精品解析：江苏省无锡江阴市四校2023-2024学年高一下学期期中联考试卷

2023-2024学年度春学期四校期中联考试卷 高一数学 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案.不按以上要求作答无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若圆锥的轴截面是斜边为4的等腰直角三角形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，，则（ ）三点共线 A. A、B、D B. A、B、C C. B、C、D D. A、C、D 3. 已知，，若，则实数t的值为（ ） A. 5 B. 2 C. －1 D. －3 4. “巍然古塔耸西城，炮弹横遭削不平”，诗句描述的就是位于江苏省无锡市江阴市西横街的兴国寺塔，兴国寺塔已成为江阴人民不屈不挠精神的象征，某数学兴趣小组成员为测量该塔的高度，在塔底的同一水平面上的两点处进行测量，如图.已知在A处测得塔顶的仰角为60°，在处测得塔顶的仰角为45°，米，，则该塔的高度（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 60米 5. 已知，，则在上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 6. 正方体中，为的中点，则直线与直线所成角为（ ） A. B. C. D. 7. 已知正方体的体积为，点在线段上，点异于点，，点在线段上，且，若平面截正方体所得的截面为四边形，则线段长的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知中，，，，则边的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 2＋ D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知空间中两条不同的直线和两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 八卦是中国文化的基本哲学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形，其中给出下列结论正确的是（ ） A. 与的夹角为 B. C. D. 11. 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则下列命题正确的是（ ） A. B. 的周长为 C. 面积为 D. 的外接圆半径为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图是一个正四棱台，已知正四棱台的上、下底面的边长分别为和，体积为，则此正四棱台的高为__________ 13. 已知平行四边形中，，，．若点满足，点中点，则__________ 14. 在中，角、、所对边分别为、、，，的平分线交于点，且，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知是同一平面内的三个向量，. （1）若为单位向量，且，求的坐标； （2）若，且与垂直，求与夹角. 16. 如图所示，已知P是▱ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PAD∩平面PBC=l. 求证:（1）l∥BC; （2）MN∥平面PAD. 17. 记的内角的对边分别为，且. （1）求； （2）若，的面积为，求的周长 18. 如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，． （1）求直线与平面所成角余弦值； （2）证明：平面； （3）求三棱锥的体积． 19. 如图，在平面四边形中，已知，，，线段上一点. （1）求的值； （2）若为线段的中点，求的值； （3）试确定点的位置，使得最小. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年度春学期四校期中联考试卷 高一数学 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案.不按以上要求作答无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若圆锥的轴截面是斜边为4的等腰直角三角形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆锥性质求出圆锥高、母线与底面半径关系，根据圆锥体体积公式求解. 【详解】设圆锥底面半径为，母线长为， 因为圆锥的轴截面是斜边为4的等腰直角三角形， 所以，所以， 圆锥的高， 所以圆锥的体积为. 故选：B. 2. 已知，，，则（ ）三点共线 A. A、B、D B. A、B、C C. B、C、D D. A、C、D 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算及平面向量共线定理对四个选项依次判断即可. 【详解】对于A，因为， 所以，所以A、B、D三点共线，故A正确； 对于B，因为，， 所以不存在，使得，所以A、B、C三点不共线，故B错误； 对于C，因为，， 所以不存在，使得，所以B、C、D三点不共线，故C错误； 对于D，因为，， 所以不存在，使得，所以A、C、D三点不共线，故D错误. 