微素养·专题突破7 正方形中的典型模型-【精彩练习】2023-2024学年八年级下册数学同步评价作业教师用书配套Word（浙教版）

　七　正方形中的典型模型 类型1　正方形中的“十字架　　　　　　　　　　　　　　　 【例1】 (1)如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，AE，BF交于点O，∠AOF＝90°.求证：BE＝CF. (2)如图2，在正方形ABCD中，点E，H，F，G分别在边AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于点O，∠FOH＝90°，EF＝4.求GH的长． 解：(1)证明：∵正方形ABCD中，∴AB＝BC， ∠ABE＝∠BCF＝90°. ∵∠AOF＝90°，∠AOB＝90°， ∴∠BAE＋∠OBA＝90°， 又∵∠FBC＋∠OBA＝90°，∴∠BAE＝∠CBF， ∴△ABE≌△BCF(ASA).∴BE＝CF. (2)如图，过点A作AM∥GH交BC于M， 过点B作BN∥EF交CD于N，AM与BN交于点O′，则四边形AMHG和四边形BNFE均为平行四边形，∴EF＝BN，GH＝AM， ∵∠FOH＝90°，AM∥GH，EF∥BN， ∴∠NO′A＝90°. 又由(1)得，△ABM≌△BCN，∴AM＝BN， ∴GH＝EF＝4. 类型2　正方形中的轴对称 【例2】 如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，连结BE. (1)如图1，∠CBE的度数是__15°__． (2)如图2，连结对角线AC，交BE于点M，连结MD，求证：ME＝MA. 解：(1)∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD，∠BCD＝90°. ∵△CDE是等边三角形， ∴CD＝CE，∠DCE＝60°， ∴∠BCE＝∠BCD＋∠DCE＝150°，CB＝CE， ∴∠CBE＝∠CEB＝15°. 故答案为15°. (2)证明：如图，连结AE. 由(1)可知，∠EBC＝15°， ∵∠BCM＝∠BCD＝45°， ∴∠BMC＝180°－(∠BCM＋∠EBC)＝120°， ∴∠AME＝∠BMC＝120°. ∴∠AMB＝180°－∠AME＝60°. 同理可证∠DAE＝15°， ∵∠CAD＝45°，∴∠MAE＝30°. ∵∠AMB＝∠MAE＋∠MEA＝60°， ∴∠MAE＝∠MEA＝30°，∴MA＝ME. 类型3　正方形中的半角问题 【例3】 如图，在正方形ABCD中，点M，N分别在边BC，CD上，∠MAN＝45°. (1)求证：MN＝BM＋DN. (2)当AB＝6，MN＝5时，求△CMN的面积． 解：(1)证明：延长CB到G，使BG＝DN，连结AG，如图． 在△ADN和△ABG中， ∴△ADN≌△ABG(SAS)， ∴AN＝AG. ∵∠MAN＝45°， ∴∠MAB＋∠NAD＝∠MAB＋∠BAG＝45°. 在△MAN和△MAG中， ∴△MAN≌△MAG(SAS)， ∴MN＝MG＝BM＋BG＝BM＋DN. (2)由(1)得，S△AMN＝S△AMG＝×6×5＝15， ∵S△AMN＝S△ABM＋S△ABG， ∴S△AMN＝S△ABM＋S△ADN＝15， ∴S△CMN＝S正方形ABCD－2S△AMN＝36－30＝6. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．如图，E是正方形ABCD对角线BD上的一点(DE≠EB)，则图中的全等三角形共有(　C　) A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 第1题图 　 第2题图 　 第3题图 2．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝CF.连结AE，BF，AE与BF交于点G.下列结论错误的是(　C　) A．AE＝BF B．∠DAE＝∠BFC　　 C．∠AEB＋∠BFC＝90° D．AE⊥BF 3．如图，正方形ABCD的边长为8，点E在对角线AC上，且∠EBC＝22.5°，EF⊥BC于点F，则EF的长为(　C　) A．2 B．2 C．8－4 D．6－8 4．如图，E，F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE，BF相交于点O.若S△AOB＝10，则S四边形DEOF等于(　C　) A．5 B．8 C．10 D．12 第4题图 　　　 第5题图 5．如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是__60°__． 6．如图，在△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，BD＝2，DC＝3，求AD的长．小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题．请按照小萍的思路，分别以AB，AC为对称轴，作出△ABD，△ACD的轴对称图形，点D的对称点分别为E，F，延长EB，FC交于点G，则AD的值是__6__． 【解析】 由题意可得△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF， ∴∠DAB＝∠EAB，∠DAC＝∠FAC. 又∵∠BAC＝45°，∴∠EAF＝90°. 又∵AD⊥BC，∴∠E＝∠ADB＝90°，∠F＝∠ADC＝90°， ∴四边形AEGF是矩形． ∵AE＝AD，AF＝AD，∴AE＝AF， ∴矩形AEGF是正方形． 设AD＝x，则AE＝EG＝GF＝x， ∵BD＝2，CD＝3，∴BE＝2，CF＝3， ∴BG＝x－2，CG＝x－3. 在Rt△BGC中，∵BG2＋CG2＝BC2， ∴(x－2)2＋(x－3)2＝52，化简得x2－5x－6＝0， 解得x1＝6，x2＝－1(舍去)，∴AD＝6. 7．如图1，在边长一定的正方形ABCD中，Q为边CD上的一个动点，AQ交对角线BD于M，过M作MN⊥AQ交BC于N. (1)求证：AM＝MN. (2)若过N作NP⊥BD于点P(如图2)，求证：BP＋DM＝PM. (3)若连结AN，交BD于点G(如图3)，AB＝2，BG＝x，GM＝y，求y与x之间的关系式． 证明：(1)如图1，过M作GH⊥AD于G，交BC于H. ∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∴GH⊥BC， ∴∠AGM＝∠MHN＝90°. ∵AQ⊥MN，∴∠AMN＝90°，∴∠AMG＋∠NMH＝90°. ∵∠NMH＋∠MNH＝90°，∴∠AMG＝∠MNH. ∵∠DBC＝45°，∴△BMH是等腰直角三角形， ∴BH＝MH. ∵∠BAD＝∠ABH＝∠BHG＝90°， ∴四边形ABHG是矩形，∴AG＝BH＝HM， ∴△AGM≌△MHN，∴AM＝MN. (2)如图2，连结AC交BD于O. ∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD. ∵∠AOM＝∠MPN＝90°，∠AMO＝∠MNP， 由(1)知AM＝MN，∴△AMO≌△MNP， ∴PM＝AO＝AC＝BD，∴PM＝BP＋DM. (3)如图3，延长CD至P，使PD＝BN，连结AP，过D作DR⊥BD，交AP于R，连结RM，则∠RDM＝90°. ∵∠ADB＝45°，∴∠ADR＝45°. ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠ABN＝∠ADP＝90°， ∴△ADP≌△ABN，∴∠DAP＝∠BAN. ∵∠ADR＝∠ABD＝45°，∴△ABG≌△ADR， ∴AG＝AR，RD＝BG＝x. 由(1)知∠NAM＝45°， ∴∠QAP＝∠QAD＋∠DAP＝∠QAD＋∠BAN＝45°， ∴∠NAM＝∠QAP，∴△AGM≌△ARM，∴RM＝GM＝y. 在Rt△ABD中，AB＝AD＝2， ∴BD＝＝4， ∴DM＝4－x－y. 在Rt△RDM中，RM2＝RD2＋DM2， ∴y2＝x2＋(4－x－y)2，y＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$