第20讲 多边形和圆的初步认识【六大考点+过关测】- 【暑假自学课】2024年新七年级数学暑假提升精品讲义（北师大版2024）

第20讲 多边形和圆的初步认识 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．经历从现实世界中抽象出平面图形的过程，感受图形世界的丰富多彩； 2．在具体情景中认识多边形、正多边形、圆、扇形； 3．能根据扇形和圆的关系求扇形的圆心角的度数； 4.在丰富的活动中发展有条理的思考和表达能力. 知识点一 多边形 三角形、四边形、五边形、六边形等都是多边形，它们都是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形. 【说明】（1）内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角. （2）外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. （3）连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. （4）各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形，所以正多边形同时具有各边相等，各角相等的性质. 知识点二 多边形的对角线 名称 三角形 四边形 五边形 六边形 n边形 图示 顶点 3 4 5 6 n 从一个顶点出发的对角线的条数 0 1 2 3 n-3 对角线的总条数 0 2 5 9 分割成三角形的个数 0 2 3 4 n-3 知识点三 圆及扇形 1. 圆的定义 如图，在一个平面内，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆，固定的端点叫做圆心，线段OA叫做半径.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 注意： ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可. 　②圆是一条封闭曲线. 2.与圆有关的计算：圆的周长公式：；圆的面积公式：. 3.扇形 （1）圆弧：圆上任意两点A，B间的部分叫做圆弧，简称弧，记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”. 如下图： （2）扇形的定义：如上图，由一条弧AB和经过这条弧的端点的两条半径OA，OB所组成的图形叫做扇形. 注意：圆可以分割成若干个扇形. （3）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角. 如上图，∠AOB是圆的一个圆心角，也是扇形OAB的圆心角. 考点一：多边形的概念与分类 例1．（2023秋·全国·八年级专题练习）下列图形中，不是多边形的是（　　） A．   B．  C．   D．   【变式1-1】（2023春·全国·八年级专题练习）如图所示的图形中，属于多边形的有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式1-2】（2023春·七年级单元测试）下列判断：（1）各边长相等的多边形是正多边形；（2）各角都相等的多边形是正多边形；（3）等边三角形是正多边形：（4）长方形是正多边形．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点二：多边形对角线的条数问题 例2.（2023秋·八年级课时练习）已知过多边形的某一个顶点可以作2023条对角线（不是一共有2023条对角线），则这个多边形的边数是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【变式2-1】（2023春·山东淄博·六年级统考期中）从五边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，它们将五边形分成个三角形，则的值为(    ) A．9 B．8 C．6 D．5 【变式2-2】多边形的对角线共有20条，则下列方程可以求出多边形边数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2023秋·江西九江·七年级统考期末）探究归纳题： （1）试验分析： 如图1，经过A点可以作1条对角线；同样，经过B点可以作1条对角线；经过C点可以作1条对角线；经过D点可以作1条对角线．通过以上分析和总结，图1共有________条对角线； （2）拓展延伸：运用（1）的分析方法，可得：图2共有________条对角线；图3共有________条对角线； （3）探索归纳：对于n边形（n＞3），共有________条对角线；（用含n的式子表示） （4）特例验证：十边形有________对角线． 考点三：对角线分成三角形个数问题 例3. 从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把这个多边形分割成5个三角形，则这个多边形的边数是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式3-1】（2023秋·八年级课时练习）要使得一个多边形具有稳定性，从多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点转化得到2023个三角形，则这个多边形的边数为（    ） A．2021 B．2025 C．2024 D．2026 【变式3-2】（2023秋·八年级课时练习）（1）从四边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将四边形分成 个三角形，四边形共有 条对角线； （2）从五边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将五边形分成 个三角形，五边形共有 条对角线； （3）从六边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将六边形分成 个三角形，六边形共有 条对角线； （4）从n边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将n边形分成 个三角形，n边形共有 条对角线． 【变式3-3】（2023春·上海·八年级专题练习）从一个多边形一边上的一点（不是顶点）出发，分别连接这个点与各个顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形，请你观察下图，并完成后面的填空. 当多边形的边数是4时，可以把多边形分割成_______个三角形； 当多边形的边数是5时，可以把多边形分割成_______个三角形； 当多边形的边数是6时，可以把多边形分割成_______个三角形；         …… 你能看出多边形边数与分割成的三角形的个数之间有什么规律吗？ 考点四：用七巧板拼图形 例4. （2023秋·湖南岳阳·七年级统考开学考试）用边长为的正方形纸板，制成一副七巧板，将它拼成“小天鹅”图案，其中阴影部分的面积是（    ）．    A． B． C． D． 【变式4-1】（2023秋·河南南阳·七年级校联考期末）七巧板被西方人称为“东方魔板”．如图的两幅图是由同一副七巧板拼成的．已知七巧板拼成的正方形的边长为，则“一帆风顺”图中阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 【变式4-2】（2023春·山东青岛·七年级统考期末）如图所示的七巧板起源于我国先秦时期，由古算书《周髀算经》中关于正方形的分割术，经过历代演变而成，19世纪传到国外，被称为“唐图”（意为“来自中国的拼图”）．图2是由边长为2的正方形分割制作的七巧板拼摆而成的“叶问蹬”图，则图中拍起的“腿”（即阴影部分）的面积为 ．    【变式4-3】（2023春·江西鹰潭·九年级校考阶段练习）七巧板被西方人称为“东方魔术”，如图所示的两幅图是由同一个七巧板拼成的．已知七巧板拼成的大正方形（如图）的边长为，若图2的“小狐狸”图案中阴影部分面积记为．则 ．    考点五：平面镶嵌 例5. （2023春·广东佛山·八年级校考期末）在平面图形正三角形、正六边形、正四边形、正五边形中，能单独镶嵌平面的有（　　）种图形． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5-1】（2023秋·全国·八年级专题练习）小明家住黄山市，小明的爸爸刚在市区买了一套住房，带着小明去选地砖准备装修，看着满目美丽的正三角形，正方形、正六边形、正八边形地砖，不知道选哪种好，但是爸爸告诉小明：有一种地砖是不能单独铺满地面的，必须与另外一种形状的地砖混合使用，让小明指出这种地砖，小明略加思考便选出来了，小明选择的地砖的形状是（     ） A．正三角形 B．正方形 C．正八边形 D．正六边形 【变式5-2】如图，张明同学设计了四种正多边形的瓷砖图案，这四种瓷砖图案中，不能铺满地面的是（    ） A．B． C． D． 【变式5-3】（2023春·河南南阳·七年级统考期末）有足够多的如下4种边长相等的正多边形瓷砖图案进行平面镶嵌，则不能铺满地面的是（    ）    A．①②④ B．①② C．①④ D．②③ 考点六：圆的周长和面积问题 例6. （2023春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）如图，一块四边形绿化园地，四角都做有半径为R的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为（    ）    A． B． C． D．不能确定 【变式6-1】（2023秋·四川绵阳·八年级校联考开学考试）滚铁环有助于提高人体的平衡性、肢体的协调性以及眼力，可以提高四肢活动能力．如图，直径为4分米的铁环从原点O沿数轴滚动一周（无滑动）到达点，则 分米．    【变式6-2】（2023秋·江苏南京·九年级校考开学考试）如图，从A地到B地有两条路可走，一条路是大半圆，另一条路是4个小半圆．有一天，一只猫和一只老鼠同时从A地到B地．老鼠见猫沿着大半圆行走，它不敢与猫同行（怕被猫吃掉），就沿着4个小半圆行走．假设猫和老鼠行走的速度相同，那么 先到达B地    【变式6-3】（2023·浙江·九年级假期作业）如图，大蚂蚁沿着大圆爬一圈，小蚂蚁沿着两个小圆各爬了一圈．谁爬的路程长？请通过计算说明． 一、单选题 1．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）在如图所示的图形中，属于多边形的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（2024八年级下·全国·专题练习）从五边形一个顶点引出的对角线把该五边形分成n个三角形，则n是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 3．（23-24七年级上·甘肃白银·阶段练习）过七边形一个顶点可以引出的对角线的条数为________，这些对角线将多边形分成了________个三角形，这个多边形共有________条对角线（    ） A．4，5，21 B．4，5，14 C．5，4，28 D．5，4，21 4．（23-24七年级上·贵州贵阳·期末）在学习完多边形后，小华同学将一个五边形沿如图所示的直线剪掉一个角后，得到一个多边形，下列说法正确的是（    ） A．这个多边形是一个五边形 B．从这个多边形的顶点出发，最多可以画4条对角线 C．从顶点出发的所有对角线将这个多边形分成了4个三角形 D．以上说法都不正确 5．（22-23七年级下·贵州贵阳·期末）如图，小星在学了七巧板内容后，用边长为1的正方形纸板制成一副如图①所示的七巧板，如图②，图③所示，图中阴影部分面积之和为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2024·陕西西安·模拟预测）过正八边形的一个顶点有 条对角线． 7．（23-24七年级下·吉林长春·期中）给出下列正多边形：①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正八边形．用上述正多边形中的一种能够辅满地面的是 ．（将所有答案的序号都填上） 8．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）平面内，长为的线段绕着端点旋转一周，线段的中点M所经过的路径长为 9．（2023·浙江·模拟预测）以下是杭州亚运会的会标，其中的水纹我们可以把它抽象为一个圆环的三分之一，已知两圆的半径分别为，，那么亚运会标志的水纹的面积为 ． 10．（23-24七年级下·广东深圳·期中）七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经过历代演变而成七巧板．小深先用一副七巧板拼成了图1，图1的轮廓是一个边长为a的正方形，其中，小等腰直角三角板M的面积为，小深拿掉七巧板中的一块，又将剩下的六块拼成一个新的图形，其轮廓和M板的位置如图2所示，则图2的面积为 ． 三、解答题 11．（22-23六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，一个运动场的两端是半圆形，中间是长方形，长方形的长为100米，宽为60米．（取3.14） (1)求这个运动场的周长是多少米？ (2)若将此运动场全部铺上塑胶，铺完后每平方米塑胶的费用为100元，求这个运动场铺上塑胶后所需要的费用是多少元？ 12．（23-24八年级上·江西上饶·阶段练习）我们在用边长相同的正多边形进行平面镶嵌时，各正多边形重合的顶点叫拼接点，如图，就是拼接点．我们发现，各正多边形的以拼接点为顶点的内角之和为（注：若不能等于，则不能镶嵌）．    (1)如果我们只用一种边长相同的正多边形镶嵌，那么下面正多边形中，不能进行镶嵌的是______．（填序号） 正三角形；正方形；正五边形；正六边形． (2)为了使镶嵌图案美丽多变，我们有时也可以用边长相同的两种正多边形进行镶嵌，如图，正三角形与正方形的平面镶嵌，在一个拼接点的周围有个正三角形和个正方形． 如果我们用边长相同的正三角形与正六边形进行镶嵌，求一个拼接点的周围有几个正三角形和几个正六边形； 我们也可以用边长相同的正五边形和正______边形进行镶嵌． 13．（2024七年级下·江苏·专题练习）探究归纳题： (1)如图1，经过四边形的一个顶点可以作 条对角线，它把四边形分成 个三角形； (2)如图2，经过五边形的一个顶点可以作 条对角线，它把五边形分成 个三角形； (3)探索归纳：对于边形，过一个顶点可以作 条对角线，它把边形分成 个三角形；（用含的式子表示） (4)如果经过多边形的一个顶点可以作100条对角线，那么这个多边形的边数为 ． 14．（2024七年级下·江苏·专题练习）连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线，如图（1），、是五边形的对角线．思考下列问题： (1)如图（2），边形中，过顶点可以画 条对角线，它们分别是 ；过顶点可以画 条对角线，过顶点可以画 条对角线． (2)过顶点的对角线与过顶点的对角线有相同的吗？过顶点的对角线与过顶点的对角线有相同的吗？ (3)在此基础上，你能发现边形的对角线条数的规律吗？ ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第20讲 多边形和圆的初步认识 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．经历从现实世界中抽象出平面图形的过程，感受图形世界的丰富多彩； 2．在具体情景中认识多边形、正多边形、圆、扇形； 3．能根据扇形和圆的关系求扇形的圆心角的度数； 4.在丰富的活动中发展有条理的思考和表达能力. 知识点一 多边形 三角形、四边形、五边形、六边形等都是多边形，它们都是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形. 【说明】（1）内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角. （2）外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. （3）连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. （4）各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形，所以正多边形同时具有各边相等，各角相等的性质. 知识点二 多边形的对角线 名称 三角形 四边形 五边形 六边形 n边形 图示 顶点 3 4 5 6 n 从一个顶点出发的对角线的条数 0 1 2 3 n-3 对角线的总条数 0 2 5 9 分割成三角形的个数 0 2 3 4 n-3 知识点三 圆及扇形 1. 圆的定义 如图，在一个平面内，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆，固定的端点叫做圆心，线段OA叫做半径.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 注意： ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可. 　②圆是一条封闭曲线. 2.与圆有关的计算：圆的周长公式：；圆的面积公式：. 3.扇形 （1）圆弧：圆上任意两点A，B间的部分叫做圆弧，简称弧，记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”. 如下图： （2）扇形的定义：如上图，由一条弧AB和经过这条弧的端点的两条半径OA，OB所组成的图形叫做扇形. 注意：圆可以分割成若干个扇形. （3）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角. 如上图，∠AOB是圆的一个圆心角，也是扇形OAB的圆心角. 考点一：多边形的概念与分类 例1．（2023秋·全国·八年级专题练习）下列图形中，不是多边形的是（　　） A．   B．  C．   D．   【答案】C 【分析】根据多边形的定义，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、该图形是由4条线段首尾顺次连接而成的封闭图形，所以它是多边形．故本选项不符合题意； B、该图形是由5条线段首尾顺次连接而成的封闭图形，所以它是多边形．故本选项不符合题意； C、该图形是由线段、曲线首尾顺次连接而成的封闭图形，所以它不是多边形．故本选项符合题意； D、该图形是由5条线段首尾顺次连接而成的封闭图形，所以它是多边形．故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了多边形，熟练掌握由条线段首尾顺次连接而成的封闭图形是多边形是解题的关键． 【变式1-1】（2023春·全国·八年级专题练习）如图所示的图形中，属于多边形的有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【分析】根据多边形定义，逐个验证即可得到答案． 【详解】解：所示的图形中，第一个是三角形、第二个是四边形、第三个是圆、第四个是正六边形、第五个是正方体， 属于多边形的有第一个、第二个、第四个，共有3个， 故选：A． 【点睛】本题考查多边形定义，熟记多边形定义是解决问题的关键． 【变式1-2】（2023春·七年级单元测试）下列判断：（1）各边长相等的多边形是正多边形；（2）各角都相等的多边形是正多边形；（3）等边三角形是正多边形：（4）长方形是正多边形．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】各个角都相等，各个边都相等的多边形叫做正多边形．依据正多边形的概念进行判断即可． 【详解】解：（1）菱形各边相等，但不是正四边形，故说法错误； （2）长方形各角都相等，但不是正四边形，故说法错误； （3）等边三角形三条边都相等，三个角都相等，是正多边形，故说法正确； （4）长方形的四个角相等，但长与宽不一定相等，所以不一定是正多边形，故说法错误． 故正确的有：1个． 故说：A． 【点睛】本题考查了正多边形的概念，各个角都相等，各个边都相等的多边形叫做正多边形． 考点二：多边形对角线的条数问题 例2.（2023秋·八年级课时练习）已知过多边形的某一个顶点可以作2023条对角线（不是一共有2023条对角线），则这个多边形的边数是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】D 【分析】根据从n边形的一个顶点出发可以引条对角线进行求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n． 根据题意，得， 解得． 答案：D． 【点睛】本题主要考查了多边形对角线问题，熟知从n边形的一个顶点出发可以引条对角线是解题的关键． 【变式2-1】（2023春·山东淄博·六年级统考期中）从五边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，它们将五边形分成个三角形，则的值为(    ) A．9 B．8 C．6 D．5 【答案】B 【分析】边形从一个顶点出发可引出条对角线，它们把边形分成个三角形，由此即可计算． 【详解】解：从五边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，它们将五边形分成个三角形， ，， 的值为． 故选：B． 【点睛】本题考查多边形的对角线，关键是掌握：边形从一个顶点出发可引出条对角线，把边形分成个三角形． 【变式2-2】多边形的对角线共有20条，则下列方程可以求出多边形边数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由边形从一个顶点出发可引出条对角线，再根据边形对角线的总条数为，即可求出结果． 【详解】解：设多边形边数为， 从一个顶点出发可引出条对角线， 再根据边形对角线的总条数为， 即， ， 故答案选：D． 【点睛】本题考查了多边形的对角线公式，根据多边形对角线公式列等式是解答本题的关键． 【变式2-3】（2023秋·江西九江·七年级统考期末）探究归纳题： （1）试验分析： 如图1，经过A点可以作1条对角线；同样，经过B点可以作1条对角线；经过C点可以作1条对角线；经过D点可以作1条对角线．通过以上分析和总结，图1共有________条对角线； （2）拓展延伸：运用（1）的分析方法，可得：图2共有________条对角线；图3共有________条对角线； （3）探索归纳：对于n边形（n＞3），共有________条对角线；（用含n的式子表示） （4）特例验证：十边形有________对角线． 【答案】（1）2；（2）5、9；（3）；（4）35 【分析】（1）通过实际操作可得答案； （2）通过实际操作可得答案； （3）由图1，图2，图3的探究，再归纳总结可得答案； （4）把代入总结出的规律进行计算即可． 【详解】解：（1）经过A点可以做 1条对角线；同样，经过B点可以做 1条；经过C点可以做 1条；经过D点可以做 1条对角线． 通过以上分析和总结，图1共有 2条对角线． （2）拓展延伸： 运用（1）的分析方法，可得： 图2共有 5条对角线； 图3共有 9条对角线； （3）探索归纳： 图1有2条对角线，而 图2共有 5条对角线；而 图3共有 9条对角线；而 归纳可得： 对于边形（n＞3），共有条对角线． （4）特例验证： 当时， 十边形有对角线． 故答案为：（1）2；（2）5、9；（3）；（4）35． 【点睛】本题考查的是多边形的对角线的条数的探究，掌握“从具体到一般的探究方法，再总结并运用规律解决问题”是解本题的关键． 考点三：对角线分成三角形个数问题 例3. 从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把这个多边形分割成5个三角形，则这个多边形的边数是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】设这个多边形的边数是边形，根据从一个边形的某个顶点出发，可以引条对角线，把边形分为个三角形，由此可得，进行计算即可得到答案 【详解】解：设这个多边形的边数是边形， 根据题意可得：， 解得：， 这个多边形的边数是7， 故选：C． 【点睛】本题考查了多边形，解题的关键是掌握从一个边形的某个顶点出发，可以引条对角线，把边形分为个三角形． 【变式3-1】（2023秋·八年级课时练习）要使得一个多边形具有稳定性，从多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点转化得到2023个三角形，则这个多边形的边数为（    ） A．2021 B．2025 C．2024 D．2026 【答案】C 【分析】可根据多边形的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到的三角形个数与多边形的边数的关系求解． 【详解】解：根据多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到的三角形个数多边形的边数，根据题干得到2023个三角形，则这个多边形的边数为． 故选：C． 【点睛】本题考查了从多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到的三角形个数=多边形的边数-1这一性质，熟练掌握本性质是解题的关键． 【变式3-2】（2023秋·八年级课时练习）（1）从四边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将四边形分成 个三角形，四边形共有 条对角线； （2）从五边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将五边形分成 个三角形，五边形共有 条对角线； （3）从六边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将六边形分成 个三角形，六边形共有 条对角线； （4）从n边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将n边形分成 个三角形，n边形共有 条对角线． 【答案】 1 2 2 2 3 5 3 4 9 【分析】画出图形得到各图形从一个顶点出发引的对角线的条数、三角形的个数及对角线的总条数，进而结合规律，得到n边形的结果． 【详解】解：画出图形观察图形可得：    （1）从四边形的一个顶点出发，可以引1条对角线，将四边形分成2个三角形，四边形共有2条对角线； 故答案为：1，2，2； （2）从五边形的一个顶点出发，可以引2条对角线，将五边形分成3个三角形，五边形共有5条对角线； 故答案为：2，3，5； （3）从六边形的一个顶点出发，可以引3条对角线，将六边形分成4个三角形，六边形共有9条对角线； 故答案为：3，4，9； （4）从n边形的一个顶点出发，可以引条对角线，将n边形分成个三角形，n边形共有条对角线． 故答案为：，，． 【点睛】此题考查规律型：图形的变化，解题关键在于找到其规律． 【变式3-3】（2023春·上海·八年级专题练习）从一个多边形一边上的一点（不是顶点）出发，分别连接这个点与各个顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形，请你观察下图，并完成后面的填空. 当多边形的边数是4时，可以把多边形分割成_______个三角形； 当多边形的边数是5时，可以把多边形分割成_______个三角形； 当多边形的边数是6时，可以把多边形分割成_______个三角形；         …… 你能看出多边形边数与分割成的三角形的个数之间有什么规律吗？ 【答案】3,4, 5,规律：多边形的边数比分割成的三角形的个数多1 【分析】由相应图形得到分成的三角形的个数和多边形的边数的关系的规律即可． 【详解】由图中可以看出：四边形被分为3个三角形，五边形被分为4个三角形，六边形被分成5个三角形，那么n边形被分为（n-1）个三角形． ∵n-(n-1)=1， ∴多边形的边数比分割成的三角形的个数多1. 【点睛】解决本题的难点是得到分成的三角形的个数和多边形的边数的关系． 考点四：用七巧板拼图形 例4. （2023秋·湖南岳阳·七年级统考开学考试）用边长为的正方形纸板，制成一副七巧板，将它拼成“小天鹅”图案，其中阴影部分的面积是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图示可知，“小天鹅”图案是由边长是1分米的正方形切拼而成，所以“小天鹅”图案的面积等于这个正方形的面积．根据阴影部分的面积占整个正方形面积的分率求解即可． 【详解】解：如图：    （平方分米） 答：阴影部分的面积为． 故选：B． 【点睛】本题主要考查组合图形的面积，关键是分清阴影部分与整个图形的关系． 【变式4-1】（2023秋·河南南阳·七年级校联考期末）七巧板被西方人称为“东方魔板”．如图的两幅图是由同一副七巧板拼成的．已知七巧板拼成的正方形的边长为，则“一帆风顺”图中阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先确定阴影部分的三角形在七巧板中所属的部分，再根据这个三角形与正方形边长的关系求出这个三角形的边长，便可以根据三角形的面积公式进行解答． 【详解】由图可知“一帆风顺”图中阴影部分是正方形右下角的等腰直角三角形， 这个等腰直角三角形的直角边的长度是正方形边长的一半，即为， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查图形的认识与面积的计算，解题的关键是寻找到阴影部分在图形中所属的部分，并熟悉等腰直角三角形的性质及三角形的面积公式． 【变式4-2】（2023春·山东青岛·七年级统考期末）如图所示的七巧板起源于我国先秦时期，由古算书《周髀算经》中关于正方形的分割术，经过历代演变而成，19世纪传到国外，被称为“唐图”（意为“来自中国的拼图”）．图2是由边长为2的正方形分割制作的七巧板拼摆而成的“叶问蹬”图，则图中拍起的“腿”（即阴影部分）的面积为 ．    【答案】/ 【分析】根据七巧板中各部分面积的关系可得小三角形的面积为大正方形的，平行四边形的面积以为小三角形的面积的2倍，即可求解． 【详解】∵图2是由边长为的正方形分割制作的七巧板拼摆成的， ∴大正方形面积， 由图形可知，阴影部分面积为小三角形的面积与平行四边形的面积之和，即 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了七巧板，正方形和等腰直角三角形的性质，熟练掌握七巧板中各部分面积之间的关系是解题的关键． 【变式4-3】（2023春·江西鹰潭·九年级校考阶段练习）七巧板被西方人称为“东方魔术”，如图所示的两幅图是由同一个七巧板拼成的．已知七巧板拼成的大正方形（如图）的边长为，若图2的“小狐狸”图案中阴影部分面积记为．则 ．    【答案】 【分析】利用七巧板的各边之间的关系即可求出，，，的长，观察图形即可求出阴影部分面积． 【详解】由图可知“小狐狸”图案中阴影部分面积为图形①②③④的面积和，    ∵正方形的边长为， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了七巧板的知识，熟练掌握七巧板各边的关系是解题的关键． 考点五：平面镶嵌 例5. （2023春·广东佛山·八年级校考期末）在平面图形正三角形、正六边形、正四边形、正五边形中，能单独镶嵌平面的有（　　）种图形． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】分别求出等腰三角形的内角和，各个正多边形的每个内角的度数，判断能否被360°整除即可作出判断． 【详解】解：正三角形的每个内角是，能被整除，能镶嵌平面； 正方形的每个内角是，能被整除，能镶嵌平面； 正五边形每个内角是：，不能被整除，不能镶嵌平面； 正六边形每个内角为，能被整除，能镶嵌平面， ∴可以单独镶嵌平面的有3个， 故选：C 【点睛】本题考查了一种单独镶嵌平面的正多边形，能单独镶嵌应符合一个内角度数能被整除． 【变式5-1】（2023秋·全国·八年级专题练习）小明家住黄山市，小明的爸爸刚在市区买了一套住房，带着小明去选地砖准备装修，看着满目美丽的正三角形，正方形、正六边形、正八边形地砖，不知道选哪种好，但是爸爸告诉小明：有一种地砖是不能单独铺满地面的，必须与另外一种形状的地砖混合使用，让小明指出这种地砖，小明略加思考便选出来了，小明选择的地砖的形状是（     ） A．正三角形 B．正方形 C．正八边形 D．正六边形 【答案】C 【分析】根据正多边形的镶嵌应符合一个内角能整除进行判断即可． 【详解】解：A、正三角形的每个内角是，能整除，能密铺，故A不符合题意; B、正方形的每个内角是，4个能密铺，故B不符合题意; C、正八边形每个内角是，不能整除，不能密铺，故C符合题意; D、正六边形的每个内角是，能整除，能密铺，故D不符合题意． 故选C． 【点睛】本题考查了正多边形的镶嵌，能正确求出正多边形的一个内角是解决本题的关键． 【变式5-2】如图，张明同学设计了四种正多边形的瓷砖图案，这四种瓷砖图案中，不能铺满地面的是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】若360°是正多边形的内角度数的整数倍，则可知这种正多边形的瓷砖可以铺满地面，从而可作出判断． 【详解】由于正三角形、正方形、正五边形、正六边形的内角分别是60°、90°、108°、120°，而360°分别是60°、90°、120°的6倍、4倍、3倍，因而正五边形不能铺满地面； 故选：C． 【点睛】本题考查了图形的密铺，一种图形能够密铺，则拼在同一顶点处的几个角恰好组成一个周角． 【变式5-3】（2023春·河南南阳·七年级统考期末）有足够多的如下4种边长相等的正多边形瓷砖图案进行平面镶嵌，则不能铺满地面的是（    ）    A．①②④ B．①② C．①④ D．②③ 【答案】D 【分析】只需要计算各个选项中的一个顶点处的角是否能组合成一个周角即可得出答案. 【详解】解：A、若有一个正三角形、两个正方形、一个正六边形，则在一个顶点处的角的和为，能铺满地面，故①②④的正多边形瓷砖图案可以进行平面镶嵌； B、若有三个正三角形、两个正方形，则在一个顶点处的角的和为，能铺满地面，故①②的正多边形瓷砖图案可以进行平面镶嵌； C、若有两个正三角形、两个正六边形，则在一个顶点处的角的和为，能铺满地面，故①④的正多边形瓷砖图案可以进行平面镶嵌； D、由于正五边形的内角为，正方形的内角为，在一个顶点处不能构成一个周角，故不能铺满地面，故②③的正多边形瓷砖图案不可以进行平面镶嵌； 故选：D. 【点睛】本题考查了平面镶嵌，解决此类问题的关键是明确一个顶点处的角是否能组合成一个周角. 考点六：圆的周长和面积问题 例6. （2023春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）如图，一块四边形绿化园地，四角都做有半径为R的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为（    ）    A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】根据图形的特征，四边形内角和为，可得四个喷水池的面积之和正好等于一个半径为R的圆的面积． 【详解】解：因为四边形内角和为， 所以四个喷水池的面积之和正好等于一个半径为R的圆的面积， 即这四个喷水池占去的绿化园地的面积为． 故选：C 【点睛】本题主要考查了四边形的内角和以及圆面积公式，解答本题的关键是根据四边形的内角和为°得到四个喷水池的面积之和正好等于一个半径为R的圆的面积． 【变式6-1】（2023秋·四川绵阳·八年级校联考开学考试）滚铁环有助于提高人体的平衡性、肢体的协调性以及眼力，可以提高四肢活动能力．如图，直径为4分米的铁环从原点O沿数轴滚动一周（无滑动）到达点，则 分米．    【答案】 【分析】根据铁环从原点O沿数轴滚动一周（无滑动）到达点，可知为圆的周长，即可得出答案． 【详解】∵铁环从原点O沿数轴滚动一周（无滑动）到达点， ∴分米 故答案为： 【点睛】本题考查圆的周长，正确理解题意，理解圆的周长的公式是解题的关键． 【变式6-2】（2023秋·江苏南京·九年级校考开学考试）如图，从A地到B地有两条路可走，一条路是大半圆，另一条路是4个小半圆．有一天，一只猫和一只老鼠同时从A地到B地．老鼠见猫沿着大半圆行走，它不敢与猫同行（怕被猫吃掉），就沿着4个小半圆行走．假设猫和老鼠行走的速度相同，那么 先到达B地    【答案】猫和老鼠同时到达 【分析】利用圆的周长公式即可求解． 【详解】解：以为直径的半圆的长是：； 设四个小半圆的直径分别是a，b，c，d，则， 则老鼠行走的路径长是：． 故猫和老鼠行走的路径长相同，同时到达， 故答案为：猫和老鼠同时到达． 【点睛】本题考查了圆的周长，熟练掌握其计算公式是解题的关键． 【变式6-3】（2023·浙江·九年级假期作业）如图，大蚂蚁沿着大圆爬一圈，小蚂蚁沿着两个小圆各爬了一圈．谁爬的路程长？请通过计算说明． 【答案】大蚂蚁和小蚂蚁爬的路程一样长，见解析 【分析】利用圆的周长公式分别求出大、小蚂蚁爬行的路程，然后比较即可． 【详解】解：大圆的周长，两个小圆的周长和， ∴大圆的周长＝两个小圆的周长和， ∴大蚂蚁和小蚂蚁爬的路程一样长． 【点睛】本题考查了圆的认识，圆的周长的计算，熟练掌握圆的周长公式是解题的关键． 一、单选题 1．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）在如图所示的图形中，属于多边形的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查多边形定义，根据多边形定义，逐个验证即可得到答案． 【详解】解：所示的图形中，第一个是三角形、第二个是四边形、第三个是圆、第四个是正六边形、第五个是正方体， 是多边形的有第一个、第二个、第四个，共有3个， 故选：C． 2．（2024八年级下·全国·专题练习）从五边形一个顶点引出的对角线把该五边形分成n个三角形，则n是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】此题主要考查了多边形的对角线，理解从边形的一个顶点引出的对角线把边形分成个三角形是解决问题的关键．根据从边形的一个顶点引出的对角线把边形分成个三角形可得出答案． 【详解】解：从五边形一个顶点引出的对角线把该五边形分成个三角形． ， 故选：C 3．（23-24七年级上·甘肃白银·阶段练习）过七边形一个顶点可以引出的对角线的条数为________，这些对角线将多边形分成了________个三角形，这个多边形共有________条对角线（    ） A．4，5，21 B．4，5，14 C．5，4，28 D．5，4，21 【答案】B 【分析】本题主要考查了多边形的对角线问题，熟练掌握过n边形的一个顶点，可以引出条对角线，这些对角线把该多边形分成个三角形是解题的关键． 【详解】解：从一个七边形的一个顶点可引出条对角线， 这些对角线把这个七边形分成个三角形， 七边形共有对角线条数为：（条）． 故选：B． 4．（23-24七年级上·贵州贵阳·期末）在学习完多边形后，小华同学将一个五边形沿如图所示的直线剪掉一个角后，得到一个多边形，下列说法正确的是（    ） A．这个多边形是一个五边形 B．从这个多边形的顶点出发，最多可以画4条对角线 C．从顶点出发的所有对角线将这个多边形分成了4个三角形 D．以上说法都不正确 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的对角线个数问题及被对角线分割成的三角形数目问题，解题关键是找出其中的规律．根据选项一一对照判断即可． 【详解】解：A、这个多边形是一个六边形，故错误，不符合题意． B、从这个多边形的顶点出发，最多可以画3条对角线，故错误，不符合题意， C、从顶点出发的所有对角线将这个多边形分成了4个三角形，正确，符合题意， D、以上说法C正确． 故选∶C． 5．（22-23七年级下·贵州贵阳·期末）如图，小星在学了七巧板内容后，用边长为1的正方形纸板制成一副如图①所示的七巧板，如图②，图③所示，图中阴影部分面积之和为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查七巧板的知识点，根据七巧板的结构可知，分成的三角形都是等腰直角三角形，最小的等腰直角三角形的面积等于正方形面积的，小正方形的面积正方形面积的．阴影的面积总面积空白的面积，从而求出阴影部分面积． 【详解】解：根据七巧板的结构可知，分成的最小等腰直角三角形面积=正方形面积的，小正方形的面积正方形面积的； ∴阴影部分的面积之和 ． 故选：A． 二、填空题 6．（2024·陕西西安·模拟预测）过正八边形的一个顶点有 条对角线． 【答案】5 【分析】本题考查多边形的对角线问题，根据从边形的一个顶点出发，可以引出条对角线，进行求解即可． 【详解】解：过正八边形的一个顶点有条对角线； 故答案为：5． 7．（23-24七年级下·吉林长春·期中）给出下列正多边形：①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正八边形．用上述正多边形中的一种能够辅满地面的是 ．（将所有答案的序号都填上） 【答案】①③/③① 【分析】本题考查了平面镶嵌，几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角． 【详解】∵用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正方形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案， ∴正多边形：①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正八边形中的一种能够辅满地面的是①③． 故答案为①③． 8．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）平面内，长为的线段绕着端点旋转一周，线段的中点M所经过的路径长为 【答案】 【分析】先分析出M的路径是圆，根据题意求出圆M的周长即可．本题考查圆的相关性质，得到M的轨迹是解题的关键。 【详解】解：由题意得P的路径是O为圆心，5为半径的圆， 则中点M的路径是O为圆心，为半径的圆， 所以圆M的周长为， 故答案为：． 9．（2023·浙江·模拟预测）以下是杭州亚运会的会标，其中的水纹我们可以把它抽象为一个圆环的三分之一，已知两圆的半径分别为，，那么亚运会标志的水纹的面积为 ． 【答案】 【分析】 本题考查了圆环，根据圆环的面积公式计算即可求解，关键是熟练掌握圆环的面积公式． 【详解】 解： ． 故亚运会标志的水纹的面积为． 故答案为：． 10．（23-24七年级下·广东深圳·期中）七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经过历代演变而成七巧板．小深先用一副七巧板拼成了图1，图1的轮廓是一个边长为a的正方形，其中，小等腰直角三角板M的面积为，小深拿掉七巧板中的一块，又将剩下的六块拼成一个新的图形，其轮廓和M板的位置如图2所示，则图2的面积为 ． 【答案】7 【分析】本题考查七巧板，熟练掌握七巧板中各部分面积之间的关系，是解题的关键． 根据七巧板中，各部分的面积关系，利用割补法求出面积即可． 【详解】由图形可知：图1是由大正方形中，这七部分组成的，图2是由这六部分组成的， ∴图2的面积等于图1的面积减去正方形A的面积， ∵，小等腰直角三角板M的面积为， 即：图2的面积； 故答案为：7． 三、解答题 11．（22-23六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，一个运动场的两端是半圆形，中间是长方形，长方形的长为100米，宽为60米．（取3.14） (1)求这个运动场的周长是多少米？ (2)若将此运动场全部铺上塑胶，铺完后每平方米塑胶的费用为100元，求这个运动场铺上塑胶后所需要的费用是多少元？ 【答案】(1)这个运动场的周长是388.4米 (2)这个运动场铺上塑胶后所需要的费用是882600元 【分析】（1）根据题意可知，长方形的宽就为两端半圆的直径，两端的半圆可看作一个圆进行计算，运动场的周长等于圆的周长加上长方形的两条长边； （2）用长方形的面积加上圆的面积可计算出这个运动场的面积，然后再用运动场的面积乘100就是整个运动场所需要的费用，列式解答即可得到答案． 【详解】（1）解：（米） 答：这个运动场的周长是388．4米 （2）（平方米）． （元） 答：这个运动场铺上塑胶后所需要的费用是882600元． 【点睛】此题主要考查的是圆的周长、面积和长方形的面积的计算及其应用． 12．（23-24八年级上·江西上饶·阶段练习）我们在用边长相同的正多边形进行平面镶嵌时，各正多边形重合的顶点叫拼接点，如图，就是拼接点．我们发现，各正多边形的以拼接点为顶点的内角之和为（注：若不能等于，则不能镶嵌）．    (1)如果我们只用一种边长相同的正多边形镶嵌，那么下面正多边形中，不能进行镶嵌的是______．（填序号） 正三角形；正方形；正五边形；正六边形． (2)为了使镶嵌图案美丽多变，我们有时也可以用边长相同的两种正多边形进行镶嵌，如图，正三角形与正方形的平面镶嵌，在一个拼接点的周围有个正三角形和个正方形． 如果我们用边长相同的正三角形与正六边形进行镶嵌，求一个拼接点的周围有几个正三角形和几个正六边形； 我们也可以用边长相同的正五边形和正______边形进行镶嵌． 【答案】(1) (2)一个拼接点的周围有个正三角形和个正六边形或个正三角形和个正六边形；十． 【分析】（）求出正多边形的内角，再用除以内角度数 ，根据结果是否为整数，逐项判断即可； （）设在平面镶嵌时，围绕在某一点有个正三角形和 个正六边形的内角可以拼成一个周角，则有，进而判断出情况； 设用边长相同的个正五边形和个正边形进行镶嵌，则，得出，由，为正整数，进行分类讨论即可求解． 【详解】（1）正三角形的内角为，，结果是整数，可以进行平面镶嵌； 正方形内角为，，结果是整数，可以进行平面镶嵌； 正五边形内角为，，结果不是整数，不可以进行平面镶嵌； 正六边形内角为，，结果是整数，可以进行平面镶嵌； 故选：； （2）设在平面镶嵌时，一个拼接点的周围有个正三角形和个正六边形， 根据题意得：， ∴， ∵，为正整数， ∴或， 答：在平面镶嵌时，一个拼接点的周围有个正三角形和个正六边形或个正三角形和个正六边形； 由于正五边形内角为，设用边长相同的个正五边形和个正边形进行镶嵌， 则， 整理得：， ∵，，为正整数， ∴应为正整数， 则或， 当时，，此时，无正整数解， 当时，，解得正整数解为：， 故答案为：十． 【点睛】此题考查了多边形内角和和平面镶嵌，解题的关键是掌握平面镶嵌的要求：拼接在同一个顶点处的多边形的内角之和等于． 13．（2024七年级下·江苏·专题练习）探究归纳题： (1)如图1，经过四边形的一个顶点可以作 条对角线，它把四边形分成 个三角形； (2)如图2，经过五边形的一个顶点可以作 条对角线，它把五边形分成 个三角形； (3)探索归纳：对于边形，过一个顶点可以作 条对角线，它把边形分成 个三角形；（用含的式子表示） (4)如果经过多边形的一个顶点可以作100条对角线，那么这个多边形的边数为 ． 【答案】(1)1；2 (2)2；3 (3)； (4)103 【分析】本题考查多边形的对角线、边及三角形分割等规律探究． （1）根据题意画出对图中的一个顶点的对角线即可得到结论； （2）根据题意画出对图中的一个顶点的对角线即可得到结论； （3）根据（1）（2）中的结论，可找到规律即可得到结论； （4）将100代入（3）的结论中即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，经过1个顶点可以作1条对角线，它把四边形分为2个三角形， 故答案为：1，2； （2）解：如图所示，经过五边形一个顶点，共有2条对角线，将这个多边形分为3个三角形； 故答案为：2，3． （3）解：∵经过四边形的一个顶点可以作条对角线，它把四边形分成个三角形； 经过五边形的一个顶点可以作条对角线，它把五边形分成个三角形； 经过六边形的一个顶点可以作条对角线，它把六边形分成个三角形； 经过七边形的一个顶点可以作条对角线，它把七边形分成个三角形； …… ∴经过n边形的一个顶点可以作条对角线，它把n边形分成个三角形； 故答案为：，． （4）∵过多边形的一个顶点可以作100条对角线， ∴根据（3）中结论可得，， ∴， 故答案为：103． 14．（2024七年级下·江苏·专题练习）连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线，如图（1），、是五边形的对角线．思考下列问题： (1)如图（2），边形中，过顶点可以画 条对角线，它们分别是 ；过顶点可以画 条对角线，过顶点可以画 条对角线． (2)过顶点的对角线与过顶点的对角线有相同的吗？过顶点的对角线与过顶点的对角线有相同的吗？ (3)在此基础上，你能发现边形的对角线条数的规律吗？ 【答案】(1)，，， (2)过点的和过点的没有重复的，但和过点的有重复的和重复） (3)边形的对角线条数的为 【分析】此题考查了多边形的对角线的知识． （1）过点和任意不相邻的两点连接可得出到一条对角线；同理可得过点、的情况． （2）过点的和过点的没有重复的，但和过点的有重复的和重复）； （3）过每一点有条对角线，除去重复的即可得出总对角线的条数． 【详解】（1）解：过顶点可以画条对角线，它们分别是； 过顶点可以画条对角线， 过顶点可以画条对角线； 故答案为：，，，； （2）解：过点的和过点的没有重复的，但和过点的有重复的和重复）； （3）解：边形的一个顶点不能与它本身及左右两个邻点相连成对角线，故可连出条， 共有个顶点，应为条，这样算出的数，正好多出了一倍，所以再除以2． 即边形的对角线条数的为． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$