精品解析：青海省西宁市第十四中学2023-2024学年高一下学期6月月考数学试卷

高一数学6月考试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 设l是直线，α，β是两个不同平面，则下面命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 3. 已知是空间的一个基底，若，，则下列与，构成一组空间基底的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是水平放置的直观图，其中，轴，轴，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 5. 12名跳高运动员参加一项校际比赛，成绩分别为1.70，1.65，1.68，1.69，1.72，1.59，1.60，1.67，1.74，1.78，1.55，1.75（单位：m），则比赛成绩的75%分位数是（ ） A. 1.72 B. 1.73 C. 1.74 D. 1.75 6. 如图，一艘船向正北方向航行，航行速度为每小时海里，在处看灯塔在船的北偏东的方向上.1小时后，船航行到处，在处看灯塔在船的北偏东的方向上，则船航行到处时与灯塔之间的距离为（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 7. 如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的体积为，则该半球的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 在锐角三角形中，，则边上的高的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，部分对3分，错选或多选0分，共20分. 9. 下列命题中不正确的是（ ）． A. 在中，，则 B. 在锐角中，恒成立 C. 在中，若，则必是等腰直角三角形 D. 在中，若，，则必是等边三角形 10. 某公司生产甲、乙、丙三种型号的轿车，产量分别为1200辆、6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，公司质监部门用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取46辆进行检验，则（ ） A. 在每一种型号的轿车中可采用抽签法抽取 B. 抽样比为 C. 三种型号的轿车依次抽取6辆、30辆、10辆 D. 这三种型号的轿车，每一辆被抽到的概率都是相等的 11. 已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 向量与的夹角为60° D. 向量在上的投影向量为2 12. 在三棱锥中，三条棱两两垂直，且，若点P，A，B，C均在球 O 的球面上，M 为球面上的一个动点，则（ ） A. 球 O 的表面积为 B. O 到平面 ABC 的距离为 C. 三棱锥体积的最大值为 D. 存在点 M ，使平面 ABC 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 某学校有男生400人，女生600人.为了调查该校全体学生每天睡眠时间，采用分层抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间均值为7.5小时，方差为1，女生每天睡眠时间为7小时，方差为0.5.若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为__________. 14. 若向量，满足，，，则______． 15. 如图，已知正三棱柱的底面边长为，高为，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行一周到达点的最短路线的长为______________. 16. 若，且满足，则的最大值为______. 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，17题10分，18题至22题12分，共70分. 17. 已知是平面内两个不共线的非零向量，，且三点共线． （1）求实数的值； （2）已知，点，若四点按顺时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标． 18. 四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面 , （1）证明：直线平面; （2）若△面积为，求四棱锥的体积. 19. 某地统计局就该地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在. （1）求居民月收入在的频率； （2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数； （3）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在的这段应抽多少人？ 20. 三角形三内角，，的对边分别为，，，已知. （1）求角的大小； （2）若的面积等于，为边的中点，当中线的长最短时，求边的长. 21. 如图，在堑堵中（注：堑堵是一长方体沿不在同一面上的相对两棱斜解所得的几何体，即两底面为直角三角形的直三棱柱，最早的文字记载见于《九章算术》商功章），已知平面，，，点、分别是线段、的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值. 22. 著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马（1601－1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当△ABC的三个内角均小于120°时，则使得的点P即为费马点．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，且．若是的“费马点”，． （1）求角； （2）若，求的周长； （3）在（2）的条件下，设，若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学6月考试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应点的坐标可得答案． 【详解】， 复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限． 故选：D. 2. 设l是直线，α，β是两个不同平面，则下面命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【分析】由线面平行，线面垂直，面面平行，面面垂直的性质逐项判断即可； 【详解】A：若，，则或相交，故A错误； B：若，，由线面平行和垂直的性质可得，故B正确； C：若，，则或，故C错误； D：若，，则相交或或，故D错误； 故选：B. 3. 已知是空间的一个基底，若，，则下列与，构成一组空间基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据构成空间基底的条件对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A.设，所以， 整理得，， 因为是空间的一个基底，所以，无解. 所以，与构成一个基底. B.因为，所以，所以排除B； C.因为，所以，所以排除C； D.设，所以， 整理得，， 因为是空间的一个基底，所以，所以， 所以，与不构成一个基底，排除D. 故选：A 4. 如图，是水平放置的直观图，其中，轴，轴，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】借助余弦定理计算可得直观图中的长度，结合斜二测画法可知形状及边长，即可得. 【详解】在，，， 由余弦定理可得：， 即，而，解得， 由斜二测画法可知：中，，，， 故. 故选：C. 5. 12名跳高运动员参加一项校际比赛，成绩分别为1.70，1.65，1.68，1.69，1.72，1.59，1.60，1.67，1.74，1.78，1.55，1.75（单位：m），则比赛成绩的75%分位数是（ ） A. 1.72 B. 1.73 C. 1.74 D. 1.75 【答案】B 【解析】 【分析】先将数据从小到大排序，在根据百分位数的计算方法，即可求解. 【详解】由题意，将12名学生的成绩，从小到大排序：1.55, 1.59，1.60，1.65，1.67，1.68，1.69，1.70， 1.72， 1.74，1.758，1.78，又由，所以这组数据的第75%分位数是. 故选：B. 6. 如图，一艘船向正北方向航行，航行速度为每小时海里，在处看灯塔在船的北偏东的方向上.1小时后，船航行到处，在处看灯塔在船的北偏东的方向上，则船航行到处时与灯塔之间的距离为（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 【答案】B 【解析】 【分析】确定，，根据正弦定理得到，解得答案. 【详解】，，，， 则，即，， 故选：B 7. 如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的体积为，则该半球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设半球的半径为，连接交于点，连接，利用四棱锥的体积公式求出半径，再代入球的体积公式即可求解. 【详解】依题意，设半球的半径为， 连接交于点，连接，如图所示： 则有，易得， 所以正四棱锥的体积为： ， 解得：， 所以半球的体积为：. 故选：C. 8. 在锐角三角形中，，则边上的高的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，所以有，，由三角形为锐角三角形，可得，由正弦定理可得有，最后由即可得答案. 【详解】解：由可得: , 所以， 又因为， 所以， 所以，， 又因为三角形为锐角三角形， 所以， 所以， 在中，由正弦定理可得：， 即， 故有， 因为， 所以， 所以， 所以， 又因为边上的高， 所以. 故选：D. 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，部分对3分，错选或多选0分，共20分. 9. 下列命题中不正确的是（ ）． A. 在中，，则 B. 在锐角中，恒成立 C. 在中，若，则必是等腰直角三角形 D. 在中，若，，则必是等边三角形 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理可判断A；由正弦函数的单调性可判断B；由正弦定理边化角判断C，利用余弦定理可判断D. 【详解】对于A，在中，若，则，由正弦定理可得，A正确； 对于B，锐角中，，则， 故，B正确； 对于C，在中，若，则， 即得，故或， 故或，即是等腰三角形或直角三角形，C错误； 对于D，，，则， 故，，结合，可知是等边三角形，D正确， 故选：C 10. 某公司生产甲、乙、丙三种型号的轿车，产量分别为1200辆、6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，公司质监部门用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取46辆进行检验，则（ ） A. 在每一种型号的轿车中可采用抽签法抽取 B. 抽样比为 C. 三种型号的轿车依次抽取6辆、30辆、10辆 D. 这三种型号的轿车，每一辆被抽到的概率都是相等的 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据三种随机抽样方法的特点可判断ABD；然后根据分层抽样计算可判断C. 【详解】因每一种型号的轿车数量较多，不适合用抽签法，故A错误； 在按比例分配的分层随机抽样中，抽样比为，故B正确； 在按比例分配的分层随机抽样中，三种型号的轿车应依次抽取6辆、30辆、10辆，故C正确； 在按比例分配的分层随机抽样中，每一辆被抽到的概率是相等的，故D正确． 故选：BCD 11. 已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 向量与的夹角为60° D. 向量在上的投影向量为2 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，根据向量坐标线性运算得到，进而求出模长；B选项，根据向量数量积的坐标运算法则计算；C选项，利用向量夹角计算公式计算；D选项，代入公式求出投影向量. 【详解】，所以，A错误； ，B正确； ， 因为，故，所以向量与的夹角为60°，C正确； 向量在上的投影向量为，故D正确. 故选：BCD 12. 在三棱锥中，三条棱两两垂直，且，若点P，A，B，C均在球 O 的球面上，M 为球面上的一个动点，则（ ） A. 球 O 的表面积为 B. O 到平面 ABC 的距离为 C. 三棱锥体积的最大值为 D. 存在点 M ，使平面 ABC 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题可将三棱锥补成正方体，然后利用正方体的性质及球的性质逐项分析即得. 【详解】如图，将三棱锥补成正方体，则该三棱锥的外接球与该正方体的外接球相同， 所以球O的半径为，则球O的表面积为，A错误； 由正方体的性质可知，又， 可得平面，故，同理可得，又， 可得平面，设P到平面ABC的距离为，因为， 所以由，得，得， 所以O到平面ABC的距离为，B正确； 由题可知O到平面PAB 的距离为1，故M到平面PAB的距离最大值为， 所以三棱锥体积的最大值为，C正确； 因为平面ABC，若平面ABC，则． 因为AO不垂直于PD，所以MA可以平行于PD，D正确． 故选：BCD. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 某学校有男生400人，女生600人.为了调查该校全体学生每天睡眠时间，采用分层抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间均值为7.5小时，方差为1，女生每天睡眠时间为7小时，方差为0.5.若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出总体的均值，再根据分层抽样的性质可求出总体的方差. 【详解】由题意，总体的均值为， 根据分层抽样的性质，则总体的方差为. 故答案为：0.76. 14. 若向量，满足，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题设，由平面向量的数量积的运算律求解即可. 【详解】由，有，即，得， 又，得． 故答案为：. 15. 如图，已知正三棱柱的底面边长为，高为，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行一周到达点的最短路线的长为______________. 【答案】 【解析】 【分析】沿着正三棱柱的侧棱剪开，把侧面展成一个平面图形，得到一个矩形，结合矩形的对角线长，即可求解. 【详解】如图所示，沿着正三棱柱的侧棱剪开， 把正三棱柱的侧面展成一个平面图形，可得一个长为，宽为一个矩形， 可矩形的对角线长为，即最短路线的长为. 故答案为：. 16. 若，且满足，则的最大值为______. 【答案】3 【解析】 【分析】根据复数模的几何意义，结合图形，即可求解. 【详解】，复数的轨迹表示以点为圆心，1为半径的圆，表示圆上的点到点的距离， 如图，当过点和圆的圆心，即为最大值. 故答案为： 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，17题10分，18题至22题12分，共70分. 17. 已知是平面内两个不共线的非零向量，，且三点共线． （1）求实数的值； （2）已知，点，若四点按顺时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据已知有，结合三点共线有，得，根据已知列方程求参数即可； （2）根据已知得，结合的坐标表示求点坐标. 【小问1详解】 由题意，， 由三点共线，存在实数k，使得， 即，得， 是平面内两个不共线的非零向量， ，解得． 【小问2详解】 ， 由四点按顺时针顺序构成平行四边形，则， 设，则，， 所以，解得，即点A的坐标为． 18. 四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面 , （1）证明：直线平面; （2）若△面积为，求四棱锥的体积. 【答案】（1）在平面内，因为,所以 又平面平面故平面 （2） 【解析】 【分析】（1）证明线面平有两种思路，一是寻求线线平行，二是寻求面面平行； （2）取中点，由于平面为等边三角形，则，利用面面垂直的性质定理可推出底面ABCD，设，表示相关的长度，利用的面积为，求出四棱锥的体积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接 由及 得四边形为正方形，则. 因为侧面为等边三角形且垂直于底面，平面平面， 所以底面 因为底面，所以, 设，则，取的中点，连接，则,所以， 因为的面积为，所以， 解得（舍去）， 于是 所以四棱锥的体积 19. 某地统计局就该地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在. （1）求居民月收入在的频率； （2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数； （3）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在的这段应抽多少人？ 【答案】（1）0.15 （2）2400元 （3）25人 【解析】 【分析】（1）根据图中所对应的频率/组距的值，乘上组距，即可得到月收入在的频率. （2）通过比较几个区间的频率之和与0.5的关系，判断出中位数所在区间，进而求出样本数据的中位数. （3）根据表格先居民月收入在的频率，接着计算10000人中月收入在的人数，再根据分层抽样抽出100人，计算得出月收入在的这段应抽取的人数. 【小问1详解】 月收入在的频率为： ∴居民月收入在的频率为0.15. 【小问2详解】 ， ， ， ， ∴样本数据的中位数为 ∴样本数据的中位数为2400元. 【小问3详解】 居民月收入在的频率为： ， ∴10000人中月收入在的人数为： ， 再从10000人中分层抽样方法抽出100人， 则月收入在的这段应抽取： ， ∴月收入在的这段应抽25人. 20. 三角形三内角，，的对边分别为，，，已知. （1）求角的大小； （2）若的面积等于，为边的中点，当中线的长最短时，求边的长. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理以及条件边化角得，再结合辅助角公式即可求解. （2）先由面积公式得，再在中，由余弦定理结合基本不等式即可得中线的最小值，进而可得长. 【小问1详解】 在中，由正弦定理得，. 因为,，所以， 所以，即， 又，，则， 所以. 【小问2详解】 由（1）得，所以， 在中，由余弦定理可得： ， 当且仅当，即，时，等号成立， 此时， 故. 21. 如图，在堑堵中（注：堑堵是一长方体沿不在同一面上的相对两棱斜解所得的几何体，即两底面为直角三角形的直三棱柱，最早的文字记载见于《九章算术》商功章），已知平面，，，点、分别是线段、的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】（1） 证明：连接， 因为且，故四边形为平行四边形， 因为为的中点，则为的中点， 又因为为的中点，所以，， 因为平面，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）连接，可知为的中点，利用中位线的性质可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）取中点，推导出平面，可知是直线与平面所成的角，求出的正弦值，可求出的大小，由此可得出结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：取中点，由题意可知，所以，且， 因为平面，平面，所以， 又，所以， 因为，、平面，所以平面． 连接，则是直线与平面所成的角． 由题意，同理可得， 则， 因为平面，平面，则，则， 因为，，即直线与平面所成角的余弦值为. 22. 著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马（1601－1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当△ABC的三个内角均小于120°时，则使得的点P即为费马点．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，且．若是的“费马点”，． （1）求角； （2）若，求的周长； （3）在（2）的条件下，设，若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合和差公式即可得； （2）设，由数量积定义可得，利用三角形面积公式，由可得，再结合余弦定理可求出可得周长； （3）在中，根据余弦定理列方程组求解可得，然后参变分离，利用对勾函数性质即可得解. 【小问1详解】 由已知，得， 由正弦定理，得， 即， 即， 由于，所以，所以. 【小问2详解】 设， 则． 所以，由得： ，即， 由余弦定理得，， 即，即， 又，联立解得． 所以的周长为. 【小问3详解】 设， 由（2）在中，由余弦定理得， 联立求解可得， 所以， 所以，， 即，令， 由对勾函数性质知在上单调递减， 所以．即的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $