精品解析：福建省四地五校联考2023-2024学年高一下学期4月期中数学试题

厦泉五校2023-2024学年高一年级第二学期期中联考 数学科试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：柳明全 审核人：苏培坤 ） 试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分 第Ⅰ卷（共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数（其中为虚数单位）对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】首先化简复数，再根据复数的几何意义，求对应的点所在象限. 【详解】，对应的点时，在第四象限. 故选：D 2. 已知向量，，，若，则（ ） A. B. 3 C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】先求出的坐标，再利用列方程求. 【详解】由已知得， ，且， ， 解得. 故选：B. 3. 如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若，则等于（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的加减法运算及平面向量基本定理求解即可. 【详解】由题意知， 因为，所以，，. 故选：B. 4. 正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，侧棱长是，则该棱台的体积是（ ） A. B. C. 20 D. 21 【答案】A 【解析】 【分析】先求出棱台的高，然后利用台体的体积公式求体积即可. 【详解】由棱台的几何特征可得其高为： ， 则其体积为： . 故选：A 5. 若向量，，，且∥，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由∥得的坐标，再根据投影向量的概念即可得出结果. 【详解】∵∥，∴，即， 在上的投影向量为：， 故选:A 6. 在中，，BC边上的高等于,则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：设边上的高线为，则，所以．由正弦定理，知，即，解得，故选D． 【考点】正弦定理 【方法点拨】在平面几何图形中求相关的几何量时，需寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，常常将所涉及到已知几何量与所求几何集中到某一个三角形，然后选用正弦定理与余弦定理求解． 7. 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】根据题意作出图形： 设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC， 延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．∵CO1=， ∴， ∴高SD=2OO1=，∵△ABC是边长为1的正三角形，∴S△ABC=， ∴． 考点：棱锥与外接球，体积． 【名师点睛】本题考查棱锥与外接球问题，首先我们要熟记一些特殊的几何体与外接球（内切球）的关系，如正方体（长方体）的外接球（内切球）球心是对角线的交点，正棱锥的外接球（内切球）球心在棱锥的高上，对一般棱锥来讲，外接球球心到名顶点距离相等，当问题难以考虑时，可减少点的个数，如先考虑到三个顶点的距离相等的点是三角形的外心，球心一定在过此点与此平面垂直的直线上．如直角三角形斜边中点到三顶点距离相等等等． 8. 在锐角中，角的对边分别为，的面积为，若，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】 结合面积公式，可得出，由余弦定理得出，再用正弦定理化边为角，得出，把所求式子用角表示，并求出角范围，最后用基本不等式求最值. 【详解】因为，即， 所以，因为， 所以，由余弦定理， 可得， 再由正弦定理得， 因为， 所以，所以或， 得或（舍去）.因为是锐角三角形， 所以，得，即， 所以， 当且仅当，取等号. 故选:A 【点睛】本题考查考查用正弦定理、余弦定理、面积公式解三角形，考查基本不等式求最值，属于较难题. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于非零向量，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】利用向量数量积的运算律以及有关概念对各个选项进行判断即可. 【详解】A. 若，则,故错误； B. 若，则，所以成立，故正确； C. 当为零向量时，满足，但是推不出，故错误； D. 若，则，可得， 整理即可得到，故正确； 故选：BD 10. 如图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，则下列四个结论正确的是（ ） A. 直线A1C1与AD1为异面直线 B. 平面ACD1 C. 正方体的外接球的表面积为12 D. 三棱锥D1—ADC的体积为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对选项A，根据异面直线定义即可判断A正确；对选项B，根据题意得到，再利用线面平行的判定即可得到平面，即B选项正确；对选项C，首先求出正方体外接球半径，再求表面积即可判断C正确；对选项D，根据，即可判断D错误. 【详解】对选项A，因为平面，平面， ，所以直线与为异面直线. 对选项B，因为，平面，平面， 所以平面，故B正确； 对选项C，正方体外接球半径， 所以球体表面积，故C正确； 对选项D，，故D错误. 故选：ABC 11. 在中，角，，所对的边分别为，，，且，.若有唯一解，则的值可以是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据正弦定理三角形有唯一解，得到或，即可求出参数的取值范围，从而得解； 【详解】解：因为，，因为有唯一解，所以或，即， 故选：BD 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量满足，则与的夹角为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量数量积公式，求得的值，再根据夹角公式，即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以，所以， 又因为，所以. 故答案为： 13. 如图，在离地面高的热气球上，观察到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，已知，则山的高度为__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先在中，求得，然后再，利用正弦定理求得，最后在中，利用直角三角形的性质，即可求解. 【详解】在直角中，可得，所以， 因为中，， 所以， 由正弦定理，可得， 在直角中，因为，可得. 故答案为：300m 14. 在《九章算术》中，堑堵指底而为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，阳马指底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵中，，，则当堑堵的体积最大时，阳马的体积为______. 【答案】## 【解析】 【分析】确定，根据均值不等式得到，考虑取等条件，再计算体积得到答案. 【详解】，则，故，， 当且仅当时等号成立， ， 故时，堑堵的体积最大为， 此时阳马的体积为. 故答案为：. 四、解答题：本小题共5小题，共77分，其中第15题13分，16~17题各15分，18~19题各17分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，复数在复平面内对应的向量为， （1）若为纯虚数，求的值； （2）若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由复数在复平面对应的向量得复数，再由复数的分类求得a的值； （2）计算，由其在复平面内对应的点列出不等式组，解不等式组得a的取值范围. 【小问1详解】 由题，则， 由为纯虚数得，， 解得． 【小问2详解】 ， 在复平面内的对应点在第四象限，则，即， 解得． 16. 中，角A，B，C的对边分别为a，b，. （1）求B的大小； （2）若，且，是边的中线，求长度. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）首先结合正弦定理边化角，然后利用余弦定理解三角形即可； （2）法一：结合中线公式求出，然后借助平面向量的运算求出，进而求出的模长，即长度；法二：在中利用余弦定理求出，结合得到，然后在和结合余弦定理可得，解方程即可求出结果. 【详解】解：因为，即 即，所以，故 法一：中线公式：由，故 又，则 故，故 法二：，则，故， 又 即 17. 如图，在四边形中，，，，且. （Ⅰ）用表示； （Ⅱ）点在线段上，且，求的值. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） 【解析】 【分析】Ⅰ直接利用向量的线性运算即可． Ⅱ以O为坐标原点，OA所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系可得代入各值即可． 【详解】（Ⅰ）因为 ， 所以 .因为 ， 所以 （Ⅱ）因为 ， 所以 .因为 ， 所以点共线. 因为， 所以. 以为坐标原点，所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系. 因为 ，，， 所以 . 所以 ，. 因为 点在线段上，且， 所以 所以 . 因为 ， 所以 . 【点睛】本题考查了向量的线性运算，向量夹角的计算，属于中档题． 18. 如图所示，在四棱锥中，平面，，E是PD的中点. （1）求证：； （2）求证：平面； （3）若M是线段上一动点，则线段上是否存在点N，使平面？说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）存在，证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的性质定理即可证明； （2）由中位线、线面平行的性质可得四边形为平行四边形，再根据线面平行的判定即可证明； （3）根据线面、面面平行的性质定理和判断定理即可判断存在性. 【小问1详解】 在四棱锥中，平面，平面，平面， 平面平面，所以； 【小问2详解】 如下图，取为中点，连接，由E是PD的中点， 所以且，由（1）知，又， 所以且，所以四边形为平行四边形，故， 而平面，平面，则平面. 【小问3详解】 取中点N，连接，， 因为E，N分别为，的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 线段存在点N，使得平面，理由如下： 由（2）知：平面，又，平面，平面， 所以平面平面，又M是上的动点，平面， 所以平面，所以线段存在点N，使得平面. 19. 在中，内角的对边分别为，且，. （1）求的大小； （2）若，求的面积； （3）求的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式化简整理可得，由此可得； （2）利用余弦定理可构造方程求得，由三角形面积公式可求得结果； （3）利用余弦定理和基本不等式可求得的取值范围，令，将所求式子化为，由单调性可求得最大值. 【小问1详解】 由正弦定理得：，又， ， 即，又，，， 又，. 【小问2详解】 由余弦定理得：，解得：， . 【小问3详解】 由余弦定理得：， （当且仅当时取等号），， 又，； ， 令，，则在上单调递增， ，即，的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦泉五校2023-2024学年高一年级第二学期期中联考 数学科试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：柳明全 审核人：苏培坤 ） 试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分 第Ⅰ卷（共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数（其中为虚数单位）对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知向量，，，若，则（ ） A. B. 3 C. D. 5 3. 如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若，则等于（ ） A. 1 B. C. D. 4. 正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，侧棱长是，则该棱台的体积是（ ） A. B. C. 20 D. 21 5. 若向量，，，且∥，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，BC边上的高等于,则 A. B. C. D. 7. 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为 A. B. C. D. 8. 在锐角中，角的对边分别为，的面积为，若，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. 1 D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于非零向量，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 如图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，则下列四个结论正确的是（ ） A. 直线A1C1与AD1为异面直线 B. 平面ACD1 C. 正方体的外接球的表面积为12 D. 三棱锥D1—ADC的体积为 11. 在中，角，，所对的边分别为，，，且，.若有唯一解，则的值可以是（ ） A. 1 B. C. D. 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量满足，则与的夹角为__________. 13. 如图，在离地面高的热气球上，观察到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，已知，则山的高度为__________. 14. 在《九章算术》中，堑堵指底而为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，阳马指底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵中，，，则当堑堵的体积最大时，阳马的体积为______. 四、解答题：本小题共5小题，共77分，其中第15题13分，16~17题各15分，18~19题各17分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，复数在复平面内对应的向量为， （1）若为纯虚数，求的值； （2）若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围． 16. 中，角A，B，C的对边分别为a，b，. （1）求B的大小； （2）若，且，是边的中线，求长度. 17. 如图，在四边形中，，，，且. （Ⅰ）用表示； （Ⅱ）点在线段上，且，求的值. 18. 如图所示，在四棱锥中，平面，，E是PD的中点. （1）求证：； （2）求证：平面； （3）若M是线段上一动点，则线段上是否存在点N，使平面？说明理由. 19. 在中，内角的对边分别为，且，. （1）求的大小； （2）若，求的面积； （3）求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $