广东省江门市新会第一中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题

2023一2024学年度第二学期期末考试 高二级数学科试题 班别： 学号： 姓名： 成绩： 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1.已知5的分布列为 5 2 3 4 P 1 3 11 6 6 设n=25-5,则E(7)=( A司 B.a C. D. 2.已知直线y=+m(m为常数)与圆x2+y2=4交于点M,N,当k变化时，若MN|的 最小值为2，则m=( A.±1 B.±√2 C.5 D.+2 3.已知等差数列{a.},等比数列{b.},满足4，+a,=4,bh,h。=27,则马++a=( bbs+3 A. B.Z C.2 D.4 4.若曲线y=血x+0在点1，a)处的切线与直线1：x+y+5=0平行，则实数a=() A.5 B.I C. D.2 5.今天是星期天，则13天后是() A.星期五 B.星期六 C.星期天 D.星期一 6.某单位五一放假，安排甲、乙等五人值班五天，每人值班一天若甲、乙都至少需要三天 的连休假期，则不同的值班安排共有( ) A.60种 B.66种 C.72种 D.78种 7.袋中装有10个球，其中3个黑球、7个白球，从中依次取两球（不放回），则第二次取到 的是黑球的概率为() A司 C.3 D. &,已知函数)。，下列关于/四的四个命愿，其中是假命题是( A.函数f(x)在[0，上是增函数 B.函数f(x)的最小值为0 C如果x∈[0，]时，)=，则t的最小值为2D.函数/国有2个零点 试卷第1页，共4页 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.给出下列命题，其中正确的命题有() A.两个变量的线性相关性越强，则相关系数r越大 B.在3x在 的展开式中，各项系数和与所有项二项式系数和相等 C.将4名老师分派到两个学校支教，每个学校至少派1人，则共有14种不同的分派方法 D.公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有10种 10.已知双曲线5号号=®>0)的左、右焦点别为斤，月，过点尽的直线1与双曲线E的 右支相交于P,Q两点，则() A.若E的两条渐近线相互垂直，则a=√2 B.若∠FPF=90°，则PFPF=4 C.若E的离心率为√3，则E的实轴长为1 D.当a变化时，AFP2周长的最小值为8互 11.如图，在棱长为1的正方体ABCD-ABCD中，E、F分别为棱AD、AA的中点， G为线段BC上一个动点，则( D A.三棱锥A-EFG的体积为定值 B.存在点G,使平面EFGM平面BDC C.当点G与B,重合时，二面角G-EF-4的正切值为22 D.当点G为BC中点时，平面EFG截正方体所得截面的面积为3 4 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知，5分别为椭圆后+6-1的左，右焦点，P为椭图上一点且P=2P,则△PF5 的面积为 13.甲、乙两人争夺一场羽毛球比赛的冠军，比赛为“三局两胜“制如果每局比赛中甲获胜的 概率为-，乙获胜的概率为；，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为 14.己知a∈N,函数f(x)=e-x°>0恒成立，则a的最大值为_ 试卷第2页，共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本题满分13分) 某班级60名同学参加了某次考试，从中随机抽选出5名同学，他们的数学成绩x与物理成绩 y如下表： 数学成绩x 140 130 120 110 100 物理成绩y 110 90 100 80 70 数据表明y与x之间有较强的线性相关性 (1)利用表中数据，求y关于x的经验回归方程，并预测该班某同学的数学成绩为90分时的物 理成绩； (2)在本次考试中，规定数学成绩达到125分为数学优秀，物理成绩达到100分为物理优秀.若 该班的数学优秀率与物理优秀率分别为50%和60%，且所有同学中数学优秀但物理不优秀的 同学共有6人，请你完成下面的2×2列联表，依据小概率值α=0.005的独立性检验，能否认 为数学成绩与物理成绩有关联？ 物理优秀 物理不优秀 合计 数学优秀 数学不优秀 合计 (x-xy-)2xy-呵 参考公式及数据：6=可 2(x-} -m n(ad-be x-(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 其中n=a+b+c+d 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 右表是x独立性检验中几个常用小概率值和相应的临界值. 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16.(本题满分15分) 已知数列 的前n项和为Sn,Sn=2an-3n(n∈N) (1)证明：数列{an+3}是等比数列，并求出数列 的通项公式： (2设6=背a,+3,求数列他，}的前a项和工： (3)数列 中是否存在三项，它们可以构成等差数列？（直接写出结论，不要求证明）. 试卷第3页，共4页 17.