第18讲 角与角的比较【八大考点+过关测】- 【暑假自学课】2024年新七年级数学暑假提升精品讲义（北师大版2024）

第18讲 角与角的比较 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．掌握角的概念及角的表示方法，钟面角、方位角，并掌握其运算,并能进行角度的互换； 2．掌握运用尺规作已知角，相等角等； 3．会利用角平分线的意义进行有关表示或计算; 4.掌握角大小比较方法. 知识点一 角的概念 1.角的定义： （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． （2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 注意：（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 注意：用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 3.角的画法 （1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角． （2）用量角器可以画出任意给定度数的角． （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． 知识点二 角度制及其换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 注意：在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位． 知识点三 钟表上有关夹角问题 钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题． 知识点四 方位角 在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角． 注意：（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示． （2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°” ． （3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向． （4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点． 知识点六 角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 注意：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样． 知识点七 角的运算 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 注意：(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)． (2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角． 知识点八 角的比较 角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种： 方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小． 方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较． 如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′． 考点一：角的概念和表示 例1．（2023春·河北承德·七年级校考开学考试）下列说法中，正确的是（   ） A．一个周角就是一条射线 B．平角是一条直线 C．角的两边越长，角就越大 D．也可以表示为 【变式1-1】（2023秋·七年级课时练习）如图，下列表示角的方法，错误的是（    ）    A．与表示同一个角 B．也可用来表示 C．图中共有三个角：，， D．表示的是 【变式1-2】（2023秋·全国·七年级课堂例题）如图所示，回答下列问题： (1)写出能用一个字母表示的角：________________； (2)写出以点B为顶点的角________________； (3)图中共有______________个小于平角的角． 【变式1-3】（2023秋·七年级课时练习）根据给出的图回答下列问题：    (1)表示成，这样的表示方法是否正确？如果不正确，应该怎样改正？ (2)图中哪个角可以用一个字母来表示？ (3)以为顶点的角有几个？请表示出来． (4)与是同一个角吗？请说明理由． (5)图中共有几个小于平角的角？ 考点二：角的单位与角度制 例2.（2023秋·全国·七年级课堂例题）计算： （1） ′； （2） ； （3） ． 【变式2-1】（2023春·山东泰安·六年级校考期中）计算： ． 【变式2-2】（2023秋·全国·七年级课堂例题）（1）1周角 平角 直角； （2） ′= ″； （3） ′， ． 【变式2-3】（2023秋·全国·七年级课堂例题）计算： （1） ；         （2） ； （3） ；             （4） ． 考点三：与方位角有关的计算题 例3. （2023春·湖北十堰·七年级校考开学考试）如图，在灯塔处观测到轮船位于北偏西的方向，同时轮船在南偏东的方向，那么的大小为（    ）    A． B． C． D． 【变式3-1】（2023秋·河北张家口·七年级统考期末）如图，甲从点A出发向北偏东方向走到点，乙从点A出发走到点，若，则乙从点A出发沿（   ）方向走到点    A．南偏西 B．西偏南 C．南偏西 D．西偏南 【变式3-2】（2023秋·吉林松原·七年级统考期末）如图①，货轮停靠在点，发现灯塔在它的东北（东偏北或北偏东）方向上．货轮在码头的西北方向上．    (1)仿照表示灯塔方位的方法，画出表示货轮方向的射线； (2)如图②，两艘货轮从码头出发，货轮向东偏北的的方向行驶，货轮向北偏西的方向航行，求的度数． 【变式3-3】（2023秋·全国·七年级课堂例题）小丽、小影、小华三人每天相约在如图所示的早餐店碰面，小丽家在早餐店南偏西方向上，小影家在点处，小华家在早餐店东南方向上，，且早餐店到小华家与小丽家的距离相等．    (1)在图中画出小华家的位置； (2)求的度数； (3)若，请说出小影家相对于早餐店的位置． 考点四：钟面角 例4. （2023春·陕西西安·七年级校考开学考试）8点30分时刻，钟表上时针与分针所组成的角为 度． 【变式4-1】（2023秋·湖南衡阳·七年级校考开学考试）李老师从家出发去单位上班，到单位的时间是，那么这段时间，分针走了 °，时针走了 °． 【变式4-2】（2023春·山西太原·七年级校考阶段练习）我校下午到校时间为14时10分，则此时刻钟表上的时针与分针的夹角为 度． 【变式4-3】（2023秋·七年级课时练习）小明利用星期天搞社会调查活动，早晨8：00出发，中午12：30到家，小明到家时时针和分针夹角的度数是 ．      考点五：角的比较 例5. （2023秋·七年级课时练习）如图，，则与的大小关系是（    ）    A． B． C． D．与无法比较大小 【变式5-1】（2023秋·七年级课时练习）若，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2023秋·湖南郴州·七年级校联考期末）如图，若 ，则 与 的大小关系是（    ）． A． B． C． D．不能确定 【变式5-3】（2023秋·八年级课时练习）在图中所示的4×4的网格中，记，，，则，，从小到大的排列顺序是 ．    考点六：三角板中角度计算问题 例6. （2023春·山东淄博·六年级校考阶段练习）将一副直角三角尺如图放置，若，则等于 ．    【变式6-1】（2023秋·内蒙古巴彦淖尔·七年级校考期末）如图所示，两个直角三角形的直角顶点重合，如果，那么    【变式6-2】（2023秋·江西九江·七年级统考期末）如图，直角三角板的直角顶点O在直线上，线段，是三角板的两条直角边，射线是的平分线．    (1)当时，求的度数； (2)当时， _________（用含α的式子表示）． 【变式6-3】（2023春·山东烟台·六年级统考期末）如图所示，以直线上的一点O为端点，在直线的上方作射线，使．将一块直角三角尺的直角顶点放在点O处，且直角三角尺（）在直线的上方．设．    (1)当时，求的大小； (2)若时，求的值． 考点七：角平分线的有关计算 例7. （2023秋·河南南阳·七年级统考期末）已知O为直线上一点，是直角，平分．        (1)如图①，若，则__________；若，则__________；与的数量关系为__________； (2)当射线绕点O逆时针旋转到图②的位置时，（1）中与的数量关系是否仍然成立？请说明理由． 【变式7-1】（2023秋·七年级课时练习）如图所示，是平角，分别是的平分线．    (1)当时，求的度数； (2)当时，求的度数． 【变式7-2】（2023春·山东青岛·六年级统考期中）如图，已知，平分，平分．    (1)求的度数； (2)如果，那么是多少度？ (3)如果，那么是多少度？是多少度？用含的式子表示) 【变式7-3】（2023秋·江苏徐州·七年级校考阶段练习）（1）如图1所示，已知，平分，、分别平分、，求的度数； （2）如图2，在（1）中把“平分”改为“是内任意一条射线”，其他任何条件都不变，试求的度数； （3）如图3，在（1）中把“平分”改为“是外的一条射线且点C与点B在直线的同侧”，其他任何条件都不变，请你直接写出的度数 考点八：角n等分线的有关计算 例8. （2023秋·山西大同·七年级统考期末）在的内部作射线，射线把分成两个角，分别为和，若或，则称射线为的三等分线．若，射线为的三等分线，则的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 【变式8-1】（2023秋·浙江湖州·七年级统考期末）定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为（    ） A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 【变式8-2】（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）已知射线在内部，其中为的三等分线，分别平分和，若，则 ． 【变式8-3】（2023秋·福建龙岩·七年级统考期末）已知，以射线为起始边，按顺时针方向依次作射线、，使得，设，. (1)如图1，当时，若，求的度数； (2)备用图①，当时，试探索与的数量关系，并说明理由； (3)备用图②，当时，分别在内部和内部作射线，，使，，求的度数. 一、单选题 1．（23-24六年级下·山东烟台·期中）在下列四个图形中，能用，，三种方法表示同一个角的图形是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）用叠合的方法比较和两个角的大小，先将的顶点与的顶点O重合，边与边重合，边落在了的内部，则和的关系是（　　） A． B． C． D．不确定 3．（23-24七年级上·山东德州·期末）如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中的图形有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2024·江西新余·模拟预测）如图，南昌位于淇淇家南偏西的方向，则淇淇家位于南昌的（    ） A．南偏西方向 B．南偏东方向 C．北偏西方向 D．北偏东方向 5．（23-24七年级下·陕西西安·开学考试）以的顶点O为端点引射线，使，若，则为（    ） A．或 B．或 C．或 D．以上答案都不正确 二、填空题 6．（23-24七年级下·山东淄博·阶段练习） ′ ″； 7．（23-24六年级下·全国·假期作业）如图，用三个大写字母表示所标记的各角． （1）可以表示为 ； （2）可以表示为 ； （3）可以表示为 ． 8．（23-24六年级下·全国·假期作业）小明每天下午放学，此时钟面上时针和分针的夹角是 ． 9．（23-24六年级下·山东烟台·期中）如图，已知是内部的一条射线，图中有三个角：，和，当其中一个角是另一个角的两倍时，称射线为的“巧分线”．如果，是的“巧分线”，则的度数为 ． 10．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）如图，在内部顺次有一组射线，，，，满足，，，，. 若，则 （用含，的代数式表示）. 三、解答题 11．（23-24七年级下·山东潍坊·阶段练习）计算： (1)； (2)． 12．（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）如图，将一副三角尺的直角顶点重合在一起． (1)若，求的度数． (2)请写出与的数量关系，并说明理由． 13．（23-24七年级上·江西赣州·期末）如图，已知是内部任意的一条射线，、分别是，的平分线． (1)若，求的度数； (2)若，则 ；若，则 ． 14．（23-24六年级下·黑龙江绥化·开学考试）如图是依依家到学校的行走路线图． (1)小公园在依依家的 偏 米处． (2)小公园在银行的 偏 米处． (3)学校西偏南，距离处是超市，请用★标出超市的位置．（表示） 15．（23-24七年级下·山东青岛·期中）【实践操作】 在数学实践活动课上，同学们准备研究如下问题：如图，点A，O，B在同一条直线上，将一直角三角尺如图①放置，是直角，直角顶点与点O重合，平分． 【问题发现】 （1）若，求的度数； （2）猜想图①中和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． 【变式探究】 将这一直角三角尺如图②放置，其他条件不变，试探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第18讲 角与角的比较 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．掌握角的概念及角的表示方法，钟面角、方位角，并掌握其运算,并能进行角度的互换； 2．掌握运用尺规作已知角，相等角等； 3．会利用角平分线的意义进行有关表示或计算; 4.掌握角大小比较方法. 知识点一 角的概念 1.角的定义： （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． （2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 注意：（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 注意：用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 3.角的画法 （1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角． （2）用量角器可以画出任意给定度数的角． （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． 知识点二 角度制及其换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 注意：在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位． 知识点三 钟表上有关夹角问题 钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题． 知识点四 方位角 在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角． 注意：（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示． （2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°” ． （3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向． （4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点． 知识点六 角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 注意：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样． 知识点七 角的运算 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 注意：(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)． (2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角． 知识点八 角的比较 角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种： 方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小． 方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较． 如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′． 考点一：角的概念和表示 例1．（2023春·河北承德·七年级校考开学考试）下列说法中，正确的是（   ） A．一个周角就是一条射线 B．平角是一条直线 C．角的两边越长，角就越大 D．也可以表示为 【答案】D 【分析】根据平角，周角的概念，角的大小及表示分别判断即可． 【详解】解：A、周角的两边在同一射线上，不是一条射线，故错误，不合题意； B、平角的两边在同一直线上，平角有顶点，而直线没有，故错误，不合题意； C、角的大小和两边的长度没有关系，故错误，不合题意； D、也可以表示为，故正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了平角，周角的概念，角的大小及表示，属于几何基础知识，要熟练掌握，比较简单． 【变式1-1】（2023秋·七年级课时练习）如图，下列表示角的方法，错误的是（    ）    A．与表示同一个角 B．也可用来表示 C．图中共有三个角：，， D．表示的是 【答案】B 【分析】直接利用角的概念以及角的表示方法，进而分别分析得出即可； 【详解】解：A、和表示同一个角，故本选项不符合题意； B、不可以用表示，故本选项符合题意； C、图是共有三个角：，，，故本选项不符合题意； D、表示的是，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查了角的表示方法，根据图形特点将每个角用合适的方法表示出来是解题的关键． 【变式1-2】（2023秋·全国·七年级课堂例题）如图所示，回答下列问题： (1)写出能用一个字母表示的角：________________； (2)写出以点B为顶点的角________________； (3)图中共有______________个小于平角的角． 【答案】(1) (2) (3)7 【分析】（1）确定以这个字母为顶点的角只有1个，从而可得答案； （2）根据角的定义分别确定以B为顶点的角即可； （3）分别确定以A，B，C，E为顶点的小于平角的角即可． 【详解】（1）解：能用一个字母表示的角有：，． 故答案为：，． （2）以为顶点的角有：，，． 故答案为：，，． （3）图中共有7个小于平角的角，分别是： ，，，，，，． 故答案为：7． 【点睛】本题考查的是角的表示方法，熟记角的含义与角的表示方法是解本题的关键． 【变式1-3】（2023秋·七年级课时练习）根据给出的图回答下列问题：    (1)表示成，这样的表示方法是否正确？如果不正确，应该怎样改正？ (2)图中哪个角可以用一个字母来表示？ (3)以为顶点的角有几个？请表示出来． (4)与是同一个角吗？请说明理由． (5)图中共有几个小于平角的角？ 【答案】(1)不正确，可表示为 (2) (3)3个，见解析 (4)见解析 (5)11个 【分析】（1）、（2）根据角的表示方法求解即可；（3）、（4）、（5）根据角的定义和表示方法回答即可． 【详解】（1）不正确，因为以为顶点的角不止一个，所以这样的表示方法不正确，可表示为； （2）图中可以用一个字母表示； （3）以A为顶点的角有3个，分别是、、； （4）因为这两个角的顶点不同，所以不是同一个角． （5）图中小于平角的角有：，，，，，，，，，，，共有11个小于平角的角． 【点睛】本题考查的是角的定义和角的表示方法，掌握角的定义和角的表示方法是解题的关键． 考点二：角的单位与角度制 例2.（2023秋·全国·七年级课堂例题）计算： （1） ′； （2） ； （3） ． 【答案】 【分析】（1）把转化成即可得到答案； （2）转化成即可得到答案； （3）按照秒、分的顺序分别求和，满60进一，即可得到答案． 【详解】解：（1）， 故答案为：， （2）， 故答案为： （3）， 故答案为： 【点睛】此题考查了度分秒之间的转换和角度的运算，熟练掌握度分秒之间的换算关系是解题的关键． 【变式2-1】（2023春·山东泰安·六年级校考期中）计算： ． 【答案】 【分析】根据，，计算求值； 【详解】解：， 故答案为：； 【点睛】本题考查以度、分、秒为单位的角的度量；掌握度、分、秒是60进制是解题关键． 【变式2-2】（2023秋·全国·七年级课堂例题）（1）1周角 平角 直角； （2） ′= ″； （3） ′， ． 【答案】 2 4 60 3600 75 1.5 【分析】根据度、分、秒之间的关系直接换算即可． 【详解】解：（1）1周角平角直角； （2）； （3），． 故答案为：2；4；60；3600；75；1.5． 【点睛】本题考查周角、平角、直角，度、分、秒的换算，解题的关键是掌握． 【变式2-3】（2023秋·全国·七年级课堂例题）计算： （1） ；         （2） ； （3） ；             （4） ． 【答案】 【分析】根据度、分、秒的运算法则进行计算即可． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）． 故答案为：，，，． 【点睛】本题主要考查了度、分、秒的运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． 考点三：与方位角有关的计算题 例3. （2023春·湖北十堰·七年级校考开学考试）如图，在灯塔处观测到轮船位于北偏西的方向，同时轮船在南偏东的方向，那么的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用方向角的定义，求出即可求解． 【详解】解：如图， ， ． 又， ． 故选：．    【点睛】本题主要考查了方向角，解题的关键是正确理解方向角的定义，得出角的度数． 【变式3-1】（2023秋·河北张家口·七年级统考期末）如图，甲从点A出发向北偏东方向走到点，乙从点A出发走到点，若，则乙从点A出发沿（   ）方向走到点    A．南偏西 B．西偏南 C．南偏西 D．西偏南 【答案】C 【分析】先求得与正东方向的夹角的度数，即可求解． 【详解】解：由题意得：与正东方向的夹角为， ∵， ∴与正南方向的夹角为， 即乙从点A出发沿南偏西方向走到点， 故选：C． 【点睛】本题考查了方向角，正确理解方向角的定义是关键． 【变式3-2】（2023秋·吉林松原·七年级统考期末）如图①，货轮停靠在点，发现灯塔在它的东北（东偏北或北偏东）方向上．货轮在码头的西北方向上．    (1)仿照表示灯塔方位的方法，画出表示货轮方向的射线； (2)如图②，两艘货轮从码头出发，货轮向东偏北的的方向行驶，货轮向北偏西的方向航行，求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）根据方向角的定义，结合题意画出方向角即可；（2）根据角的和差关系可得：． 【详解】（1）如图所示，射线的方向就是西北方向，即货轮所在的方向．    （2）依题意可得，，， ∴ 【点睛】本题考核知识点是方向角．理解方向角的定义和角的和差关系是关键． 【变式3-3】（2023秋·全国·七年级课堂例题）小丽、小影、小华三人每天相约在如图所示的早餐店碰面，小丽家在早餐店南偏西方向上，小影家在点处，小华家在早餐店东南方向上，，且早餐店到小华家与小丽家的距离相等．    (1)在图中画出小华家的位置； (2)求的度数； (3)若，请说出小影家相对于早餐店的位置． 【答案】(1)见解析图； (2)； (3)小影家在早餐店的位置北偏西的位置上． 【分析】（）根据要求画出图形即可； （）得与正东方向的夹角，从而求得的度数； （）求出与正北方向的夹角，根据方向角的定义判断即可． 【详解】（1）如图，点即为所求；    （2）∵， ∴与正东方向的夹角为， ； （3）由（）得与正东方向的夹角为， ∵， ∴与正东方向的夹角为：， ∵正东和正北的夹角为， ∴与正北方向的夹角为：， ∴小影家在早餐店的位置北偏西的位置上． 【点睛】此题考查了作图-应用与设计作图，方向角等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 考点四：钟面角 例4. （2023春·陕西西安·七年级校考开学考试）8点30分时刻，钟表上时针与分针所组成的角为 度． 【答案】 【分析】根据钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是，钟面上8点30分时，时针和分针之间相差个大格，用，即可得出答案． 【详解】解：钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，则每一份是， ∴8点30分时，时针和分针所夹的角是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了钟面上角的计算，解题的关键是熟练掌握钟表上一个大格之间的夹角为． 【变式4-1】（2023秋·湖南衡阳·七年级校考开学考试）李老师从家出发去单位上班，到单位的时间是，那么这段时间，分针走了 °，时针走了 °． 【答案】 210 17.5 【分析】先求出分针1分钟走，时针1分钟走，然后再根据时间求出分针和时针走的角度即可． 【详解】解：∵分针1小时走，时针1小时走， ∴分针1分钟走，时针1分钟走， ∴李老师从家出发去单位上班，到单位的时间是，那么这段时间，分针走了，时针走了． 故答案为：210；17.5． 【点睛】本题主要考查了钟表上的角度问题，解题的关键是求出分针1分钟走，时针1分钟走． 【变式4-2】（2023春·山西太原·七年级校考阶段练习）我校下午到校时间为14时10分，则此时刻钟表上的时针与分针的夹角为 度． 【答案】 【分析】钟表里，每一大格所对的圆心角是，每一小格所对的圆心角是，根据这个关系，求解即可． 【详解】解：时钟指示14时10分时，分针指到2，时针指到2与3之间， 时针从2到这个位置经过了10分钟，时针每分钟转，因而转过， 时针和分针所成的锐角是． 故答案为：． 【点睛】本题考查钟面角，解决本题的关键是根据表面上每一格，每一小格所对的圆心角是的规律，计算出分针与时针的夹角的度数． 【变式4-3】（2023秋·七年级课时练习）小明利用星期天搞社会调查活动，早晨8：00出发，中午12：30到家，小明到家时时针和分针夹角的度数是 ．      【答案】/165度 【分析】时针在钟面上每分钟转，分针每分钟转，钟表上12：30时，时针与分针的夹角可以看成时针转过12时，分针在数字6上，由此进行计算即可得到答案． 【详解】解：时针在钟面上每分钟转，分针每分钟转， 钟表上12：30时，时针与分针的夹角可以看成时针转过12时，分针在数字6上， 钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为， 12：30时针与分针的夹角为：， 小明到家时时针和分针夹角的度数是， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是钟表表盘与角度相关的特征，用到的知识点为：钟表上12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为，在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动时针转动，并且利用起点时针和分针的位置关系建立角的图形． 考点五：角的比较 例5. （2023秋·七年级课时练习）如图，，则与的大小关系是（    ）    A． B． C． D．与无法比较大小 【答案】C 【分析】先根据得出，故可得出结论． 【详解】解：， ，即． 故选：C． 【点睛】本题考查的是角的大小比较，熟知角比较大小的法则是解答此题的关键． 【变式5-1】（2023秋·七年级课时练习）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将统一化成“度、分、秒”的形式，即可比较大小． 【详解】 ∵． ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查了角度的比较大小，解题的关键是将角度的度量单位化成统一的形式． 【变式5-2】（2023秋·湖南郴州·七年级校联考期末）如图，若 ，则 与 的大小关系是（    ）． A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】列出不等式，等量代换，即可求得结果． 【详解】解：，， 且， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了比较角的大小，解题关键是列出不等式进行等量代换． 【变式5-3】（2023秋·八年级课时练习）在图中所示的4×4的网格中，记，，，则，，从小到大的排列顺序是 ．    【答案】 【分析】利用网格图的特征，注意角的运用． 【详解】解：由图知，, ∴． ∴． ∵， ∴． ∴ 故答案为：    【点睛】本题考查网格图中角的计算，理解网格图的特征，运用是解题的关键． 考点六：三角板中角度计算问题 例6. （2023春·山东淄博·六年级校考阶段练习）将一副直角三角尺如图放置，若，则等于 ．    【答案】/20度 【分析】根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是角的和差计算，明确图形中相关角之间的和差关系是解题的关键． 【变式6-1】（2023秋·内蒙古巴彦淖尔·七年级校考期末）如图所示，两个直角三角形的直角顶点重合，如果，那么    【答案】/度 【分析】根据题意得到，再计算，然后根据进行计算即可． 【详解】解：， 而， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了角的计算，关键是熟记：直角，平角． 【变式6-2】（2023秋·江西九江·七年级统考期末）如图，直角三角板的直角顶点O在直线上，线段，是三角板的两条直角边，射线是的平分线．    (1)当时，求的度数； (2)当时， _________（用含α的式子表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用已知求得，利用角平分线的性质得到，再利用平角的定义，可求； （2）利用（1）中方法可求． 【详解】（1）解：，， ． ∵平分， ， ， ； （2）解：，， ， ∵平分， ，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了角的计算，角平分线的性质，平角的定义，正确使用角平分线的性质和平角的性质是解题的关键． 【变式6-3】（2023春·山东烟台·六年级统考期末）如图所示，以直线上的一点O为端点，在直线的上方作射线，使．将一块直角三角尺的直角顶点放在点O处，且直角三角尺（）在直线的上方．设．    (1)当时，求的大小； (2)若时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据角的和差运算求解即可； （2）首先根据题意表示出，，然后作差求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∵， ∴． ∵， ∴． （2）解：当时， ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查角的加减运算，能够熟练根据要求列角的等量关系是解题关键． 考点七：角平分线的有关计算 例7. （2023秋·河南南阳·七年级统考期末）已知O为直线上一点，是直角，平分．        (1)如图①，若，则__________；若，则__________；与的数量关系为__________； (2)当射线绕点O逆时针旋转到图②的位置时，（1）中与的数量关系是否仍然成立？请说明理由． 【答案】(1)（1）；； (2)仍然成立，理由见解析 【分析】（1）先求得，再根据角平分线的定义求得，再根据平角定义求解即可； （2）设，仿照（1）中方法，先求得，再根据角平分线的定义求得，再根据平角定义求解即可． 【详解】（1）解：∵是直角，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 则， 若，则， 故答案为：；；． （2）解：仍然成立，理由为： 如图2，设， ∵是直角， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 则． 【点睛】本题考查直角、平角定义、角平分线的定义，根据相关定义求解是解答的关键． 【变式7-1】（2023秋·七年级课时练习）如图所示，是平角，分别是的平分线．    (1)当时，求的度数； (2)当时，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平角，角平分线的意义，即可求出答案； （2）根据由（1）的方法得，，把代入即可求解． 【详解】（1）解：因为分别是的平分线， 所以，． 因为， 所以． 所以． （2）解：由（1）的方法得， ． ∴当度时，则． 【点睛】考查角平分线的意义、互为补角的意义，通过图形直观得出各个角之间的和差关系，是解决问题的关键，等量代换是常用的方法． 【变式7-2】（2023春·山东青岛·六年级统考期中）如图，已知，平分，平分．    (1)求的度数； (2)如果，那么是多少度？ (3)如果，那么是多少度？是多少度？用含的式子表示) 【答案】(1) (2) (3)； 【分析】（1）根据角平分线的定义结合图形，可得，进而即可求解； （2）根据题意可得，进而根据角平分线的定义即可求解； （3）同（2）的方法，即可求解． 【详解】（1）解：，平分，平分， ； （2）， ， 平分， ； （3）， ， 平分， ， ． 【点睛】本题考查了几何图形的角度计算，角平分线的定义，数形结合，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． 【变式7-3】（2023秋·江苏徐州·七年级校考阶段练习）（1）如图1所示，已知，平分，、分别平分、，求的度数； （2）如图2，在（1）中把“平分”改为“是内任意一条射线”，其他任何条件都不变，试求的度数； （3）如图3，在（1）中把“平分”改为“是外的一条射线且点C与点B在直线的同侧”，其他任何条件都不变，请你直接写出的度数 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据角平分线定义求出和度数，即可得出答案； （2）根据角平分线定义得出，，求出，代入求出即可； （3）根据角平分线定义得出，，求出，代入求出即可． 【详解】解：（1）∵，平分， ∴， ∵、分别平分、， ∴，， ∴； （2）∵、分别平分、， ∴，， ∴ ； （3）∵、分别平分、， ∴，， ∴ ． 【点睛】本题考查的是角平分线的定义，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键． 考点八：角n等分线的有关计算 例8. （2023秋·山西大同·七年级统考期末）在的内部作射线，射线把分成两个角，分别为和，若或，则称射线为的三等分线．若，射线为的三等分线，则的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据题意得出或，再根据角之间的数量关系，得出，综合即可得出答案． 【详解】解：∵，射线为的三等分线． ∴或， ∴， ∴的度数为或． 故选：C． 【点睛】本题考查了角度的计算，理解题意，分类讨论是解本题的关键． 【变式8-1】（2023秋·浙江湖州·七年级统考期末）定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为（    ） A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 【答案】C 【分析】分四种情况，分别计算，即可求解． 【详解】解：如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 综上，为或或， 故选：C． 【点睛】本题考查了角的有关计算，画出图形，采用分类讨论的思想是解决本题的关键． 【变式8-2】（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）已知射线在内部，其中为的三等分线，分别平分和，若，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了角平分线和角三等分线的计算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．为的三等分线，设，则或2x，再由平分，设，则，则或，由此求解即可． 【详解】解：∵为的三等分线，设，则或2x， ∵平分，设，则， 则或， ∵平分， ∴或， ∴或x， ∵， ∴或， ∴或． 故答案为：或． 【变式8-3】（2023秋·福建龙岩·七年级统考期末）已知，以射线为起始边，按顺时针方向依次作射线、，使得，设，. (1)如图1，当时，若，求的度数； (2)备用图①，当时，试探索与的数量关系，并说明理由； (3)备用图②，当时，分别在内部和内部作射线，，使，，求的度数. 【答案】(1)； (2)；理由见解析； (3) 【分析】（1）根据图形可知，继而根据，即可求解； （2）根据图形得出，计算，即可得出结论； （3）分两种情况讨论，①当时，射线与重合，射线与互为反向延长线，②当时，如图4，射线、在的外部，结合图形分析即可求解． 【详解】（1）如图1，， 在内部， ，， ， ， ； （2）；理由如下：如图2， ， 射线、分别在内、外部， ， ， ， ； （3）①当时，射线与重合，射线与互为反向延长线， 则，，如图3， ，， ， ， ； ②当时，如图4，射线、在的外部，如图4， 则， ， ，， ， ， ， . 综合①②得． 【点睛】本题考查了结合图形中角度的计算，数形结合是解题的关键． 一、单选题 1．（23-24六年级下·山东烟台·期中）在下列四个图形中，能用，，三种方法表示同一个角的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的概念．角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．角还可以用一个希腊字母表示，或用阿拉伯数字表示． 【详解】解：能用，，三种方法表示同一个角的图形是选项B中的图， 选项A，C，D中的图都不能用，，三种方法表示同一个角的图形， 故选：B． 2．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）用叠合的方法比较和两个角的大小，先将的顶点与的顶点O重合，边与边重合，边落在了的内部，则和的关系是（　　） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】本题考查了角的比较，根据角的大小比较即可得到结论． 【详解】解：如图， ∴， 故选：A 3．（23-24七年级上·山东德州·期末）如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中的图形有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了余角和补角、平角定义．根据同角的余角相等，补角定义，平角的定义对各小题分析判断即可得解． 【详解】解：第1个图中，，符合题意； 第2个图中，根据同角的余角相等，，符合题意； 第3个图中，根据三角尺的特点和摆放位置得：，， ∴，符合题意； 第4个图中，根据图形可知与是邻补角， ∴，不符合题意； 综上，的图形有3个． 故选：C． 4．（2024·江西新余·模拟预测）如图，南昌位于淇淇家南偏西的方向，则淇淇家位于南昌的（    ） A．南偏西方向 B．南偏东方向 C．北偏西方向 D．北偏东方向 【答案】D 【分析】本题主要考查方向角，理解方向角的定义是正确解答的关键．根据方向角的定义可得答案． 【详解】解：如图： ∵南昌位于淇淇家南偏西的方向， ∴淇淇家位于南昌的北偏东方向， 故选：D． 5．（23-24七年级下·陕西西安·开学考试）以的顶点O为端点引射线，使，若，则为（    ） A．或 B．或 C．或 D．以上答案都不正确 【答案】C 【分析】本题考查了角的计算，熟练掌握角的大小的计算方法，能够分类讨论是解题的关键． 由题知，的位置存在以下两种情况，分类讨论即可解答． 【详解】解：由题知，的位置存在以下两种情况： ∴或， 故选：C． 二、填空题 6．（23-24七年级下·山东淄博·阶段练习） ′ ″； 【答案】 1 9 36 【分析】本题考查了度、分、秒之间的换算．度、分、秒之间是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60． 【详解】解：①∵，， ∴； ②∵，， ∴； 故答案为：1，9，36；． 7．（23-24六年级下·全国·假期作业）如图，用三个大写字母表示所标记的各角． （1）可以表示为 ； （2）可以表示为 ； （3）可以表示为 ． 【答案】 （或） （或） （或） 【分析】本题考查角的表示，根据角的表示方法直接求解即可得到答案，熟记角的表示方法是解决问题的关键． 【详解】解：（1）可以表示为或； （2）可以表示为或； （3）可以表示为或； 故答案为：（1）（或）；（2）（或）；（3）（或）． 8．（23-24六年级下·全国·假期作业）小明每天下午放学，此时钟面上时针和分针的夹角是 ． 【答案】/40度 【分析】根据每2个数字之间相隔30度和时针1分钟走0.5度可得夹角度数．考查钟面角的计算；用到的知识点为：钟面上每2个数字之间相隔30度；时针1分钟走0.5度． 【详解】解：时针20分所走的度数为，时，分针指着4，4与5之间的夹角为， 答：此时钟面上时针和分针的夹角是． 故答案为：． 9．（23-24六年级下·山东烟台·期中）如图，已知是内部的一条射线，图中有三个角：，和，当其中一个角是另一个角的两倍时，称射线为的“巧分线”．如果，是的“巧分线”，则的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了角的定义和巧分线定义，正确理解“巧分线”的定义是解题的关键． 分3种情况，根据巧分线定义即可求解． 【详解】解：∵，是的“巧分线”， 则由“巧分线”的定义可知有三种情况符合题意： ①，此时； ②，此时； ③，此时； ∴的度数为或或． 故答案为：或或． 10．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）如图，在内部顺次有一组射线，，，，满足，，，，. 若，则 （用含，的代数式表示）. 【答案】/ 【分析】本题主要考查了图形规律探索，角的计算，根据，得出，求出，，，，得出一般规律即可． 【详解】∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为： 三、解答题 11．（23-24七年级下·山东潍坊·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了度分秒之间的换算的应用，注意，． （1）先度分秒分别相加，再根据满进的原则求出即可； （2）先进行单位的换算，再度分秒分别相减即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 12．（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）如图，将一副三角尺的直角顶点重合在一起． (1)若，求的度数． (2)请写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了角的计算，准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键． （1）利用即可得到； （2）表示出，再根据图形可知，然后计算即可得解． 【详解】（1）解：， ； （2）解： ， ． 13．（23-24七年级上·江西赣州·期末）如图，已知是内部任意的一条射线，、分别是，的平分线． (1)若，求的度数； (2)若，则 ；若，则 ． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查角平分线的定义，角的和差计算，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）根据角平分线的定义可知，，再根据计算，即得答案； （2）根据角平分线定义可知，，，再根据计算，即得答案． 【详解】（1）解：、分别是，的平分线， ，， ； （2）解：、分别是，的平分线， ，， ， ， ． 同理：， ． 14．（23-24六年级下·黑龙江绥化·开学考试）如图是依依家到学校的行走路线图． (1)小公园在依依家的 偏 米处． (2)小公园在银行的 偏 米处． (3)学校西偏南，距离处是超市，请用★标出超市的位置．（表示） 【答案】(1)北；西20；距离80． (2)南；西30；距离100 (3)见解析 【分析】本题主要考查了方位角的表示，解题的关键是熟练掌握方位角的定义． （1）根据方位角的定义进行解答即可； （2）根据方位角的定义进行解答即可； （3）根据学校西偏南，距离处是超市，进行解答即可． 【详解】（1）解：小公园在依依家的北偏西距离80米处． 故答案为：北；西20；80． （2）解：∵银行在小公园的北偏东距离100米处； ∴小公园在银行的南偏西距离100米处． 故答案为：南；西30；距离100． （3）解：如图所示： 15．（23-24七年级下·山东青岛·期中）【实践操作】 在数学实践活动课上，同学们准备研究如下问题：如图，点A，O，B在同一条直线上，将一直角三角尺如图①放置，是直角，直角顶点与点O重合，平分． 【问题发现】 （1）若，求的度数； （2）猜想图①中和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． 【变式探究】 将这一直角三角尺如图②放置，其他条件不变，试探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． 【答案】（1）；（2）猜想：，理由见解析；（3），理由见解析 【分析】(1)先根据是直角，，可求出，再根据角平分线定义得，然后根据邻补角的定义可得的度数； (2)根据是直角得，再根据角平分线定义得﹐然后根据邻补角的定义可得出和的度数之间的关系； (3)设，根据角平分线定义得，，则，据此可得和的度数之间的关系． 【详解】解：（1） 是直角，，． ， 平分， ， ∵点A，O，B在同一条直线上， ； （2）猜想：，理由如下： 是直角， ，． 平分， ， 点A，O，B在同一条直线上， ； （3），理由如下： 设， 平分， ，， 点A，O，B在同一条直线上， ， 是直角， ， ， ． 【点睛】此题主要考查了角平分线的定义，邻补角的定义，角的计算，准确识图，理解角平分线的定义，邻补角的定义，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$