精品解析：湖北省襄阳市鄂北六校联考2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题

2023—2024学年下学期高一期中考试 数学试题 主命题学校：南漳一中宜城一中 枣阳一中 曾都一中 襄阳六中 南漳一中 老河口一中 试卷满分：150分 考试用时：120分钟 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号﹑座位号填写在试卷和答题卡上，并认真核准准考证号条形码上的信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，，若，则（ ） A. 5 B. 2 C. 3 D. 4 2. 已知点落在角的终边上，则（ ） A B. C. D. 3. 函数（，，）的部分图象如图示，则图象解析式为（ ） A B. C. D. 4. 若两个单位向量，的夹角为，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 5. 化简得（ ） A. B. C. D. 6. 我国古代的数学著作《九章算术》中的一个问题，现有一个“圆材埋壁”模型，其截面如图所示．若圆柱材料的截面圆的半径长为3，圆心为O，墙壁截面ABCD为矩形，且劣弧的长等于半径OA长的2倍，则圆材埋在墙壁内部的阴影部分截面面积是（ ） A. B. C. D. 9 7. 已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，且，当时，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在钝角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，过点A作与垂直的单位向量，将与向量表达式两边进行数量积的运算，即，化简后得到的结论是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分．部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知，为平面内两个不共线向量，则可作为平面的一组基底 B. 已知两个非零向量，，若，则与同向 C. 在中，若，，则为等边三角形 D. 若向量，满足，则存在唯一实数，使得 10. 把函数（）的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于轴对称，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 在区间上单调递增 C. 当时，的值域为 D. 若在区间上至少存在六个零点，则实数a的取值范围为 11. 中,,点在线段上,下列结论正确的是（） A. 若是中线,则 B. 若是高,则 C. 若是角平分线,则 D. 若,则是线段的三等分点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为____________（用坐标表示）． 13. 已知，则____________． 14. 定义：．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若，且，则边c的最小值为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15 已知，． （1）求与的夹角的余弦值； （2）若，求值． 16. 已知，，且，，，求： （1）的值； （2）的值． 17. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角A的大小； （2）若，D是线段AC上的一点，，，求边c． 18. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P. （1）令，，用，表示； （2）证明：； （3）若，，，求∠MPN的余弦值. 19. 已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数． （1）记向量的相伴函数为，若且，求的值； （2）设（），试求函数相伴特征向量，并求出与方向相反的单位向量﹔ （3）已知，，，为函数（）的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年下学期高一期中考试 数学试题 主命题学校：南漳一中宜城一中 枣阳一中 曾都一中 襄阳六中 南漳一中 老河口一中 试卷满分：150分 考试用时：120分钟 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号﹑座位号填写在试卷和答题卡上，并认真核准准考证号条形码上的信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，，若，则（ ） A. 5 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量坐标运算，结合相等向量求解即得. 【详解】向量，，由，得， 所以. 故选：B 2. 已知点落在角的终边上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求解余弦值，再利用二倍角的余弦公式求解即可. 【详解】因为点落在角的终边上， 所以， 所以 故选：C 3. 函数（，，）的部分图象如图示，则图象解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的图象，结合正弦函数的性质，即可求解. 【详解】由函数的图象，可得且，所以，则， 又由，即，可得， 所以，又因为，所以，故. 故选：D. 4. 若两个单位向量，的夹角为，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数量积的定义及运算律求解即得. 【详解】由两个单位向量，的夹角为，得， 所以. 故选：B 5. 化简得（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意可得，利用两角差的正弦公式、二倍角公式及诱导公式计算可得. 【详解】 . 故选：C 6. 我国古代的数学著作《九章算术》中的一个问题，现有一个“圆材埋壁”模型，其截面如图所示．若圆柱材料的截面圆的半径长为3，圆心为O，墙壁截面ABCD为矩形，且劣弧的长等于半径OA长的2倍，则圆材埋在墙壁内部的阴影部分截面面积是（ ） A. B. C. D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】先计算出扇形的面积，再求出，相减得到答案. 【详解】由题意得，劣弧， 故扇形的面积为， 设圆心角为，则， 故， 故圆材埋在墙壁内部阴影部分截面面积为. 故选：A 7. 已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，且，当时，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，根据条件得到，利用数量积的几何意义，即可求出结果. 【详解】因为， 如图，取中点，又，所以，即， 结合平面向量数量积的几何意义，又，得到， 故选：B. 8. 如图，在钝角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，过点A作与垂直的单位向量，将与向量表达式两边进行数量积的运算，即，化简后得到的结论是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量数量积的运算律和定义可化简等式得到，由此可得结论. 【详解】因为向量是单位向量，且，所以， ， 所以 ， ， 所以，即. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分．部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知，为平面内两个不共线的向量，则可作为平面的一组基底 B. 已知两个非零向量，，若，则与同向 C. 在中，若，，则为等边三角形 D. 若向量，满足，则存在唯一实数，使得 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用向量共线知识可以判断ABD，利用向量数量积运算可以判断C. 【详解】对A，因为，为平面内两个不共线的向量，设时，， 此时无解，所以与不共线，即可作为基底，故A正确； 对B，因为两个非零向量，， ，所以与同向，故B正确； 对C，由，可得， 再由，可得， 综上为等边三角形，故C正确； 对D，向量，满足，当不等于零向量时，不存在实数，使得，故D错误； 故选：ABC． 10. 把函数（）的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于轴对称，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 在区间上单调递增 C. 当时，的值域为 D. 若在区间上至少存在六个零点，则实数a的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意化简得，根据最小正周期计算公式可判断A；根据三角函数性质计算可判断B；由，得，根据三角函数性质计算即可判断C；由得或，所以在区间上的解从小到大依次为：，根据题意建立不等式计算即可判断D. 【详解】 ， 因为图象关于轴对称，所以，解得， 因为，解得，即， 对A，最小正周期，故A错误； 对B，令，解得， 所以函数得单调递增区间为 当时，单调递增区间为， 所以函数在区间上单调递增，故B正确； 对C，因为，所以， 当或，即或时，函数有最小值为， 当，即时，函数有最大值为， 所以的值域为，故C正确； 对D，因为，有，即，解得或， 故在区间上的解从小到大依次为：， 要使在区间上至少存在六个零点，则，故D正确. 故选：BCD. 11. 中,,点在线段上,下列结论正确的是（） A. 若是中线,则 B. 若是高,则 C. 若是角平分线,则 D. 若,则是线段的三等分点 【答案】AC 【解析】 【分析】分别使用向量解决三角形中线长问题，等面法求解高线、角平分线问题，两次使用余弦定理解决三等分点问题. 【详解】 A选项：由余弦定理知： 因为是中线，则 则 则 B选项： 则 则故B错误. C选项： 即 则则故C正确. D选项：在中 在中 即若是线段的三等分点，则 但不是方程的解，则选项D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为____________（用坐标表示）． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得，结合投影向量的计算公式，即可求解. 【详解】由向量，，可得，且，则， 所以向量在向量上的投影向量为. 故答案为：. 13. 已知，则____________． 【答案】 【解析】 分析】根据题意，求得，结合，即可求解. 【详解】因为，可得，所以， 则 故答案为：. 14. 定义：．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若，且，则边c的最小值为____________． 【答案】## 【解析】 【分析】先由新定义将原式化简，并求得，再代入余弦定理公式表示c，利用基本不等式求得其最小值. 【详解】由题可知， 化简得，即， C为三角形内角，解得， 由余弦定理得， 所以，时等号成立，所以边c的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，． （1）求与的夹角的余弦值； （2）若，求值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量坐标运算结合向量的夹角公式计算即可； （2）应用向量坐标垂直公式运算可求参数. 【小问1详解】 ， ∴，， 【小问2详解】 ∴ ∴ 16. 已知，，且，，，求： （1）值； （2）的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）计算出，利用正弦和角公式求出答案； （2）利用余弦的两角差公式可得，结合得到答案. 【小问1详解】 ∵， ∴， ， ∴ ； 【小问2详解】 由（1）可得 ∴ ， 又∵， ∴. 17. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角A的大小； （2）若，D是线段AC上的一点，，，求边c． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和余弦定理得，得到角A的大小； （2）设（），则，根据二倍角公式和求出的余弦值和正弦值，故，由正弦定理求出答案. 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理可得， 即， 所以， 因为，所以 【小问2详解】 设（）， 则， 所以， 解得，故， 所以， 由正弦定理，，即， 所以 18. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P. （1）令，，用，表示； （2）证明：； （3）若，，，求∠MPN的余弦值. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由条件可得，结合可解； （2）在中，由余弦定理，得，在中，由余弦定理，得； （3）与的夹角相等，根据向量夹角公式可求其大小. 【小问1详解】 由题可知是的重心，且， 所以. 小问2详解】 在中，由余弦定理，得， 在中，由余弦定理，得 . 【小问3详解】 因为，，， 所以， 所以，即的余弦值为. 19. 已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数． （1）记向量的相伴函数为，若且，求的值； （2）设（），试求函数的相伴特征向量，并求出与方向相反的单位向量﹔ （3）已知，，，为函数（）的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）， （3）存在， 【解析】 【分析】（1）先根据相伴函数定义再结合两角和差公式计算即可； （2）结合相伴函数定义及反向定义求解； （3）先设点P的坐标，再应用函数求解计算可解. 【小问1详解】 由题意知，向量的相伴函数为 由题意，且，，， 故； 【小问2详解】 因为 故函数的相伴特征向量， 则与反向的单位向量为 【小问3详解】 因为， 其相伴特征向量， 故，所以， 则， 设点， 又，， 所以，， 若，则， 即，， 因为，， 故， 又，故当且仅当时，成立 故在的图象上存在一点，使得 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$