故选：A. 3. 已知，，若，则实数t的值为（ ） A. 5 B. 2 C. －1 D. －3 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量垂直充要条件列出关于实数t的方程，解之即可求得实数t的值. 【详解】由，，可得， 则由，可得，解之得 故选：D 4. “巍然古塔耸西城，炮弹横遭削不平”，诗句描述的就是位于江苏省无锡市江阴市西横街的兴国寺塔，兴国寺塔已成为江阴人民不屈不挠精神的象征，某数学兴趣小组成员为测量该塔的高度，在塔底的同一水平面上的两点处进行测量，如图.已知在A处测得塔顶的仰角为60°，在处测得塔顶的仰角为45°，米，，则该塔的高度（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 60米 【答案】B 【解析】 【分析】根据仰角的定义及锐角三角函数求得，，结合余弦定理运算求解即可. 【详解】由题意可知，，， 设米， 在中，米， 在中，米， 由余弦定理可得， 即，解得， 因为米，所以米. 故选：B 5. 已知，，则在上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据在上的投影向量是计算即可解决. 【详解】由题知，， 所以， 设与夹角为， 所以在上的投影向量是. 故选：B 6. 正方体中，为的中点，则直线与直线所成角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正方体的性质，通过平行至相交直线所成角，再利用余弦定理即可求解. 【详解】 如图，设为底面中心，为上底面中心，易得， 所以异面直线与所成的角就是或其补角， 设正方体的棱长为，可得，，， 由余弦定理得：， 所以，异面直线与所成的角是， 故选：C. 7. 已知正方体的体积为，点在线段上，点异于点，，点在线段上，且，若平面截正方体所得的截面为四边形，则线段长的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出辅助线，得到面面平行，进而得到随着的增大，增大，作出图形，得到当与重合时，最大，由几何关系求出此时，求出答案. 【详解】要想平面截正方体所得的截面为四边形， 则要平面分别与正方形分别交于， 显然与正方形无交线，只需保证与正方形无交线即可， 因为平面平面，面与两个平面分别交于， 由面面平行的性质可得， 因为点在线段上，且， 由几何关系知，随着的增大，增大， 故当与重合时，最大， 因为正方体的体积为，所以正方体棱长为1， 连接，延长相交于点，连接，， 如图所示，由于，故∽， 故，故最长为，故. 故选：D 8. 已知中，，，，则边的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 2＋ D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用，求得a，c关系，再利用构造出a，c的不等关系，进而求得边的最小值. 【详解】中，，， 则，则， 则，整理得， 又中，，则， 整理得， 又， 代入整理得，解之得. 故的最小值为3. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知空间中两条不同的直线和两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据线面平行的判定判断选项A；根据面面平行的性质以及线面平行的定义判断选项B；根据线面垂直的定义判断选项C；根据线面平行结合线线位置关系判断选项D. 【详解】对于选项A：若，则或，故A错误； 对于选项B：若，则m与平面无公共点，故，故B正确； 对于选项C：若，则m垂直于内的任一条直线，所以，故C正确； 对于选项D：若，则或异面，故D错误； 故选：BC. 10. 八卦是中国文化的基本哲学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形，其中给出下列结论正确的是（ ） A. 与的夹角为 B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正八边形的特征，结合向量的线性运算及向量数量积的定义逐一分析运算即可. 【详解】对A，因为八边形为正八边形，所以， 所以与的夹角为，故A正确； 对B，由于四边形不是平行四边形，所以，故B错误； 对C，，所以，， 所以，故C正确； 对D，因为， 所以，故D正确. 故选：ACD 11. 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则下列命题正确的是（ ） A. B. 的周长为 C. 的面积为 D. 的外接圆半径为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据已知化简可得出.分类讨论根据以及，结合正弦定理以及余弦定理可求出的值，即可判断A、B、C项；根据正弦定理，即可求出外接圆半径. 【详解】由可得，. 对于A项，若，则满足， 此时，由正弦定理可知，所以； 若，则，此时有， 由正弦定理可知，所以. 综上所述，或，故A项错误； 对于B项，当时，由，， 由余弦定理可得，， 所以，，解得，， 的周长为； 同理，当时，有，，的周长为. 综上所述，的周长为，故B项正确； 对于C项，由B可知，，，或，. 当时，由正弦定理可知，， 所以，，； 同理可得，当时，，. 综上所述，，故C正确； 对于D项，设外接圆的半径为， 由正弦定理可知，，所以，故D项错误. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图是一个正四棱台，已知正四棱台上、下底面的边长分别为和，体积为，则此正四棱台的高为__________ 【答案】 【解析】 【分析】设此正四棱台的高为，根据棱台的体积公式计算可得. 【详解】设此正四棱台的高为，又正四棱台的上、下底面的边长分别为和， 由正四棱台的体积，解得. 故答案为： 13. 已知平行四边形中，，，．若点满足，点为中点，则__________ 【答案】 【解析】 【分析】用平面向量基本定理即和都用和表示，即可得出的值. 【详解】 由题意可得： . 故答案为：. 14. 在中，角、、所对的边分别为、、，，的平分线交于点，且，则的最小值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用等面积法可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】由题意可知，， 由角平分线性质和三角形面积公式得， 化简得，， 因此， 当且仅当时取等号，则的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知是同一平面内的三个向量，. （1）若为单位向量，且，求的坐标； （2）若，且与垂直，求与夹角. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）用公式即可求的坐标； （2）与垂直，则数量积为０，将已知条件代入计算即可． 【小问1详解】 根据题意，，则知，则， 则或 【小问2详解】 因为与垂直，则， 又，，所以，得， 所以，又，故． 16. 如图所示，已知P是▱ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PAD∩平面PBC=l. 求证:（1）l∥BC; （2）MN∥平面PAD. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）先由BC∥AD证明BC∥平面PAD，再结合平面PBC∩平面PAD=l，由线面平行推出线线平行，即得证； （2）取PD的中点E，连接AE，NE，可证明四边形AMNE是平行四边形，即 MN∥AE，由线线平行推线面平行，即得证 【详解】（1）∵▱ABCD ∴BC∥AD， 又BC平面PAD，平面PAD ∴BC∥平面PAD. 又∵平面PBC∩平面PAD=l， 平面PBC ∴l∥BC. （2）如图，取PD的中点E，连接AE，NE. 则NE∥CD，且NE=CD， 又AM∥CD，且AM=CD， ∴NE∥AM，且NE=AM. ∴四边形AMNE是平行四边形.∴MN∥AE. 又∵AE⊂平面PAD，MN平面PAD， ∴MN∥平面PAD. 17. 记的内角的对边分别为，且. （1）求； （2）若，面积为，求的周长 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理实现边角互化，再结合三角形内角和定理和诱导公式可求角. （2）由三角形面积公式和角，可求的值，再结合余弦定理可求，即可得三角形的周长. 【小问1详解】 由 又得 其中 化简得 又得. 即 因为是三角形的内角，所以. 【小问2详解】 由，得， 由余弦定理，得， 得，得， 所以的周长为． 18. 如图，在多面体中，平面，四边形正方形，． （1）求直线与平面所成角的余弦值； （2）证明：平面； （3）求三棱锥的体积． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先证明，再证明，找到直线与平面所成角，据此即可求解； （2）证明，求出和，证明，，，据此即可求解； （3）根据（2）找到三棱锥的高，据此即可求解. 【小问1详解】 因为平面，平面， 所以，因为为正方形， 所以，又，平面， 所以，故就是直线与平面所成角， 中，易得， 所以，， 所以直线与平面所成角的余弦值为 ； 【小问2详解】 因为平面平面， 所以，因为， 所以四边形为直角梯形，所以， 在中，，则， 故，因为平面平面， 所以，在中，， 在中，， 所以，由（1）知， 又平面， 所以平面； 【小问3详解】 设三棱锥的高为，则， 由（2）得，平面，所以三棱锥的高即为， ，又在中，， 所以，， 所以. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于（3）中根据（2）找到三棱锥的高. 19. 如图，在平面四边形中，已知，，，为线段上一点. （1）求的值； （2）若为线段的中点，求的值； （3）试确定点的位置，使得最小. 【答案】（1） （2） （3）时，最小 【解析】 分析】（1）根据平面向量夹角公式计算即可； （2）将向量转化为已知向量等，进行运算； （3）法一：设()，利用基底法计算，结合二次函数求最值； 法二：建立平面直角坐标系，设()，利用数量积的坐标运算，再求最值. 【小问1详解】 ，，，， ，， ， ； 【小问2详解】 【小问3详解】 法一：设()，则， ， 当时，即时，最小. 法二：建立如图平面直角坐标系，则，， ，， 设()，则， 当时，即时，最小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$