精品解析：福建省南安市柳城中学2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题

2023-2024学年高二下学期期中数学试卷 一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1. 已知x，y的取值如下表示：若y与x线性相关，且，则a= x 0 1 3 4 y 2.2 4.3 4.8 6.7 A. 2.2 B. 2.6 C. 2.8 D. 2.9 2. 已知的展开式中所有项的系数之和为64，则展开式中含的项的系数为（ ） A. 20 B. 25 C. 30 D. 35 3. 在如图所示的正方形中随机投掷20000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为（ ） 附:若X~N(μ,σ2),P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6826,P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.9544． A. 4772 B. 6826 C. 3413 D. 9544 4. 已知，，，求（ ） A. B. C. D. 1 5. 下列说法中正确的是（ ） ①设随机变量X服从二项分布 ②已知随机变量X服从正态分布且，则 ③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则 ④． A. ②③④ B. ①②③ C. ②③ D. ①② 6. 甲、乙两位游客慕名来到江城武汉旅游，准备分别从黄鹤楼、东湖、昙华林和欢乐谷4个著名旅游景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件A：甲和乙至少一人选择黄鹤楼，事件：甲和乙选择的景点不同，则条件概率（ ） A. B. C. D. 7. 某离散型随机变量的分布列如下，若，，则（ ） 0 1 2 A. B. C. D. 8. 甲､乙两人进行羽毛球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是 ，随机变量表示最终的比赛局数，若的数学期望为，则（ ） A. B. C. D. 或 二．多选题（共3小题，满分6分，每小题18分） 9. 在的展开式中（ ） A. 常数项为 B. 项的系数为 C. 系数最大项为第3项 D. 有理项共有5项 10. 甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ） A. 若甲、乙、丙按从左到右的顺序排列，则不同的排法有12种 B. 若甲、乙不相邻，则不同的排法有72种 C. 若甲不能在最左端，且乙不能在最右端，则不同的排法共有72种 D. 如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，则不同的排法有24种 11. 一个不透明的箱子中装有5个小球，其中白球3个，红球2个，小球除颜色不同外，材质大小全部相同，现投掷一枚质地均匀的硬币，若硬币正面朝上，则从箱子里抽出一个小球且不再放回；若硬币反面朝上，则不抽取小球；重复该试验，直至小球全部取出，假设试验开始时，试验者手中没有任何小球，下列说法正确的有（ ） A. 经过两次试验后，试验者手中恰有2个白球的概率为 B. 若第一次试验抽到一个白球，则第二次试验后，试验者手有白红球各1个的概率为 C. 经过6次试验后试验停止的概率为 D. 经过6次试验后试验停止的概率最大 三．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12. 的展开式中的常数项为________． 13. 现有 ，，，，五人排成一列，其中 与相邻，不排在两边，则共有______种不同的排法（用具体数字作答）. 14. 袋中装有5个相同的红球和2个相同的黑球，每次从中抽出1个球，抽取3次按不放回抽取，得到红球个数记为X，得到黑球的个数记为Y；按放回抽取，得到红球的个数记为．下列结论中正确的是________． ①；②；③；④． （注：随机变量X的期望记为、方差记为） 四．解答题（共5小题，满分77分） 15. 若，请分别求出下列的值 （1） （2） （3） 16. 班级迎接元旦晚会有个唱歌节目、个相声节目和个魔术节目，要求排出一个节目单． （1）2个相声节目要排在一起，有多少种排法？ （2）相声节目不排在第一个节目、魔术节目不排在最后一个节目，有多少种排法？ （3）现在临时增加个魔术节目，要求重新编排节目单，要求个相声节目不相邻且个魔术节目也不相邻，有多少种排法？ 17. 某生物制品研究所将某一型号疫苗用在动物小白鼠身上进行科研和临床实验，得到统计数据如表所示．现从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为． 未感染病毒 感染病毒 总计 未注射疫苗 40 p x 注射疫苗 60 q y 总计 100 100 200 （1）求2×2列联表中的数据p、q、x、y的值； （2）能否认为注射此种疫苗有效？ （3）在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取5只进行病例分析，然后从这5只小白鼠中随机抽取3只对注射疫苗情况进行核实，求至少抽到2只为未注射疫苗的小白鼠的概率． 参考公式：其中． 临界值表： 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 18. 某市航空公司为了解每年航班正点率 对每年顾客投诉次数（单位：次）的影响，对近8年（2015年～2022年）每年航班正点率 和每年顾客投诉次数的数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值. （1）求关于的经验回归方程； （2）该市航空公司预计2024年航班正点率为 ，利用（1）中的回归方程，估算2024年顾客对该市航空公司投诉的次数； （3）根据数据统计，该市所有顾客选择乘坐该航空公司航班的概率为，现从该市所有顾客中随机抽取4人，记这4人中选择乘坐该航空公司航班的人数为，求的分布列和数学期望. 附：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： 19. 企业的产品 正常生产时，产品 尺寸服从正态分布，从当前生产线上随机抽取400件产品进行检测，产品尺寸汇总如下表： 产品尺寸 件数 8 54 54 160 72 40 12 根据产品质量标准和生产线的实际情况，产品尺寸在以外视为小概率事件.一旦小概率事件发生视为生产线出现异常，产品尺寸在以内为正品，以外为次品.. （1）判断生产线是否正常工作，并说明理由； （2）用频率表示概率，若再随机从生产线上取3件产品复检，正品检测费20元/件，次品检测费30元/件，记这3件产品检测费为随机变量，求的数学期望及方差. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年高二下学期期中数学试卷 一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1. 已知x，y的取值如下表示：若y与x线性相关，且，则a= x 0 1 3 4 y 2.2 4.3 4.8 6.7 A. 2.2 B. 2.6 C. 2.8 D. 2.9 【答案】B 【解析】 【分析】 求出，代入回归方程可求得． 【详解】由题意，， 所以，． 故选：B. 【点睛】本题考查回归直线方程，掌握回归直线方程的性质是解题关键．回归直线一定过中心点． 2. 已知的展开式中所有项的系数之和为64，则展开式中含的项的系数为（ ） A. 20 B. 25 C. 30 D. 35 【答案】B 【解析】 【分析】根据所有项的系数之和求解 ，写出的展开式，求与二项式中含的项相乘所得的项，-1与二项式中含的项相乘所得的项，两项相加，即为的展开式中含的项. 【详解】所有项的系数之和为64，∴，∴ ，展开式第项， 时，，， 时，，，， 故选：B． 3. 在如图所示的正方形中随机投掷20000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为（ ） 附:若X~N(μ,σ2),P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6826,P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.9544． A. 4772 B. 6826 C. 3413 D. 9544 【答案】B 【解析】 【分析】先根据正态分布N(0,1),求出阴影部分面积,再用频率估计概率,即可求出估计值. 【详解】解:由题知曲线C为正态分布N(0,1), 所以, 所以, 所以阴影部分的概率, 设落入阴影部分的点的个数为, 根据频率估计概率,有, 解得:. 故选:B 4. 已知，，，求（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用条件概率公式计算. 【详解】由题可得. 故选：C. 5. 下列说法中正确的是（ ） ①设随机变量X服从二项分布 ②已知随机变量X服从正态分布且，则 ③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则 ④． A. ②③④ B. ①②③ C. ②③ D. ①② 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项分布的概率公式判断①，根据正态分布的性质判断②，根据条件概率判断③，根据方差的性质判断④. 【详解】对于①：随机变量服从二项分布， 则，故①正确； 对于②：随机变量服从正态分布且， 则，故②正确； 对于③：事件 “4个人去的景点互不相同”，事件 “小赵独自去一个景点”， 则，，所以，故③正确； 对于④：，故④错误． 故选：B 6. 甲、乙两位游客慕名来到江城武汉旅游，准备分别从黄鹤楼、东湖、昙华林和欢乐谷4个著名旅游景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件A：甲和乙至少一人选择黄鹤楼，事件：甲和乙选择的景点不同，则条件概率（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据独立概率乘法公式结合条件概率公式运算求解. 【详解】设事件M：甲选择黄鹤楼，事件N：乙选择黄鹤楼， 可知， 因为事件：甲和乙均没有选择黄鹤楼， 可得，所以， 又因为事件 ：甲和乙至少一人选择黄鹤楼，且甲和乙选择的景点不同， 自然， 所以. 故选：A. 7. 某离散型随机变量的分布列如下，若，，则（ ） 0 1 2 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】可由斜率之和为1，，，构建 的等式求出 ，再用方差公式求方差即可. 【详解】分布列的概率之和为1， ，即①． ， ②． ， ， 依次代入②､①，解得， 则． 故选：D． 8. 甲､乙两人进行羽毛球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是 ，随机变量表示最终的比赛局数，若的数学期望为，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】由三局两胜的比赛制度可得随机变量可能的取值为2和3，分别求出概率，列出分布列，利用离散型随机变量的期望公式计算求得 的值． 【详解】随机变量可能的取值为2，3． ， ， 故的分布列为： 2 3 故， 由，解得或． 故选：D． 二．多选题（共3小题，满分6分，每小题18分） 9. 在的展开式中（ ） A. 常数项为 B. 项的系数为 C. 系数最大项为第3项 D. 有理项共有5项 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式可得，对A、B：分别令、，运算求解即可；对于C：可得第项的系数为，结合数列单调性分析运算；对于D：令，分析运算即可. 【详解】的展开式的通项公式， 对于A：令，解得 ，可得， 即常数项为，故A错误； 对于B：令，解得 ，可得， 即项的系数为，故B正确； 对于C：由通项公式可得：第项的系数为， 当 为偶数时，；当 为奇数时，； 取 为偶数，令，则， 整理得，解得， 所以系数最大项为第3项，故C正确； 对于D：令，则， 所以有理项共有5项，故D正确； 故选：BCD. 10. 甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ） A. 若甲、乙、丙按从左到右的顺序排列，则不同的排法有12种 B. 若甲、乙不相邻，则不同的排法有72种 C. 若甲不能在最左端，且乙不能在最右端，则不同的排法共有72种 D. 如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，则不同的排法有24种 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，定序问题采用倍缩法进行求解；B选项，采用插空法进行求解；C选项，分两种情况，若最左端排乙，最左端不排乙，分别求出两种情况下的排法，相加即可；D选项，使用捆绑法进行求解； 【详解】对于A，甲乙丙按从左到右的顺序排列的排列有种情况，故A错误； 对于B，先安排丙，丁，戊三人，有种情况，再将甲乙两人插空，则有种情况，故甲乙不相邻的排法种数为种情况，故B正确； 对于C，若最左端排乙，此时其余四人可进行全排列，故有 种；若最左端不排乙，则最左端只能从丙，丁，戊选出1人，又乙不能在最右端，则有种情况，则共有种站法，故C错误； 对于D，将甲与乙捆绑，看做一个整体且固定顺序，再与其他三人站成一排，故有 种，故D正确； 故选：BD 11. 一个不透明的箱子中装有5个小球，其中白球3个，红球2个，小球除颜色不同外，材质大小全部相同，现投掷一枚质地均匀的硬币，若硬币正面朝上，则从箱子里抽出一个小球且不再放回；若硬币反面朝上，则不抽取小球；重复该试验，直至小球全部取出，假设试验开始时，试验者手中没有任何小球，下列说法正确的有（ ） A. 经过两次试验后，试验者手中恰有2个白球的概率为 B. 若第一次试验抽到一个白球，则第二次试验后，试验者手有白红球各1个的概率为 C. 经过6次试验后试验停止的概率为 D. 经过6次试验后试验停止的概率最大 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A、B选项利用条件概率公式计算即可；对于C项，利用二项分布计算；对于D项，设实验 次结束的概率为，令，由C项化简得，即得结果. 【详解】记事件“一次实验硬币正面朝上”，则“一次实验硬币反面朝上”，则. 从箱子中不放回地抽球，记 “第次抽到白球”，记 “第次抽到红球”， “第次硬币正面朝上且抽到白球”， “第次硬币正面朝上且抽到红球”， 对于A项,， 经过两次实验后，实验者手中恰好有2个白球的概率为：，故A正确； 对于B项，已知第一次拿到白球，第二次拿到红球的概率为：,故B正确； 对于C项，实验6次结束，则前5次有4次硬币正面朝上，第6次硬币正面朝上，故其概率为：，故C正确； 对于D项，实验 次结束的概率为，则，， 令，得化简可得，解得，即， 所以经过8次或9次实验后小球全部取出的概率最大，故D错误. 故选：ABC 【点睛】关键点睛：本题D选项的解决关键是理解试验停止时的条件，从而求得实验 次结束的概率，利用作商法求得中的最大项，从而得解. 三．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12. 的展开式中的常数项为________． 【答案】15 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式求解即可. 【详解】的展开式通项公式为， 令，解得， 所以常数项为． 故答案为： 13. 现有，，，，五人排成一列，其中与相邻，不排在两边，则共有______种不同的排法（用具体数字作答）. 【答案】24 【解析】 【分析】法一：先将 捆绑，再排除以外其他人，最后插空即可； 法二：先将 捆绑，进行全排列，再减去在两边的情况. 【详解】法一：将 捆绑，则除以外其他四人的排序有种，又不排在两边， 所以可选的位置有两种，所以共 种排法； 法二：将 捆绑，若的位置任意，则五人的排序有种， 其中排在两边的情况有种， 所以不排在两边的情况有种； 故答案为：. 14. 袋中装有5个相同的红球和2个相同的黑球，每次从中抽出1个球，抽取3次按不放回抽取，得到红球个数记为X，得到黑球的个数记为Y；按放回抽取，得到红球的个数记为．下列结论中正确的是________． ①；②；③；④． （注：随机变量X的期望记为、方差记为） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据不放回抽取，确定红球个数X的可能取值以及黑球个数为Y的可能取值，求出每个值对应的概率，即可求得的期望和方程，判断①，②；按放回抽取，可知，求出其期望和方程，即可判断③，④. 【详解】由题意抽取3次按不放回抽取，可得红球个数X的可能取值为 ， 黑球个数Y的可能取值为， 则， ， ， 故； 由题意可知， 故,,, 故， 故，故①正确； ， ， 即，故②错误； 抽取3次按放回抽取，每次抽取到红球的概率为， 得到红球的个数记为，则， 故， 故，，即③，④正确， 故答案为：①③④ 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是明确不放回抽取和放回抽取的区别，从而计算变量的期望和方程，不放回抽取时，要考虑互斥情况，计算概率；放回抽取时，可确定变量服从二项分布，从而可求解问题. 四．解答题（共5小题，满分77分） 15. 若，请分别求出下列的值 （1） （2） （3） 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）令，即可求出答案； （2）把求和问题转化为二项式的展开式的各个项的系数和，令即可求解； （3）利用导数及赋值法即可得解. 【小问1详解】 由， 令得，所以. 【小问2详解】 因为的和为二项式的展开式的各个项的系数和， 令则； 【小问3详解】 令， 则，且， 令，则，且， 所以. 16. 班级迎接元旦晚会有个唱歌节目、个相声节目和个魔术节目，要求排出一个节目单． （1）2个相声节目要排在一起，有多少种排法？ （2）相声节目不排在第一个节目、魔术节目不排在最后一个节目，有多少种排法？ （3）现在临时增加个魔术节目，要求重新编排节目单，要求个相声节目不相邻且个魔术节目也不相邻，有多少种排法？ 【答案】（1） 种 （2） 种 （3）种 【解析】 【分析】（1）根据捆绑法即可得到答案； （2）利用全排列公式减去不符合题意的情况即可； （3）利用全排列公式减去不符合题意的情况即可. 【小问1详解】 将个相声节目捆绑在一起，看成个节目，与其余个节目一起排， 则共有种不同排法； 【小问2详解】 若相声节目排在第一个节目，则有种不同排法， 若魔术节目排在最后一个节目，则有种不同排法， 若相声节目排在第一个节目，并且魔术节目排在最后一个节目，则有种不同排法， 则相声节目不排在第一个节目、魔术节目不排在最后一个节目， 可以用个节目的全排列减去相声节目排在第一个节目的排列数和魔术节目排在最后一个节目的排列数， 再加上相声节目排在第一个节目并且魔术节目排在最后一个节目的排列数， 所以共有种不同排法； 【小问3详解】 若个相声节目相邻，则有种不同排法， 若个魔术节目相邻，也有种不同排法， 若个相声节目相邻，并且个魔术节目也相邻，则有种不同排法， 则个相声节目不相邻且个魔术节目也不相邻，可由个节目的全排列减去个相声节目相邻的排列数和个魔术节目相邻的排列数， 再加上个相声节目相邻并且个魔术节目也相邻的排列数， 所以共有种不同排法． 17. 某生物制品研究所将某一型号疫苗用在动物小白鼠身上进行科研和临床实验，得到统计数据如表所示．现从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为． 未感染病毒 感染病毒 总计 未注射疫苗 40 p x 注射疫苗 60 q y 总计 100 100 200 （1）求2×2列联表中的数据p、q、x、y的值； （2）能否认为注射此种疫苗有效？ （3）在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取5只进行病例分析，然后从这5只小白鼠中随机抽取3只对注射疫苗情况进行核实，求至少抽到2只为未注射疫苗的小白鼠的概率． 参考公式：其中． 临界值表： 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1），，， （2）能认为注射此种疫苗有效 （3） 【解析】 【分析】（1）根据概率及表中的数据可求解； （2）由公式计算可判断； （3）先求出基本事件总数，再求概率即可. 【小问1详解】 由从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为，可得，解得， 又由表格中的数据可知，解得， 于是. 【小问2详解】 因为，所以能认为注射此种疫苗有效． 【小问3详解】 由于在感染病毒的小白鼠中，未注射疫苗和注射疫苗的比例为3：2，故抽取的5只小白鼠中3只未注射疫苗用a、b、c表示，2只已注射疫苗用D、E表示．从这5只小白鼠中随机抽取3只，可能的情况共有以下10种： ，，，，，，，，，； 其中至少抽到2只为未注射疫苗的小白鼠的情况有以下7种： ，，，，，，； 所以至少抽到2只为未注射疫苗的小白鼠的概率为． 18. 某市航空公司为了解每年航班正点率 对每年顾客投诉次数（单位：次）的影响，对近8年（2015年～2022年）每年航班正点率 和每年顾客投诉次数的数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值. （1）求关于的经验回归方程； （2）该市航空公司预计2024年航班正点率为 ，利用（1）中的回归方程，估算2024年顾客对该市航空公司投诉的次数； （3）根据数据统计，该市所有顾客选择乘坐该航空公司航班的概率为，现从该市所有顾客中随机抽取4人，记这4人中选择乘坐该航空公司航班的人数为，求的分布列和数学期望. 附：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： 【答案】（1） （2） （3）分布列为： 【解析】 【分析】（1）根据题中数据利用最小二乘法求出，即可得解； （2）将 代入回归方程即可得解； （3）先写出随机变量的所有可能取值，再求出对应概率，即可得分布列，再根据期望公式求期望即可. 【小问1详解】 ， 则 ， 所以 ， 所以 ； 【小问2详解】 当 时， ， 所以2024年顾客对该市航空公司投诉的次数为次； 【小问3详解】 可取 ， ，， ，， ， 所以分布列为 所以 . 19. 企业的产品 正常生产时，产品 尺寸服从正态分布，从当前生产线上随机抽取400件产品进行检测，产品尺寸汇总如下表： 产品尺寸 件数 8 54 54 160 72 40 12 根据产品质量标准和生产线的实际情况，产品尺寸在以外视为小概率事件.一旦小概率事件发生视为生产线出现异常，产品尺寸在以内为正品，以外为次品.. （1）判断生产线是否正常工作，并说明理由； （2）用频率表示概率，若再随机从生产线上取3件产品复检，正品检测费20元/件，次品检测费30元/件，记这3件产品检测费为随机变量，求的数学期望及方差. 【答案】（1）生产线没有正常工作；理由见解析 （2）期望是（元）；方差是. 【解析】 【分析】（1）由产品 尺寸服从正态分布，得到正常产品尺寸范围，从而计算出实际次品数和生产线正常工作的次品数的上限，继而可判断生产线是否正常工作. （2）随机从生产线上取3件产品复检为独立重复试验，这3件产品中次品件数服从二项分布，可算出其期望和方差，则可算出3件产品检测费的期望和方差. 【小问1详解】 产品 尺寸服从正态分布， ，且正常产品尺寸范围为. 生产线正常工作，次品不能多于（件）， 而实际上，超出正常范围以外的零件数为20，故生产线没有正常工作； 【小问2详解】 尺寸在以外的就是次品，故次品率为. 记这3件产品中次品件数为，则服从二项分布， ， 则， 所以的数学期望是（元）， 方差是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $