真假判断方法逐一判断各个命题即得. 【详解】，，①正确；当时，，②错误； 当时，，③正确；由于，而都是无理数，④错误， 所以正确命题的个数为2. 故选：B 2．（23-24高一上·新疆·阶段练习）下列三个命题中有几个真命题（    ） ①，；②，；③至少有一个实数，使得 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据已知命题的描述判断真假，即可得答案. 【详解】①由，可得或，为真命题； ②由，为假命题； ③当时，为真命题. 故选：C 3．（23-24高一上·山西大同·阶段练习）命题是 (填“全称量词命题”或“存在量词命题”)，它是 命题(填“真”或“假”)． 【答案】 存在量词命题 真 【分析】根据量词“”即可判断它是存在量词命题，通过举列子可说明是真命题. 【详解】命题p是存在量词命题，当时，成立，故p是真命题． 故答案为：存在量词命题；真. 4．（23-24高一上·全国·课后作业）在下列存在量词命题中是真命题的有 . ①有的实数是无限不循环小数；②有些三角形不是等腰三角形；③有的菱形是正方形. 【答案】①②③ 【分析】根据无限不循环小数、等腰三角形、菱形和正方形的定义逐个分析可得答案. 【详解】实数是无限不循环小数，故①为真命题； 边长为3,4,5的三角形不是等腰三角形，故②为真命题； 对角线长相等的菱形是正方形，故③为真命题. 故答案为：①②③ 5．（22-23高一·全国·课堂例题）判断下列命题的真假． (1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对都对应一点P． (2)每一条线段的长度都能用正有理数来表示． (3)至少有一个直角三角形不是等腰三角形． (4)存在一个实数x，使得方程成立． (5)，． (6)，，． 【答案】(1)是真命题 (2)是假命题 (3)是真命题 (4)是假命题 (5)是真命题 (6)是真命题 【分析】(1)根据直角坐标系中的点的特性可判定；(2)(3)举反例即可；(4)利用判别式判断即可；(4) 解方程即可；(5)根据存在量词命题真假判断方法判断即可；(6)根据全称量词命题真假判断方法判断即可. 【详解】（1）是真命题． （2）是假命题，如边长为1的正方形，对角线长度为，就不能用正有理数表示． （3）是真命题，如有一个内角为30°的直角三角形就不是等腰三角形． （4）是假命题，方程的根的判别式，故方程无实数根． （5）是真命题，或都能使成立． （6）是真命题，因为完全平方公式对任意实数都成立，显然对整数成立． 故：①③⑤⑥为真命题，②③为假命题. 【典型例题八 根据特称（存在性）命题的真假求参数】 1．（23-24高一上·山东潍坊·阶段练习）已知“，”为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意知需要大于的最小值，求出其最小值即可得. 【详解】由题意得，又，此时，故. 故选：A. 2．（23-24高一上·甘肃白银·期末）已知为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二次方程判别式与存在量词命题的真假性即可得解. 【详解】因为为真命题， 所以，解得. 故选：A. 3．（23-24高三上·山西吕梁·阶段练习）若命题：“，”为假命题，则实数m的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据题中条件可得方程无实数解，则，解出即可. 【详解】由题意可知方程无实数解， 所以，解得， 故实数m的取值范围为. 故答案为：. 4．（23-24高一上·湖北襄阳·阶段练习）若，，若命题为假且为真，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据命题为假，知该命题的否定为真，求的，再由为真，求的，即可得出实数的取值范围. 【详解】命题为假， 所以该命题的否定为真，则，解得； 命题为真，则. 因为命题为假且为真，从而. 故答案为：. 5．（2023高一·全国·专题练习）（1）已知对任意的，都有，求实数的取值范围； （2）已知存在实数，使，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）（2）利用恒成立、能成立问题结合已知直接求解作答. 【详解】（1）由于对任意的都有，则只需大于或等于x的最大值，即. （2）由于存在实数，使，则只需大于或等于x的最小值，即. 【典型例题九 全称命题的否定及其真假判断】 1．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）命题的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】全称量词命题的否定为存在量词命题判断即可. 【详解】由于全称量词命题的否定为存在量词命题， 所以命题的否定是. 故选：C 2．（2024高二上·福建·学业考试）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可. 【详解】命题“”为全称量词命题， 其否定为：. 故选：D 3．（2024·四川成都·模拟预测）已知命题，，则是 . 【答案】 【分析】根据全称量词命题的否定要求即得. 【详解】由，可得：. 故答案为：. 4．（22-23高三上·河北衡水·阶段练习）命题：“”的否定是 ． 【答案】 【分析】利用全称命题的否定是特称命题，即可写出命题的否定. 【详解】命题：“”的否定是:. 故答案为： 5．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，写出这些命题的否定. (1)，与3的和不等于0； (2)，. 【答案】(1)全称量词命题，其否定是：，与3的和等于0 (2)存在量词命题，其否定为: ， 【分析】先判断是全称还是特称命题，再利用“改量词否结论”直接求解. 【详解】（1）命题：，与3的和不等于0，是全称量词命题， 其否定是：，与3的和等于0， （2）命题: ，，为存在量词命题， 其否定为: ，. 【典型例题十 特称命题的否定及其真假判断】 1．（2024·河南·三模）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据存在量词命题的否定形式，即可求解. 【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题， 即命题“”的否定为“”. 故选：B. 2．（22-23高二下·北京延庆·期末）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据特称命题的否定是全称命题分析判断. 【详解】由题意可得：命题“”的否定是“”. 故选：B. 3．（23-24高二下·河北沧州·阶段练习）命题“，使得”的否定为 . 【答案】， 【分析】根据特称命题的否定为全称命题分析判断. 【详解】，使得的否定为全称量词命题，即，. 故答案为：，. 4．（2024·重庆开州·模拟预测）命题“，”的否定形式是 【答案】，且 【分析】根据特称量词命题的否定为全称量词命题即可得结果. 【详解】由特称量词命题的否定为全称量词命题得， “”的否定为“且”. 故答案为：且. 5．（2023高一·江苏·专题练习）写出下列存在量词命题的否定，并判断所得命题的真假： (1)，； (2)至少有一个实数，使； (3)，． 【答案】(1)，；真命题 (2)，；假命题 (3)，；假命题 【分析】根据全称命题的否定是特称命题，以及特称命题的否定是全称命题，即可求得（1）（2）（3）中命题的否定,再判断真假即可． 【详解】（1）命题的否定：，． 因为，恒成立，所以命题的否定为真命题． （2）命题的否定：，． 因为当时，，所以命题的否定为假命题． （3）命题的否定：，． 因为当，时，，所以命题的否定为假命题． 【典型例题十一 含有一个量词的命题的否定的应用】 1．（2024·陕西安康·模拟预测）已知命题，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得解. 【详解】根据全称命题的否定，得为：. 故选：A. 2．（23-24高一上·江苏南京·期末）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据全称命题的否定是特称命题判断即可. 【详解】的否定为. 故选:A 3．（22-23高三·全国·课后作业）写出“两个实数都不是无理数”的否定形式： ． 【答案】两个实数至少有一个是无理数 【分析】利用否定的定义即可求解 【详解】“两个实数都不是无理数”的否定形式：两个实数至少有一个是无理数， 故答案为：两个实数至少有一个是无理数 4．（22-23高一·全国·课后作业）写出下列语句的否定形式． （1）“都是”的否定形式是 ； （2）“大于等于”的否定形式是 ； （3）“且”的否定形式是 ． 【答案】 不都是 小于 或 【分析】逐项对语句进行否定即可 【详解】（1）“都是”的否定形式是“不都是”， （2）“大于等于”的否定形式是“小于”， （3）“且”的否定形式是“或”. 故答案为：不都是；小于；或. 5．（23-24高二上·江西赣州·阶段练习）（1）设p：；q：，若p是q的充分条件，求实数a的取值范围； （2）若命题“∀x∈R，x2－4x＋a≠0”为假命题，求实数a的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）首先解出中对应的不等式，然后可得答案； （2）由条件可得命题“，”为真命题，然后可得答案. 【详解】（1）由可得，由可得 若p是q的充分条件，则，解得 （2）若命题“，”为假命题，则命题“，”为真命题 所以，解得 【变式训练1 判断命题是否为全称命题】 1．（23-24高一上·辽宁朝阳·阶段练习）下列结论中正确的个数是（    ） ①命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题； ②命题“，”是全称量词命题； ③命题“，”是真命题； ④命题“有一个偶数是质数”是真命题． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据题意，由全称命题的概念判断，即可得到结果. 【详解】①命题，“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，所以①正确； ②命题，“，”是全称量词命题，所以②正确； ③命题，因为， 所以“，”是假命题，即③不正确； ④命题，“有一个偶数是质数”是真命题，如2，所以④正确． 故选：D． 2．（23-24高一上·全国·课后作业）对于命题：①任意x∈N，都有x2>0；②任意x∈Q，都有x2∈Q；③存在x∈Z，x2>1；④存在x，y∈R，使|x|＋|y|>0，其中是全称量词命题并且是真命题的是 ．(填序号) 【答案】② 【分析】根据全称量词的定义判断①②是全称量词命题，然后判断真假即可. 【详解】只有①②是全称量词命题，当x＝0时，x2＝0，所以①是假命题． 故答案为：② 3．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知，命题． (1)判断是全称量词命题，还是存在量词命题； (2)若均为真命题，求的取值范围． 【答案】(1)是存在量词命题，是全称量词命题 (2) 【分析】（1）根据定义判断是全称量词命题，或是存在量词命题即可； （2）根据命题均为真命题分别求出的范围，之后取交集即可. 【详解】（1）因为符号“”表示“存在一个”，“存在一个”是存在量词， 所以是存在量词命题． 因为符号“”表示“所有”，“所有”是全称量词， 所以是全称量词命题． （2）若为真命题，则，解得． 若为真命题，则，解得． 因为均为真命题，所以的取值范围为． 【变式训练2 用全称量词改写命题】 1．（2021·全国·模拟预测）命题的否定为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据特称命题的否定是全称命题，直接写出即可. 【详解】根据特称命题的否定是全称命题， 所以命题的否定为. 故选:D. 【点睛】全称量词命题的否定是特称（存在）量词命题，特称（存在）量词命题的否定是全称量词命题． 2．（23-24高一上·山东·期中）根据下述事实，写出一个含有量词的全称量词真命题或存在量词的真命题： ， ， ， …… 【答案】，. 【分析】观察式子得从开始从小到大连续个奇数相加的和为，从而求解. 【详解】观察式子可知：从开始从小到大连续个奇数相加的和为， 故可得：，； 故答案为：，. 3．（22-23高一上·陕西宝鸡·期末）用符号“”与“”表示下列含有量词的命题，并判断真假． (1)对任意实数，方程有实根； (2)存在实数，使得； (3)存在实数，使得等于的10倍． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】用存在量词符号与全称量词符号分别表示命题（1）（2）（3），并判断真假. 【详解】（1），方程有实根； 由， 此时方程无实根， 故该命题为假命题． （2），使得； 由， ，无实数解， 故不存在，使得， 因此该命题为假命题． （3），使得等于的10倍． 因为， 即 所以，使得等于的10倍， 因此该命题为真命题． 【变式训练3 判断全称命题的真假】 1．（23-24高一上·辽宁鞍山·期中）下列命题中为真命题的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】对A：由判断命题为假；对B：当时命题不成立；对C：由及关系判断命题为真；对D：由判断命题为假. 【详解】，，故是假命题； 当时，，故是假命题； ，，故是真命题； 方程中，此方程无解，故是假命题. 故选:：C. 2．（22-23高一上·浙江宁波·期中）下列三个命题中，真命题的个数是 个 ①，②，③为方程的根 【答案】2 【分析】对于①，配方后判断，对于②③举例判断即可. 【详解】对于①，因为，故①正确； 对于②，当时，，故②错误， 对于③，是方程的根，且，故③正确， 所以真命题的个数是2个， 故答案为：2 3．（2023高一·江苏·专题练习）判断下列命题的真假： (1)有一些二次函数的图象过原点； (2)； (3)． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】根据题意结合全称量词命题和存在量词命题分析判断. 【详解】（1）该命题中含有“有一些”，是存在量词命题． 例如，其图象过原点，故该命题是真命题． （2）该命题是存在量词命题． 因为， 所以不存在，使，故该命题是假命题． （3）该命题是全称量词命题，例如，可得，故该命题是假命题． 【变式训练4 根据全称命题的真假求参数】 1．（22-23高二下·内蒙古呼和浩特·期末）若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意可得“，”是真命题，根据求出参数的取值范围. 【详解】因为“，”为假命题， 所以“，”是真命题， 即方程有实数根，则，解得， 即实数的取值范围是． 故选：A． 2．（23-24高一上·福建莆田·阶段练习）已知命题“，”，命题“，”．若命题和命题都是真命题，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，分别求得命题和命题都是真命题时，实数的取值范围，列出不等式组，即可求解. 【详解】由命题“，”，可得， 因为命题为真命题，所以； 又由命题“，”，可得，解得或， 因为命题和命题都是真命题，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 3．（23-24高一上·宁夏吴忠·期中）已知集合，． (1)时，求 (2)若命题：“，”是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别化简集合，再求并集即可； （2）转化为，讨论B是否为空集列不等式组求解. 【详解】（1） 时，=， 故=； （2）若命题：“，”是真命题，则， 若， 若，解得， 综上得. 【变式训练5 判断命题是否为特称（存在性）命题】 1．（2023·云南昆明·一模）下列判断不正确的是（    ） A．“若，互为相反数，则”是真命题 B．“，”是特称命题 C．若，则x，y都不为0 D．“且”是“”的充要条件 【答案】D 【分析】根据命题的相关概念和充分、必要条件逐项分析判断. 【详解】对A：若，互为相反数，则，即， 故“若，互为相反数，则”是真命题，A正确； 对B：“，”含有存在量词， 故“，”是特称命题，B正确； 对C：若，则且，即x，y都不为0， 故若，则x，y都不为0，C正确； 对D：若“且”，则“”， 但“”，不一定能得到“且”，例如， 故“且”是“”的充分不必要条件，D不正确. 故选：D. 2．（23-24高二上·广东中山·期末）命题，是 (填“全称命题”或“特称命题”)，它是 命题(填“真”或“假”) 【答案】 特称命题 假 【分析】根据含有量词的命题的真假判断即可得到结论． 【详解】解：命题，含有特称量词，是特称命题，为假命题． ， 所以， 方程无实数解，命题为假命题． 故答案为：特称命题；假． 【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定以及命题的真假判断，属于基础题． 3．（23-24高一上·贵州遵义·阶段练习）判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题，并说明理由． (1)对一切实数a，b恒成立； (2)至少存在一对整数x，y，使得方程成立； (3)所有正方形的对角线都互相垂直． 【答案】(1)全称量词命题，理由见解析 (2)存在量词命题，理由见解析 (3)全称量词命题，理由见解析 【分析】（1）根据全称量词命题与存在量词命题的定义判断； （2）根据全称量词命题与存在量词命题的定义判断； （3）根据全称量词命题与存在量词命题的定义判断． 【详解】（1）因为“一切”是全称量词，所以该命题为全称量词命题． （2）因为“至少存在一对”是存在量词，所以该命题为存在量词命题． （3）因为“所有”是全称量词，所以该命题为全称量词命题． 【变式训练6 用存在量词改写命题】 1．（2020高三上·全国·专题练习）下列命题中正确的是（    ） A．命题“”的否定是“” B．若且，则 C．已知，则“”是“”的充分不必要条件 D．命题“若p，则q”的否命题是“若p，则” 【答案】C 【分析】对于A：全称量词命题的否定是特称（存在）量词命题，直接判断； 对于B：验证进行判断； 对于C：分充分性和必要性分别判断； 对于D：利用否命题直接判断. 【详解】命题“”的否定是“”，所以A不正确； 若且，则恒成立，所以B不正确； 因为，所以时，，即由能推出， 而时，即，得或，所以由不能推出， 所以“”是“”的充分不必要条件，所以C正确； 命题“若p，则q”的否命题是“若，则”，所以D不正确. 故选：C． 【点睛】要证明一个命题为真命题，需要严格的证明；要判断一个命题为假命题，举一个反例就可以了. 2．（23-24高一上·江苏·课后作业）全称量词和全称量词命题 （1）短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号 表示； （2）含有全称量词的命题叫做全称量词命题，其一般形式为： .其中，为给定的集合，是一个含有的语句. 【答案】 【分析】根据全称量词和全称量词命题的符号表示可得答案. 【详解】（1）短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号表示； （2）含有全称量词的命题叫做全称量词命题，其一般形式为：.其中，为给定的集合，是一个含有的语句. 故答案为：①；②. 3．（2021高一·江苏·专题练习）用量词符号“”、“”表示下列命题，并判断下列命题的真假． （1）任意实数都有，； （2）存在实数，； （3）存在一对实数、，使成立； （4）有理数的平方仍为有理数； （5）实数的平方大于： （6）有一个实数乘以任意一个实数都等于． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）答案见解析；（5）答案见解析；（6）答案见解析. 【分析】（1）用全称量词表示该命题，取可判断原命题的真假； （2）用特称量词表示该命题，利用完全平方公式可判断原命题的真假； （3）用特称量词表示该命题，取，可判断原命题的真假； （4）用全称量词表示该命题，根据有理数的性质可判断原命题的真假； （5）用全称量词表示该命题，取可判断原命题的真假； （6）利用全称量词和特称量词表示该原命题，取可判断原命题的真假. 【详解】（1）命题为：，假命题，当时，结论不成立； （2）命题为：，假命题， 对任意的，； （3）命题为：、，，真命题，如，，则； （4）命题为：，，真命题； （5）命题为：，，假命题，当时，命题不成立； （6）命题为：，，有，真命题，即满足． 【变式训练7 判断特称（存在性）命题的真假】 1．（23-24高一上·天津红桥·阶段练习）下列命题中错误的有（    ）个 ① ； ②； ③ ； ④ A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据全称命题和特称命题结合二次式分析判断. 【详解】对于①：因为，故①错误； 对于②：因为，故②错误； 对于③：当时，则，故③错误； 对于④：因为，则，故④正确； 可知命题中错误的有3个. 故选：D. 2．（22-23高一上·天津武清·阶段练习）下列四个命题：①，；②，；③，；④至少有一个实数x，使得．其中真命题的序号是 ． 【答案】①④ 【分析】结合全场量词命题和存在量词命题的定义，即可依次求解. 【详解】对于①，，当且仅当时等号成立，故①正确； 对于②，，故②错误； 对于③，令时，，故③错误； 对于④，当时，，故④正确. 所以真命题的序号是①④. 故答案为：①④. 3．（23-24高一上·江西宜春·开学考试）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假． (1)至少有一个整数，既能被11整除，又能被9整除； (2)，； (3)，使为29的约数； (4)，． 【答案】(1)存在量词命题，真命题 (2)全称量词命题，真命题 (3)存在量词命题，真命题 (4)全称量词命题，假命题 【分析】利用全称量词命题与存在量词命题的概念，及不等式的性质，举例子分别判断各命题. 【详解】（1）命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是存在量词命题， 既能被整除，又能被整除，故该命题为真命题． （2）命题中含有全称量词“”，故是全称量词命题， 因为，所以恒成立，故该命题为真命题． （3）命题中含有存在量词“”，故是存在量词命题， 当时，为的约数，所以该命题为真命题． （4）命题中含有全称量词“”，故是全称量词命题， 当时，，所以该命题为假命题． 【变式训练8 根据特称（存在性）命题的真假求参数】 1．（23-24高一上·江西·期中）命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出命题为真的充要条件，然后根据必要不充分条件的定义判断． 【详解】当时，， 则当时，取得最大值，依题意，，解得， 因此命题“，”为真命题的充要条件是，C不是； 显然，分别是该命题为真命题的一个充分不必要条件，AB不是； 是该命题为真命题的一个必要不充分条件，D是． 故选：D 2．（23-24高一下·四川泸州·期中）命题“，”是真命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据得到答案. 【详解】，，为真命题，故， 解得， 故实数的取值范围是. 故答案为： 3．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知命题：，为假命题． (1)求实数的取值集合； (2)设非空集合，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值集合． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次方程无解的条件即求解即可； （2）根据题意可得，结合得到，解得即可． 【详解】（1）因为命题：，为假命题， 所以命题的否定为：，，为真命题， 且，解得． ∴． （2）由解得，即， 若“”是“”的必要不充分条件，则是的真子集， 又，所以，解得， 所以实数的取值集合为． 【变式训练9 全称命题的否定及其真假判断】 1．（2024·全国·模拟预测）已知命题，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解. 【详解】由题意，全称命题的否定是特称命题，可得： 命题的否定为：为． 故选：C． 2．（23-24高一上·青海海东·阶段练习）命题“”的否定为 ． 【答案】“”. 【分析】由全称命题的否定为特称命题即可得出答案. 【详解】命题“”的否定为:“”. 故答案为：“”. 3．（2023高一·江苏·专题练习）已知．若p的否定为假命题，求实数m的取值范围． 【答案】 【分析】根据题意可得恒成立，根据恒成立问题结合二次函数分析求解. 【详解】因为p的否定为假命题，则p为真命题， 即恒成立，即恒成立， 因为，则，即的最小值为0， 所以，所以实数m的取值范围是． 【变式训练10 特称命题的否定及其真假判断】 1．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定. 【详解】命题“”的否定是“”. 故选：C 2．（2024·山东潍坊·二模）已知命题：，，则为 ． 【答案】 【分析】根据特称命题的否定为全称命题判断即可. 【详解】由特称命题的否定为全称命题可得为. 故答案为： 3．（23-24高一上·青海海东·阶段练习）写出下列命题的否定，并判断命题的否定的真假． (1)，； (2)有一个素数是偶数； (3)任意两个三角形的底边长和底边对应的高的长度相等，那么这两个三角形相似． 【答案】(1)“，”，假命题 (2)“所有的素数都不是偶数”， 假命题 (3)“存在两个三角形的底边长和底边对应的高的长度相等，它们不相似”，真命题 【分析】（1）（2）（3）根据全称命题、特称命题的否定写出相应命题的否定，进而判断真假性. 【详解】（1）命题的否定为“，”， 因为，可得命题的否定是假命题． （2）命题的否定为“所有的素数都不是偶数”， 由2是素数也是偶数，可得命题的否定是假命题． （3）命题的否定为“存在两个三角形的底边长和底边对应的高的长度相等，它们不相似”， 若这两个三角形底边对应的高的垂足不在同一个位置， 那么这两个三角形不相似，可得命题的否定是真命题． 【变式训练11 含有一个量词的命题的否定的应用】 1．（23-24高一上·海南·期末）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用特称命题的否定为全称命题求解. 【详解】原命题为特称命题它的否定为全称命题，. 故选：A 2．（23-24高一上·山东聊城·期末）已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据已知命题的否定为真命题，转化为不等式恒成立问题，即可求解. 【详解】因为命题“，”是假命题， 所以其否定“任意，”是真命题， 即在上恒成立， 当时，不等式化为恒成立， 当时，若在R上恒成立， 则，解得， 综上所述，实数a的取值范围为. 故答案为： 3．（23-24高一上·云南楚雄·期中）已知p：；q：． (1)若p是q的充分不必要条件，求m的取值范围； (2)若是q的必要不充分条件，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）化简得到p：，q：，根据p是q的充分不必要条件，由p⫋q求解； （2）先得到：或．根据是q的必要不充分条件，由q⫋求解；. 【详解】（1）解：由题意可得p：，q：． 因为p是q的充分不必要条件，所以，等号不同时成立， 解得． （2）因为p：， 所以：或． 因为是q的必要不充分条件， 所以或， 解得或． 1．（22-23高二下·北京延庆·期末）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据特称命题的否定是全称命题分析判断. 【详解】由题意可得：命题“”的否定是“”. 故选：B. 2．（2024高三·全国·专题练习）下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（ ） A．， B．对任意实数，，若，则 C．若为偶数，则 D．是无理数 【答案】B 【分析】根据全称量词命题的定义判断即可. 【详解】对于A：，，为全称量词命题， 但是时，故为假命题，故A错误； 对于B：对任意实数，，若，则，为全称量词命题，且为真命题，故B正确； 对于C：若为偶数，则，为全称量词命题， 当时为偶数，但是，故为假命题，故C错误； 对于D：是无理数不是全称量词命题，故D错误. 故选：B. 3．（23-24高二下·浙江宁波·期中）命题“，”的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】利用存在量词命题的否定为全称量词命题判断即可. 【详解】命题“，”是存在量词命题，其否定是全称量词命题， 所以，的否定为，， 故选：D 4．（2023·天津和平·三模）命题“，”的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据否定命题的定义即可求解. 【详解】命题“，”的否定为“，”. 故选：B. 5．（23-24高三下·青海西宁·阶段练习）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断即可； 【详解】命题“，”为存在量词命题， 其否定为：，. 故选：D 6．（22-23高三上·河北衡水·阶段练习）命题：“”的否定是 ． 【答案】 【分析】利用全称命题的否定是特称命题，即可写出命题的否定. 【详解】命题：“”的否定是:. 故答案为： 7．（2024·四川成都·模拟预测）已知命题，，则是 . 【答案】 【分析】根据全称量词命题的否定要求即得. 【详解】由，可得：. 故答案为：. 8．（24-25高一上·全国·课前预习）全称量词命题、存在量词命题及含量词命题的否定 命题名称 命题结构 命题简记 命题的否定 全称量词命题 对M中任意一个x，成立 存在量词命题 存在M中的元素x，成立 【答案】 9．（23-24高一上·上海·期中）已知命题“如果，那么”是真命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由命题为真求解即可. 【详解】已知命题“如果，那么”是真命题， 则实数的取值范围是. 故答案为： 10．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）若命题“，使得”是真命题，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】原命题转化为“方程有实数解”，再由可求实数的取值范围. 【详解】若命题“，使得”是真命题，也就是“方程有实数解”， ∴. 故答案为： 11．（23-24高一上·新疆·阶段练习）写出下列命题的否定，并判断其真假： (1)； (2)p：有些三角形的三条边相等； (3)p：菱形的对角线互相垂直； (4)． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】根据特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题进行求解判断即可． 【详解】（1）易知原命题的否定为：， 显然，故为假命题； （2）易知原命题的否定为：：所有的三角形的三条边不都相等， 因为正三角形的三条边相等，则命题p是真命题，则是假命题； （3）易知原命题的否定为：：存在一个菱形，则它的对角线互相不垂直， 显然原命题是真命题，则是假命题； （4）易知原命题的否定为：． 显然当时，，则命题为假命题． 12．（23-24高一上·陕西延安·阶段练习）写出下列命题的否定，并判断其真假： (1)，方程必有实根； (2)，使得. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）（2）根据全称命题以及特称命题的否定即可求解. 【详解】（1），方程未必有实根， 由于，方程必有实根，是真命题， 因此为假命题， （2），使得. 由于，所以恒成立，所以为真命题 13．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）（1）“，使得方程有两个不同的实数解”是真命题，求集合A. （2）若命题“， ”为真命题，求实数a的最小值. 【答案】（1）且；（2） 【分析】（1）讨论二次项系数是否为0，并结合判别式大于0求解； （2）分离参数即可求解. 【详解】（1）方程有两个不同的实数解， 则当为唯一解，不合题意舍去； 所以且，解得且， 故集合且 （2）命题“， ”为真命题， 则对恒成立，即， 故实数a的最小值为2. 14．（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）设命题：方程有两个不相等的实数根；命题：. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题，一真一假，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据判别式即可求解， （2）分类即可求解. 【详解】（1）若命题为真命题， 则， 解得， 所以实数的取值范围为. （2）若命题为真命题，解得， 当真假时，，得； 当假真时，，得； 综上所述，实数的取值范围为或. 15．（22-23高一上·河南平顶山·阶段练习）已知集合，，且． (1)若是真命题，求实数的取值范围； (2)若是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可得，即可得到不等式组，解得即可； （2）由求出的取值范围，依题意可得，求出时参数的取范围，即可得解. 【详解】（1）由于是真命题，所以． 而，所以，解得，故的取值范围为． （2）因为，所以，解得． 由为真命题，得， 当时，或，解得． 因为，所以当时，； 所以当时，．故的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $$