精品解析：广东省惠州市龙门县高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试教学试卷

龙门县高级中学2023-2024学年第二学期高一期中考试 数学试卷 命题人：蔡丽华 审题人：高一数学备课组 时长：120分钟 第I卷 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1. 化简（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，且，则（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 已知，，则（ ） A. 6 B. C. 18 D. 4. 将个半径为的实心铁球熔成一个大球，则这个大球的半径是（） A. B. C. D. 5. 设复数，则（ ） A. 0 B. 2 C. D. 6. 在中，，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 7. 已知，则的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正四棱锥的底面边长是，体积是，那么这个四棱锥的侧棱长为（ ） A B. 2 C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设为复数（为虚数单位），下列命题正确的有（ ） A. 复数的共轭复数的虚部为2 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 如图，在平行四边形中，E、F分别是边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（ ）. A. B. C D. 11. 下面关于空间几何体的表述,正确的是（ ） A. 棱柱的侧面都是平行四边形 B. 直角三角形以其一边所在直线为旋转轴,其余两边旋转一周形成的面所围成的几何体是圆锥 C. 正四棱柱一定是长方体 D. 用一个平面去截棱锥,底面和截面之间的部分叫做棱台 第Ⅱ卷 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知向量与的夹角为，，，则__________． 13. 如图，是水平放置的的斜二测直观图，若，，则的面积为__________. 14. 已知向量，，，若与共线，则__________. 四､解答题：本题共5小题，其中15题13分，16题､17题15分，18题､19题17分．共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 设复数． （1）若是实数，求； （2）若纯虚数，求． 16. 在四边形中，已知，，. （1）若四边形是矩形，求的值； （2）若四边形是平行四边形，且，求与夹角的余弦值. 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. （1）求A﹔ （2）若，D为BC的中点，求AD. 18. 已知如图所示，正方形外一点，平面为中点，. （1）求证：平面； （2）三棱锥的体积. 19. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，． （1）求角A的大小； （2）求的值； （3）求的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 龙门县高级中学2023-2024学年第二学期高一期中考试 数学试卷 命题人：蔡丽华 审题人：高一数学备课组 时长：120分钟 第I卷 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1. 化简（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的线性运算求解. 【详解】由题意可得：. 故选：D. 2. 已知向量，，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示列方程求解即可. 详解】由题意可得：，解得. 故选：B. 3. 已知，，则（ ） A. 6 B. C. 18 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量线性运算与数量积运算的坐标表示即可得解. 【详解】因为，，则， 所以. 故选：C. 4. 将个半径为的实心铁球熔成一个大球，则这个大球的半径是（） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据大球体积等于个半径为的实心铁球的体积和，结合球的体积公式可求得结果. 【详解】个半径为的实心铁球的总体积为， 设大球半径为，则，解得：. 故选：C. 5. 设复数，则（ ） A. 0 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的四则运算即可求解. 【详解】因为， 所以， 故选：B． 6. 在中，，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合正弦定理，列出方程，即可求解. 【详解】在中，由，可得，可得， 又由正弦定理，得，可得，所以或. 故选：D. 7. 已知，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用数量积求出得余弦值，即可得解； 【详解】依题意，得，， 故； 因为， 又,，所以； 故选：B 8. 已知正四棱锥的底面边长是，体积是，那么这个四棱锥的侧棱长为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意首先求出正四棱锥的高，再求出底面对角线长度的一半，最后由勾股定理即可得解. 【详解】设四棱锥的高为，根据已知条件可得，所以， 而，所以这个四棱锥的侧棱长为． 故选：C． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设为复数（为虚数单位），下列命题正确的有（ ） A. 复数的共轭复数的虚部为2 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】利用共轭复数的定义可判断A；利用特殊值法可判断B；利用复数的除法化简复数，结合复数的模长公式可判断C；解方程可判断D. 【详解】对于A，因为，则，其虚部为2，故A正确； 对于B，取，此时，但，故B错误； 对于C，若，则，故，故C正确； 对于D，若，则，解得，故D错误. 故选：AC. 10. 如图，在平行四边形中，E、F分别是边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（ ）. A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据向量加法法则、向量减法法则及平面向量基本定理即可求解. 【详解】选项A：由题意知，E、F分别是边上的两个三等分点，且与方向相同，则，故A正确； 选项B：由图可知，，，所以，故B正确； 选项C：，所以C错误； 选项D：，故D错误. 故选：AB. 11. 下面关于空间几何体的表述,正确的是（ ） A. 棱柱的侧面都是平行四边形 B. 直角三角形以其一边所在直线为旋转轴,其余两边旋转一周形成的面所围成的几何体是圆锥 C. 正四棱柱一定是长方体 D. 用一个平面去截棱锥,底面和截面之间的部分叫做棱台 【答案】AC 【解析】 【分析】用简单几何体的定义及特征去逐个判断即可. 【详解】对于A:棱柱的所有侧面都是平行四边形,且每相邻两个四边形的公共边都相互平行,故A正确. 对于B:只有以直角边为旋转轴旋转才能得到圆锥,以斜边为旋转轴旋转得到的是两个圆锥的组合体.故B错误. 对于C:正四棱柱是底面是正方形的直四棱柱,所以必然是长方体,故C正确. 对于D:只有截面与底面平行时,截面与底面之间的部分才是棱台,故D错误. 故选:AC. 第Ⅱ卷 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知向量与的夹角为，，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据求得结果. 【详解】∵， ∴. 故答案为：. 13. 如图，是水平放置的的斜二测直观图，若，，则的面积为__________. 【答案】12 【解析】 【分析】根据斜二测画法，将直观图还原可知原三角形为直角三角形，求出两直角边的长度，即可得出答案. 【详解】 如图，根据斜二测画法，将直观图还原后，得到的为直角三角形， 且两条直角边，， 所以，的面积为. 故答案为：12. 14. 已知向量，，，若与共线，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示求解即可. 【详解】，，， ，， 与共线， ，得. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，其中15题13分，16题､17题15分，18题､19题17分．共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 设复数． （1）若是实数，求； （2）若是纯虚数，求． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用复数的加法及复数的分类求出，再利用复数乘法求解即得. （2）利用复数除法及复数的分类求出即得. 【小问1详解】 由，得，而是实数， 于是，解得， 所以． 【小问2详解】 依题意，是纯虚数， 因此，解得， 所以． 16. 在四边形中，已知，，. （1）若四边形是矩形，求的值； （2）若四边形是平行四边形，且，求与夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）以、作为一组基底表示出、，再根据数量积的运算律计算可得； （2）设与夹角为，结合（1）及数量积的定义计算可得. 【小问1详解】 四边形矩形， ，即， 又，，， ，， ，， ； 【小问2详解】 设与夹角为，由（1）得， ， ，即与夹角的余弦值． 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. （1）求A﹔ （2）若，D为BC的中点，求AD. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，结合两角和的正弦公式得到，从而得解； （2）先利用余弦定理得到，再根据D为BC中点，由求解. 【小问1详解】 因为， 所以， 整理得， 因为，所以，则； 【小问2详解】 因为， 由余弦定理得，即，解得或（舍去）， 又因为D为BC的中点，所以， 则 ， 所以. 18. 已知如图所示，正方形外一点，平面为中点，. （1）求证：平面； （2）三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，交于点，连接，则，由此能证明平面； （2）到平面的距离，由此能求出三棱锥的体积. 【小问1详解】 连接，交于点，连接，如图， 正方形中，是中点，是中点， ， 平面平面， 平面； 【小问2详解】 平面为中点，， 到平面的距离， 三棱锥的体积. 19. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，． （1）求角A的大小； （2）求的值； （3）求的面积. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求解出的值，则A可求； （2）利用正弦定理可直接求解出的值； （3）利用三角形的面积公式运算求解. 【小问1详解】 在中，根据余弦定理得，， 且，所以. 【小问2详解】 在中，根据正弦定理， 可得. 【小问3详解】 由（1）可得：的面积为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$