广东省梅州市兴宁市第一中学2023-2024 学年九年级下学期数学第二次月考试题

兴宁一中2023-2024 九年级下期数学第二次月考试题 （考试时长：120 分钟，满分 120 ，请在答卷上作答） 一．选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分.） 1 ．下列选项中的各数，倒数是它本身的是 ( ) A ．5 B ．2 C ．1 D ．0 2 ．华为麒麟 9000 处理器是手机行业首批采用 5nm 工艺制式的芯片， 1nm ＝0.00 000 000 1m ，其中 5nm 用科学记数法表示为 ( ) A ．5×109 B ．5×10﹣10 C ．5×10﹣8 D ．5×10﹣9 3 ．瓦楞纸箱具有较高抗压强度及防震性能，能够抵挡搬运过程中的碰撞、冲击和摔跌， 在商业包装中有着举足轻重的作用．如图所示，是一件正六棱柱瓦楞纸箱，则该几何 体的主视图是 ( ) A ． B . C ． D . 4 ．某校篮球队有 14 名队员，队员的年龄情况统计如下表： 年龄/岁 15 16 17 18 人数 3 4 5 2 则这 14 名队员年龄的中位数和众数分别是 ( ) A ．16.5 ，17 B ．17 ，16 C ．16 ，17 D ．16.5 ，16 5 ．如图，AB∥CD ，直线 EF 分别交 AB ，CD 于点 E，F，EG 平分∠BEF，∠1 ＝70 ° , 则∠3 的度数为 ( ) 第 5 题图 第 8 题图 第 9 题图 A ．80 ° B ．70 ° C ．50 ° D ．40 ° 6 ．如果 = ，则 = ( ) A． B． C． D . 7 ．关于方程 x² -3x＋2=0 的根的说法中，正确的是 ( ( ) A ．没有实数根 B ．有两个不相等的实数根 C ．两个实数根的和为 2 D ．两个实数根的积为﹣3 8．如图，“ 凸轮 ”的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段 等弧组成．已知正三角形的边长为 1 ，则凸轮的周长等于 ( ) A． B． C . π D ．2π 9 ．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90 ° , ∠ABC＝67.5 ° , D 为 AB 中点，且 DE⊥AB 交 AC 于点 E ，BC＝3 ，则 AC 的长为 ( ) A ．3 2 B ．3 + 3 2 C ．6 D ．5 2 10 ．如图，抛物线y ＝ax2+bx+c 过点 ( ﹣2 ，0），（3 ，0）. 下列结论：①>0；②c ＝2b；③若抛物线上有点（ ，y1 ）， ( ﹣3，y2 ）， ( − , y3 ），则y2＜y1＜y3； ④方程 cx2+bx+a ＝0 的解为x1 = ，x2= − . 其中正确的个数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 二．填空题（共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分.） 11 ．如果 3x2+px+q ＝（3x+4）（x﹣2），那么p = 12 ．某蓄电池的电压 36V，使用此蓄电池时，电流 I（单位：A）与电阻 R（单位：Ω) 的函数表达式为I = ．当 R ＝9Ω时，I 的值为 A . 13．如果一个多边形的内角和与外角和的比是 7：2，那么这个多边形的边数是 . 14．如图，△ABC 中，AB＝AC＝4，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D ，点 E 为AC 的中点， 则 DE 的长为 . 第 14 题图 第 16 题图 ( 11 − 2x ≥ 1 )15. 若关于 x 的不等式组x − m ＞0 的所有整数解的和是 12，则 m 的取值范围是 . 16. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+6 的图象与 x 轴交于点A ，与y 轴交于 点 B ，点 P 在线段AB 上，PC⊥x 轴于点 C，则△PCO 周长的最小值为 . 三．解答题（共 9 小题，其中第 17~19 题每小题 6 分；第 20~23 题每小题 8 分；第 24 题 10 分；第 25 题 12 分；共 72 分.） 17 ．计算： ( − ) ﹣1+2cos30 °﹣ | − 12|+（2024﹣π ) 0 . 第 1页 学科网（北京）股份有限公司 18 ．如图，四边形ABCD 是矩形，连接AC， ∠ACB ＝60 ° . （1）实践操作：利用尺规作∠DAC 的平分线 AM，交 CD 于点 M．（要求：尺规作 图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）猜想证明：在所作的图中，猜想线段 AM 与 CM 的数量关系，并证明你的猜想. 19 ．扬州是个好地方，有着丰富的旅游资源．某天甲、乙两人来扬州旅游，两人分别从 A 、B 、C 三个景点中随机选择一个景点游览. （1）甲选择 A 景点的概率为 ； （2）请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人中至少有一人选择 C 景点的概率. 20 ．某县积极响应国家优先发展教育事业的重大部署，对通往某偏远学校的一段全长为 1200 米的道路进行了改造，铺设柏油路面，铺设 400 米后，为了尽快完成道路改造， 后来每天的工作效率比原计划提高 25% ，结果共用 13 天完成道路改造任务. （1）求原计划每天铺设路面多少米？ （2）若承包商原来每天支付工人工资为 1500 元，提高工作效率后每天支付给工人的 工资为 2000 元，完成整个工程后承包商共支付工人工资多少元？ 21 ．如图，▱ABCD 中，点 E 是AD 的中点， 连结 CE 并延长交 BA 的延长线于点 F. （1）求证：AF＝AB； （2）点 G 是线段AF 上一点，满足∠FCG = ∠FCD ，CG 交AD 于点 H，若AG ＝2， FG ＝6 ，求 GH 的长. 22 ．如图，直线AB 与反比例函数y= （k＞0，x＞0）的图象 相交于点A 和点 C（3 ，2），与 x 轴的正半轴相交于点 B . （1）求 k 的值； （2）连接 OA ，OC，若点 C 为线段AB 的中点， 求△AOC 的面积. 23 ．如图，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 为⊙O 的切线， 切点分别为A 、B ，直线 PO 交⊙O 于点 D 、E ，交 AB 于点 C. （1）求证： ∠ADE = ∠PAE . （2）若∠ADE ＝30 ° , 连接 BD， 求证：四边形 ADBP 是菱形. 24 ．综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠 ”为主题开展数学活动. （1）操作判断 操作一：对折矩形纸片ABCD ，使AD 与 BC 重合，得到折痕 EF，把纸片展平； 操作二：在AD 上选一点 P，沿 BP 折叠，使点A 落在矩形内部点 M 处，把纸片展平， 连接 PM，BM. 根据以上操作，当点 M 在 EF 上时，写出图 1 中一个 30 ° 的角： . （2）迁移探究 小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片ABCD 按照（1）中的方式操作，并延长 PM 交 CD 于点 Q ，连接 BQ . ①如图 2 ，当点 M 在 EF 上时， ∠MBQ = ° , ∠CBQ = ° ; ②改变点 P 在 AD 上的位置（点 P 不与点A ，D 重合），如图 3 ，判断∠MBQ 与∠ CBQ 的数量关系，并说明理由. （3）拓展应用 在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD 的边长为 8cm ，当 FQ ＝1cm 时，直接写出 AP 的长. 25 ．综合与探究 如图，二次函数y= − x2 + x+4 的图象与 x 轴交于A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧）， 与y 轴交于点 C．点 P 是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点 P 的横坐标为 m ．过点 P 作直线 PD⊥x 轴于点 D ，作直线 BC 交 PD 于点 E . （1）求 A ，B ，C 三点的坐标，并直接写出直线 BC 的函 数表达式； （2）当△CEP 是以 PE 为底边的等腰三角形时，求点 P 的坐标； （3）连接 AC，过点 P 作直线l∥AC，交y 轴于点 F，连 接 DF ．试探究：在点 P 运动的过程中，是否存在点 P， 使得 CE ＝FD ，若存在，请直接写出 m 的值；若不存在， 请说明理由. 第 2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 兴宁一中2024 届九年级第二次学科素质评价（数学） 兴宁一中2023-2024 九年级下期数学第二次月考试题 参考答案与试题解析 一．选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分.） 1 ．C．2．D ．3 ．B ．4．A ．5．D ．6 ．C．7．B ．8 ．C．9．B ．10 ．A. 【10. 解： ∵抛物线的开口向下，与y 轴交于正半轴，对称轴在y 轴右侧， ∵a＜0 ，b＞0 ，c＞0， ∴①错误； ∵抛物线y ＝ax2+bx+c 经过点 ( ﹣2 ，0），（3 ，0）. ∴对称轴为直线 ∴b = ﹣a， ∴a = ﹣b， 把 ( ﹣2 ，0）代入解析式得 4a﹣2b+c ＝0 ，把 a = ﹣b， ∴﹣4b﹣2b+c ＝0， ∴c ＝6b ，故②错误； ∵抛物线开口向下， ∴越靠近对称轴的点的函数值越大， ∴y2＜y1＜y3 ，故③正确； a = ﹣b ，c ＝6b ，选项④可变成 6bx2+bx﹣b ＝0 ，即 6x2+x﹣1 ＝0； 即可求出两根x1 = − , x2= ，故④错误. 故选：A．】 二．填空题（共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分.） 11 . ﹣2 ．12 ．4 ．13 ．9 ．14 ．2 ．15 ．2≤m＜3 或﹣3≤m < ﹣2 . ( 11 − 2x ≥ 1 )【15. 解：解不等式组x − m ＞0 得：m＜x ≤5， ∵所有整数解的和是 12， ∴不等式组的整数解为①5 ，4 ，3 ，或②5 ，4 ，3 ，2 ，1 ，0 ，﹣1 ，﹣2. ∴2≤m＜3 或﹣3≤m < ﹣2；】 16 ．6+3 2 . 【解：设点 P（x，x+6），则 PC＝x+6 ，OC= ﹣x， ∴PC+OC＝6， ∴当 OP 取最小值时，△PCO 的周长有最小值. 当 OP⊥AB 于点 P 时，OP 最小， 对y＝x+6 ，当 x ＝0 时，y ＝6 ，当y ＝0 时，x = ﹣6， ∴A ( ﹣6 ，0），B（0 ，6）， ∴OA ＝OB ＝6， 第 1页 学科网（北京）股份有限公司 ∴AB ＝6 2， ∵S△OAB= OA ⋅ OB = AB ⋅ OP， ∴6×6 ＝6 2 ×OP， ∴OP ＝3 2， ∴C△PCO＝PC+OC+OP ＝6+3 2．】 三．解答题（共 9 小题，其中第 17~19 题每小题 6 分；第 20~23 题每小题 8 分；第 24 题 10 分；第 25 题 12 分；共 72 分.） 17 ．计算：（− ）﹣1+2cos30 °﹣| − 12|+（2024﹣π ）0． 解：原式＝﹣2+2× −2 3 +1 ……………………4 分 ＝﹣2+ 3 −2 3 +1 5 分 ＝﹣1 − 3 ． 6 分 18 ．解：（1） ………………………………………………1 分 如图，AM 即为所求． …………………………………………2 分 （2）AM＝CM．…………………………………………………3 分 理由： ∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD∥BC， ∠DCB ＝90 °， ∴ ∠DAC＝ ∠ACB ＝60 ° ， ∠ACD ＝90 °﹣60 ° ＝30 ° ． ……4 分 ∵AM 是∠DAC 的平分线， ∴∠CAM = ∠DAC = 30° ， …………………………………………5 分 ∴ ∠CAM＝ ∠ACM， ∴AM＝CM．………………………………………………………6 分 19 ．解：（1）； ………………………………………………………2 分 （2）根据题意画树状图如下： 第 2页 学科网（北京）股份有限公司 ……………………………………………… 4 分 ∵共有 9 种等可能的情况，其中甲、乙两人中至少有一人选择 C 景点的情况有 5 种， ……………………………………………………………………………5 分 ∴ 甲、乙两人中至少有一人选择 C 景点的概率是 ． ………………6 分 20．解：（1）设原计划每天铺设路面 x 米，则提高工作效率后每天铺设路面（1+25%） x 米，依题意， ………………………………………………………………1 分 得： =13 ，……………………………………………………2 分 解得：x ＝80 ，…………………………………………………………………3 分 经检验，x ＝80 是原方程的解，且符合题意． ……………………………4 分 答：原计划每天铺设路面 80 米． ……………………………………………5 分 （2）1500× +2000×（13 − ) =23500（元）． ……………………7 分 答：完成整个工程后承包商共支付工人工资23500 元． …………………8 分 21 ．（1）证明： ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC，CD∥AB， ∴ ∠D = ∠FAD ， ∠DCE = ∠F， ∵E 是AD 的中点， ∴DE＝AE， ∴△CDE≌△FAE（AAS）， ∴CD＝AF，………………………………………………………………2 分 ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴CD=AB ， ………………………………………………………………3 分 ∴AF＝AB；………………………………………………………………4 分 （2）解： ∵AG ＝2 ，FG ＝6， ∴AF＝FG+AG ＝6+2 ＝8， 由（1）有 AB＝AF＝8， ∴CD＝AB ＝8 ，…………………………………………………………5 分 ∵ ∠DCE = ∠F， ∠FCG = ∠FCD， ∴ ∠F= ∠FCG， ∴CG ＝FG ＝6 ， …………………………………………………………6 分 ∵CD∥AF， ∴ ∠D=∠GAH， ∵ ∠DHC=∠AHG， ∴△DCH∽△AGH， ……………………………………………………7 分 ∴GH＝1.2 ． ……………………………………………………………8 分 22 ．解：（1） ∵点 C（3 ，2）在反比例函数y= 的图象上， 第 3页 学科网（北京）股份有限公司 =2 ，…………………………………………………………………2 分 解得：k ＝6；……………………………………………………………3 分 （2）由（1）可得反比例函数的表达式为 ∵点 C（3 ，2）是线段AB 的中点， ∴点A 的纵坐标为 4， 将 y=4 代入y= 得 ∴点A 的坐标为（ ，4），……………………………………………4 分 设直线AC 的解析式为：y ＝ax+b， 则 解得： ∴直线AC 的解析式为：y= − x+6 ，…………………………………5 分 当y ＝0 时， ∴OB= ，………………………………………………………………6 分 ∵点 C 是线段AB 的中点， ∴S△AOC= S△AOB= × × ×4= ．……………………………………8 分 23 ．（1）证明：连接 OA ，如图， ∵PA 为⊙O 的切线， ∴AO⊥PA， ∴ ∠OAE+∠PAE ＝90 ° ．……………………………………1 分 ∵DE 是⊙O 的直径， ∴ ∠DAE ＝90 °， ∴ ∠ADE+∠AED ＝90 ° ．……………………………………2 分 第 4页 学科网（北京）股份有限公司 ∵OA ＝OE， ∴ ∠OAE = ∠AED ， ……………………………………………3 分 ∴∠ADE = ∠PAE；……………………………………………4 分 （2）证明： ∵PA 、PB 为⊙O 的切线，切点分别为A 、B， ∴PA=PB. PO 平分∠APB ，……………………………………5 分 ∴PO⊥AB. PO 平分 AB. 连接 BD ，则 DA=DB. …………………………………………6 分 ∵ ∠ADE ＝30 ° , 由（1）有∠PAE=∠ADE=30 ° , ∠DAE ＝90 ° , ∴ ∠DAP=∠DAE+∠PAE=120 ° ∴ ∠APD ＝180 ° -∠ADE-∠DAP=30 ° , ∴AD ＝AP. ………………………………………………………7 分 ∴AD=AP=PB=DB ∴四边形 ADBP 是菱形. …………………………………………8 分 24.解：（1） ∠EMB 或∠CBM 或∠ABP 或∠PBM（任写一个）； ……2 分 【解析： ∵对折矩形纸片ABCD， ∴AE＝BE= AB ， ∠AEF= ∠BEF＝90 ° , ∵沿 BP 折叠，使点A 落在矩形内部点 M 处， ∴AB＝BM， ∠ABP = ∠PBM， ∵sin∠BME= = ， ∴ ∠EMB ＝30 ° , ∴ ∠ABM＝60 ° , ∴ ∠CBM= ∠ABP = ∠PBM＝30 °】 （2）①15 ，15；…………………………………………………………4 分 【解析：①由（1）可知∠CBM＝30 ° , ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB＝BC， ∠BAD = ∠C＝90 ° , 由折叠可得：AB＝BM， ∠BAD = ∠BMP ＝90 ° , ∴BM＝BC， ∠BMQ = ∠C＝90 ° , 又∵BQ＝BQ， ∴Rt△BCQ≌Rt△BMQ（HL）， ∴∠CBQ = ∠MBQ ＝15 ° 】 ②∠MBQ = ∠CBQ ，……………………………………………………5 分 理由如下： ∵四边形ABCD 是正方形， 第 5页 学科网（北京）股份有限公司 ∴AB＝BC， ∠BAD ＝ ∠C＝90 °， 由折叠可得：AB＝BM， ∠BAD ＝ ∠BMP ＝90 °， ∴BM＝BC， ∠BMQ ＝ ∠C＝90 ° ，……………………………………6 分 又∵BQ＝BQ， ∴Rt△BCQ≌Rt△BMQ（HL）， …………………………………………7 分 ∴∠CBQ ＝ ∠MBQ；………………………………………………………8 分 （3）AP 的长为cm 或cm ．…………………………………………10 分 【解析：由折叠的性质可得 DF＝CF＝4cm，AP＝PM， ∵Rt△BCQ≌Rt△BMQ， ∴CQ＝MQ， 当点 Q 在线段 CF 上时， ∵FQ ＝1cm， ∴MQ ＝CQ ＝3cm，DQ ＝5cm， ∵PQ2＝PD2+DQ2， ∴（AP+3）2 ＝（8﹣AP）2+25， ∴AP= 当点 Q 在线段 DF 上时， ∵FQ ＝1cm， ∴MQ ＝CQ ＝5cm，DQ ＝3cm， ∵PQ2＝PD2+DQ2， ∴（AP+5）2 ＝（8﹣AP）2+9， ∴AP= 综上所述：AP 的长为cm 或cm．】 25 ．解： 在y= − 中， 令 x ＝0 得y ＝4， 令y ＝0 得 x ＝8 或 x ＝﹣2， ∴A（ ﹣2 ，0），B（8 ，0），C（0 ，4）， ……………………………3 分 直线 BC 的函数表达式为x+4；…………………………………4 分 【解析：设直线 BC 解析式为y ＝kx+4 ，将 B（8 ，0）代入得： 8k+4 ＝0， 解得 ∴直线 BC 解析式为x+4；】 第 6页 学科网（北京）股份有限公司 （2）过 C 作 CG⊥PD 于 G，如图： 设 P（m ，− m2+ m+4）， ∵ ∠COD = ∠PDO = ∠CGD ＝90 ° , ∴四边形 CODG 是矩形， ……………………………………………5 分 ∴DG ＝OC＝4 ，CG ＝OD ＝m， ∴PG＝PD﹣DG= − m2 + m+4﹣4= − m2+ m， ∵CP ＝CE ，CG⊥PD， ∴GE＝PG= − m2 + m ，………………………………………………6 分 ∵ ∠GCE = ∠OBC， ∠CGE ＝90 ° = ∠BOC， ∴△CGE ∽△BOC， ……………………………………………………7 分 解得 m ＝0（舍去）或 m ＝4 ， …………………………………………8 分 ∴P（4 ，6）； ……………………………………………………………9 分 （3）存在点 P，使得 CE ＝FD ， ……………………………………10 分 m ＝2 5 −2 或 m ＝4. …………………………………………………12 分 【解析：过 C 作 CH⊥PD 于 H，如图： 第 7页 学科网（北京）股份有限公司 设 P（m ，− m2+ m+4）， 由A（ –2 ，0），C（0 ，4）可得直线AC 解析式为y ＝2x+4， 根据 PFⅡAC，设直线 PF 解析式为y ＝2x+b ，将 P（m ，− m2 + m+4）代入得： m+4 ＝2m+b ，:b= − m+4， : 直线 PF 解析式为y ＝2x− m2 − m+4 ， 令 x ＝0 得y= − m2 − m+4， :F（0 ，− m2 − m+4）， : OF＝| − m2 − m+4|， 同（2）可得四边形 CODH 是矩形，: CH＝OD， “CE ＝FD， :Rt△CHE≤Rt△DOF（HL）， : 上HCE ＝上FDO， “ 上HCE ＝上CBO， : 上FDO ＝上CBO， :tan上FDO ＝tan上CBO， : − m2 − m+4= m 或− m2 − m+4= − m， 解得 m ＝2 5 −2 或 m ＝ –2 5 −2 或 m ＝4 或 m ＝ –4， “P 在第一象限，:m ＝2 5 −2 或 m ＝4．】 第 8页 学科网（北京）股份有限公司 $$