培优训练(二)(范围：1.4)(word教参)-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

（范围：1.4） 一、选择题 1.下列利用方向向量、法向量判断线线、线面位置关系的结论中正确的是（　　） A.两条直线l1，l2的方向向量分别是a＝（1，－3，4），b＝（－1，3，－4），则l1∥l2 B.直线l的方向向量是a＝（1，－3，4），平面α的一个法向量是n＝（2，2，1），则l∥α C.直线l的方向向量是a＝（0，－3，4），平面α的一个法向量是n＝（0，－3，4），则l⊥α D.直线l的方向向量是a＝（1，－3，4），平面α的一个法向量是n＝（1，3，2），则l⊥α 答案　C 解析　A项，因为a＝（1，－3，4），b＝（－1，3，－4），即a＝－b，所以a∥b，所以l1∥l2或l1，l2重合，故A项错误； B项，因为a·n＝1×2＋（－3）×2＋4×1＝0，所以a⊥n，所以l∥α或l在平面α内，故B项错误；C项，因为a＝（0，－3，4），n＝（0，－3，4），即a＝n，所以a∥n，所以l⊥α，故C项正确； D项，因为a·n＝1×1＋（－3）×3＋4×2＝0，所以a⊥n，所以l∥α或l在平面α内，故D项错误.故选C项. 2.（多选）在三棱锥A－BCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1，n2，若n1＝（1，0，0），n2＝（－，0，1），则二面角A－BD－C的大小可能为（　　） A. B. C. D. 答案　AD 解析　由已知可得cos＜n1，n2＞＝＝－，所以二面角A－BD－C的大小为或.故选AD项. 3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为2，O是底面正方形ABCD的中心，点M在DD1上，N是A1B1上靠近A1的三等分点，当直线ON与AM垂直时，DM的长为（　　） A.1 B. C. D. 　　　 题图　　　　　　　　答图 答案　A 解析　如图，建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），O（1，1，0），N（2，，2），设M（0，0，a），a∈[0，2]，则＝（－2，0，a），＝（1，－，2），因为ON⊥AM，所以·＝－2＋2a＝0，解得a＝1.故选A项. 4.在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为棱A1B1的中点，异面直线BP与CD1所成的角的余弦值是（　　） A. B. C. D. 答案　B 解析　如图，以D为原点，以DA，DC，DD1所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则B（1，1，0），C（0，1，0），P（1，，1），D1（0，0，1），所以＝（0，－，1），＝（0，－1，1），设异面直线BP与CD1所成的角为θ，则cos θ＝｜cos＜，＞｜＝＝＝.故选B项. 5.（多选）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝CB＝2，AA1＝3，∠ACB＝90°，则（　　） A.点C1到平面A1B1C的距离为1 B.点C1到平面A1B1C的距离为 C.直线A1C1与平面A1B1C所成角的正弦值为 D.直线A1C1与平面A1B1C所成角的正弦值为 　　　 题图　　　　　　答图 答案　BD 解析　以C1为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C1xyz，则A1（2，0，0），B1（0，2，0），C（0，0，3），所以＝（－2，2，0），＝（－2，0，3），设平面A1B1C的法向量为n，则令x＝3，得n＝（3，3，2）.因为＝（－2，0，0），所以点C1到平面A1B1C的距离d＝＝＝. 直线A1C1与平面A1B1C所成角的正弦值为＝＝.故选BD项. 二、填空题 6.在空间直角坐标系Oxyz中，A（1，2，1），B（2，1，m），C（0，1，2），若点C到直线AB的距离不小于，写出一个满足条件的m的值：　　　　. 解析　因为＝（1，－1，m－1），＝（－1，－1，1），所以点C到直线AB的距离d＝＝≥，解得1－≤m≤1＋，故答案可为1（答案不唯一，只要1－≤m≤1＋即可）. 答案　1（答案不唯一） 7.若直线a的方向向量为a，平面α，β的法向量分别为n，m，则下列命题为真命题的序号是　　　　. ①若a∥n，则直线a⊥平面α； ②若a⊥n，则直线a∥平面α； ③若cos＜a，n＞＝，则直线a与平面α所成角的大小为； ④若cos＜m，n＞＝，则平面α，β的夹角为. 解析　若a∥n，则a为平面α的一个法向量，故直线a⊥平面α，①正确；若a⊥n，则直线a∥平面α或直线a⊂平面α，②错误；若cos＜a，n＞＝，则直线a与平面α所成角的大小为，③正确；若cos＜m，n＞＝，则平面α，β的夹角为，④正确.故正确命题的序号是①③④. 答案　①③④ 8.已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为1的正方体，则平面AB1D1与平面C1BD的距离为　　　　. 解析　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（1，1，0），D（0，0，0），C1（0，1，1），D1（0，0，1），B1（1，1，1），可得＝（0，1，1），＝（－1，0，1），＝（－1，0，1），＝（0，1，1），因为＝，＝，则∥，∥，所以AD1∥BC1，AB1∥DC1，因为AD1⊄平面C1BD，BC1⊂平面C1BD，AB1⊄平面C1BD，DC1⊂平面C1BD，所以AD1∥平面C1BD，AB1∥平面C1BD，又AD1∩AB1＝A，AD1，AB1⊂平面AB1D1，所以平面AB1D1∥平面C1BD，所以平面AB1D1与平面C1BD的距离等于点C1到平面AB1D1的距离d，设平面AB1D1的法向量为n＝（x，y，z），则令z＝1，可得x＝1，y＝－1，所以n＝（1，－1，1），又因为＝（1，0，0），所以d＝＝.所以平面AB1D1与平面C1BD的距离为. 答案　 三、解答题 9.如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱AA1的长为3，底面ABCD是边长为2的正方形，E是棱BC的中点. （1）证明：BD1∥平面C1DE； （2）求平面C1DE与平面ABCD的夹角的正切值； （3）求点A1到平面C1DE的距离. 　　　 题图　　　　　　　答图 解析　（1）根据题意，以D为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系. 因为侧棱AA1的长为3，底面ABCD是边长为2的正方形，所以B（2，2，0），C（0，2，0），C1（0，2，3），D1（0，0，3）， 因为E是棱BC的中点，所以E（1，2，0），所以＝（0，2，3），＝（1，2，0），＝（－2，－2，3）. 设平面C1DE的法向量为n＝（x，y，z）， 所以得 令y＝－3，得x＝6，z＝2，所以n＝（6，－3，2）， 因为n·＝－12＋6＋6＝0，所以n⊥， 因为BD1⊄平面C1DE，所以BD1∥平面C1DE. （2）由（1）得平面C1DE的一个法向量为n＝（6，－3，2）， 由题可设平面ABCD的一个法向量为m＝（0，0，1），所以cos＜m，n＞＝｜｜＝＝， 所以sin＜m，n＞＝，所以tan＜m，n＞＝， 所以平面C1DE与平面ABCD的夹角的正切值为. （3）由（1）得平面C1DE的一个法向量为n＝（6，－3，2），A1（2，0，3），D（0，0，0）， 所以＝（2，0，3），所以点A1到平面C1DE的距离为d＝＝＝. 所以点A1到平面C1DE的距离为. 10.如图，C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面PAC⊥平面ABC，PA＝PC＝AC＝2，BC＝4，E，F分别是PC，PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为直线l. （1）证明：l⊥平面PAC； （2）直线l上是否存在点Q，使得直线PQ与平面AEF所成的角的正弦值为？若存在，求出｜AQ｜的值；若不存在，请说明理由. 　　　 题图　　　　　　　　答图 解析　（1）连接CO并延长，交圆O于点S，连接AS，SB，SF， 则AB＝SC，四边形ASBC为矩形，BC∥AS， 因为EF∥BC，所以EF∥AS， 故平面AEF与平面ABC的交线为AS所在直线，即AS所在直线为直线l， 因为CS为直径，所以AC⊥AS， 因为平面PAC⊥平面ABC，交线为AC，AS⊂平面ABC， 所以AS⊥平面PAC，即l⊥平面PAC. （2）在AS上取点Q，连接PQ，以C为坐标原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，垂直CA，CB的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为PA＝PC＝AC＝2，BC＝4， 所以P（1，0，），E（，0，），A（2，0，0），B（0，4，0），F（，2，），Q（2，m，0）， 设平面AEF的法向量为n＝（x，y，z），则 解得y＝0，令x＝1，则z＝， 故n＝（1，0，），又＝（1，m，－）， 故｜cos＜，n＞｜＝ ＝＝， 解得m＝±1，故｜AQ｜＝1， 即直线l上存在点Q，使得直线PQ与平面AEF所成的角的正弦值为，且｜AQ｜＝1. 11.在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，它的高为4，AA1，BB1，CC1，DD1均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为2和4，对应的圆心角为90°，则图中异面直线AB1与CD1所成角的余弦值为（　　） A. B. C. D. 　　　 题图　　　　　　　　答图 答案　A 解析　如图，设上底面圆心为O1，下底面圆心为O，连接OO1，OC，OB，以O为原点，分别以OC，OB，OO1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则C（2，0，0），A（0，4，0），B1（0，2，4），D1（4，0，4），则＝（2，0，4），＝（0，－2，4），所以cos＜，＞＝＝＝，又异面直线所成角的范围为（0，］，故异面直线AB1与CD1所成角的余弦值为.故选A项. 12.（多选）如图所示，三棱锥S－ABC中，△ABC为等边三角形，SA⊥平面ABC，SA＝3，AB＝2，点D在线段SC上，且SD＝SC，点E为线段SB的中点，以线段BC的中点O为坐标原点，OA，OB所在直线分别为x，y轴，过点O作SA的平行线为z轴，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（　　） A.直线CE的一个方向向量为（，，） B.点D到直线CE的距离为 C.平面ACE的一个法向量为（，3，－2） D.点D到平面ACE的距离为1 答案　ABD 解析　由题意得S（，0，3），A（，0，0），B（0，1，0），C（0，－1，0），E（，，）.若SD＝SC，则D（，－，2），则＝（，，）＝（，，），故A项正确；＝（，，2），＝（－，－1，0），＝（－，，），故点D到直线CE的距离d＝＝，故B项正确；设n＝（x，y，z）为平面ACE的法向量，则即 令z＝－2，则n＝（－，3，－2）为平面ACE的一个法向量，故C项错误；而＝（，，2），故点D到平面ACE的距离d1＝＝1，故D项正确.故选ABD项. 13.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是A1D的中点，则下列结论正确的是（　　） A.直线MB与直线B1D1相交，直线MB⊂平面ABC1 B.直线MB与直线D1C平行，直线MB⊥平面A1C1D C.直线MB与直线AC异面，直线MB⊥平面ADC1B1 D.直线MB与直线A1D垂直，直线MB∥平面B1D1C 　　　 题图　　　　　　　　答图 答案　D 解析　因为ABCD－A1B1C1D1是正方体，不妨设棱长为2，以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），D1（0，0，2），A（2，0，0），A1（2，0，2），B（2，2，0），B1（2，2，2），C（0，2，0），C1（0，2，2），又M为A1D的中点，故可得M（1，0，1），＝（1，2，－1），＝（－2，0，－2），设平面ADC1B1的法向量为n＝（x，y，z），则即不妨取y＝－1，故可得n＝（0，－1，1）.设平面B1D1C的法向量为m＝（x，y，z），则即不妨取y＝1，故可得m＝（－1，1，1）.因为BD∥B1D1，BD∩BM＝B，故BM，B1D1不相交，故A项错误；＝（1，2，－1），＝（0，2，－2），不存在非零实数λ，使得＝λ，故MB，D1C不平行，故B项错误；＝（1，2，－1），平面ADC1B1的法向量为n＝（0，－1，1），不存在非零实数λ，使得＝λn，故MB与平面ADC1B1不垂直，故C项错误；＝（1，2，－1），＝（－2，0，－2），则·＝－2＋2＝0，故直线MB与A1D垂直，又·m＝－1＋2－1＝0，故MB与平面B1D1C平行，故D项正确.故选D项. 14.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，BC＝，点M（0，1，），且MD1⊥MA，如图所示，建立空间直角坐标系，则DD1＝　　　　，棱CC1与平面MAD1所成角的正弦值为　　　　. 解析　由题意得，设D1（0，0，z），则C（0，1，0），A（，0，0）， 因为MD1⊥MA，＝（0，－1，z－），＝（，－1，－），所以·＝0，即1－（z－）＝0，解得z＝，所以｜｜＝，所以C1（0，1，），＝（0，0，），＝（0，－1，），设平面MAD1的法向量为n＝（x，y，z）， 则⇒ 令z＝1，则y＝，x＝，于是平面MAD1的一个法向量为n＝（，，1），设棱CC1与平面MAD1所成角为θ，所以sin θ＝｜cos＜n，＞｜＝＝＝. 答案　 15.直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝CC1＝2，点D为线段AC的中点，直线BC1与B1C的交点为M，若点P在线段CC1上运动，CP的长度为m. （1）求点M到平面A1BD的距离； （2）是否存在点P，使得二面角P－BD－A1的余弦值为－，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. 解析　（1）由题意可知，四边形BCC1B1为正方形，则M为B1C的中点，以B为坐标原点，，，为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则M（1，0，1），B（0，0，0），A1（0，2，2），D（1，1，0），所以＝（1，0，1），＝（0，2，2），＝（1，1，0），设平面A1BD的法向量为n＝（x，y，z），则令x＝1，则y＝－1，z＝1，即n＝（1，－1，1），所以点M到平面A1BD的距离d＝＝＝. （2）存在.理由如下： 设点P（2，0，m），平面PBD的法向量为s＝（a，b，c），因为＝（2，0，m），＝（1，1，0），则令c＝2，则a＝－m，b＝m，即s＝（－m，m，2），所以｜cos＜n，s＞｜＝＝＝，解得m＝2或m＝，当m＝2时，P与C1重合，此时二面角P－BD－A1为锐二面角，不合题意；当m＝时，二面角P－BD－A1为钝二面角，符合题意；综上所述，存在点P，使得二面角P－BD－A1的余弦值为－，此时m＝. 16.某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题.如图1，E，F，G分别是正方形的三边AB，CD，AD的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折起，连接AB，CG就得到了一个“刍甍”（如图2）. 　 图1　　　　　　　　图2 （1）若O是四边形EBCF对角线的交点，求证：AO∥平面GCF； （2）若二面角A－EF－B的大小为π，求直线AB与平面GCF所成角的正弦值. 解析　（1）取线段CF的中点H，连接OH，GH，由题图1可知，四边形EBCF是矩形，且CB＝2EB，所以O是线段BF与CE的中点，所以OH∥BC且OH＝BC，在题图1中AG∥BC且AG＝BC，EF∥BC且EF＝BC，所以在题图2中，AG∥BC且AG＝BC，所以AG∥OH且AG＝OH.所以四边形AOHG是平行四边形，则AO∥HG.由于AO⊄平面GCF，HG⊂平面GCF，所以AO∥平面GCF. （2）由题意知EF⊥AE，EF⊥BE，所以∠AEB即为二面角A－EF－B的平面角，所以∠AEB＝120°.以E为坐标原点，，分别为x轴和y轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，且设CB＝2EB＝2EA＝4， 则B（2，0，0），F（0，4，0），A（－1，0，），所以＝＋＋＝＋＋＝（－1，－2，），＝（－3，0，），＝＝（2，0，0），设平面GCF的法向量为n＝（x，y，z），由得取y＝，则z＝2，于是平面GCF的一个法向量为n＝（0，，2）， 所以cos＜n，＞＝＝＝，所以直线AB与平面GCF所成角的正弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$