(本题满分15分) 如图所示，在三棱锥P-ABC中，已知PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC, (1)证明：BC⊥平面PAB: (2)若PA=AB=6,BC=3,在线段PC上（不含端点），是否存在点D,使得二面角B-AD-C 的余弦值为0，若存在，确定点D的位置：若不存在，说明理由。 5 18.(本题满分17分) 面试是求职者进入职场的一个重要关口，也是机构招聘员工的重要环节，某科技企业招聘员 工，首先要进行笔试，笔试达标者进入面试，面试环节要求应聘者回答3个问题，第一题考 查对公司的了解，答对得2分，答错不得分，第二题和第三题均考查专业知识，每道题答对 得4分，答错不得分。 (1)若一共有100人应聘，他们的笔试得分X服从正态分布N(60,144),规定X≥72为达标， 求进入面试环节的人数大约为多少（结果四舍五入保留整数）： 2)某进入面试的应聘者第一题答对的概率为-，后两题答对的概率均为！，每道题是否答对 互不影响，求该应聘者的面试成绩Y的分布列和数学期望 附：若X~N(4,o2)(o>0),则P(4-o<X<H+σ)≈0.683，P(μ-2o<X<4+2o)≈0.954， P(u-3<X<u+3o)≈0.997. 19.(本题满分17分) 已知函数/)=h(x+)-华a>0), (1)若x=1是函数 的一个极值点，求a的值： (2)若f(x)≥0在[0，+o)上恒成立，求a的取值范围： (3)证明： 2024)2024 >e(e为自然对数的底数). 2023 试卷第4页，共4页 高二级数学科期末考试参考答案 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A C B 2 D B C B BC ABD AC 2W15 8D【详解】对于A因为)-二，求导得r)2-习， e 当x<0或x>2时，f"(x)<0,当0<x<2时，f'(x)>0, 故在(-o,0)和(2，+∞)上单调递减，在(0,2)上单调递增，故A正确： 对于B,当x=0时，fx)=0,当x→+0时，f(x)→0， 结合A选项得函数∫(x)的最小值为0，故B正确： 3 对于C当x=2时，f2)-号，则f)的图像如右图所示 -10 12345 4 如果x∈0，小时，f()=。三，由图可知的最小值为2， 故C正确： 对于D,由图可知(x)只有一个零点x=0,故D不正确， 10.ABD【详解】依题意，b=√2， A选项，若双曲线的两条渐近线相互垂直，所以 =1,a=b=√2，故A正确： PF-PF=2a B选项，若∠EPF=90°， PE+PF=4c 整理得2PFPF=4c2-4a2=4b2=8,PFPF=4,故B正确： c选项若B的离心*为层5 解得a=1,所以实轴长2a=2,故C错误： PF-PF=2a D选项，根据双曲线的定义可知， OF-OF,=2a 两式相加得PF+QF-Pg=4a,PF+l2F=4a+Pg,所以aFP2周长为4a+2Pg, 当PO⊥F5时，Pg取得最小值2沙_4 aa 所以a+2Pe和+83og-sw a 当且仅当4a=8,即a=5时，等号成立，所以aFP阳周长的最小值为82，故D正确， 答案第1页，共7页 11.AC【详解】对于A,随者G的移动，但是点G到平面AEF的距离始终不变即为线段AB的长度，故 片西6w时4国×5m-兮1-名是定值。放A正确 对于B,如图所示，连接AD∩EF=P,H为侧面CCBB的中心， 平面ADCB,与平面EFG和平面BDC分别交于线PG、DH, 若存在G点使平面EFGI平面BDC,则PGDH,又ADIICB, 则四边形PGHD为平行四边形，即PD=GH,而PD>号=BH, 此时G应在CB延长线上，故不存在线段B,C上一个动点G,使平面EFGW平面BDC,,故B错误： 对于C取F的申点P,接4，G,又4=4-E-GF-+-5 D 所以AP⊥EF,GP⊥EF,所以∠APG为二面角G-EF-A的平面角， E 又AB⊥平面AMDD,APC平面AADD,所以AB⊥AP, AP-3EF- 2+2 所以an∠4PG=4G =22 AP 即二面角G-EF-A的正切值为2√2，故C正确： 对于D,连接AD,BC,EC,BF,依题意可知BCOBC=G,EF∥AD,AD /IBC,所以EFI/BC, 所以四边形EFBC为平面EFG截正方体所得载面，又BC=F+下=2，EF= 2 EC=BF= 1 +2》 如右方平面图形，过点E作EN⊥BC,过点F作EM⊥BC, 则BM=(BG-EF)=5,所以FM=VBr-BM 3v2 所以SFG= 2 48' 当点G为BC中点时，平面EFG截正方体所得截面的面积为？，故D错误 14.1【详解】当a为正偶数时，当x=-2时，-2)=e2-(2=。-2<0,显然不符合题意： 当a为正奇数时，则当x<0时，x“<0<e恒成立，因此只需研究x>0时，e-x>0恒成立即可， 答案第2页，共7页 当x=1时，e-1>0成立，则当xeQ时，a>因为此时小于0，所以恒成立， 当xe+o)时，a<点国成立， 令-化+四，则go-高司，令ga=0,得n-1=0,即x=e 当x∈(L,e)时，g(x)<0,则g(x)在(l,e)上单调递减， 当x∈(e,+o)时，g'(x)>0,则g(x)在(e,+o)上单调递增， 所以函数g()在(1，+o)上取得最小值g(x)=ge)=。 =e, Ine 要使xe化+)时，a<恒成立，则a<g)=e27, 又因为a为正奇数，所以a的最大值为1 综上所述，a的最大值为L. 15.（1)由表中数据可得x=140+130+120+110+10=120,=10+90+10+80+70=90-…2分 2-0g-9-100-0-(0-x0-0m-0m-0H0-m网-0Hm-00-0w 2(-=40-120+130-120+120-120+010-120+10-120f00. 2(x-(%-月 所以b= 900 =0.9. 24-或 -5分 1000 a=下-b标=90-0.9×120=-18 -6分 故经验回归方程为=0.9x-18, -7分 当x=90时，y=0.9×90-18=63分， 该班某同学的数学成绩为90分时的物理成绩约为63分. -8分 (2)2×2列联表如下： 物理优秀 物理不优秀 合计 数学优秀 24 6 30 数学不优秀 12 18 30 合计 36 24 60 -9分 零假设H。为：数学成绩与物理成绩没有关联 -10分 答案第3页，共7页 x2= n(ad-be)2 60×24×18-6x12-10>7.876, -12分 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)36×24×30×30 依据小概率值α=0.005的独立性检验，推断零假设H。不成立，即认为数学优秀与物理优秀有关联， 此推断犯错错误的概率不超过0.005。 -13分 16.(1)证明：由Sn=2a.-3n,可得a=S,=2a-3,解得4=3- 1分 当n≥2时，由Sn=2an-3n,可得Sn=2a-1-3(n-l1) 两式相减可得a.=2an-3n-2an1+3(n-1),整理为an=2a1+3 3分 又4+3=6，则8+3-20+33=2 -4分 an1+3an-1+3 所以数列{a.+3}是首项为6，公比为2的等比数列 -5分 可得an+3=6×2-=3×2 所以an=3×2”-3- --6分 ②将a,+3=3x2,所以=号a,+3)=2 -7分 所以T=1×2+2×2+3x2++n-02-+m-2@ 2T=1×22+2×23+3×2+…+(m-1)2”+2② -8分 ①-②得：-T=2+22+23++2”-2 2-2".2 1-2 20+1 =(1-n)2m1-2 -11分 .T,=(n-1)2+2 -12分 (3)数列 中不存在三项可以构成等差数列. -15分 【理由如下】 假设数列{an}中存在三项，它们可以构成等差数列， 设a4,a,am成等差数列，且k<l<m,k,1,meN, 即有24，=4+am,即为2(6×2+-3=6×2-3+6×2m-1-3, 化为2×2=21+2m-小，可得2×2*=1+2m*, 答案第4页，共7页 上式左边为偶数，右边为奇数，显然不成立 故数列{a}中不存在三项，它们可以构成等差数列. 17.【详解】1)过点A作AE⊥PB于点E, 因为平面PAB⊥平面PBC,且平面PABO平面PBC=PB,AEc平面PAB, 所以AE⊥平面PBC, -1分 又BCC平面PBC,所以AE⊥BC,- -2分 又PA⊥平面ABC,BCC平面PBC, 所以PA⊥BC, -3分 又因为AE∩PA=A,AE,PAC平面PAB, 所以BC⊥平面PAB. 5分 (2)假设在线段PC上（不含端点），存在点D,使得二面角B-AD-C的余弦值为V0 以B为原点，分别以BC、BA为x轴，y轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系， …6分 则A0,6,0),B(0,0,0),C(3,0,0),P(0,6,6) AC=(3,6,0),AP=(0,0,6),PC=(3,-6,6),BA=(0,6.0) -7分 设平面ACD的一个法向量为m=(:,yz)】 mAC=0即 x-6y=0, 取x■2，y=1,z=0, mi.AP=0. 6z=0, 所以m=(2,L,0)为平面ACD的一个法向量， 9分 因为D在线段PC上（不含端点），所以可设PD=APC=(31,-6元，-62)，0<2<1， 所以AD=AP+PD=(32,6元，6-6)， -10分 设平面ABD的一个法向量为n=(x,y,z), n-=0即6=0 元-AD=0,32x-6y+(6-6)z=0,' 取x=22-2,y=0,z=1, 所以n=(21-2,0,)为平面ABD的一个法向量， -12分 cos(元，）=2x2A-2+1x0+0x元 5x22-2+2，又0<<1， 答案第5页，共7页 2×(21-2) 由已知可得5×22-2八+2 5 解得入=或元=2（舍去)， -14分 所以，存在点D,使得二面角B-AD-C的余弦值为 5 ,此时D是PC上靠近C的三等分点.-l5分 17.(1)因为X服从正态分布N(60,144),所以4=60，G=12,72=4+0, -1分 所以P(X≥72)≈1-0.683 0.1585.- -3分 进入面试的人数Z~B(100,0.1585),E(Z)=100×0.1585≈16. 5分 因此，进入面试的人数大约为16. -6分 (2)由题意可知，Y的可能取值为0,2,4,6,8,10， 7分 则Pw=0-(-引-石 8分 e-2-号 -9分 Pw---}c×引常 -10分 P(Y-6-C -1山分 Pv=-引- -12分 -13分 所以，Y的分布列为 Y 0 2 4 6 8 10 P 1 8 16 16 32 75 75 75 5 -15分 2+4× B0-02 +6x16+8x 16 75 +10 32580116 75 75 757515 -17分 答案第6页，共7页