1.1.3 集合间的运算教案-2023-2024学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

授课主题 集合间的运算 教学目标 1． 理解集合交集，并集、补集的概念， 2． 会求交集并集补集． 3．能用交集并集、补集的知识解决集合问题 教学重难点 重点：交集、并集、补集 难点：交并补的混合运算 教学内容 集合间的运算 【知识梳理】 知识点一 并集 并集的概念：一般地，对于两个给定的集合，由，两个集合的所有元素构成的集合， 叫做的 ，记作 ，读作“并”。 数学符号表示：A∪B=｛x | x∈A，或x∈B｝． Venn图表示： 注意：对任意两个集合A、B，都有 （1） （2） A∪BA，A∪BB （3） ； （4） （5） 如果则。 知识点二 交集 交集的概念：一般地，对于两个给定的集合，由属于又属于的所有元素构成的集合，叫做的交集，记作 ，读作“交”。 数学符号表示：A∩B=｛x | x∈A且x∈B｝． Venn图表示： 注意：对任意两个集合A、B，都有 （1） ； （2） AA∩B，BA∩B; （3） ； （4） ； （5） 如果则。 知识点三 补集 全集的概念：如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为 ，通常用 来表示。 补集的概念：如果给定集合是全集的一个子集，由中不属于的所有元素构成的集合，叫做在中的 ，记作 ，读作“在中的补集”。 数学符号表示：A=｛x | x∈U且xA｝． Venn图表示： 说明：补集的概念必须要有全集的限制。 注意：对任意两个集合A、B，都有 （1）（CUA）∪A=U，（CUA）∩A= （2）（CUA）∩（CUB）= CU(A∪B) （3）（CUA）∪（CUB）= CU(A∩B) 【典型例题】 考点一　并集的计算 【例1】已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{x∈N|x＜1}，则A∪B═（　　） A．{0} B．{﹣1，0} C．{﹣1，0，1} D．（﹣∞，1） 【解析】B＝{x∈N|x＜1}＝{0}， A∪B＝{﹣1，0，1}∪{0}＝{﹣1，0，1}． 故选：C． 【例2】已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|x＞1}，则A∪B＝（　　） A．（﹣1，1） B．（1，2） C．（﹣1，+∞） D．（1，+∞） 【解析】∵A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|x＞1}， ∴A∪B＝{x|﹣1＜x＜2}∪{x|x＞1}＝（﹣1，+∞）．故选：C． 【变式训练】 1.已知集合M＝{x|x＞3}，N＝{x|x2﹣7x+10≤0}，则M∪N＝（　　） A．[2，3） B．（3，5] C．（﹣∞，5] D．[2，+∞） 【解析】已知N＝{x|x2﹣7x+10≤0}，求解不等式x2﹣7x+10≤0，得；2≤x≤5，即N＝{x|2≤x≤5}， 所以M∪N＝{x|x＞3}∪{x|2≤x≤5}＝{x|x≥2}即M∪N＝{x|x≥2}故选：D． 2．设集合A＝{x|x∈Z且﹣8≤x≤﹣1}，B＝{x|x∈Z且|x|≤5}，则A∪B中元素的个数为（　　） A．9 B．8 C．13 D．14 【解析】A＝{x|x∈Z且﹣8≤x≤﹣1}＝{﹣8，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1}， B＝{x|x∈Z且|x|≤5}＝{﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5}， 则A∪B＝{﹣8，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5}，共14个元素，故选：D． 3．若集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|x2﹣4x≤0}，则A⋃B＝（　　） A．（0，4） B．（0，4] C．（0，+∞） D．[0，+∞） 【解析】A＝{x|x＞0}＝（0，+∞），由B中不等式变形得：x（x﹣4）≤0，解得：0≤x≤4，即B＝[0，4]， 则A∪B＝[0，+∞），故选：D． 考点二　交集的运算 【例3】已知集合A＝{x|x＜1}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝（　　） A．{0} B．{1} C．{0，1} D．{0，1，2} 【解析】∵A＝{x|x＜1}，B＝{0，1，2}；∴A∩B＝{0}．故选：A． 【例4】设集合S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}，T＝{x|x>0}，则S∩T＝(　　) A．[2,3] B．(－∞，2]∪[3，＋∞) C．[3，＋∞) D．(0,2]∪[3，＋∞) 【解析】S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}＝{x|x≤2或x≥3}，在数轴上表示出集合S，T，如图所示： 由图可知S∩T＝(0,2]∪[3，＋∞)，故选D. 【答案】D 【变式训练】 1．已知集合A＝{x|x2＝1}，B＝{x|x2+x﹣2＜0，x∈Z}，则A∩B＝（　　） A．{﹣1} B．{1} C．{﹣1，1} D．{﹣1，0，1} 【解析】集合集合A＝{x|x2＝1}＝{﹣1，1}，集合B＝{x|x2+x﹣2＜0，x∈Z}＝{x|﹣2＜x＜1，x∈Z}＝{﹣1，0 }，则A∩B＝{﹣1}．故选：A． 2．已知集合A＝{（x，y）|y＝x+1，x∈R}，集合B＝{（x，y）|y＝x2，x∈R}，则集合A∩B的子集个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】集合A＝{（x，y）|y＝x+1，x∈R}，集合B＝{（x，y）|y＝x2，x∈R}， 由题意得，直线y＝x+1与抛物线y＝x2有2个交点，故A∩B的子集有：22＝4个．故选：D． 3．设集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|2﹣x＞0}则A∩B＝（　　） A．[﹣3，2） B．（2，3] C．[﹣1，2） D．（﹣1，2） 【解析】∵集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}＝{x|﹣1≤x≤3}，B＝{x|2﹣x＞0}＝{x|x＜2}， ∴A∩B＝{x|﹣1≤x＜2}＝[﹣1，2）．故选：C． 考点三　补集的运算 【例5】已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣3x+2≥0}，则∁RA＝（　　） A．（1，2） B．[1，2] C．（﹣∞，1]∪[2，+∞） D．（﹣∞，1）∪（2，+∞） 【解析】∵A＝{x|x2﹣3x+2≥0}，∴∁RA＝{x|x2﹣3x+2＜0}＝{x|1＜x＜2}＝（1，2）．故选：A． 【例6】已知集合A＝{x|x2≤4}，B＝{x|1≤x≤2}，则∁AB＝（　　） A．{x|x≤﹣2} B．{﹣2，﹣1，0} C．{x|﹣2≤x＜1} D．{x|0＜x＜2} 【解析】A＝{x|x2≤4}＝{x|﹣2≤x≤2}，则∁AB＝{x|﹣2≤x＜1}，故选：C． 【变式训练】 1.设集合U＝{x∈N|x2﹣4x﹣5≤0}，A＝{1，2，4}，则∁UA＝（　　） A．{3} B．{0，3，5} C．{3，5} D．{0，3} 【解析】根据题意，集合U＝{x∈N|x2﹣4x﹣5≤0}＝{0，1，2，3，4，5}， 又由A＝{1，2，4}，则∁UA＝{0，3，5}；故选：B． 2．已知全集U＝{x|x≥0}，A＝{x|x≥1}，则∁UA＝（　　） A．φ B．{x|x＜1} C．{x|0≤x＜1} D．{x|x≥0} 【解析】∵U＝{x|x≥0}，A＝{x|x≥1}；∴∁UA＝{x|0≤x＜1}．故选：C． 3．设全集U＝{x|1＜x＜3}，集合A＝{x|1＜x＜2}，则∁UA＝（　　） A．{x|1＜x＜2} B．{x|1＜x≤2} C．{x|2＜x＜3} D．{x|2≤＜x＜3} 【解析】∵U＝{x|1＜x＜3}，A＝{x|1＜x＜2}；∴∁UA＝{x|2≤x＜3}．故选：D． 4．设全集U＝{x∈Z|（x+1）（x﹣3）≤0}，集合A＝{0，1，2}，则∁UA＝（　　） A．{﹣1，3} B．{﹣1，0} C．{0，3} D．{﹣1，0，3} 【解析】全集U＝{x∈Z|（x+1）（x﹣3）≤0）＝{x∈Z|﹣1≤x≤3）}＝{﹣1，0，1，2，3}， 集合A＝{0，1，2}，则∁UA＝{﹣1，3}，故选：A． 考点四 混合运算 【例7】已知集合A＝{x|x﹣1＞0}，B＝{0，1，2，3}，则（∁RA）∩B＝（　　） A．{2，3} B．{0} C．{0，2，3} D．{0，1} 【解析】A＝{x|x＞1}；∴∁RA＝{x|x≤1}；∴（∁RA）∩B＝{0，1}．故选：D． 【例8】已知全集U＝{1，3，5，7}，集合A＝{1，3}，B＝{3，5}，则（∁UA）∩（∁UB）＝（　　） A．{3} B．{7} C．{3，7} D．{1，3，5} 【解析】由题可得∁UA＝{5，7}，∁UB＝{1，7}，所以（∁UA）∩∁UB＝{7}，故选：B． 【变式训练】 1.设集合A＝{﹣1，1，2，3，5}，B＝{2，3，4}，C＝{x∈R|1≤x＜3}，则（A∩C）∪B＝（　　） A．{2} B．{2，3} C．{﹣1，2，3} D．{1，2，3，4} 【解析】设集合A＝{﹣1，1，2，3，5}，C＝{x∈R|1≤x＜3}，则A∩C＝{1，2}， ∵B＝{2，3，4}，∴（A∩C）∪B＝{1，2}∪{2，3，4}＝{1，2，3，4}；故选：D． 2．已知集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|x≥﹣2}，则∁R（A∩B）＝（　　） A．{x|x＜﹣2} B．{x|x≥1} C．{x|x＜﹣2或x≥1} D．{x|x≤﹣2或x＞1} 【解析】根据题意，集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|x≥﹣2}，则A∩B＝{x|﹣2≤x＜1}，则∁R（A∩B）＝{x|x＜﹣2或x≥1}；故选：C． 3．已知R是实数集，集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{x|2x﹣1≥0}，则A∩（∁RB）＝（　　） A． B． C．{1} D．{﹣1，0} 【解析】因为，所以∁RB＝{x|x＜}．又A＝{﹣1，0，1}，所以A∩（∁RB）＝{﹣1，0}．故选：D．. 随堂练习 1．设集合，则 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，故选A. 【总结】集合的基本运算的关注点： （1）看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提． （2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决． （3）注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图． 2．已知集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，则中元素的个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】由题意可得，故中元素的个数为2，所以选B. 3．设集合，则 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，故选B． 4．设集合，．若，则 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由得，即是方程的根，所以，，故选C． 【总结】集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．两个防范：①不要忽视元素的互异性；②保证运算的准确性． 5．已知集合A=，B=，则 A．AB= B．AB C．AB D．AB=R 【答案】A 【解析】由得，所以，选A． 【总结】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理． 6．已知集合A=，B=，则AB中元素的个数为 A．3 B．2 C．1 D．0 【总结】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性. 7．已知集合，，若，则实数的值为 ▲ ． 【答案】1 【解析】由题意，显然，所以，此时，满足题意，故答案为1． 【总结】（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件． （2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误． （3）防范空集．在解决有关等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑时是否成立，以防漏解． ( 6 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 授课主题 集合间的运算 教学目标 1． 理解集合交集，并集、补集的概念， 2． 会求交集并集补集． 3．能用交集并集、补集的知识解决集合问题 教学重难点 重点：交集、并集、补集 难点：交并补的混合运算 教学内容 集合间的运算 【知识梳理】 知识点一 并集 并集的概念：一般地，对于两个给定的集合，由，两个集合的所有元素构成的集合， 叫做的 ，记作 ，读作“并”。 数学符号表示：A∪B=｛x | x∈A，或x∈B｝． Venn图表示： ( A∪B A B A ) 注意：对任意两个集合A、B，都有 （1） （2） A∪BA，A∪BB （3） ； （4） （5） 如果则。 知识点二 交集 交集的概念：一般地，对于两个给定的集合，由属于又属于的所有元素构成的集合，叫做的交集，记作 ，读作“交”。 数学符号表示：A∩B=｛x | x∈A且x∈B｝． Venn图表示： 注意：对任意两个集合A、B，都有 （1） ； （2） AA∩B，BA∩B; （3） ； （4） ； （5） 如果则。 知识点三 补集 全集的概念：如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为 ，通常用 来表示。 补集的概念：如果给定集合是全集的一个子集，由中不属于的所有元素构成的集合，叫做在中的 ，记作 ，读作“在中的补集”。 数学符号表示：． Venn图表示： 说明：补集的概念必须要有全集的限制。 注意：对任意两个集合A、B，都有 （1）（CUA）∪A=U，（CUA）∩A= （2）（CUA）∩（CUB）= CU(A∪B) （3）（CUA）∪（CUB）= CU(A∩B) 【典型例题】 考点一　并集的计算 【例1】已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{x∈N|x＜1}，则A∪B═（　　） A．{0} B．{﹣1，0} C．{﹣1，0，1} D． 