精品解析：广东省惠州市龙门县高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

龙门县高级中学2023-2024学年第二学期高二级期中考试 数学试卷 命题人：廖美如 刘诗瑶 审题人：邓平 吴秀娟 一、单选题 1. 某物体沿直线运动，位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，该物体在时的瞬时速度是（ ） A. B. C. D. 2. 学校组织社团活动，要求每名同学必须且只能参加一个社团，现有4个社团供5名同学选择，则不同的选择方法有（ ） A. B. 20 C. D. 3. 下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知与是两个事件，，则（ ） A. 0.18 B. 0.3 C. 0.5 D. 0.6 5. 纸箱内有除颜色外完全相同的4个白球、3个绿球，纸箱内有除颜色外完全相同的3个白球、3个绿球，先从纸箱中随机摸出一个球放入纸箱中，然后从纸箱中随机摸出一个球.事件“从纸箱中随机摸出一个绿球”记为，事件“从纸箱中随机摸出一个绿球”记为，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数 的导函数 的图象如图所示，那么对于函数 ，下列说法正确的是（ ） A. 在 上单调递增 B. 在 上单调递减 C. 在 处取得最大值 D. 在 处取得极大值 7. 函数在区间上的最小值，最大值分别为（ ） A. 0， B. 0， C. ， D. ， 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. （多选）下列命题正确的有（ ） A. 已知函数在上可导，若，则 B. C. 已知函数，若，则 D. 设函数的导函数为，且，则 10. 现有带有编号的五个球及四个不同的盒子，则下列表述正确的有（ ） A. 全部投入4个不同的盒子里，允许有空盒，共有种放法 B. 全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，共有种不同的放法 C. 将其中的4个球投入4个盒子里的一个（另一个球不投入），共有种放法 D. 全部投入2个不同的盒子里，每盒至少一个，共有种放法 11. 已知函数，下列说法中正确的有（ ） A. 曲线在点处的切线方程为 B. 函数的极小值为 C. 函数的单调增区间为 D. 当时，函数的最大值为，最小值为 三、填空题 12. 设，是一个随机试验中的两个事件，若，，，则________. 13. 函数f(x）＝ex在点(0，1）处的切线的斜率是________． 14. 的展开式中的系数为______． 四、解答题 15. 求下列函数的导数． （1）（t为常数）； （2）． 16. 现有4名男生和3名女生. （1）若安排这7名学生站成一排照相，要求3名女生互不相邻，这样的排法有多少种？ （2）若邀请这7名学生中的4名参加一项活动，其中男生甲和女生乙不能同时参加，求邀请的方法种数； （3）若将这7名学生全部安排到5个备选工厂中的4个工厂参加暑期社会实践活动，要求3名女生必须安排在同一个工厂，求这样安排的方法共有多少种？ 17. 已知展开式的二项式系数和为512，且 （1）求的值； （2）求的值； （3）求除以6的余数. 18. 某校为庆祝元宵节，举办了游园活动，活动中有一个填四字成语的游戏，该游戏共两关． （1）第一关中一个四字成语给出其中三个字，参与游戏者需填对所缺的字．小李知道该成语的概率是，且小李在不知道该成语的情况下，填对所缺的字的概率是．记事件为“小李通过第一关”，事件为“小李知道该成语”． ①求小李通过第一关的概率； ②在小李通过第一关的情况下，求他知道该成语的概率． （2）小李已通过第一关来到第二关．第二关为挑战关卡，该关卡共五局，每一局互不影响，但难度逐级上升，小李知道第局成语的概率仍为，但是在不知道该成语的情况下，填对所缺的字的概率为，已知每一局答对的得分表如下（答错得分为0）： 局数 第一局 第二局 第三局 第四局 第五局 得分 1分 2分 4分 7分 11分 若获得15分及以上则挑战成功且游戏结束，求在第一局和第二局答对的情况下，小李挑战成功的概率（保留两位小数）． 19. 已知函数， （1）当时，求函数在上的最大值和最小值； （2）讨论函数的单调性； （3）若曲线在点处的切线与轴垂直，不等式对恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙门县高级中学2023-2024学年第二学期高二级期中考试 数学试卷 命题人：廖美如 刘诗瑶 审题人：邓平 吴秀娟 一、单选题 1. 某物体沿直线运动，位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，该物体在时的瞬时速度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的物理意义直接求解即可. 【详解】， 当时，， 即该物体在时的瞬时速度是. 故选：B. 2. 学校组织社团活动，要求每名同学必须且只能参加一个社团，现有4个社团供5名同学选择，则不同的选择方法有（ ） A. B. 20 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由分步乘法计数原理列式计算即可. 【详解】由分步乘法计数原理可知不同的选择方法有. 故选：C. 3. 下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本初等函数的导数公式逐个判断选项即可. 【详解】由基本初等函数的导数公式得，， ，，显然A正确. 故选：A 4. 已知与是两个事件，，则（ ） A. 0.18 B. 0.3 C. 0.5 D. 0.6 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件概率公式即可求解. 【详解】由题意得，故C正确. 故选：C. 5. 纸箱内有除颜色外完全相同的4个白球、3个绿球，纸箱内有除颜色外完全相同的3个白球、3个绿球，先从纸箱中随机摸出一个球放入纸箱中，然后从纸箱中随机摸出一个球.事件“从纸箱中随机摸出一个绿球”记为，事件“从纸箱中随机摸出一个绿球”记为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由条件概率的计算公式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为纸箱内有4个白球、3个绿球，所以. 若从纸箱中摸出的绿球放入纸箱中，此时纸箱中有3个白球、4个绿球， 因此. 所以， 故选：C. 6. 已知函数 的导函数 的图象如图所示，那么对于函数 ，下列说法正确的是（ ） A. 在 上单调递增 B. 在 上单调递减 C. 在 处取得最大值 D. 在 处取得极大值 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定函数图像，判断导数的正负时的取值范围，再利用单调性逐项判断即可. 【详解】由导函数图像可知，当或时，， 当，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故选项A，B错误； 在处取得极大值，且，故C错误，D正确； 故选：D. 7. 函数在区间上的最小值，最大值分别为（ ） A. 0， B. 0， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】借助导数研究函数的单调性即可得其最值. 【详解】， 则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故有最大值， 又，， 故的最小值为. 故选：C. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导后代入求解即可. 【详解】对两边同时求导， 得， 令，得. 故选：C 二、多选题 9. （多选）下列命题正确的有（ ） A. 已知函数在上可导，若，则 B. C. 已知函数，若，则 D. 设函数的导函数为，且，则 【答案】CD 【解析】 【分析】本题考查了导数的定义、基本求导公式和法则，掌握导数的定义及常见函数的求导方法是解题的关键． 根据导数的定义、求导公式和法则，逐一计算并判断各选项的正确性． 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，若，则，即，故C正确； 对于D，，故，故，故D正确． 故选：CD． 10. 现有带有编号的五个球及四个不同的盒子，则下列表述正确的有（ ） A. 全部投入4个不同的盒子里，允许有空盒，共有种放法 B. 全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，共有种不同的放法 C. 将其中的4个球投入4个盒子里的一个（另一个球不投入），共有种放法 D. 全部投入2个不同的盒子里，每盒至少一个，共有种放法 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据分步乘法原理以及分组分配问题的解法，一一求解各选项中的球的放法，即可判断出答案. 【详解】对于A，五个球全部投入4个不同的盒子里，允许有空盒， 每个球都有4种投法，故共有种放法，A正确； 对于B，五个球全部投入4个不同的盒子里，没有空盒， 则有2个球投入一个盒中，此时共有种不同的放法，B正确； 对于C，将其中的4个球投入4个盒子里的一个（另一个球不投入）， 先选出4个球，再选出一个盒子，共有种放法，C正确； 对于D，全部投入2个不同的盒子里，每盒至少一个， 先选出2个盒子，由种选法，再将5个球分成2组，若2组球个数比为， 则有种分法，若2组球个数比为，则有种分法，再将2组球放入2个盒子， 故此时共有种放法，D错误， 故选：ABC 11. 已知函数，下列说法中正确的有（ ） A. 曲线在点处的切线方程为 B. 函数的极小值为 C. 函数的单调增区间为 D. 当时，函数的最大值为，最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用导数的几何意求解判断即可，对于BC，对函数求导后，由导数的正负可求出函数的单调区间，从而可求出函数的极值；对于D，求出函数的单调区间，进而可求出函数的最值. 【详解】由，得， 对于A，因为，， 所以曲线在点处的切线方程为，即，所以A正确； 对于B，由，得或舍去， 当时，， 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取极大值，无极小值， 所以B错误，C正确； 对于D，由选项BC，可知当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值为， 因为， 所以的最小值为，所以D正确， 故选：ACD. 三、填空题 12. 设，是一个随机试验中的两个事件，若，，，则________. 【答案】##0.3 【解析】 【分析】利用条件概率和和事件的概率公式进行计算即可. 【详解】由条件概率的公式：， 计算和事件的概率：， 可得. 故答案为：. 13. 函数f(x）＝ex在点(0，1）处的切线的斜率是________． 【答案】1 【解析】 【详解】解析：因为f′(x）＝ex，所以函数f(x）＝ex在点(0，1）处的切线的斜率是f′(0）＝e0＝1. 【考查意图】导数的几何意义． 14. 的展开式中的系数为______． 【答案】765 【解析】 【分析】借助二项展开式通项公式求解. 【详解】的展开式的通项， 则的展开式中项为： ， 故展开式中的系数为765. 故答案为：765 四、解答题 15. 求下列函数的导数． （1）（t为常数）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】根据题意，利用导数的运算法则，以及复合函数的求导法则，准确计算，即可求解. 【小问1详解】 解：由函数， 可得. 【小问2详解】 解：由函数， 可得. 16. 现有4名男生和3名女生. （1）若安排这7名学生站成一排照相，要求3名女生互不相邻，这样的排法有多少种？ （2）若邀请这7名学生中的4名参加一项活动，其中男生甲和女生乙不能同时参加，求邀请的方法种数； （3）若将这7名学生全部安排到5个备选工厂中的4个工厂参加暑期社会实践活动，要求3名女生必须安排在同一个工厂，求这样安排的方法共有多少种？ 【答案】（1）1440 （2）25 （3）1200 【解析】 【分析】（1）采用插空法进行求解即可； （2）采用去杂法进行求解即可； （3）根据分类加法计数原理，结合排列和组合的定义进行求解即可. 【小问1详解】 由题意可知；运用插空法，可得共有排法数为种. 【小问2详解】 由题意可知：邀请这7名学生中的4名参加一项活动共有种方法， 男生甲和女生乙同时参加的方法有 共有邀请方法数为种. 【小问3详解】 有两类不同情形： ①先选4个工厂，将3名女生和1名男生安排在同一个工厂，其余3名男生分别在另三个工厂，一厂安排一人，其方法数为种； ②先选4个工厂，将3名女生安排在一个工厂，4名男生安排在另外三个工厂，有一厂两人，另两厂各一人， 其方法数为种. 所以共有种不同的安排方法. 17. 已知展开式的二项式系数和为512，且 （1）求的值； （2）求的值； （3）求除以6的余数. 【答案】（1）144 （2）19682 （3）1 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，得到，结合，进而求得的值； （2）令，求得，再令，求得，进而求得的值； （3）化简，进而求得除以的余数. 【小问1详解】 解：由展开式的二项式系数和为512，可得，解得， 又由，可得. 【小问2详解】 解：令，即，可得， 令，即，可得， 所以. 【小问3详解】 解：由，可得， 因为能被整除， 所以除以的余数为. 18. 某校为庆祝元宵节，举办了游园活动，活动中有一个填四字成语的游戏，该游戏共两关． （1）第一关中一个四字成语给出其中三个字，参与游戏者需填对所缺的字．小李知道该成语的概率是，且小李在不知道该成语的情况下，填对所缺的字的概率是．记事件为“小李通过第一关”，事件为“小李知道该成语”． ①求小李通过第一关的概率； ②在小李通过第一关的情况下，求他知道该成语的概率． （2）小李已通过第一关来到第二关．第二关为挑战关卡，该关卡共五局，每一局互不影响，但难度逐级上升，小李知道第局成语的概率仍为，但是在不知道该成语的情况下，填对所缺的字的概率为，已知每一局答对的得分表如下（答错得分为0）： 局数 第一局 第二局 第三局 第四局 第五局 得分 1分 2分 4分 7分 11分 若获得15分及以上则挑战成功且游戏结束，求在第一局和第二局答对的情况下，小李挑战成功的概率（保留两位小数）． 【答案】（1）①② （2） 【解析】 【分析】利用全概率公式和条件概率公式计算即可；利用全概率公式计算每一局过关的概率，在通过分析在第一局和第二局答对的情况下，小李挑战成功,即获得15分及以上，则有三类情况，在求得所求概率 【小问1详解】 ①依题可知， 由全概率公式可得 ②所求概率 【小问2详解】 在第一局和第二局答对的情况下，小李挑战成功,即获得15分及以上， 则有三类情况：第一类第三四五局全答对；第二类第三局答错，第四五局答对；第三类第三局答对，第四局答错，第五局答对, 记事件为“小李通过第局”，事件为“小李知道该成语”． 题可知， 由全概率公式可得 则在第一局和第二局答对的情况下，小李挑战成功的概率为 19. 已知函数， （1）当时，求函数在上的最大值和最小值； （2）讨论函数的单调性； （3）若曲线在点处的切线与轴垂直，不等式对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）最大值为，最小值是； （2）当时，在单调递减，在单调递增，当时，在上单调递减. （3）. 【解析】 【分析】（1）利用导数求函数在闭区间上的最值； （2）利用导数分类讨论函数的单调性； （3）利用导数的几何意义确定的值，接着分离参数得在上恒成立，令，利用导数求函数的最小值，实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，，所以， 令时，， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， ，所以在取得极小值，也是最小值， ， 又 . 在上的最大值为，最小值是； 【小问2详解】 当时，令，解得：， 令，解得：， 所以在单调递减，在单调递增， 当时，在上恒成立， 所以在上为减函数， 当时，在恒成立， 所以在上单调递减. 综上，当时，在单调递减，在单调递增， 当时，在上单调递减. 【小问3详解】 ，依题意：，解得：， 所以， 又对恒成立，即， 所以在上恒成立. 令， 当时，函数单调递减， 当时 函数单调递增， 时， 故， 所以的取值范围为. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． （3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $