精品解析：重庆市十八中两江实验中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

重庆十八中两江实验中学2023－2024学年（下）半期质量监测 高一年级 数学 试题卷 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 已知向量，不共线，且，，，则一定共线的是（ ） A. A，B，D B. A，B，C C. B，C，D D. A，C，D 2. 如图，一个水平放置的平行四边形ABCD的斜二测画法的直观图为矩形，若，，则在原平行四边形ABCD中，（ ） A. 3 B. C. D. 9 3. 在中，角所对的边分别为，若，则为（    ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 4. 如图所示，圆和圆是球的两个截面圆，且两个截面互相平行，球心在两个截面之间，记圆，圆的半径分别为，若，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 5. 设非零向量，满足，，则向量的夹角等于（ ） A. B. C. D. 6. 已知是复数，是其共轭复数，则下列命题中正确的是 （ ） A. B. 若，则的最大值为 C. 若，则复平面内对应的点位于第一象限 D. 若是关于的方程的一个根，则 7. 是坐标原点，已知，，．若点M为直线上一动点，当取得最小值时，此时（ ） A. B. C. D. 8. 在中，角的对边分别为，若的平分线的长为，则边上的高线的长等于（ ） A. B. C. 2 D. 二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，，是复数，则下列命题中的真命题是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. ，则 D. 若，则 10. 中，内角，，的对边分别为，，，为的面积，且，，下列选项正确的是（ ） A. B. 若，则有两解 C. 若为锐角三角形，则取值范围是 D. 若为边上的中点，则的最大值为 11. 剪纸艺术是一种中国传统的民间工艺，它源远流长，经久不衰，已成为世界艺术宝库中的一种珍藏．某学校为了丰富学生的课外活动，组织了剪纸比赛，小明同学在观看了2022年北京冬奥会的节目《雪花》之后，被舞台上漂亮的“雪花”图案（如图1）所吸引，决定用作品“雪花”参加剪纸比赛．小明的参赛作品“雪花”，它的平面图可简化为图2的平面图形，该平面图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，其中，六边形ABCDEF为正六边形， ，，为等边三角形，P为该平面图形上的一个动点（含边界），则（ ） A. B. C. 若，则λ＋μ的最大值为 D. 的取值范围是 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 轴截面是边长为2的正三角形的圆锥的侧面积_____ 13. 已知向量满足，则________ 14. 已知是锐角三角形，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．若，则的取值范围是_______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，其中． （1）设，若是纯虚数，求实数m的值； （2）设，分别记复数在复平面上对应的点为A、B，求与的夹角余弦值以及在上的投影向量的坐标． 16. 如图，在平面四边形中，，，，. （1）求线段的长度； （2）求的值. 17. 如图，在正方体中，棱长为2，是线段的中点，平面过点、、． （1）画出平面截正方体所得的截面，并说明原因； （2）求（1）中截面多边形的面积： （3）平面截正方体，把正方体分为两部分，求比较小的部分与比较大的部分的体积的比值． 18. 在直角梯形中，已知，点F是BC边上的中点，点E是CD边上一个动点． （1）若E是CD边的中点． ①试用和表示； ②若，求的值； （2）求的取值范围． 19. 记的内角，，所对的边分别为，，.已知向量，. （1）设单位向量，若与共线，且，求； （2）当时： （i）若，求； （ii）求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆十八中两江实验中学2023－2024学年（下）半期质量监测 高一年级 数学 试题卷 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 已知向量，不共线，且，，，则一定共线的是（ ） A. A，B，D B. A，B，C C. B，C，D D. A，C，D 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，求出，再利用共线向量定理逐项判断作答. 【详解】向量，不共线，且，，， ，则有，而有公共点B，有A，B，D共线，A是； ，不存在实数，使得，因此不共线，A，B，C不共线，B不是； ，不存在实数，使得，因此不共线，B，C，D不共线，C不是； ，不存在实数，使得，因此不共线，A，C，D不共线，D不是. 故选：A 2. 如图，一个水平放置的平行四边形ABCD的斜二测画法的直观图为矩形，若，，则在原平行四边形ABCD中，（ ） A. 3 B. C. D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜二测画法规则把直观图还原为原图形即可求解. 【详解】在直观图中，，，则，， 把直观图还原为原图，如图，则根据斜二测画法规则得，， 所以. 故选：D. 3. 在中，角所对的边分别为，若，则为（    ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】利用余弦定理化角为边即可得解. 【详解】因为， 由余弦定理可得， 所以， 即，所以， 所以为等腰三角形. 故选：C. 4. 如图所示，圆和圆是球的两个截面圆，且两个截面互相平行，球心在两个截面之间，记圆，圆的半径分别为，若，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用球的截面小圆性质列式计算出球半径即可. 【详解】设球的半径为，依题意，， 则，解得，因此， 所以球的表面积. 故选：A 5. 设非零向量，满足，，则向量的夹角等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将等式两边平方，可得，再用平面向量的夹角公式计算即可. 【详解】由等式，两边平方得：， 则，且，所以. ，即. 故选：B. 6. 已知是复数，是其共轭复数，则下列命题中正确的是 （ ） A. B. 若，则的最大值为 C. 若，则复平面内对应的点位于第一象限 D. 若是关于的方程的一个根，则 【答案】B 【解析】 【分析】设出复数的代数形式计算判断A；利用复数的几何意义判断B；求出复数判断C；利用复数相等求出判断D. 【详解】对于A，设，则，，A错误； 对于B，由知，在复平面内表示复数的点在以原点为圆心的单位圆上， 可看作该单位圆上的点到点的距离，因为圆心到的距离为， 则该单位圆上的点到点的距离最大值为，B正确； 对于C，，则复平面内对应的点位于第二象限，C错误； 对于D，依题意，，整理得， 而，因此，解得，D错误． 故选：B. 7. 是坐标原点，已知，，．若点M为直线上一动点，当取得最小值时，此时（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】可设，可得，然后，根据向量数量积的坐标运算得到为二次函数，利用二次函数的性质可求出，进而得到，最后求得 【详解】由已知得，因为点M为直线上一动点，所以，可设， 得到，则，， 则，当且仅当时，取得最小值，此时，可得，所以，，得到. 故选：A 8. 在中，角的对边分别为，若的平分线的长为，则边上的高线的长等于（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由可得的值，进而可求得、的值，结合余弦定理可得，由等面积法可求得. 【详解】由题意知，设，则，如图所示， 由可得， 整理得，即， 又因为，所以， 所以，所以， 在中，由余弦定理得，所以， 由可得，解得. 故选：B. 二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，，是复数，则下列命题中的真命题是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. ，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据条件，结合共轭复数的定义，复数模的公式，复数的四则运算，即可求解. 【详解】对于A，若，则，，所以，故A正确； 对于B，令，，，所以，但，故B不正确； 对于C，设，，则， 则， 所以， 则， 所以， 则，故C正确； 对于D，令，，则，但，所以D不正确； 故选：AC 10. 中，内角，，的对边分别为，，，为的面积，且，，下列选项正确的是（ ） A. B. 若，则有两解 C. 若为锐角三角形，则取值范围是 D. 若为边上的中点，则的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由数量积的定义及面积公式求得A角，然后根据三角形的条件求解判断各ABC选项，利用，平方后应用基本不等式求得最大值，判断D． 【详解】因为，所以，，又，所以，A错； 若，则，三角形有两解，B正确； 若为锐角三角形，则，，所以，， ，，C正确； 若D为边上的中点，则，， 又，， 由基本不等式得， ，当且仅当时等号成立， 所以，所以， 当且仅当时等号成立，D正确． 故选：BCD． 【点睛】本题考查解三角形的应用，掌握正弦定理、余弦定理、三角形面积公式是解题关键．在用正弦定理解三角形时可能会出现两解的情形，实际上不一定要死记结论，可以按正常情况求得，然后根据的大小关系判断角是否有两种情况即可． 11. 剪纸艺术是一种中国传统的民间工艺，它源远流长，经久不衰，已成为世界艺术宝库中的一种珍藏．某学校为了丰富学生的课外活动，组织了剪纸比赛，小明同学在观看了2022年北京冬奥会的节目《雪花》之后，被舞台上漂亮的“雪花”图案（如图1）所吸引，决定用作品“雪花”参加剪纸比赛．小明的参赛作品“雪花”，它的平面图可简化为图2的平面图形，该平面图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，其中，六边形ABCDEF为正六边形， ，，为等边三角形，P为该平面图形上的一个动点（含边界），则（ ） A. B. C. 若，则λ＋μ的最大值为 D. 的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】把题中图2的平面图形顺时针旋转，设正六边形的中心为，连接，，连接，交于点，过作，垂足为点，过作，垂足为点，利用数量积结合选项即可逐一求解． 【详解】如图，把题中图2的平面图形顺时针旋转，设正六边形的中心为， 连接，，连接，交于点，易得，在上，． 过作，垂足为点，过作，垂足为点． 由题意得，，所以， ， 所以，所以，A正确． 计算，所以B错误； ，所以， ， 所以，即， 连接，取的中点，连接，则，所以， 当点与点重合时取得最大值，所以的最大值为： ， C正确； 因为四边形为矩形，所以，， 所以， 当与重合时，取得最大值为， 当与重合时，取得最小值为， 所以的取值范围是，， D正确． 故选：ACD． 【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路： ①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解； ②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 轴截面是边长为2的正三角形的圆锥的侧面积_____ 【答案】 【解析】 【分析】由题意求圆锥的底面半径和母线长，代入侧面积公式，即可求解. 【详解】圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则易知圆锥底面半径，母线长， 结合圆锥的侧面积公式. 故答案为： 13. 已知向量满足，则________ 【答案】1 【解析】 【分析】两边平方得，进而求出，求出答案. 【详解】两边平方得，， 因为，所以，解得， ， 故. 故答案为：1 14. 已知是锐角三角形，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．若，则的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据用余弦定理化简得到，再结合正弦定理化简得出，从而可得，从而可得，令，，再利用二次函数性质即可求解. 【详解】因为，得． 由余弦定理得， 所以，即． 由正弦定理得， 因为，则， 所以，即． 因为是锐角三角形，所以，，所以． 又在上单调递增，所以，则． 因为是锐角三角形，所以，，， 所以， 由正弦定理得 ， 令，因为，所以． 在上单调递增， 当时，，当时，， 故. 故答案为：． 【点睛】方法点睛：解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，常用处理思路： ①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案； ②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法； ③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，其中． （1）设，若是纯虚数，求实数m的值； （2）设，分别记复数在复平面上对应的点为A、B，求与的夹角余弦值以及在上的投影向量的坐标． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）计算出，根据纯虚数得到方程和不等式，求出； （2）求出和，利用向量夹角余弦公式求出余弦值，进而得到投影向量 【小问1详解】 ，因为是纯虚数， 所以且，解得； 【小问2详解】 当时，，故， ，故． 设，则； 所以在上的数量投影向量为． 16. 如图，在平面四边形中，，，，. （1）求线段的长度； （2）求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据三角形面积公式求出，再利用余弦定理求出线段的长度. （2）在中，中利用正弦定理，通过，可以求出的值. 【小问1详解】 因为， 得，在中，由余弦定理可得： ， . 故线段的长度. 【小问2详解】 由（1）知，， 在中，由正弦定理可得：, 即， 得， 又，所以, 在中，由正弦定理可得：, 即， . 所以的值为. 17. 如图，在正方体中，棱长为2，是线段的中点，平面过点、、． （1）画出平面截正方体所得的截面，并说明原因； （2）求（1）中截面多边形的面积： （3）平面截正方体，把正方体分为两部分，求比较小的部分与比较大的部分的体积的比值． 【答案】（1）答案见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据基本事实确定截面； （2）根据梯形面积公式计算； （3）根据正方体和椎体体积公式计算. 【小问1详解】 取中点，连接，则四边形为平面截正方体所得的截面，原因如下： 因为分别为的中点，所以， 因为为正方体，所以，所以， 所以点四点共面，四边形为平面截正方体所得的截面. 【小问2详解】 由（1）得四边形为等腰梯形，，，， 过点作交于点，则， 在直角三角形中，， 所以. 【小问3详解】 如图平面可将正方体分割成多边形和多边形两部分， 多边形可以分割成四棱锥和三棱锥， 所以， ， 所以， 所以比较小的部分比比较大的部分的体积的比值为. 18. 在直角梯形中，已知，点F是BC边上的中点，点E是CD边上一个动点． （1）若E是CD边的中点． ①试用和表示； ②若，求的值； （2）求的取值范围． 【答案】（1）①；②2； （2）. 【解析】 【分析】（1）①结合几何图形，利用向量的线性运算用和表示；②利用向量的线性运算、向量数量积的运算律即可求出的值. （2）令且，同（1）应用向量数量积的运算律得到关于的表示式，即可求值. 【小问1详解】 ①在直角梯形中，，则， 由点E是CD边的中点，F是BC边的中点，得，即， 所以； ②，， 则，而，， 因此， 所以. 【小问2详解】 令且， 由（1）知：， 则，而 因此， 所以的取值范围是. 19. 记的内角，，所对的边分别为，，.已知向量，. （1）设单位向量，若与共线，且，求； （2）当时： （i）若，求； （ii）求的最小值. 【答案】（1）或 （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用向量平行的坐标表示，结合三角恒等变换与三角函数的性质即可得解； （2）（i）利用向量垂直的坐标表示，结合三角恒等变换即可得解；（ii）利用（i）中结论，结合三角形内角的范围推得的范围，再利用正弦定理的边角变换即可得解. 【小问1详解】 因为，， 所以， 又与共线，， 则， 因为，则， 所以，整理得， 因为，所以， 则或，即或. 【小问2详解】 （i）因为，即，， 所以， 则， 所以， 因为，则而，所以； （ii）由（i）知，，所以， 而，所以，即， 即有，同时有，即， 所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 【点睛】关键点点睛：本题第2问的解决关键是利用向量垂直的坐标表示求得，进而得到的关系，从而得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $