精品解析：湖南省衡阳市衡阳县第二中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题

衡阳县第二中学2023-2024年下学期高二期中考试 数学试卷 第Ⅰ卷（选择题） 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 在的展开式中，项的系数为（ ） A. 1 B. 10 C. 40 D. 80 【答案】D 【解析】 【分析】利用通项求解可得. 【详解】通项公式为， 当时，， 所以项的系数为80. 故选：D 2. 某宿舍6名同学排成一排照相，其中甲与乙必须相邻，丙与丁互不相邻的不同排法有（ ） A. 72种 B. 144种 C. 216种 D. 256种 【答案】B 【解析】 【分析】把甲与乙看作一个元素，再把丙与丁利用插空法求解. 【详解】先把甲与乙捆绑与另外两人排列，有种方法， 再把丙与丁插入空中，有种方法，由分步计数原理可得共有种排法. 故选：B. 3. 已知函数，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义及求出答案. 【详解】由导数的定义可知，又， 故选：C 4. 已知抛物线：，过直线：上的动点可作的两条切线，记切点为，则直线（ ） A. 斜率为2 B. 斜率为 C. 恒过点 D. 恒过点 【答案】D 【解析】 【分析】设，求导，根据导函数几何意义得到切线方程，设，将其代入两切线方程，得到直线的方程为，得到过定点. 【详解】设，则，， 由于，故过点的切线方程为， 即，即， 同理可得过点的切线方程为， 设，过点的两切线交于点， 故，整理得， 同理，整理得， 故直线的方程为， 斜率不为定值，AB错误，当时，，恒过点，C错误，D正确. 故选：D 5. 已知数列的前n项和为，则（ ） A. 81 B. 162 C. 243 D. 486 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用列式计算即得. 【详解】数列的前n项和为，所以. 故选：B 6. 抛物线上一点到其焦点的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求得抛物线的方程，得到焦点坐标和准线方程，结合抛物线的定义，即可求解. 【详解】由抛物线上一点，可得，解得，即， 可得抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 又由抛物线的定义，可得. 故选：B. 7. 已知圆，直线与圆C（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相交或相切 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由直线的方程分析可得直线过定点，结合圆的方程分析可得在圆上，据此由直线与圆的位置关系分析可得直线与圆一定相交或相切，即可得答案． 【详解】根据题意，直线的方程为，恒过定点， 设为，又由圆，即， 其圆心为，半径， 由，则在圆上， 则直线与圆相交或相切. 故选：D． 8. 正方体中，是中点，则直线与线所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解. 【详解】依题意建立空间直角坐标系，如图， 不妨设，则， 故， 所以， 所以直线与线所成角的余弦值为. 故选：A. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 正方体的棱长为，，，分别为，，的中点．则（　　） A. B. 若是平面的法向量，则 C. 平面截正方体所得的截面面积为 D. 点与点到平面的距离相等 【答案】BC 【解析】 【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间坐标运算可判断选项A,B;根据条件求得平面截正方体所得的截面图形，计算面积即可判断选项C;利用，即可判断D. 【详解】如图所示，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则,,， 则，所以，故A错误； 设平面的法向量为，又, 所以,即，取，得， 所以，又，所以，故B正确； 连接,则且，又所以, 连接,因此面截正方体所得的截面为四边形，易得四边形为等腰梯形， ,过点作于, 梯形的高为, 则梯形的面积为,故C正确； , , 故,三棱锥和三棱锥同底， 因此点到平面的距离是点到平面的距离的2倍，故D错误， 故选：BC. 10. 抛物线的焦点为，抛物线上一点到焦点的距离为2，过焦点的直线与抛物线交于两点，下列说法正确的是（ ） A. B. 若直线的倾斜角为，则 C. D. 若在轴的上方，则直线的斜率为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由抛物线的概念求出，判断A；直曲联立求出过焦点的弦长，判断B；设出过点的直线方程，直曲联立，由抛物线的性质表示出，然后代入，化简可得，判断C；由抛物线的概念，算出直线倾角的正切值，即可判断D. 【详解】对于A，，错误． 对于B，直线的方程为，由得． 设，则，故，正确． 对于C，设过点的直线方程为，代入抛物线方程，得， 化简后为，设，则有． 根据抛物线性质可知，， ，正确． 对于D，过分别向准线作垂线，交于点，过作于点， 不妨设，则， 在中，，直线的斜率为，正确． 故选：BCD． 11. 数列3，，…的通项公式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】代入检验四个选项中通项公式的前两项，得到答案. 【详解】对于A，把代入，即得与数列不符，故A错误； 对于B，把分别代入，即得与数列相符，故B正确； 对于C，分别把代入，即得，故C正确； 对于D，把代入，即得，与数列不符，故D错误． 故选：BC． 第Ⅱ卷（非选择题） 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若则的值__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，分别令令和令，分别求得和，即可求解. 【详解】由， 令，可得； 令，可得， 所以. 故答案为：. 13. 已知函数在处取得极值5，则____． 【答案】 【解析】 【分析】求得，结合题意，列出方程组，求得的值，即可求解. 【详解】由函数，可得， 因为函数在处取得极值，可得， 解得，所以. 故答案为：. 14. 已知抛物线的焦点为，若是该抛物线上一点，点，则的最小值______. 【答案】5 【解析】 【分析】利用抛物线的定义转化为点到线的距离问题求解. 【详解】抛物线的准线方程为， 则的最小值为到准线的距离，即为. 故答案为：. 四､解答题（本题共5小题，共77分） 15. 如图所示，在直四棱柱中，底面是菱形，，，分别为，的中点． （1）求证：平面； （2）若，求与平面所成角的正弦值； 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，连接，，根据线线平行证明线面平行； （2）建立空间直角坐标系，利用坐标法求线面夹角. 【小问1详解】 如图所示，连接，连接，， ，分别为，的中点， 且， 且， 四边形为平行四边形， ， 又平面，平面， 平面； 【小问2详解】 如图所示， 连接，取中点，连接， 由已知直四棱柱的底面为菱形， 平面，， 以点为坐标原点，，，方向分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 又，， ，，， ，，，，，， 则，，， 设平面的法向量， 则，令，则， ， 即直线与平面所成角的正弦值为. 16. 已知圆C和直线，若圆C的圆心为(0,0)，且圆C经过直线和的交点． （1）求圆C的标准方程； （2）过定点(1,2)的直线l与圆C交于M，N两点，且，求直线l的方程． 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据题意联立直线和的直线方程，求得交点，进而求得半径，即可得解； （2）根据题意，结合垂径定理求得圆心到直线距离，讨论直线l的斜率不存在和存在两种情况进行讨论，即可得解. 【小问1详解】 首先由可得， 所以直线和相交于点， 所以圆C的半径， 所以圆C的标准方程为. 【小问2详解】 当直线l的斜率不存在时，方程为，代入圆C方程为可得， 此时，符合题意， 当直线l的斜率存在时，设直线方程为， 根据题意圆心到直线的距离为， 所以，解得，此时直线方程为， 所以直线l方程为或. 17. 已知为数列的前项和，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用的关系，结合等比数列的定义求通项公式. （2）利用错位相减法求和可得结果. 【小问1详解】 当时，，可得， 当时，，可得，则， 是首项､公比都为的等比数列， 故. 【小问2详解】 由题设，， ， 则， 所以 ， 所以 18. 如图所示，椭圆的左、右焦点分别为，，一条直线经过与椭圆交于，两点． （1）求焦点坐标，焦距，短轴长； （2）若直线的倾斜角为，求的面积． 【答案】（1）焦点坐标为，，焦距为，短轴长为； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆方程求得，再根据求出，再根据相关定义即可求解； （2）通过直线与椭圆方程建立方程组，化简得到关于的一元二次方程，进而得到，根据图象可得，进而得解. 【小问1详解】 设长半轴、短半轴、焦距分别为，由已知方程得到，，所以，，由得， 故焦点坐标为，，焦距为，短轴长为； 【小问2详解】 设，， 由已知得直线的方程为，与联立方程组得， 则，， 故， 令的面积为，所以. 19 已知函数． （1）求的最小值； （2）若对所有都有，求实数的取值范围； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，求解最小值即可； （2）对于不等式恒成立求参数的取值范围问题，分离参数转化为利用导数求函数的最小问题即可求解. 【小问1详解】 的定义域是，， 令，解得，令，解得， 故上单调递减，在上单调递增， 故f(x)min＝＝． 【小问2详解】 ∵，当时，恒成立， 等价于在时恒成立， 等价于在时恒成立， 令，，则即可； ∵，∴当时，恒成立， ∴在上单调递增，∴， ∴，即实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 衡阳县第二中学2023-2024年下学期高二期中考试 数学试卷 第Ⅰ卷（选择题） 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 在的展开式中，项的系数为（ ） A. 1 B. 10 C. 40 D. 80 2. 某宿舍6名同学排成一排照相，其中甲与乙必须相邻，丙与丁互不相邻的不同排法有（ ） A. 72种 B. 144种 C. 216种 D. 256种 3 已知函数，则（ ） A. B. 1 C. D. 4. 已知抛物线：，过直线：上的动点可作的两条切线，记切点为，则直线（ ） A. 斜率为2 B. 斜率为 C. 恒过点 D. 恒过点 5. 已知数列的前n项和为，则（ ） A. 81 B. 162 C. 243 D. 486 6. 抛物线上一点到其焦点的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆，直线与圆C（ ） A 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相交或相切 8. 正方体中，是中点，则直线与线所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 正方体的棱长为，，，分别为，，的中点．则（　　） A. B. 若是平面的法向量，则 C. 平面截正方体所得截面面积为 D. 点与点到平面的距离相等 10. 抛物线的焦点为，抛物线上一点到焦点的距离为2，过焦点的直线与抛物线交于两点，下列说法正确的是（ ） A. B. 若直线的倾斜角为，则 C. D. 若在轴的上方，则直线的斜率为 11. 数列3，，…的通项公式可能是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若则的值__________． 13. 已知函数在处取得极值5，则____． 14. 已知抛物线的焦点为，若是该抛物线上一点，点，则的最小值______. 四､解答题（本题共5小题，共77分） 15. 如图所示，在直四棱柱中，底面是菱形，，，分别为，的中点． （1）求证：平面； （2）若，求与平面所成角的正弦值； 16. 已知圆C和直线，若圆C的圆心为(0,0)，且圆C经过直线和的交点． （1）求圆C的标准方程； （2）过定点(1,2)的直线l与圆C交于M，N两点，且，求直线l的方程． 17. 已知为数列的前项和，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求. 18. 如图所示，椭圆左、右焦点分别为，，一条直线经过与椭圆交于，两点． （1）求焦点坐标，焦距，短轴长； （2）若直线的倾斜角为，求的面积． 19 已知函数． （1）求的最小值； （2）若对所有都有，求实数的取值范围； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$