第六单元_第21课时_ 综合与实践（三）有趣的平衡（分层作业）数学人教版六年级下册

第六单元 第21课时 综合与实践（三） 分层作业 人教版 小学数学 六下 学校 班级 姓名 课题 有趣的平衡 1．选一根粗细均匀的竹竿（长约1米），在中点的位置打个小孔并拴上绳子，然后从中点开始向两边依次标上刻度，用相同的挂绳和珠子进行操作。右边在刻度4上挂上3个珠子，左边刻度6上应挂（    ）个珠子才能保持平衡。 A．2 B．3 C．4 D．5 2．有2克、3克和5克的砝码各一个，用其中的1个、2个或3个，放在天平的一端，能称出（    ）种不同的质量。 A．4 B．5 C．6 D．7 3．如图，左边口袋里放了4千克物体，右边口袋放（　　）千克的物体才能平衡？ A．4 B．6 C．8 D．10 4．下图中前两架天平保持平衡，根据图中的等量关系，你觉得第三架天平右面放（ ）个 才能平衡．   A．4 B．3 C．2 D．1 5．天平中的物体a、b、c使天平处于平衡状态，则物体a与物体c的质量关系是(　　)． A．2a＝3c B．4a＝9c C．a＝2c D．a＝c 6．有1克、2克、3克的砝码各一个，选其中的一个或几个，能在天平上直接称出　　种不同的质量的物体． A．3 B．4 C．6 D．7 7．如图所示，两个天平都平衡，则三个“”的重量等于多少个“”的重量（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．下表中a和b两个量成反比例关系，则是（    ）。 a 60 b 15 50 A．18 B．12.5 C．200 9．下面每题中的两种量，（    ）成反比例。 A．总价一定，单价和数量 B．小莉从学校回家，已走的路和剩下的路 C．当4a＝b时，a与b 10．如图，在平衡架的左侧已挂上了5个砝码，每个20克，在右侧第4格处必须挂( )克砝码才能使平衡架平衡。 11．如下图，支架是平衡的，右边应该放( )个同样的砝码。 12．图中的钩码一样重，杠杆的刻度均匀。 （1）两边各拿掉一个钩码，杠杆( )边会向下倾斜。 （2）两边各增加一个钩码，杠杆( )边会向下倾斜。 （3）把左边的2个钩码向左移动1个刻度，把右边的3个钩码向右移动1个刻度，杠杆( )边会向下倾斜。 13．如下图，有一个平衡支架，在支架左右两边不同的位置各挂了一个塑料袋。左边的塑料袋中装了4个质量相同的砝码，右边的塑料袋中装了( )个与左边同样的砝码，这样支架依然保持平衡。 14．填一填，使天平保持平衡。 15．用计算机打字，打字的速度一定时，打字的时间和总字数成( )比例；包装一批糖果，每袋所装颗数和所装袋数成( )比例。（填“正”或“反”） 16．一列高铁列车行驶的时间和路程如下表： 时间/时 1 2 3 4 5 6 路程/千米 300 600 900 1200 1500 1800 (1)写出两组路程与相对应时间的比( )、( )。 (2)这两组比的比值都是( )千米/时。 (3)如果用表示行驶的路程，表示行驶的时间，写出一个式子表示和的关系：( )，与成( )关系。 (4)如果这列高铁列车行驶了2.5小时，它大约能行驶( )千米。 17．同学们经常玩的跷跷板，有时能够达到左右平衡，就是应用了杠杆原理。像下图那样，用一根铁棍，在铁棍底下垫一块小石头，一个人能把一块大石头撬起来，这也是应用了杠杆原理。你还能举出一些生活中应用杠杆原理的例子吗？ 18．科学课上，老师带领同学们学习了杠杆的科学小知识。课堂上，老师将一根质地均匀的米尺从中点0挂起（如图所示）。 右边刻度3处挂3个砝码，左边刻度3处挂3个砝码可以保持平衡； 右边刻度5处挂2个砝码，左边刻度2处挂5个砝码可以保持平衡； 右边刻度4处挂3个砝码，现在要在左边挂3个砝码，应挂在刻度（    ）处才能平衡，为了保持平衡，左边还可以怎样挂？请找出规律，填写下表。 左边刻度 1 2 3 6 挂的砝码数 乘积 要保持杠杆平衡，在一侧刻度数和所挂的砝码数一定的情况下，另一侧刻度数和所挂的砝码数成（    ）比例。 19．小华制作了一个简易的支架，在支架左边的托盘上放一个螺丝帽，在右边的托盘上放一个砝码A，支架保持平衡。这时测量发现，支架左边的托盘距离支点，右边的托盘距离支点。小华又在右边加了一个和一个的砝码，并将右边的托盘移至距离支点处，支架保持平衡。砝码A重多少克？螺丝帽重多少克？（托盘质量忽略不计） 20．小明在一根竹竿的中点位置打了个小孔并拴上绳子，然后从中点开始每隔6cm做一个记号．他把一个装有4个玻璃球的塑料袋挂在左边刻度3处，把一个空塑料袋挂在右边刻度6处． （1）右边的空塑料袋里放几个玻璃球竹竿才能平衡？ （2）如果右边的空塑料袋里放12个玻璃球，那么这个塑料袋应放在右边刻度几处竹竿才能平衡？ 21．一把杆秤不计自重，提纽到秤钩距离是4cm，秤砣质量是250g． （1）用来称质量是2kg的物体，秤砣应离提纽多远，秤杆才能平衡？ （2）若秤杆长60cm，则这把杆秤最多能称量多少千克的物体？ 22．修路队给一段公路铺沥青，原计划每天铺100米，实际每天比原计划多铺20%，结果25天铺完，原计划要铺多少天？（用比例知识解答） 23．一辆汽车原计划每小时行驶70千米，从甲地到乙地需要行驶6小时，实际上这辆汽车1.5小时就行驶了120千米，照这样的速度，从甲地到乙地比原计划提前了几小时？（用比例知识解答） 24．我国自主研发生产的全球最大直径盾构机主轴承下线，标志着国产超大直径主轴承研制能力跻身世界领先水平。某地新挖一条隧道，每天挖掘隧道的长度和所需天数如图。 每天挖掘隧道的长度/m 4 8 10 所需天数/天 120 60 48 （1）如果每天最多可以挖掘20米，那么至少需要多少天可以挖完？ （2）如果恰好30天挖完，那么每天挖多少？ 1．A 【分析】竹竿平衡的规律：左边的刻度数×左边所放珠子数＝右边的刻度数×右边所放珠子数。即当“右边的刻度数×右边所放珠子数”的积不变时，“左边的刻度数”与“左边所放珠子数”成反比例。据此可列比例解答。 【详解】解：设左边刻度6上应挂x个珠子才能保持平衡。 6x＝4×3 6x＝12 6x÷6＝12÷6 x＝2 所以左边刻度6上应挂2个珠子才能保持平衡。 故答案为：A 【点睛】此题考查了“杠杆原理”，明确竹竿平衡的规律是解决此题的关键，同学们要注意竹竿平衡与反比例之间的关系。 2．D 【分析】分别选择1个、2个或3个砝码，找出其能组成的所有质量即可。 【详解】每个砝码单独称量时，可以称量出2克、3克、5克，3种重量； 两两组合称量时，可以称量出：2＋3＝5（克），2＋5＝7（克），3＋5＝8（克），3种重量； 三个砝码一起称量时，可以称量出： 2＋3＋5 ＝5＋5 ＝10（克） 1种重量； 合计可以称出： 3＋3＋1 ＝6＋1 ＝7（种） 有2克、3克和5克的砝码各一个，用其中的1个、2个或3个，放在天平的一端，能称出7种不同的质量。 故答案为：D 【点睛】正确进行分类，列举出所有可能即可求解。 3．C 【详解】根据题干，杠杆平衡原理可得：左端千克数×刻度4=右端千克数×刻度2，即可解决． 4．A 【解析】从前两个天平可以得到等量关系是一个圆柱=两个正方体． 【详解】一个圆柱=两个正方体；两个圆柱=四个正方体． 故答案为A． 5．B 【详解】略 6．C 【分析】只用一个砝码可以称的质量有几种，用二个砝码可以称的质量有几种，用三个砝码可以称的质量有几种，把它们相加的和减去质量相同重复的即可解答。 【详解】只用一个砝码，可以称1克，2克，3克的物体，共3种称法； 用两个砝码，可以如下：共3种称法； 1克+2克=3克，1克+3克=4克，2克+3克=5克； 三个砝码一起称：1+2+3=6（克），一种称法； 其中称重3克的有两种方法相同，减去1种， 所以：3+3+1-1=6（种）． 故答案为：C． 【点睛】本题考查学生对排列组合知识的理解与掌握。 7．C 【分析】由天平平衡的条件可知2=5△，2=3△，然后利用等式的性质可求得答案． 【详解】由题意可知：2=5△，2=3△， ∴△=  2=． 等式两边同时乘得：3=5 故选C． 8．A 【分析】根据反比例性质，两个量的乘积为常数，可以通过已知的两个量的乘积来求出这个常数，用求出的常数除以已知的一个量，就可以得出另一个量。 【详解】60×15÷50 ＝900÷50 ＝18 故答案为：A 9．A 【分析】由正比例与反比例的意义可知：两个相关联的量，当它们的比值（商）一定时，这两个量成正比例；当它们的乘积一定时，这两个量成反比例。 【详解】A．单价×数量＝总价，总价一定，所以单价和数量成反比例； B．已走的路＋剩下的路＝学校到家的总路程（一定），根据正比例与反比例的意义可知，已走的路和剩下的路不成比例； C．当4a＝b时，b÷a＝4（一定），所以a与b成正比例； 故答案为：A 10．25 【分析】设在右边第4格处必须挂x克砝码，才能使平衡架平衡，每个格的长度为1，然后根据杠杆平衡原理，列出方程，求出x的值，即可求出在右边第4格处必须挂多少克砝码。 【详解】解：设在右边第4格处必须挂x克砝码，根据题意列方程如下： （20×5）×1＝4x 4x＝100 4x÷4＝100÷4 x＝25 【点睛】此题主要考查了正反比例应用题，弄清题意，找出合适的等量关系，进而列出方程是解答此类问题的关键；此题还考查了杠杆平衡原理的应用。 11．6 【分析】根据左边砝码数量×砝码位置到中间的距离＝右边砝码数量×砝码位置到中间的距离；左边3个砝码，到中间的距离是4，右边到中间的距离是2，求出砝码数量，列反比例，进行解答。 【详解】解：设右边应放x个同样的砝码。 2x＝3×4 2x＝12 x＝12÷2 x＝6 【点睛】解答本题的关键是先判断题中的两种相关联的量成哪种比例，然后找准对应量，列式解答即可。 12． 右 左 右 【分析】（1）左边拿掉一个砝码，左边的刻度为3，少了1×3＝3，右边拿掉一个钩码，右边的刻度为2，少了1×2＝2，右边减少的少，所以杠杆右边会向下倾斜。 （2）左边增加一个钩码，左边的刻度为3，多了1×3＝3，右边增加一个钩码，右边的刻度为2，多了1×2＝2，左边增加的多，所以杠杆左边会向下倾斜。 （3）把左边的2个钩码向左移动1个刻度，左边刻度为4，左边为：2×4＝8，把右边的3个钩码向右移动1个刻度，右边刻度为3，右边为：3×3＝9，天平右边会向下倾斜。 （ 【详解】（1）两边各拿掉一个钩码，杠杆右边会向下倾斜。 （2）两边各增加一个钩码，杠杆左边会向下倾斜。 （3）把左边的2个钩码向左移动1个刻度，把右边的3个钩码向右移动1个刻度，杠杆右边会向下倾斜。 故答案为：右；左；右 【点睛】杠杆平衡的规律：左边的刻度数×钩码数＝右边的刻度数×钩码数，当一边的乘积一定时，另一边的刻度数与对应的钩码数成反比例。 13．8 【分析】根据“左面砝码数量×砝码位置到中间的距离＝右面砝码的数量×砝码位置到中间的距离”，代入数据计算即可。 【详解】4×4÷2 ＝16÷2 ＝8（个） 【点睛】解答本题的关键是理解“左面砝码数量×砝码位置到中间的距离＝右面砝码的数量×砝码位置到中间的距离”。 14．4g；2.4g 【分析】第一题左边长度为4个单位长度，重量是2g，乘积为8，要想平衡右侧2个单位长度需乘4g，同理，解答第二题。 【详解】第一题2×4÷2＝4，所以是4g， 第二题1.2×4÷2＝2.4，所以应该是2.4g。 故答案为4g，2.4g。 【点睛】根据距离×重量相等，天平才能平衡的天平衡原理解答。 15． 正 反 【分析】判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。 【详解】总字数÷打字的时间＝打字的速度（一定），商一定，则打字的时间和总字数成正比例； 每袋所装颗数×所装袋数＝这批糖果的总数（一定），乘积一定，则每袋所装颗数和所装袋数成反比例。 16．(1) 300∶1 600∶2 (2)300 (3) ＝300 正比例 (4)750 【分析】（1）从表中任意选择两组数据，根据比的意义写出路程与相对应时间的比。 （2）用比的前项除以比的后项所得的商，叫做比值；据此求出这两组比的比值。 （3）根据“路程＝速度×时间”可得出“路程÷时间＝速度”，用含字母的式子表示数量关系，再根据正、反比例关系判断的方法进行判断。 判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。 （4）根据“路程＝速度×时间”，求出这列高铁列车行驶2.5小时行驶的路程。 【详解】（1）两组路程与相对应时间的比300∶1、600∶2。（答案不唯一） （2）300∶1＝300÷1＝300 600∶2＝600÷2＝300 这两组比的比值都是300千米/时。 （3）＝＝…＝＝300（一定） 即＝300（一定），比值一定，与成正比例关系。 如果用表示行驶的路程，表示行驶的时间，写出一个式子表示和的关系：＝300，与成正比例关系。 （4）300×2.5＝750（千米） 它大约能行驶750千米。 17．见详解 【分析】杠杆原理中隐藏着数学原理：反比例关系。以题目“铁棍撬石头”为例，铁棍是杠杆，小石头是支点，小石头右边的杠杆长度越长，撬起大石头所用的力越小。 【详解】答：在生活中应用杠杆原理的例子还有：剪刀、天平、筷子、指甲刀（答案不唯一）等等。 18．4；见详解；反 【分析】右边刻度数为3，砝码数为3个，左边刻度数为3，砝码数为3个；右边刻度数为5，砝码数为2个，左边刻度数为2，砝码数为5个；右边刻度4处挂3个砝码，现在要在左边挂3个砝码，要保持平衡，则应挂在刻度4处才能平衡。因为要保持平衡，右边的刻度数×砝码数＝左边的刻度数×砝码数，根据此规律完成填表；判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例；由此求解。 【详解】3×3＝3×3 5×2＝2×5 4×3＝12 12÷3＝4 即应挂在刻度4处才能平衡。 12÷1＝12 12÷2＝6 12÷3＝4 12÷6＝2 左边刻度数为1，砝码数为12个；左边刻度数为2，砝码数为6个；左边刻度数为3，砝码数为4个；左边刻度数为6，砝码数为2个。 填表如下： 左边刻度 1 2 3 6 挂的砝码数 12 6 4 2 乘积 12 12 12 12 要保持杠杆平衡，在一侧刻度数和所挂的砝码数一定的情况下，另一侧刻度数和所挂的砝码数成反比例。 【点睛】解决本题关键是找出天平平衡时，天平左右两边刻度数和所放砝码数之间的关系，再根据这个关系求解。 19．砝码A重，螺丝帽重 【分析】添加砝码前，砝码A的质量与其到支点距离的积和螺丝帽的质量与其到支点距离的积相等；添加砝码后，砝码的质量和与其到支点距离的积和螺丝帽的质量与其到支点距离的积相等。通过上面两个等量关系，可以得出砝码A的质量，进而可以得出螺丝帽的质量。 【详解】解：设砝码A重。 螺丝帽重： 答：砝码A重，螺丝帽重。 【点睛】本题考查了列方程解决问题，关键是找到等量关系。 20．（1）放2个   （2）刻度1处 【详解】略 21．（1）32cm     （2）3.5kg 【详解】（1）解：设应离提纽xcm．   250g＝0.25kg   4×2＝0.25x   x＝32    （2）解：设最多能称量xkg的物体．   0.25×（60－4）＝4x   x＝3.5 22．30天 【分析】公路总长＝每天铺的长度×天数，公路总长是一定的，即每天铺的长度与所需要天数的乘积一定，则每天铺的长度与所需要天数成反比例。可设原计划要铺x天，则根据反比例定义可列出反比例，根据等式性质得出答案。 【详解】解：根据题意可知每天铺的长度和所需天数成反比例，可设原计划要铺x天，列出比例： 答：原计划要铺30天。 23．0.75小时 【分析】根据速度＝路程÷时间；用120÷1.5，求出汽车实际速度；由于甲地到乙地的路程不变，汽车的速度和时间成反比例；设从甲地到乙地实际需要x小时，列比例：（120÷1.5）x＝70×6，解比例，求出实际需要的时间，再用原计划需要的时间－实际需要的时间，即可解答。 【详解】解：设从甲地到乙地实际需要x小时。 （120÷1.5）x＝70×6 80x＝420 x＝420÷80 x＝5.25 6－5.25＝0.75（小时） 答：从甲地到乙地比原计划提前了0.75小时。 24．（1）24天 （2）16米 【分析】从统计表中的数据可知，120×4＝60×8＝48×10＝480（一定），即每天挖掘隧道的长度×所需天数＝隧道的全长（一定），乘积一定，那么每天挖掘隧道的长度与所需天数成反比例关系，据此列出反比例方程，并求解。 【详解】（1）解：设至少需要天可以挖完。 20＝120×4 20＝480 ＝480÷20 ＝24 答：至少需要24天可以挖完。 （2）解：设每天挖米。 30＝120×4 30＝480 ＝480÷30 ＝16 答：每天挖16米。 答案第1页，共2页 答案第4页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 $$