精品解析：江苏省扬州市竹西中学2023-2024学年八年级下学期5月月考数学试题

初二学科素养体验 数学学科 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列各组线段中是成比例线段的是（ ） A. B. C D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 相似三角形一定不是全等三角形 B. 两个菱形一定相似 C. 有一个角等于的两个等腰三角形相似 D. 有一个角等于的两个等腰三角形相似 4. 按如图所示的运算程序，若输入数字“9”，则输出的结果是 A. 7 B. 11﹣6 C. 1 D. 11﹣3 5. 如图，是边上一点，连接，则添加下列条件后，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 6. 我们把形如（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如＋1是型无理数，则是（ ） A. 型无理数 B. 型无理数 C. 型无理数 D. 型无理数 7. 已知直角三角形的周长为，斜边为4，则该三角形的面积是（　　） A. 2 B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，OABC的边OA在y轴的正半轴上，反比例函数的图像分别交AB于中点D．交OC于点E，且，连接AE，DE，若，则k的值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．） 9. 如果代数式有意义，那么x的取值范围是________． 10 已知，则________． 11. 在函数（为常数）的图象上有三点，，，则，，的大小关系是______．（用表示） 12. 在比例尺为的地图上，相距的两地的实际距离为______． 13. 直线＝，如图所示，化简：= ________． 14. 已知线段，点是线段的黄金分割点（），则线段的长为______． 15. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点，，都在横线上，若线段，则线段的长是______． 16. 公元3世纪，我国古代数学家就能利用近似公式得到无理数的近似值，例如：化为，再由近似公式得到，若利用此公式计算的近似值时，取正整数，且取尽可能大的正整数，则____________． 17. 如图，矩形的顶点在的图象的一个分支上，点和点在边上，，连接，轴，则的值为______． 18. 任意一个二次根式（为正整数），都可以进行这样的分解：（都是正整数，且），在的所有这种分解中，若最小，我们就称是的最佳分解，并记为：．例如可以分解成或，显然是的最佳分解，此时．若正整数满足，，且，则的值为______． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 已知，与成反比例，与成正比例，且当时，；当时，，求与之间的函数关系式． 22. 如图，已知AB∥DC，点E、F在线段BD上，AB＝2DC，BE＝2DF． （1）求证：△ABE∽△CDF． （2）若BD＝8，DF＝2，求EF的长． 23. 如图，正方形网格中每个小正方形的边长都为1，每小格的顶点叫格点： （1）计算：图1中直角三角形斜边上的高． （2）以格点为顶点，你能做出边长分别是3，，的三角形吗？若能，请你在图2上做出来． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的两点，与轴交于点，点的坐标为，轴，且，． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）直接写出不等式的解集； （3）是轴上一点，若的面积是的面积的2倍，求点的坐标． 25. （1）如图1，仅用无刻度直尺在上找一点，使． （2）如图2，点为的边的延长线上一点，请用尺规作图法在的延长线上求作一点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 26. 观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题． （1）写出第4个等式：______． （2）写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示）． （3）请用（2）中发现的规律计算：． 27. 阅读理解：若，，由，得，当且仅当时取到等号．利用这个结论，我们可以求一些式子的最小值． 例如：已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为． 请根据上面材料回答下列问题： （1）当时，式子最小值为______（直接写出答案）； 若，有最小值，最小值______； 若，当______时，有最______值； （2）如图1，用篱笆围一个面积为平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长米，篱笆周长指不靠墙的三边之和），这个长方形的长、宽各为多少米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少米？ （3）如图2，已知点在反比例函数的图像上，点在反比例函数的图像上，且轴，过点作轴于点，过点作轴于点．四边形的周长是否存在最小值？若存在，求出其最小值，并写出此时点的坐标；若不存在，说明理由． 28. 平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为（其中为常数，且），则称点为点的“关联点”． （1）求点的“关联点”的坐标； （2）若为正整数，点的“关联点”的坐标为，求出及点的坐标； （3）如图，点的坐标为，点在函数的图象上运动，且点是点的“关联点”，求线段的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 初二学科素养体验 数学学科 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、＝＝2，被开方数中含能开得尽方因数，不是最简二次根式，不符合题意； C、＝＝，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； D、＝1，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，被开方数中不含分母，也不含开方开得尽的因数或因式，这样的二次根式叫最简二次根式，熟练掌握其定义是解题的关键． 2. 下列各组线段中是成比例线段的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了线段成比例的运用，掌握线段成比例的计算方法是解题的关键． 根据线段成比例，进行即可比较即可求解． 详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，线段成比例，符合题意； D、，不符合题意；   故选：C ． 3. 下列说法正确的是（ ） A. 相似三角形一定不全等三角形 B. 两个菱形一定相似 C. 有一个角等于的两个等腰三角形相似 D. 有一个角等于的两个等腰三角形相似 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法即可求解． 根据相似三角形的判定方法即可求解． 【详解】解：A、相似三角形一定是全等三角形，原选项错误，不符合题意； B、两个菱形不一定相似，原选项错误，不符合题意； C、有一个角等于 的两个等腰三角形相似 如图所示，中，，中，，， 两个三角形不相似，故原选项错误； D、有一个角等于 的两个等腰三角形相似 如图所示，中，中，， ∴，， ∴， ∴， ∴原选项正确，符合题意；   故选：D ． 4. 按如图所示的运算程序，若输入数字“9”，则输出的结果是 A. 7 B. 11﹣6 C. 1 D. 11﹣3 【答案】A 【解析】 【分析】利用运算程序计算即可． 【详解】9÷3-=3-＞1， （3-）（3+）=9-2=7． 故选A． 【点睛】考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 5. 如图，是边上一点，连接，则添加下列条件后，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查添加条件证明三角形相似．根据相似三角形的判定方法（两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例或两角对应相等的两个三角形相似），逐一进行判断是解题的关键． 【详解】A．当时，再由，可得出，故此选项不符合题意； B．当时，再由，可得出，故此选项不符合题意； C．当时，再由，无法判定，故此选项符合题意； D．当，即时，再由，可得出，故此选项不符合题意． 故选C． 6. 我们把形如（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如＋1是型无理数，则是（ ） A. 型无理数 B. 型无理数 C. 型无理数 D. 型无理数 【答案】A 【解析】 【分析】先利用完全平方公式计算，再化简得到原式=9﹣6，然后利用新定义对各选项进行判断． 【详解】解：（）2 ＝3﹣2××+6 ＝9﹣2 ＝9﹣2×3 ＝9﹣6， 故选：A． 【点睛】本题考查了最简二次根式：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．也考查了无理数． 7. 已知直角三角形的周长为，斜边为4，则该三角形的面积是（　　） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查二次根式及完全平方公式的应用，在解题过程中，应了解直角三角形的一些特殊性质，在进行求解的时候使问题变得简单． 根据直角三角形的周长和勾股定理，可求得两直角边的长以及长的乘积，由此可求出这个三角形的面积． 【详解】解：设两直角边分别为a，b， 斜边为4， ， 直角三角形的周长为， ， ， ， ， ， 所以三角形的面积是， 故选：C． 8. 如图，在平面直角坐标系中，OABC边OA在y轴的正半轴上，反比例函数的图像分别交AB于中点D．交OC于点E，且，连接AE，DE，若，则k的值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接BE，延长BC交x轴于H，过E作EG⊥x轴于G，DF⊥x轴于F，由点D为AB中点，可得AD=BD=AB，由， 可求S平行四边形AOCB =2S△AEB=2，设D (a，)，则OF=a，FH=OF=a， OH=2a，OA=，由CE：OE=1：2，可求，由EG∥CH，可证△OGE∽△OHC，可求，求出E，由点E在反比例函数图像上得，解得k． 【详解】解：连接BE，延长BC交x轴于H，过E作EG⊥x轴于G，DF⊥x轴于F，点D为AB中点， ∵点D为AB的中点， ∴AD=BD=AB，OF=FH， ∵， ∴S△AEB=2S△AED=1， ∴S平行四边形AOCB =2S△AEB=2， 设D (a，)，则OF=a，FH=OF=a， OH=2a，OA=， ∵CE：OE=1：2， ∴， ∴， ∴， ∵EG∥CH， ∴∠OEG=∠OCH，∠OGE=∠OHC=90°， ∴△OGE∽△OHC， ∴， ∴， 由梯形中位线2FD=OA+HB=2OA+CH， ∴CH=2FD-2OA=，， ∴E， 点E在反比例函数图像上，， 解得k=， 故选：D． 【点睛】本题考查平行四边形性质，梯形中位线，相似三角形判定与性质，利用点E坐标在反比例函数图像上构造方程是解题关键． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．） 9. 如果代数式有意义，那么x的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数． 根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解． 【详解】解：由题意可知：， 且， 故答案为：且． 10. 已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据比例的性质得到a=2b，再代入原式可得结果． 【详解】解：∵， ∴a=2b，代入， =， 故答案为：． 【点睛】本题考查了比例的基本性质，解题的关键是掌握比例的基本性质，细心计算． 11. 在函数（为常数）的图象上有三点，，，则，，的大小关系是______．（用表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象的增减性是解题的关键． 根据反比例函数的比例系数可确定反比例函数的增减性，由此即可求解． 【详解】解：反比例函数中，， ∴， ∴反比例函数的图象，在每个象限随的增大而减小， 当时，；当时，； ∵， ∴， 故答案为： ． 12. 在比例尺为的地图上，相距的两地的实际距离为______． 【答案】75 【解析】 【分析】本题考查比例尺，比例尺图上距离与实际距离的比，由此即可计算． 【详解】解：． ∴两地A、B的实际距离为， 故答案为：75． 13. 直线＝，如图所示，化简：= ________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数的性质，求出、的取值范围，再根据绝对值的性质和二次根式的定义将原式化简即可． 【详解】解：根据一次函数的图象，可知， ∴ 则， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质和根据二次根式的意义化简．二次根式规律总结：当时，，当时，． 14. 已知线段，点是线段的黄金分割点（），则线段的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割点，线段成比例的计算，公式法解一元二次方程，掌握黄金分割点的计算方法是解题的关键． 【详解】解：如图所示，设，则， ∵点是线段的黄金分割点， ∴， ∴，整理得， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ． 15. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点，，都在横线上，若线段，则线段的长是______． 【答案】9 【解析】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例．根据题意得出是解题的关键． 【详解】解：∵各条平行线间距离相等， ∴， ∵， ∴，解得：， 故答案为：9． 16. 公元3世纪，我国古代数学家就能利用近似公式得到无理数的近似值，例如：化为，再由近似公式得到，若利用此公式计算的近似值时，取正整数，且取尽可能大的正整数，则____________． 【答案】4.125 【解析】 【分析】先把化为，再根据近似公式得出，然后进行计算即可得出答案． 【详解】解：根据题意得：化为， 由近似公式得到 故答案：． 【点睛】本题考查了无理数的估算，熟练掌握近似公式是解题的关键． 17. 如图，矩形的顶点在的图象的一个分支上，点和点在边上，，连接，轴，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，掌握等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含特殊角的直角三角形的性质是解题的关键．作轴于点，与轴交于点，根据点坐标与几何图形的性质可得为等腰直角三角形，可证，可求出的值，由此可得点的坐标，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，设与轴交于点，过点作轴于点， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴，且， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴，且， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∴， 在中，， ∵，且轴， ∴，即是等腰直角三角形， ∵轴， ∴， ∴， ∴，且点在第二象限， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 故答案为： ． 18. 任意一个二次根式（为正整数），都可以进行这样的分解：（都是正整数，且），在的所有这种分解中，若最小，我们就称是的最佳分解，并记为：．例如可以分解成或，显然是的最佳分解，此时．若正整数满足，，且，则的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的新定义问题，解题的关键是理解题中所给的新定义运算；由题意可设，由可知，则有，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得： 由，可设：， ∵， ∴， ∵x、y都是正整数， ∴当取的正整数时，明显不符合题意，故x的值只能为1， ∴，即， ∴， ∴或2， 当时，则；当时，则； 故答案为或． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，掌握零次幂，负指数幂，二次根式的性质，乘法公式的运用是解题的关键． （1）根据零次幂，负指数幂，绝对值的性质，二次根式的性质先化简，再根据实数的混合运算即可求解； （2）运用乘法公式展开，再根据二次根式的混合运算即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算即可． 【详解】解：原式， 当时，原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值,二次根式的混合运算．掌握分式的混合运算顺序及运算法则是解题的关键． 21. 已知，与成反比例，与成正比例，且当时，；当时，，求与之间的函数关系式． 【答案】． 【解析】 【分析】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，根据与成反比例，与成正比例，得出函数关系式，进而求出即可，根据已知假设出函数解析式是解题的关键． 【详解】解：∵与成反比例， ∴设， ∵与成正比例， ∴设， ∵， ∴， 把和分别代入上式， 得， 解得， ∴与之间的函数关系式为. 22. 如图，已知AB∥DC，点E、F在线段BD上，AB＝2DC，BE＝2DF． （1）求证：△ABE∽△CDF． （2）若BD＝8，DF＝2，求EF的长． 【答案】（1）见解析；（2）EF＝2． 【解析】 【分析】（1）根据AB∥DC，可得∠B＝∠D，再由AB＝2DC，BE＝2DF，可得AB：DC＝BE：DF＝2，即可证得； （2）根据BE＝2DF，可得 ，即可求解． 【详解】（1）证明：∵AB∥DC， ∴∠B＝∠D， ∵AB＝2DC，BE＝2DF， ∴AB：DC＝BE：DF＝2， ∴△ABE∽△CDF； （2）解：∵BE＝2DF，DF＝2， ∴ , ∵BD＝8， ∴EF＝BD﹣DF﹣BE＝2． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似是解题的关键． 23. 如图，正方形网格中每个小正方形的边长都为1，每小格的顶点叫格点： （1）计算：图1中直角三角形斜边上的高． （2）以格点为顶点，你能做出边长分别是3，，的三角形吗？若能，请你在图2上做出来． 【答案】（1）；（2）能，见解析 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理不难求出AB的值，然后根据三角形的面积公式的不同表示方法，求出AB边上的高． （2）是边长为2的正方形的对角线，是长为2宽为1的矩形的对角线，3是3个小正方形的边长，所以存在这样的三角形． 【详解】解：（1）设斜边上的高为h， 根据勾股定理：AB2=AC2+BC2； ∴，； ∴． 解得； （2）能，作图如下： 【点睛】本题考查勾股定理的应用，二次根式的化简．能借助网格和勾股定理正确表示二次根式是解题关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的两点，与轴交于点，点的坐标为，轴，且，． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）直接写出不等式的解集； （3）是轴上一点，若的面积是的面积的2倍，求点的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，锐角三角函数，等腰三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键． （1）先求出点A坐标，进而求出反比例函数解析式，再求出点B坐标，最后将点A，B坐标代入直线解析式中，即可得出结论； （2）利用图象法判断即可； （3）求出点C的坐标，再根据已知条件可得，即可求解 【小问1详解】 解：轴，，， ， 点A在反比例函数的图象上 反比例函数的表达式为 点在反比例函数的图像上． 点 将，代入， 得， 解得 一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：由图象可知，的解集为或； 【小问3详解】 解：由（1）可知，一次函数表达式为 时， 点的坐标是 是轴上一点， 点的坐标为或． 25. （1）如图1，仅用无刻度的直尺在上找一点，使． （2）如图2，点为的边的延长线上一点，请用尺规作图法在的延长线上求作一点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）作图见详解 （2）作图见详解 【解析】 【分析】本题主要考查网格作平行线，作一个角等于已知角，掌握以上作图方法是解题的关键． （1）根据平行线分线段成比例即可求解； （2）根据作一个角等于已知角的方法即可求解． 【详解】解：（1）如图所示， ∵， ∴在线段上取一点，使得， 作交于点， ∵， ∴， ∴点即为所求点的位置； （2）使得， ∴若，且，即可求解， 根据作一个角等于已知角的方法作图如下， ∴点即为所求点的位置． 26. 观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题． （1）写出第4个等式：______． （2）写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示）． （3）请用（2）中发现的规律计算：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的规律探究，分式的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键． （1）由题意可得，第4个等式； （2）由题意知，第n个等式为； （3）根据，计算求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可得，第4个等式， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意知，第n个等式为； 【小问3详解】 解： ， ∴． 27. 阅读理解：若，，由，得，当且仅当时取到等号．利用这个结论，我们可以求一些式子的最小值． 例如：已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为． 请根据上面材料回答下列问题： （1）当时，式子的最小值为______（直接写出答案）； 若，有最小值，最小值为______； 若，当______时，有最______值； （2）如图1，用篱笆围一个面积为平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长米，篱笆周长指不靠墙的三边之和），这个长方形的长、宽各为多少米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少米？ （3）如图2，已知点在反比例函数的图像上，点在反比例函数的图像上，且轴，过点作轴于点，过点作轴于点．四边形的周长是否存在最小值？若存在，求出其最小值，并写出此时点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1），，，大 （2）长为米，宽为米，所有篱笆最短，最短的篱笆是米 （3）四边形的周长有最小值，最小值为， 【解析】 【分析】本题主要考查材料阅读，二次根式的性质，乘法公式的变形计算，反比例函数与几何图形的综合等知识，掌握二次根式的性质，理解实际问题中的数量关系，正确列式计算是解题的关键． （1）根据材料提示的计算方法即可求解； （2）设长为，则宽为，由此列式求解即可； （3）根据题意可得四边形是矩形，用含的式子表示出的长，并列式求解即可． 【小问1详解】 解：若，，由，得，当且仅当时取到等号， ∴当时，； ； 当时，， 则， ∵， ∴， ∴当时，取到最大值， ∴，即， ∴， ∵， ∴当时，有最大值； 故答案为：，，，大； 【小问2详解】 解：设篱笆围成长方形花园的长为米，则宽为米，则篱笆围成长方形面积为， ∴篱笆的周长为：， 当且仅当时取等号， ∴， 解得，， ∴宽为米，长为10米， ∴（米）， ∴当长为米，宽为米时，所用篱笆最短，最短的篱笆为米； 【小问3详解】 解：四边形的周长有最小值，最小值为，，理由如下， ∵轴，，轴， ∴四边形是矩形， ∴， 设， ∴，， ∴四边形的周长为， ∵，且时， ∴， 解得，， ∴， ∴四边形的周长存在最小值，当时有最小值，且为，此时． 28. 平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为（其中为常数，且），则称点为点的“关联点”． （1）求点的“关联点”的坐标； （2）若为正整数，点的“关联点”的坐标为，求出及点的坐标； （3）如图，点的坐标为，点在函数的图象上运动，且点是点的“关联点”，求线段的最小值． 【答案】（1） （2），或 （3）线段的最小值为 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的综合，理解题目中“关联点”的含义和计算方法，掌握反比例，一次函数交点的计算，全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据材料提示的计算方法即可求解； （2）设，且点的“关联点”的坐标为，由此列方程求解即可； （3）点是点的“关联点”，设，可表示点，可计算出点在直线的图象上，作图分析，过点作的垂线，根据垂线段最短可得点即为所求点的位置，根据题意可证，由此即可求解． 【小问1详解】 解：根据材料提示得，点的横坐标为，纵坐标为， ∴； 【小问2详解】 解：设，且点的“关联点”的坐标为， ∴，整理得，， 解得，， ∴， ∵为正整数， ∴当时，； 当时，； 当时，（不符合题意，舍去）； ∴或； 【小问3详解】 解：点是点的“关联点”，设， ∴点的横坐标为，纵坐标为，即， ∵点在函数的图象上运动， ∴，即， ∴, ∵， ∴，则， ∴点在直线的图象上， 根据题意，作直线的图象，与轴交于点，如图所示，过点作的垂线， 令时，；令时，； ∴，则， 在中，， ∵，且线段最短， ∴点即为所求点的位置，且，则， ∵， ∴， ∴，即, ∴，， ∴线段的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$