精品解析：上海市松江二中2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷

松江二中2023学年第二学期期末考试 高一数学 考生注意： 1.试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.本考试分设试卷和答题纸.试卷包括三部分，第一部分为填空题，第二部分为选择题，第三部分为解答题. 3.答题前，务必在答题纸上填写考号、姓名、班级.作答必须涂或写在答题纸上，在试卷上作答一律不得分. 一、填空题（本大题共有12题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，共54分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 已知两条相交直线a，b，且a//平面，则b与的位置关系是____________. 2. 复数满足（为虚数单位），则_______. 3. 设平面向量，，若，不能组成平面上的一个基底，则______． 4. 如图，是水平放置的的斜二测直观图，若，，则的面积为__________. 5. 若正数，满足，则的最大值为_______. 6. 已知，则值为______． 7. 如图，某体育公园广场放置着一块高为3米大屏幕滚动播放各项体育赛事，大屏幕下端离地面高度3.5米，若小明同学的眼睛离地面高度1.5米，则为了获得最佳视野（最佳视野指看到大屏幕的上下夹角最大），小明应在距离大屏幕所在的平面_________米处观看?（精确到0.1米）. 8. 空间给定不共面的A、B、C、D四个点，如果这四个点到平面的距离都相等，那么这样的平面的个数是_______. 9. 已知二面角的大小为60°，点P，Q分别在，上且，若点到的距离为，点到的距离为，则两点之间的距离为________. 10. 设定义在R上的函数满足，且当时，.若对任意，不等式恒成立，则实数的最小值是___________. 11. 关于的实系数方程和有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则的取值范围是______. 12. 已知单位向量夹角为锐角，对，的取值范围是，若向量满足，则的最小值为_________． 二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13. 在下列判断两个平面与平行的四个命题中，其中假命题的是（ ） A. ，都垂直于直线，那么 B. ，都平行于平面，那么 C. ，都垂直于平面，那么 D. 如果，是两条异面直线，且，，，，那么 14. 已知是平面内两个非零向量，那么“”是“存在，使得”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 如图所示，在正方体中，是棱上一点，若平面与棱交于点，则下列说法中正确的是（ ） A. 存在平面与直线垂直 B. 四边形可能是正方形 C. 不存在平面与直线平行 D. 任意平面与平面垂直 16. 已知函数，，，若函数的所有零点依次记为，且，若，则（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 在正方体中，是的中点. （1）求异面直线与所成的角的大小； （2）求直线与平面所成角的大小. 18 已知向量． （1）若三点共线，求的值； （2）若四边形为矩形，求的值． 19. 在中，内角的对边分别为 （1）求角； （2）是边上的点，且，求的值. 20 如图，已知四面体中，平面，. （1）求证：； （2）若在此四面体中任取两条棱作为一组（和视为同一组），则它们互相垂直的组数记为；任取两个面作为一组（和视为同一组），则它们互相垂直的组数记为；任取一个面和不在此面上的一条棱作为一组（和视为同一组），则它们互相垂直的组数记为，试求的值； （3）《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”.若此“鳖臑”中，，，有一根彩带经过平面与平面，且彩带的两个端点分别固定在点B和点D处，求彩带的最小长度. 21. 对于分别定义在，上的函数，以及实数，若存在，使得，则称函数与具有关系. （1）若，；，，判断与是否具有关系，并说明理由； （2）若与具有关系，求的取值范围； （3）已知，为定义在上的奇函数，且满足： ①在上，当且仅当时，取得最大值1； ②对任意，有. 判断与是否具有关系，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 松江二中2023学年第二学期期末考试 高一数学 考生注意： 1.试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.本考试分设试卷和答题纸.试卷包括三部分，第一部分为填空题，第二部分为选择题，第三部分为解答题. 3.答题前，务必在答题纸上填写考号、姓名、班级.作答必须涂或写在答题纸上，在试卷上作答一律不得分. 一、填空题（本大题共有12题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，共54分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 已知两条相交直线a，b，且a//平面，则b与的位置关系是____________. 【答案】b//平面或b与平面相交 【解析】 【分析】画出图形不难看出直线与平面的位置关系，平行或相交. 【详解】 由题意画出图形，当所在平面与平面平行时，与平面平行， 当所在平面与平面相交时，与平面相交. 故答案为: b//平面a或b与平面相交. 【点睛】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力，是基础题. 2. 复数满足（为虚数单位），则_______. 【答案】 【解析】 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的公式计算即可. 【详解】因为复数满足，所以，所以， 故答案为： 3. 设平面向量，，若，不能组成平面上的一个基底，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用基底的定义可得，再利用共线向量的坐标表示求解即得. 【详解】由，不能组成平面上的一个基底，得，而，， 因此，所以. 故答案为： 4. 如图，是水平放置的的斜二测直观图，若，，则的面积为__________. 【答案】12 【解析】 【分析】根据斜二测画法，将直观图还原可知原三角形为直角三角形，求出两直角边的长度，即可得出答案. 【详解】 如图，根据斜二测画法，将直观图还原后，得到的为直角三角形， 且两条直角边，， 所以，的面积为. 故答案为：12. 5. 若正数，满足，则的最大值为_______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据得出，得出，，根据的范围求出的范围即可. 【详解】，，，所以，即，， 根据二次函数的性质可知时，上式取得最大值2. 故答案为：2. 6. 已知，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据同角关系中的平方关系进行解答，注意涉及的函数值正负与角终边所在象限联系，结合，进一步缩小角的范围，进而在开方运算时得出正确的符号. 【详解】由已知得，即， ， 由，且， ， ， ， 故答案为：. 7. 如图，某体育公园广场放置着一块高为3米的大屏幕滚动播放各项体育赛事，大屏幕下端离地面高度3.5米，若小明同学的眼睛离地面高度1.5米，则为了获得最佳视野（最佳视野指看到大屏幕的上下夹角最大），小明应在距离大屏幕所在的平面_________米处观看?（精确到0.1米）. 【答案】3.2 【解析】 【分析】作于，设，根据两角差的正切公式，结合不等式求的最大值，并确定对应的即可. 【详解】如图：作于，设， 则，. 所以（当且仅当时取“”） 又，故（米）， 故答案为：3.2 8. 空间给定不共面的A、B、C、D四个点，如果这四个点到平面的距离都相等，那么这样的平面的个数是_______. 【答案】7 【解析】 【分析】分平面的两边分别有1个点，3个点和两边各有2个点讨论即可. 【详解】因为四点不共面，所以可以看作是四面体的顶点，取四面体各棱的中点为. 如图： 当四个点在平面的一侧有1个点，另一侧有3个点，且它们到平面的距离相等，这样的平面有平面，平面，平面，平面，共4个； 当四个点分别在平面的两侧各有两个点，且它们到平面的距离相等，这样的平面有平面，平面，平面，共3个. 所以满足条件的平面共7个. 故答案为：7 9. 已知二面角的大小为60°，点P，Q分别在，上且，若点到的距离为，点到的距离为，则两点之间的距离为________. 【答案】 【解析】 【分析】作于，连接，则平面，所以即为二面角的平面角，作于，则在上，作于，则在上，在内求即可. 【详解】如图： 作于，连接，又因为，平面，， 所以平面. 所以即为二面角的平面角，故. 作于，则在上，作于，则在上. 在中，，，，所以； 在中，，，，所以. 由余弦定理：， 所以. 故答案为： 10. 设定义在R上的函数满足，且当时，.若对任意，不等式恒成立，则实数的最小值是___________. 【答案】## 【解析】 【分析】由题意，根据给定的函数解析式，结合等式关系，拓展其他区间的函数解析式，利用二次函数的性质，可得答案. 【详解】，且当时，恒成立， ，易知当时，则恒成立， 当，即时，恒成立， 当，即时，，不满足恒成立， 解不等式，，在上的解集为， 综上所述，当时，恒成立，实数的最小值为. 故答案为：. 11. 关于的实系数方程和有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】解出方程，可得其对应的点，对于方程，讨论其，进一步分析计算即可. 【详解】因为的解为 ， 设所对应的两点分别为， 则，， 设的解所对应的两点分别为，， 记为,,， 当，即时，因为关于轴对称， 且，，关于轴对称，显然四点共圆； 当，即或时， 此时,,，且， 故此圆的圆心为，半径， 又圆心到的距离， 解得， 综上：, 故答案：. 12. 已知单位向量夹角为锐角，对，的取值范围是，若向量满足，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据的最小值可求出的夹角为，然后根据已知设，，，条件可转化为点在一个圆上，而结论就是求这个圆的点到原点距离的最小值． 【详解】向量夹角为，由题意的取值范围是， 因为，所以， 即，得， 因为的最小值为0， 所以，解得， 因为为锐角，所以，所以， 不妨设，，， ， 整理得， 因此点在以为圆心，为半径的圆上， 它到原点距离的最小值为． 即的最小值为． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量数量积的应用，它把向量的数量积与平面上点与圆的位置关系联系在一起，是一道难题．解题的关键是首先对已知条件进行转化，如条件对，的取值范围是，可转化为，这样向量的关系就确定了，下面为了已知的明确化，设出向量坐标，从而由已知条件可得的坐标的关系，进而可求得答案，考查数学转化思想 二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13. 在下列判断两个平面与平行的四个命题中，其中假命题的是（ ） A. ，都垂直于直线，那么 B. ，都平行于平面，那么 C. ，都垂直于平面，那么 D. 如果，是两条异面直线，且，，，，那么 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面垂直的性质判断A；根据面面平行的概念判断B；根据特例判断C；根据线面平行，判断面面平行判断D. 【详解】根据垂直于同一条直线的两个平面互相平行，可知A正确； 根据平行于同一个平面的两个平面互相平行，可知B正确； 根据墙角模型可知，垂直于同一个平面的两个平面未必平行，故C错误； 作，且相交，则可确定平面， 因为，，所以， 同理，故，故D正确. 故选：C 14. 已知是平面内两个非零向量，那么“”是“存在，使得”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的模长关系以及共线，即可结合必要不充分条件进行判断. 【详解】若，则存在唯一的实数，使得， 故， 而， 存在使得成立， 所以“”是“存在，使得’的的充分条件， 若且，则与方向相同， 故此时，所以“”是“存在存在，使得”的必要条件， 故“”是“存在，使得”的充分必要条件. 故选：C. 15. 如图所示，在正方体中，是棱上一点，若平面与棱交于点，则下列说法中正确的是（ ） A. 存在平面与直线垂直 B. 四边形可能是正方形 C. 不存在平面与直线平行 D. 任意平面与平面垂直 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方体的性质判断A，根据面面平行的性质得到四边形是平行四边形，再由，即可判断B，当为的中点时为的中点，即可判断C，建立空间直角坐标系，利用向量法说明D. 【详解】对于A：在正方体中平面， 显然平面与平面不平行，故直线不可能垂直平面，故A错误； 对于B：在正方体中，是棱上一点，平面与棱交于点， 由平面平面， 并且四点共面， 平面平面，平面平面， ∴， 同理可证，故四边形是平行四边形， 在正方体中，由几何知识得，平面， ∵平面，∴， 若是正方形，有， 此时与重合时，但显然四边形不是正方形，故B错误； 对于C：当为的中点时，为的中点，所以且， 所以为平行四边形，所以， 平面，平面，所以平面，故C错误； 对于D：设正方体边长为2，建立空间直角坐标系如下图所示， 由几何知识得，, ∴, ∵， ∴， ∵，平面，平面， ∴平面， ∵平面， ∴任意平面与平面垂直，故D正确. 故选：D 16. 已知函数，，，若函数的所有零点依次记为，且，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先明确函数在上对称轴的条数，再根据的对称性，和，可求的值. 【详解】由，为函数的对称轴. 又函数的最小正周期为，且，， 所以当时，可得函数的第一条对称轴为， 当时， 所以函数在有9条对称轴. 根据正弦函数的图象和性质可知，函数与的交点有9个，其横坐标分别为：，且， 且关于对称，所以； 关于对称，所以； …… 关于对称，所以. 所以. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键点就是方程的根与对称轴的对称关系，利用对称关系和对称轴方程，表示出即可求解. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 在正方体中，是的中点. （1）求异面直线与所成的角的大小； （2）求直线与平面所成的角的大小. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）由得出所成的角为，利用余弦定理得出异面直线与所成的角； （2）先证明平面，从而得出为直线与平面所成的角，再由直角三角形边角关系得出所求角. 【详解】（1），所成的角为 连接，设，则， ， 异面直线夹角的范围为， 即异面直线与所成角为 （2）连接交于点，连接 四边形为正方形， 又平面，平面 平面 即为直线与平面所成的角 设，则 又直线与平面所成角的范围为， 即直线与平面所成的角为 18. 已知向量． （1）若三点共线，求的值； （2）若四边形为矩形，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，由三点共线，可得. （2）由，，若四边形为矩形，求解．即可得到结果. 【小问1详解】 因为， 所以，． 又三点共线，所以，所以， 解得． 【小问2详解】 由 ， 若四边形为矩形，则．即， 解得． 由，得 解得．所以． 19. 在中，内角的对边分别为 （1）求角； （2）是边上的点，且，求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）把给定等式切化弦，利用正弦定理边化角，再利用三角恒等变换求解作答. （2）根据给定条件，求出，在和中分别利用正弦定理、余弦定理列式，求解作答. 【小问1详解】 在中，由得：， 由正弦定理得：，而， 即有，又，即，则，有，又， 所以. 【小问2详解】 因为是边上的点，且， 于是，如图， 在中，由正弦定理得：，即， 在中，由余弦定理得：， 则有，整理得，解得：，而， 所以. 20. 如图，已知四面体中，平面，. （1）求证：； （2）若在此四面体中任取两条棱作为一组（和视为同一组），则它们互相垂直的组数记为；任取两个面作为一组（和视为同一组），则它们互相垂直的组数记为；任取一个面和不在此面上的一条棱作为一组（和视为同一组），则它们互相垂直的组数记为，试求的值； （3）《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”.若此“鳖臑”中，，，有一根彩带经过平面与平面，且彩带的两个端点分别固定在点B和点D处，求彩带的最小长度. 【答案】（1）证明见解析 （2）10 （3） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直得到，结合得到线面垂直，进而证明出线线垂直； （2）根据线线垂直、线面垂直以及面面垂直分析求解即可； （3）将平面与平面沿展开成平面图形，则BD即为所求，从而利用余弦定理求出答案即可. 【小问1详解】 因为平面，平面BCD，则， 又，，平面ABC，所以平面， 因为平面ABC，所以. 小问2详解】 由（1）可知：，， 且平面，平面ABC，则， 且其余各棱均不垂直，可得； 由平面，且平面，平面， 可得平面平面，平面平面， 同理：由平面可得：平面平面， 且其余各面均不垂直，可得； 由平面，平面，且其余各线面均不垂直，可得； 综上所述：. 【小问3详解】 将平面与平面沿展开成如图2所示的平面图形，连接BD， 所以彩带的最小长度为图2平面图中的长， . 由（1）知， 在图1中，因为平面，平面BCD，所以， 又因为，所以， 故在图2中，， 所以图2中，在中，由余弦定理得， 所以彩带的最小长度为. 21. 对于分别定义在，上的函数，以及实数，若存在，使得，则称函数与具有关系. （1）若，；，，判断与是否具有关系，并说明理由； （2）若与具有关系，求的取值范围； （3）已知，为定义在上的奇函数，且满足： ①在上，当且仅当时，取得最大值1； ②对任意，有. 判断与是否具有关系，并说明理由. 【答案】（1）与具有关系，理由见解析 （2）； （3）不具有关系，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的性质可得，结合新定义即可下结论； （2）根据三角函数与二次函数的性质可得、，则，结合新定义即可求解； （3）根据函数的对称性和周期性求出、、的值域. 当、时，有；当、时，有，进而，结合新定义即可下结论. 【小问1详解】 与具有关系，理由如下： 当时，，， 当，，当时，， 此时， 则与具有关系； 【小问2详解】 ， ， 因为，则当时，，则， 所以， 则； 【小问3详解】 不具有关系，理由如下： 因为在上，当且仅当时，取得最大值1； 又为定义在上的奇函数， 故在上，当且仅当时，取得最小值-1， 由对任意，有， 所以关于点对称， 又， 所以的周期为，故的值域为，，， 当时，，； 时，，， 若，则，， 此时有； 当时，，； 时，，， 若，则，时， 有； 由于， 所以， 故不存在，，使得， 所以与不具有关系. 【点睛】方法点睛： 学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是三角函数的图象与性质. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$