【例2】已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|x＞1}，则A∪B＝（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】已知集合M＝{x|x＞3}，N＝{x|x2﹣7x+10≤0}，则M∪N＝（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】设集合A＝{x|x∈Z且﹣8≤x≤﹣1}，B＝{x|x∈Z且|x|≤5}，则A∪B中元素的个数为（　　） A．9 B．8 C．13 D．14 【变式训练3】若集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|x2﹣4x≤0}，则A⋃B＝（　　） A． B． C． D． 考点二　交集的运算 【例3】已知集合A＝{x|x＜1}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝（　　） A．{0} B．{1} C．{0，1} D．{0，1，2} 【例4】设集合S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}，T＝{x|x>0}，则S∩T＝(　　) A． B． C． D． 【变式训练1】已知集合A＝{x|x2＝1}，B＝{x|x2+x﹣2＜0，x∈Z}，则A∩B＝（　　） A．{﹣1} B．{1} C．{﹣1，1} D．{﹣1，0，1} 【变式训练2】已知集合A＝{（x，y）|y＝x+1，x∈R}，集合B＝{（x，y）|y＝x2，x∈R}，则集合A∩B的子集个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练3】设集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|2﹣x＞0}则A∩B＝（　　） A． B． C． D． 考点三　补集的运算 【例5】已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣3x+2≥0}，则∁RA＝（　　） A． B． C． D． 【例6】已知集合A＝{x|x2≤4}，B＝{x|1≤x≤2}，则＝（　　） A．{x|x≤﹣2} B．{﹣2，﹣1，0} C．{x|﹣2≤x＜1} D．{x|0＜x＜2} 【变式训练1】设集合U＝{x∈N|x2﹣4x﹣5≤0}，A＝{1，2，4}，则＝（　　） A．{3} B．{0，3，5} C．{3，5} D．{0，3} 【变式训练2】已知全集U＝{x|x≥0}，A＝{x|x≥1}，则＝（　　） A． B．{x|x＜1} C．{x|0≤x＜1} D．{x|x≥0} 【变式训练3】设全集U＝{x|1＜x＜3}，集合A＝{x|1＜x＜2}，则＝（　　） A．{x|1＜x＜2} B．{x|1＜x≤2} C．{x|2＜x＜3} D．{x|2≤x＜3} 【变式训练4】设全集U＝{x∈Z|（x+1）（x﹣3）≤0}，集合A＝{0，1，2}，则＝（　　） A．{﹣1，3} B．{﹣1，0} C．{0，3} D．{﹣1，0，3} 考点四 混合运算 【例7】已知集合A＝{x|x﹣1＞0}，B＝{0，1，2，3}，则（∩B＝（　　） A．{2，3} B．{0} C．{0，2，3} D．{0，1} 【例8】已知全集U＝{1，3，5，7}，集合A＝{1，3}，B＝{3，5}，则（）∩（）＝（　　） A． {3} B．{7} C．{3，7} D．{1，3，5} 【变式训练1】设集合A＝{﹣1，1，2，3，5}，B＝{2，3，4}，C＝{x∈R|1≤x＜3}，则（A∩C）∪B＝（　　） A．{2} B．{2，3} C．{﹣1，2，3} D．{1，2，3，4} 【变式训练2】已知集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|x≥﹣2}，则＝（　　） A．{x|x＜﹣2} B．{x|x≥1} C．{x|x＜﹣2或x≥1} D．{x|x≤﹣2或x＞1} 【变式训练3】已知R是实数集，集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{x|2x﹣1≥0}，则A∩（）＝（　　） A． B． C．{1} D．{﹣1，0} 随堂练习 1．设集合，则 （ ） A． B． C． D． 2．已知集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，则中元素的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．设集合，则（ ） A． B． C． D． 4．设集合，．若，则（ ） A． B． C． D． 5．已知集合A=，B=，则（ ） A．AB= B．AB C．AB D．AB=R 6．已知集合A=，B=，则AB中元素的个数为（ ） A．3 B．2 C．1 D ．0 7．已知集合，，若，则实数的值为 ． ( 11 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$