专题5.2 菱形中的几何综合（压轴题专项讲练）-2024-2025学年八年级数学下册压轴题专项讲练系列（浙教版）

专题5.2 菱形中的几何综合 · 典例分析 【典例1】问题背景：如图，在菱形中，连接，，． 初步探究： （1）菱形的面积为 ． （2）如图1，若E，F分别是，上的动点，且，过点E作，过点F作，垂足分别为点G，点H，求的值． 拓展延伸： （3）如图2，P是上的动点，连接． ①的最小值为 ； ②如图3，Q是上的动点，连接，且，求的最小值．          【思路点拨】 （1）连接，交于点O，根据菱形的性质得出，，，根据勾股定理求出，最后求出结果即可； （2）连接，交于点O，过点E作于点K，证明，得出，即可得出，求出结果即可； （3）①过点A作于点，根据垂线段最短，得出的最小值为的长，根据菱形面积求出结果即可； ②在的延长线上截取，连接，．证明，得出，根据当点A，点P，点R在同一条直线上时，有最小值，即的最小值为的长，过点A作于点T，根据勾股定理求出． 【解题过程】 解：（1）连接，交于点O，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （2）如图1，连接，交于点O，过点E作于点K． ∵四边形是菱形， ∴， ∵ ∴四边形是矩形 ∴ ∵， ∴， ∵， ∴，即． ∵， ∴． 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴的值为4． （3）①如图2，过点A作于点， ∵垂线段最短， ∴的最小值为的长， 由（1）可知菱形的面积为24， ∴， 即， 解得： ， ∴的最小值为． ②如图3，在的延长线上截取，连接，． ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴，即． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点A，点P，点R在同一条直线上时，有最小值， 即的最小值为的长， ∴的最小值为的长 过点A作于点T， 由①易知， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． · 学霸必刷 1．（24-25八年级下·山东德州·期中）如图，在菱形中，分别是边上的动点，连接和分别为的中点，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．1 2．（2025·安徽合肥·二模）在菱形中，已知与相交于点，点为上一点，将沿着翻折得到，使点落在边上，则的长为（　　） A． B．2.5 C．3 D． 3．（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）如图，在边长为8的菱形中，点为边，上的动点，且，连接，若菱形面积为60，则的最小值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 4．（2025·福建漳州·二模）如图，在菱形中，对角线相交于点，点是的中点，连接，若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．菱形的面积为48 D．点到的距离为 5．（24-25九年级下·浙江·期中）如图，在菱形中，，，为上一动点，连接，以为腰作等腰三角形，使得，连结．当时，的面积为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·辽宁·模拟预测）如图，菱形的边长为，，点在对角线上，点在边上，，点为中点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）如图，在菱形纸片中，，E是边的中点，将菱形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在直线上的点G处，折痕为与交于点H，有如下结论：①；②；③；④，上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 8．（24-25九年级上·广东广州·开学考试）如图，在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点，．动点E在线段OB上，动点F在线段OD上，点E，F同时从点O出发，以相同的速度分别向终点B，D（包括端点）运动．点E关于AD，AB的对称点为，；点F关于BC，CD的对称点为，．在整个过程中，四边形形状的变化依次是（    ） A．平行四边形→矩形→菱形→平行四边形 B．平行四边形→菱形→平行四边形→菱形 C．菱形→平行四边形→矩形→平行四边形 D．菱形→平行四边形→矩形→平行四边形 9．（23-24八年级下·浙江丽水·期末）如图，在菱形中，点P是对角线上一动点，于点E，于点F，记菱形高线的长为h，则下列结论：①当P为中点时，则；②；③；④若，连接，则有最小值为2；⑤若，连接，则的最大值为．其中错误的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（2025·陕西榆林·三模）如图，四边形是菱形，，，，分别是和上的动点，且，连接，，则的最小值为 ． 11．（2025·山东枣庄·二模）如图，在菱形中，，，点、分别是边、上的动点，且，则的最小值是 ． 12．（2025·山东济南·二模）如图，在菱形中，，．点E、F分别是、边上的动点，且，以为边向右作等边，连接、、．当时，的值为 ． 13．（2025·陕西西安·二模）如图，在菱形中，，．点E、F、G、H分别是边的中点，在直线上方有一动点P，且满足．则周长的最小值为 ． 14．（2025·海南省直辖县级单位·一模）如图，菱形边长为，，是的中点，，分别是边，上的两个动点，且，连接、，则 ，的最小值是 ． 15．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在边长为2的菱形中，，将沿着射线的方向平移，得到，连接，，，则的最小值为 ． 16．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在中，，，，点是中点，点在边上，以为对角线作菱形，使，连接，当与的一条边平行时，菱形的边长为 ． 17．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，在菱形中，，过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线相交于点，是延长线上一点，且，连接，，交的延长线于点，连接．若，，则的长为 ． 18．（2025·江苏扬州·一模） 如图，在中，，D为的中点，过A作，过D作分别交于点O、E，连接． （1）证明：四边形为菱形； （2）若，求菱形面积． 19．（2024九年级下·浙江·学业考试） 如图，在菱形中，，点分别在边上，． （1）求证：； （2）若，求四边形的面积． 20．（23-24八年级下·云南昆明·期末）如图，在矩形中，点是的中点，延长至点，使得，连接，的延长线与的延长线交于点，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若平分，，求菱形的面积． 21．（2025·云南楚雄·三模）在矩形中，、分别是、的中点，连接、，、分别是、的中点，连接、． （1）求证：四边形是菱形； （2）若矩形的面积为48，，求四边形的周长． 22．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，点E是菱形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个菱形，且，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． （3）连接，若，，，求的面积． 23．（24-25八年级下·广东广州·期中）已知在菱形中，． （1）如图1．过点作点，连接，点是线段的中点，连接，若，求线段的长度； （2）如图2，连接．若，点是对角线上的一个动点，求的最小值． 24．（24-25八年级下·广东广州·期中）已知，，C为射线上一动点（不与B重合）），关于的轴对称图形为． （1）如图1，当点D在射线上时，求证：四边形是菱形； （2）如图2，当点D在射线，之间时，点C为的中点，且，求的长； （3）如图3，在（1）的条件下，对角线，，P为的中点，当为等腰三角形时，直接写出的长． 25．（24-25九年级上·广东深圳·期中）已知菱形中，点F是射线上一动点（不与C、D重合），连接并延长交直线于点，交于，连接． （1）若点F在边上，且，过点C按如图所示作并交于点 ①证明：； ②猜想的形状并说明理由． （2）若菱形边长为4，当为等腰三角形时，求的长． 26．（24-25八年级下·北京海淀·期中）如图，菱形中，，点E为边上一点（不与点A、B重合），连接，点F在线段上满足，连接． （1）求证：； （2）连接，点N是线段中点，连接．依题意补全图形，用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 27．（24-25八年级下·上海·期中）如图，等腰中，，O为边的中点，射线交的延长线于点C，． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，点E、F分别在射线、射线上，且，求证：； （3）在（2）的条件下，连接，若为直角三角形，，直接写出的长． 28．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）在菱形中，是直线上一动点，以为边向右侧作等边按逆时针排列)，点的位置随点的位置变化而变化． （1）如图1，当点在线段上，且点在菱形内部或边上时，连结，小明通过连接后证明得到与的数量关系是______________； （2）如图2，当点在线段上，且点在菱形外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； （3）当点在的延长线上时，其他条件不变，连接，若，，求的长． 29．（24-25八年级下·天津·期中）如图1，在菱形中，，为边上一点，为延长线上一点，． （1）求证：； （2）连接，若，，则________； （3）如图2，交于点，延长，交的延长线于点，探究，与的数量关系．并说明理由． 30．（24-25八年级下·四川泸州·期中）体思想是中学数学解题的重要方法之一，贯穿于数学学习的全过程，对于问题1，樊老师给出了如下的提示：连接，利用与面积之和是菱形面积的，可求出的值． （1）如图1，在菱形中，对角线，的长分别为6和8，点为对角线上一动点（不与点、重合），过点分别作和的垂线，垂足为点和，求的值，请你写出求解过程． （2）如图2，若为矩形，点，分别在边，上，将矩形沿直线折叠，使点恰好与点重合，点落在点处．点为线段上一动点（不与点，重合），过点分别作直线，的垂线，垂足分别为和，以，为邻边作平行四边形，若，，求平行四边形的周长； （3）如图3，当点P是等边外一点时，过点分别作直线，，的垂线，垂足分别为点，，，若，请求出的面积，并写出推理过程． 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.2 菱形中的几何综合 · 典例分析 【典例1】问题背景：如图，在菱形中，连接，，． 初步探究： （1）菱形的面积为 ． （2）如图1，若E，F分别是，上的动点，且，过点E作，过点F作，垂足分别为点G，点H，求的值． 拓展延伸： （3）如图2，P是上的动点，连接． ①的最小值为 ； ②如图3，Q是上的动点，连接，且，求的最小值．          【思路点拨】 （1）连接，交于点O，根据菱形的性质得出，，，根据勾股定理求出，最后求出结果即可； （2）连接，交于点O，过点E作于点K，证明，得出，即可得出，求出结果即可； （3）①过点A作于点，根据垂线段最短，得出的最小值为的长，根据菱形面积求出结果即可； ②在的延长线上截取，连接，．证明，得出，根据当点A，点P，点R在同一条直线上时，有最小值，即的最小值为的长，过点A作于点T，根据勾股定理求出． 【解题过程】 解：（1）连接，交于点O，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （2）如图1，连接，交于点O，过点E作于点K． ∵四边形是菱形， ∴， ∵ ∴四边形是矩形 ∴ ∵， ∴， ∵， ∴，即． ∵， ∴． 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴的值为4． （3）①如图2，过点A作于点， ∵垂线段最短， ∴的最小值为的长， 由（1）可知菱形的面积为24， ∴， 即， 解得： ， ∴的最小值为． ②如图3，在的延长线上截取，连接，． ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴，即． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点A，点P，点R在同一条直线上时，有最小值， 即的最小值为的长， ∴的最小值为的长 过点A作于点T， 由①易知， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． · 学霸必刷 1．（24-25八年级下·山东德州·期中）如图，在菱形中，分别是边上的动点，连接和分别为的中点，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．1 【思路点拨】 连接，得到是的中位线，当时，最小，得到最小值，计算即可． 【解题过程】 解：连接，如图所示： ∵四边形是菱形， ∴， ∵G，H分别为的中点， ∴是的中位线， ∴， 当时，最小，得到最小值， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故的最小值为． 故选：D． 2．（2025·安徽合肥·二模）在菱形中，已知与相交于点，点为上一点，将沿着翻折得到，使点落在边上，则的长为（　　） A． B．2.5 C．3 D． 【思路点拨】 本题考查了菱形的性质、勾股定理、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形和折叠的性质是解题关键．先根据菱形的性质可得，，利用勾股定理可得，再设，则，根据折叠的性质可得，然后证出，根据等腰三角形的判定可得，最后在中，利用勾股定理求解即可得． 【解题过程】 解：∵在菱形中，， ∴，， ∴， 设，则， ∵点为上一点， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在中，，即， 解得，符合题意， ∴， 故选：D． 3．（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）如图，在边长为8的菱形中，点为边，上的动点，且，连接，若菱形面积为60，则的最小值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【思路点拨】 本题主要考查了菱形与三角形综合．熟练掌握菱形性质，全等三角形的判定和性质，轴对称性质，勾股定理，是解题的关键． 作点C关于的对称点G，连接交于点H，连接，则，可得，根据，得，得,得,根据菱形性质和，可得，得，得，得取得最小值为17 ． 【解题过程】 解：作点C关于的对称点G，连接交于点H，连接， 则，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵菱形中，，且， ∴， ∴， ∴， ∴当点E在线段上时，取得最小值17． 故选：C． 4．（2025·福建漳州·二模）如图，在菱形中，对角线相交于点，点是的中点，连接，若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．菱形的面积为48 D．点到的距离为 【思路点拨】 由菱形性质，结合勾股定理、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半、菱形面积公式、等面积法求线段长等知识逐项验证即可得到答案． 【解题过程】 解：A、在菱形中，对角线相交于点， ，且，， 则在中，，，由勾股定理可知， 故该选项正确，不符合题意； B、在菱形中，对角线相交于点， ，且，， 则在中，，，由勾股定理可知， 点是斜边的中点， ， 故该选项正确，不符合题意； C、在菱形中，，则菱形的面积为， 故该选项错误，符合题意； D、过点作于点，如图所示： 由等面积可知， 在菱形中，对角线相交于点， ，且，， 则在中，，，由勾股定理可知， ，解得， 则点到的距离为， 故该选项正确，不符合题意； 故选：C． 5．（24-25九年级下·浙江·期中）如图，在菱形中，，，为上一动点，连接，以为腰作等腰三角形，使得，连结．当时，的面积为（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 结合菱形的性质推出，通过“边角边”证明后，由全等三角形的性质可得，，过作延长线于点，延长交延长线于点，作交于点，结合含的直角三角形的特征、勾股定理求出、，证明四边形是矩形后，结合矩形性质即可得，最后根据即可得解． 【解题过程】 解：菱形中，，，， ， ， 即， 是以为腰的等腰三角形， ， 在和中， ， ， ，， ， 过作延长线于点，延长交延长线于点，作交于点， 则，， ，， 中，，， 中，，，， ，， ， 又， 四边形是矩形， ，， ． 故选：． 6．（2024·辽宁·模拟预测）如图，菱形的边长为，，点在对角线上，点在边上，，点为中点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【思路点拨】 关于的对称点，即连接，，，，连接交于，根据菱形的性质和轴对称的性质，可得，，再结合，可得点为中点，垂直平分，故，继而结合题意证明为等边三角形，且，，再利用勾股定理算出，再算出，根据，即可求出的最小值． 【解题过程】 解：作关于的对称点，连接，，，连接交于点，连接交于， ∵关于的对称点为， ∴ ∴ 又∵四边形为菱形， ∴， 又∵为公共边 ∴， ∴， 又∵， ∴点为中点， 又∵， ∴垂直平分， ∵点在对角线上 ∴， ∵四边形为菱形，其边长为，， ∴，，， ∴为等边三角形， 又∵， ∴， 即， ∴， 又∵， ∴， 即 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴则的最小值为， 即的最小值为， 故选C． 7．（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）如图，在菱形纸片中，，E是边的中点，将菱形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在直线上的点G处，折痕为与交于点H，有如下结论：①；②；③；④，上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【思路点拨】 连接，得到是等边三角形，根据三线合一的性质得到，由折叠得，求出的度数即可判断①；利用30度角的性质求出，勾股定理求出，即可判断②；连接，由等边对等角求出，得到，即可判断③；过点F作于点M，先求出，由折叠得，，设，则，求出，再得到，根据求出四边形的面积，即可判断④． 【解题过程】 解：如图：连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴是等边三角形， ∵E是边的中点， ∴， ∴， 由折叠得， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴，即，故②正确； 如图：连接，由折叠得， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； 如图：过点F作于点M， ∵， ∴， 由折叠得∶， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积， ∴，故④错误． 故选：B． 8．（24-25九年级上·广东广州·开学考试）如图，在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点，．动点E在线段OB上，动点F在线段OD上，点E，F同时从点O出发，以相同的速度分别向终点B，D（包括端点）运动．点E关于AD，AB的对称点为，；点F关于BC，CD的对称点为，．在整个过程中，四边形形状的变化依次是（    ） A．平行四边形→矩形→菱形→平行四边形 B．平行四边形→菱形→平行四边形→菱形 C．菱形→平行四边形→矩形→平行四边形 D．菱形→平行四边形→矩形→平行四边形 【思路点拨】 本题考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，矩形的性质与判定，勾股定理与勾股定理的逆定理，轴对称的性质，含度角的直角三角形的性质，根据题意，分放五种特殊位置分别证明四边形是菱形，平行四边形，矩形，平行四边形，菱形即可求解. 【解题过程】 解：如图中， ∵四边形是矩形， ， ， ， ， ∵对称， ，, , , 同理 , , ∴四边形是平行四边形， 如图所示, 当三点重合时, ,即 ∴四边形是菱形； 如图所示, 当分别为的中点时, 设则 在中，连接, ， 是等边三角形， ∵为中点， ， ， 根据对称性可得， ， ， 是直角三角形， 且 四边形是矩形. 当分别与重合时, 都是等边三角形，则四边形 是菱形， ∴在整个过程中，四边形形状的变化依次是菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形， 故选:D. 9．（23-24八年级下·浙江丽水·期末）如图，在菱形中，点P是对角线上一动点，于点E，于点F，记菱形高线的长为h，则下列结论：①当P为中点时，则；②；③；④若，连接，则有最小值为2；⑤若，连接，则的最大值为．其中错误的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】 本题考查菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，连接，等积法判断①和②，四边形的内角和为360度，结合菱形的对角相等，判断③，连接，过点作，根据菱形的性质和成轴对称的特征求解，判断④，连接，过点作，利用含30度角的直角三角形的性质，结合配方法判断⑤即可． 【解题过程】 解：菱形， ∴， 连接， 当P为中点时，则：， ∵于点E，于点F， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵， ，， ∴， ∴；故②正确； ∵于点E，于点F， ∴， ∴， ∵， ∴；故③正确； 连接，过点作，则垂直平分， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的值最小， ∵， ∴当点与点重合时，的值最小为的长， ∵，且， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴的最小值为，故④错误； 连接，过点作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则：， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴的最大值为；故⑤错误； 故选B． 10．（2025·陕西榆林·三模）如图，四边形是菱形，，，，分别是和上的动点，且，连接，，则的最小值为 ． 【思路点拨】 如图,连接，过点作，使得，连接.证明,推出,推出,求出即可解决问题． 【解题过程】 解：如图,连接,过点作,使得,连接.    ∵四边形是菱形, ∴, ， ∴是等边三角形, ∴, ∵, ∴, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴, ∵, ， ， ∴的最小值为． 故答案为：. 11．（2025·山东枣庄·二模）如图，在菱形中，，，点、分别是边、上的动点，且，则的最小值是 ． 【思路点拨】 连接，过点作于点，证明和都是等边三角形，再由勾股定理求得，再得出的最小值为，然后证明，进而推出是等边三角形，即可得解． 【解题过程】 解：如图，连接，过点作于点， 四边形是菱形，，， ，， 和都是等边三角形， ，， ， ， 在中，， ， 的最小值为， 在和中， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， 的最小值为， 故答案为：． 12．（2025·山东济南·二模）如图，在菱形中，，．点E、F分别是、边上的动点，且，以为边向右作等边，连接、、．当时，的值为 ． 【思路点拨】 根据菱形和等边三角形的性质，推出，，从而得到，根据30度角所对的直角边等于斜边一半，求出，，证明出、、三点共线，求出，即可得到的值． 【解题过程】 解：四边形是菱形，，， ，， ，， 是等边三角形， ，， ， ，， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， 、、三点共线， 在中，， 点是的中点， ， 故答案为：． 13．（2025·陕西西安·二模）如图，在菱形中，，．点E、F、G、H分别是边的中点，在直线上方有一动点P，且满足．则周长的最小值为 ． 【思路点拨】 证明出四边形为矩形，在上方作直线，且到的距离为，说明点在上，作点A关于的对称点，连接，交于点，则为所求，利用勾股定理求出，即可求出最小周长． 【解题过程】 解：如图，连接、交于， 点、、、分别是边、、、中点， 、为、的中位线， ，， 四边形为平行四边形， 四边形为菱形， ，，， ， 四边形为矩形， 在上方作直线，且到的距离为， ， 点在上， 作点A关于的对称点，连接，交于点， 由对称性质得，， ， 由两点之间线段最短得，此时最短，最短值为的长，则周长最小， ，， 为等边三角形， ， ， ， 点、分别是边、的中点，且， ∴，又， 为等边三角形， ， 到的距离为1， 点A到的距离为5， 点到的距离为5， ∴ ， ， 周长的最小值为， 故答案为：． 14．（2025·海南省直辖县级单位·一模）如图，菱形边长为，，是的中点，，分别是边，上的两个动点，且，连接、，则 ，的最小值是 ． 【思路点拨】 连接，过点作于点，根据勾股定理得出，进而根据，即可得出的长；延长交于点，取中点，连接并延长与延长线交于点，连接，连接，证明，得到，同理证明：，为等边三角形，继而可得是的垂直平分线，则，由，即可确定最小值． 【解题过程】 解：如图，连接，过点作于点， ∵菱形边长为，，则 ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 延长交于点，取中点，连接并延长与延长线交于点，连接，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵F是的中点，菱形边长为4， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 同理证明：， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， 当点三点共线时，取得最小值为， 故答案为：，． 15．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在边长为2的菱形中，，将沿着射线的方向平移，得到，连接，，，则的最小值为 ． 【思路点拨】 根据菱形的性质得到，，根据平移的性质得到，，推出四边形是平行四边形，得到，于是得到的最小值的最小值，根据平移的性质得到点E在过点A且平行于的定直线上，作点D关于定直线的对称点M，连接交定直线于E，通过证明得到，即可得出结论． 【解题过程】 解：连接交于点O， ∵在边长为2的菱形中，， ∴，， ∵将沿射线的方向平移得到， ∴，，点E在过点A且平行于的定直线上， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴的最小值的最小值， ∵点E在过点A且平行于的定直线上， ∴作点D关于定直线的对称点M，连接交定直线于E，则的长度即为的最小值， 根据轴对称的性质可得：， ∵， ∴， ∴，， ∴， ， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 16．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在中，，，，点是中点，点在边上，以为对角线作菱形，使，连接，当与的一条边平行时，菱形的边长为 ． 【思路点拨】 根据直角三角形的性质可得出，，，根据菱形的性质得出，，分为与的边平行和与的边平行，两种情况进行分析，结合平行线的性质、直角三角形的性质以及勾股定理即可求解． 【解题过程】 解：∵在中，，， ∴， 又∵，点是中点， ∴，， 在以为对角线的菱形中，，， 即，，， ∴，， 当与的边平行时，如图： ∵，， ∵， 在中，， ∴， 故， 在中，， ∴， ∴当与的边平行时，菱形的边长为； 当与的边平行时，如图： ∵，， ∵， 在中，， ∴， 又∵， 即， ∴， 故， 在中，， ∴， ∴当与的边平行时，菱形的边长为； 当与的边平行时，此时点不在边上，故该情况不存在； 综上，当与的一条边平行时，菱形的边长为或． 故答案为：或． 17．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，在菱形中，，过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线相交于点，是延长线上一点，且，连接，，交的延长线于点，连接．若，，则的长为 ． 【思路点拨】 连接，在上取一点N，使，连接，根据菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质可得，再根据勾股定理以及直角三角形的性质可得，进而得到，最后将代入计算即可. 【解题过程】 解：如图：连接，在上取一点N，使，连接， ∵菱形， ∴ 由题意可知：均为直角三角形， 在和， ， ∴， ∴， ∵菱形，，， ∴是线段的垂直平分线， ∴点在直线上， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 过A作于J， ∵， ∴，，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：. 故答案为：. 18．（2025·江苏扬州·一模） 如图，在中，，D为的中点，过A作，过D作分别交于点O、E，连接． （1）证明：四边形为菱形； （2）若，求菱形面积． 【思路点拨】 题目主要考查菱形的判定和性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理解三角形，直角三角形的中线性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据平行四边形的判定得出四边形为平行四边形，确定，再由直角三角形斜边中线的性质得出，结合菱形的判定即可证明； （2）根据菱形的性质得出，再由平行四边形的性质确定，结合勾股定理得出，利用菱形的性质即可求解． 【解题过程】 （1）证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵，D为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； （2）∵四边形为菱形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴菱形面积为：． 19．（2024九年级下·浙江·学业考试） 如图，在菱形中，，点分别在边上，． （1）求证：； （2）若，求四边形的面积． 【思路点拨】 （1）连结，先证明是等边三角形，然后根据菱形的性质证明即可； （2）过作于点，由勾股定理求出，由（1）可知，，则，那么由即可求解． 【解题过程】 （1）解：如图①，连结，   四边形是菱形，                        ， 是等边三角形，    ， 即， ； （2）解：如图②，过作于点， 四边形是菱形， ． 是等边三角形，， ， 由（1）可知，， ， ． 20．（23-24八年级下·云南昆明·期末）如图，在矩形中，点是的中点，延长至点，使得，连接，的延长线与的延长线交于点，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若平分，，求菱形的面积． 【思路点拨】 （1）由矩形的性质可得，，，由两直线平行内错角相等可得，利用线段中点的有关计算及已知条件可得，由对顶角相等可得，利用可证得，于是可得，进而可证得四边形是平行四边形，由于，于是结论得证； （2）由平分可得，由矩形的性质可得，，，，由两直线平行内错角相等可得，进而可得，由等角对等边可得，利用线段中点的有关计算及已知条件可得，于是可得，利用勾股定理可得，进而可得，由（1）可得，于是可得，利用菱形的性质可得，据此即可得出答案． 【解题过程】 （1）证明：四边形是矩形， ，，， ， 点是的中点，， ， 又， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形； （2）解：平分， ， 四边形是矩形， ，，，， ， ， ， 点是的中点，， ， ， ， ， 由（1）可得：， ， 菱形的面积． 21．（2025·云南楚雄·三模）在矩形中，、分别是、的中点，连接、，、分别是、的中点，连接、． （1）求证：四边形是菱形； （2）若矩形的面积为48，，求四边形的周长． 【思路点拨】 本题考查矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）连接，易证四边形为平行四边形，得到，，中点，得到，进而得到四边形为平行四边形，斜边上的中线得到，即可得证； （2）连接，交于点，根据矩形，平行四边形和菱形的面积公式推出，设，，根据菱形的面积公式得到，根据，推出，利用勾股定理结合完全平方公式的变形，求出的长，进而求出菱形的周长即可． 【解题过程】 （1）证明：连接， 在矩形中，，，，、分别为，中点， ，， ，． 又，， 四边形，为平行四边形， 又， 四边形为矩形， ， ∵为中点， ； ∵四边形为平行四边形 ，， ∵，为，的中点 ， 四边形为平行四边形， ∵， 四边形为菱形． （2）解：连接，交于点， ∵， ， ∵， ， 设，， ，即：， ∵且， 四边形为平行四边形， ， 又∵， ， ， 四边形为菱形， ， ，，， 在中，， ， ． ； 菱形的周长为． 22．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，点E是菱形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个菱形，且，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． （3）连接，若，，，求的面积． 【思路点拨】 （1）证明即可； （2）连接交于点P，得到，则，由勾股定理得，再由勾股定理求得，即； （3）设，由勾股定理得，由，结合菱形性质得到，那么，则，则，而，则，化简得到，而，则，即可求解面积． 【解题过程】 （1）证明：∵， ∴， ∴， ∵是菱形，是菱形， ∴， ∴， ∴； （2）解：在菱形中，连接交于点P，则， ∵在菱形中，， ∴， ∴， ∴， ∵在菱形中，， ∴， ∴ ∴； （3）解：如图： 设 ∵， ∴， ∴ ∵菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得，， ∵ ∴， ∴，而 ∴， ∴． 23．（24-25八年级下·广东广州·期中）已知在菱形中，． （1）如图1．过点作点，连接，点是线段的中点，连接，若，求线段的长度； （2）如图2，连接．若，点是对角线上的一个动点，求的最小值． 【思路点拨】 （1）利用含30度的直角三角形的性质求出，从而得到，利用勾股定理求出，再运用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出答案； （2）过点在直线的上方作，分别过点、作于点，于点，交于点，连接，则，，当点与重合时，的值最小，当点与重合时，．再根据菱形性质和等腰直角三角形性质即可求得答案． 【解题过程】 （1）解：，， 则，， ，， 在菱形中， ， 在中，， 点是线段的中点， ； （2）如图，过点在直线的上方作，分别过点、作于点，于点，交于点， 连接，则， 由菱形的性质可知，、关于直线对称， ， ， 当点与重合时，的值最小， 当点与重合时，． 当点与不重合时，． 四边形是菱形，， ， 又， ， ， ∴，则， ∵， ， 即的最小值是． 的最小值是． 24．（24-25八年级下·广东广州·期中）已知，，C为射线上一动点（不与B重合）），关于的轴对称图形为． （1）如图1，当点D在射线上时，求证：四边形是菱形； （2）如图2，当点D在射线，之间时，点C为的中点，且，求的长； （3）如图3，在（1）的条件下，对角线，，P为的中点，当为等腰三角形时，直接写出的长． 【思路点拨】 （1）根据翻折的性质可得，，，再证出，即可得证； （2）连接，交于M，由（1）得：，可证，设，在和中，用勾股定理列出方程即可求解； （3）分三种情形：，，，画出图形分别求解即可． 【解题过程】 （1）证明：由翻折得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （2）如图，连接， 由（1）得：，， ∵C是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设，则有， 在中：， 在中：， ∴， 解得：， ∴， ∴． （3）解：如图， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴，都是等边三角形， ∵， ∴， ∴，， ∴当点与O重合时．是等腰三角形，此时． 当时， ∴， ∴． 当时，过点P作于点J． ∵，， ， ， ， ， ， ． 综上所述，的长为或或． 25．（24-25九年级上·广东深圳·期中）已知菱形中，点F是射线上一动点（不与C、D重合），连接并延长交直线于点，交于，连接． （1）若点F在边上，且，过点C按如图所示作并交于点 ①证明：； ②猜想的形状并说明理由． （2）若菱形边长为4，当为等腰三角形时，求的长． 【思路点拨】 （1）①根据证明可得结论； ②证明，可知：是等腰三角形； （2）分两种情况： ①如图1，，过点作于，则； ②如图2，，根据等腰三角形的性质和勾股定理可解答． 【解题过程】 （1）①证明：四边形是菱形， ，， ， ， ； ②解：是等腰三角形，理由如下： 四边形是菱形， ， ，， ， ， ， 由①知：， ， ， 是等腰三角形； （2）解：分两种情况： ①如图1，当时，过点作于，则， 四边形是菱形，， ， ， ， ， ， ， 中，， ， ， ； ②如图2，当时， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∵， ， ∵，，， ∴， ， ， ， ； 综上，的长为或2． 26．（24-25八年级下·北京海淀·期中）如图，菱形中，，点E为边上一点（不与点A、B重合），连接，点F在线段上满足，连接． （1）求证：； （2）连接，点N是线段中点，连接．依题意补全图形，用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【思路点拨】 （1）先证明和都是等边三角形得，则，再根据及三角形外角性质得，由此即可得出结论； （2）依题意补全图形即可；延长到，使，连接，并在延长线上取一点，使，连接，则，证明和全等得，进而得，再证明和全等得，进而可证明是等边三角形，则，进而得 ，由此可证明和全等，则，据此即可得出线段之间的数量关系． 【解题过程】 （1）证明：如图1所示： ∵四边形是菱形，， ∴， ∴和都是等边三角形， ∴， ∴， ∵，且是的外角， ∴， ∴； （2）解：依题意补全图形，如图2所示： 线段之间的数量关系是：，理由如下： 延长到，使，连接，并在的延长线上取一点，使，连接，如图3所示： ∴， ∵点是线段中点， ∴， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 又 ∵， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 又 ∵， ∴是等边三角形， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ． 27．（24-25八年级下·上海·期中）如图，等腰中，，O为边的中点，射线交的延长线于点C，． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，点E、F分别在射线、射线上，且，求证：； （3）在（2）的条件下，连接，若为直角三角形，，直接写出的长． 【思路点拨】 （1）证明，推出，，得到是线段的垂直平分线，再得到，即可推出四边形为菱形； （2）在上取点，使，作交的延长线于点，作交的延长线于点，证明，推出，，再证明，得到，然后利用三角形的外角性质即可求得； （3）证明、和都是等边三角形，分两种情况讨论，根据等边三角形的性质结合直角三角形的性质即可求解． 【解题过程】 （1）证明：∵等腰中，，O为边的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴四边形为菱形； （2）证明：在上取点，使，作交的延长线于点，作交的延长线于点， ∵四边形为菱形，， ∴，，， ∴是等边三角形，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由三角形的外角性质知， 又， ∴； （3）解：连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∵四边形为菱形，， ∴，，， ∴和都是等边三角形， ∴， 当即时，此时， ∴， ∴， ∴； 当即时，此时， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴； ∵恒小于， ∴不存在的情况， 综上，的长为1． 28．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）在菱形中，是直线上一动点，以为边向右侧作等边按逆时针排列)，点的位置随点的位置变化而变化． （1）如图1，当点在线段上，且点在菱形内部或边上时，连结，小明通过连接后证明得到与的数量关系是______________； （2）如图2，当点在线段上，且点在菱形外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； （3）当点在的延长线上时，其他条件不变，连接，若，，求的长． 【思路点拨】 （1）根据菱形的性质及等边三角形的性质可知，再根据全等三角形的判定与性质即可解答； （2）根据菱形的性质及等边三角形的性质可知，再根据全等三角形的判定与性质即可解答； （3）根据菱形的性质及直角三角形可知，再根据全等三角形的判定与性质可知，最后利用直角三角形的性质 及勾股定理即可解答． 【解题过程】 （1）解：，理由如下： 如图，连接，延长交于点， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故答案为； （2）解：仍然成立，理由如下： 如图，连接，延长交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，，，， ∵是等边三角形 ， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解： 当点在的延长线上时，连接交于点，连接，， ∵四边形是菱形， ∴，平分，， ∵，， ∴， ∴， 由（2）可知：， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴在中，， ∴． 29．（24-25八年级下·天津·期中）如图1，在菱形中，，为边上一点，为延长线上一点，． （1）求证：； （2）连接，若，，则________； （3）如图2，交于点，延长，交的延长线于点，探究，与的数量关系．并说明理由． 【思路点拨】 （1）根据菱形的性质可得为等边三角形，可证，即可求解； （2）连接交于点，由菱形的性质得到垂直平分，，则，是等腰直角三角形，，由勾股定理的计算得到，则，，，则，由即可求解； （3）在上截取，连接，可得为等边三角形，由（1）可知，，则有，可证，得到，由即可求解． 【解题过程】 （1）解：∵四边形是菱形， ∴，， ， ， ，， 为等边三角形， ， ， ； （2）解：连接交于点， ∵四边形是菱形， ∴，平分， ∴垂直平分，， ， 又， ∴是等腰直角三角形，， ，则，， ∴，即， ∴， ∵， ∴，是等腰直角三角形， ∴，则， ； （3）解：在上截取，连接， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， ， ， 由（1）可知，， ， ， ， ． 30．（24-25八年级下·四川泸州·期中）体思想是中学数学解题的重要方法之一，贯穿于数学学习的全过程，对于问题1，樊老师给出了如下的提示：连接，利用与面积之和是菱形面积的，可求出的值． （1）如图1，在菱形中，对角线，的长分别为6和8，点为对角线上一动点（不与点、重合），过点分别作和的垂线，垂足为点和，求的值，请你写出求解过程． （2）如图2，若为矩形，点，分别在边，上，将矩形沿直线折叠，使点恰好与点重合，点落在点处．点为线段上一动点（不与点，重合），过点分别作直线，的垂线，垂足分别为和，以，为邻边作平行四边形，若，，求平行四边形的周长； （3）如图3，当点P是等边外一点时，过点分别作直线，，的垂线，垂足分别为点，，，若，请求出的面积，并写出推理过程． 【思路点拨】 （1）连接，利用与面积之和是菱形面积的，可求出的值； （2）连接，，，过点作于点，，交于点，利用折叠的性质，矩形的性质，菱形的判定与性质和直角三角形的性质求得，，再利用（1）的方法解答即可； （3）连接，，，过点作于点，设等边三角形的边长为，则，利用（1）的方法求得值，再利用三角形的面积公式解答即可得出结论． 【解题过程】 （1）解：连接，，与交于点，如图， 四边形为菱形， ，，，，菱形的面积． ， ，， ， 的面积是菱形面积的， ， ． （2）解：连接，，，过点作于点，，交于点，如图， 将矩形沿直线折叠，使点恰好与点重合，点落在点处， 垂直平分，，．， ，， 四边形为矩形， ， ． 在和中， ， ∴， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形， ， ， ，， 四边形为矩形， ， ，， 由（1）的方法可得：， ， ， 平行四边形的周长． （3）解：的面积． 连接, ，,过点A作于点K，如图， 设等边三角形的边长为a，则， ∵， ∴， ∵等边， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积． 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $$