精品解析：河南省南阳市南阳五校2023-2024学年高一下学期4月期中数学试题

2023—2024学年高一下学期期中测试卷 数学 一､单选题（5*8=40分） 1. 已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在某次军事演习中红方为了准确分析战场形势，在两个相距为的军事基地和，测得蓝方两支精锐部队分别在处和处，且，，如图所示，则蓝方这两支精锐部队的距离为（ ）． A. B. C. D. 3. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则（ ） A. 4 B. 6 C. D. 4. 已知函数满足对恒成立，则函数 A. 一定为奇函数 B. 一定为偶函数 C. 一定为奇函数 D. 一定为偶函数 5. 下列命题为真命题的是（ ） A. B. 已知，则 C. 已知函数，，点和是其相邻的两个对称中心，且在区间内单调递减，则 D. 设函数是常数，.若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为 6. 在中，点E、F分别在边AB、AC上，D为BC的中点，满足，，则（ ）． A. 0 B. C. D. 7. 古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus）利用如图所示的直角三角形来构造无理数．已知，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，D，F分别为的中点，P为与的交点，且.若，则________；若，则________．则求解正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 二､多选题（5*4=20分） 9. 已知函数，对于下列说法正确的有（ ） A. 要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位长度即可 B. 在内的单调递减区间为 C. 的图象关于直线对称 D. 为奇函数 10. 设P为所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则点P是的重心 B. 若，则点P是的垂心 C. 若，，则点P是的内心 D. 若，则点P是的外心 11. 下列结论不正确的是（ ） A. 已知向量，向量且向量与的夹角是，则 B. 若向量满足，且，则在上的投影向量为 C. 函数向左平移个单位得到，若是偶函数，则 D. 若，则是第二或第三象限的角 12. 在中，角的对边分别为，已知的周长为，则（ ） A. 若，则是等边三角形 B. 存在非等边满足 C. 内部可以放入的最大圆的半径为 D. 可以完全覆盖的最小圆的半径为 三､填空题（5*4=20分） 13. 若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为 ，则＋＝______. 14. 若为的外心，且，则的内角等于______． 15. 将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若存在，使得，则=_______． 16. 已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________． 四､解答题 17. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求角的大小； （2）若的面积为，，求的周长. 18. 已知函数，． （1）求的最小正周期； （2）求在上的单调递增区间； （3）当时，求的最大值和最小值． 19. 如图，在中，是的中点，是线段上靠近点的四等分点，设． （1）若长为长为，求的长； （2）若是上一点，且，试判断三点是否共线？并说明你的理由． 20. 在中，角所对的边分别是，设向量，且． （1）求角A的值； （2）若，求的周长l的取值范围． 21. 已知点，是函数图象上的任意两点，且角的终边经过点，若时，的最小值为． （1）求函数的解析式； （2）求函数的对称中心及在上的减区间； （3）若方程在内有两个不相同的解，求实数的取值范围． 22. 如图，在中，已知边上的中点为，点是边上的动点（不含端点），相交于点. （1）求； （2）当点为中点时，求：的余弦值； （3）求：的最小值；当取得最小值时设，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年高一下学期期中测试卷 数学 一､单选题（5*8=40分） 1. 已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由三角函数性质知，当时，，同为正数，相同正数次方，大小不变，从而求得结果. 【详解】由三角函数性质知，当时，， ， 当时，，则， 故， ，则 则 即 故选：B 2. 在某次军事演习中红方为了准确分析战场形势，在两个相距为的军事基地和，测得蓝方两支精锐部队分别在处和处，且，，如图所示，则蓝方这两支精锐部队的距离为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在中，利用正弦定理求出，再在中，利用余弦定理即可得解. 【详解】由题意知，又因为，所以， 所以， 在中，， 由正弦定理得，所以， 在中，由余弦定理得 ， 所以. 故选：B. 3. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则（ ） A. 4 B. 6 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理，结合同角的三角函数关系式、两角和的正弦公式、正弦定理进行求解即可. 【详解】因为，由正弦定理可得， 则， ，，， ，为内角， ，则，，, 故选：D. 4. 已知函数满足对恒成立，则函数 A. 一定为奇函数 B. 一定为偶函数 C. 一定为奇函数 D. 一定为偶函数 【答案】D 【解析】 【详解】由题意得，时，则，，所以，此时函数为偶函数，故选D． 5. 下列命题为真命题的是（ ） A. B. 已知，则 C. 已知函数，，点和是其相邻的两个对称中心，且在区间内单调递减，则 D. 设函数是常数，.若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为 【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式可以判断AB的真假；根据正切函数的图象和性质确定函数的解析式，判断C的真假；根据正弦函数的图象和性质判断D的真假. 【详解】对A：因为.故A错； 对B：因为，所以 则，故B错； 对C：根据题意可得和是其相邻的两个对称中心得， 所以.又因为在区间内单调递减， 所以，则， 因为为的对称中心，所以， 所以，又因为，所以.故C正确； 对D：记函数的最小正周期为，， 又，且， 所以函数的一条对称轴为，由， 所以函数的一个对称中心为， 所以，所以，故D错. 故选：C 6. 在中，点E、F分别在边AB、AC上，D为BC的中点，满足，，则（ ）． A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，分别表示出，然后由向量的数量积运算即可得到结果. 【详解】设，，则． 由题意得， 同理． 因为，所以，整理得， 即，解得． 故选:D 7. 古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus）利用如图所示的直角三角形来构造无理数．已知，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，结合平面向量的坐标运算代入计算，即可得到结果. 【详解】 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的坐标系， 由题意得，则，，，，，，． 因为，所以 解得所以． 故选：B． 8. 如图，在中，，，D，F分别为的中点，P为与的交点，且.若，则________；若，则________．则求解正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量线性运算及数量积运算律计算即可. 【详解】由题意可知点P为的重心， 因为， 所以， 所以； 因为，所以， 又， 所以， 所以 . 故选：C 二､多选题（5*4=20分） 9. 已知函数，对于下列说法正确的有（ ） A. 要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位长度即可 B. 在内的单调递减区间为 C. 的图象关于直线对称 D. 为奇函数 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A，利用平移变换即可求解；对于B，求出的单调减区间即可；对于C，代入检验即可；对于D，化简即可 【详解】对于A，将的图象向左平移个单位可得函数，故A不正确； 对于B，令，可得，， 取时，减区间为，时，减区间为， ∴在内的单调递减区间为，故B不正确； 对于C，当时，，恰好是函数的最大值，∴的图象关于直线对称，故C正确； 对于D，， ∴为奇函数，故D正确． 故选：CD 10. 设P为所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则点P是的重心 B. 若，则点P是的垂心 C. 若，，则点P是的内心 D. 若，则点P是的外心 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：以，为邻边作平行四边形PADB，M为PD的中点，利用向量的线性运算得到，即可证明；对于B：利用数量积运算证明出，，得到P为的垂心，即可证明；对于C：在边AB，AC上分别取点E，F，使，，以AE，AF为邻边作平行四边形AEGF，则四边形AEGF为菱形，即可判断；对于D：证明出，，，即可证明. 【详解】对于A：若，则. 以，为邻边作平行四边形PADB，M为PD的中点，则，所以，又，所以，故P为的重心. 所以A正确； 对于B：若，则，即，即，所以. 同理，则，故P为的垂心. 故B正确； 对于C：在边AB，AC上分别取点E，F，使，，则，以AE，AF为邻边作平行四边形AEGF，则四边形AEGF为菱形. 连接AG，则AG为的角平分线，由，所以点P在角平分线AG上，故点P的轨迹一定通过的内心. 所以C错误； 对于D：若，则，同理有，，故P为的外心. 所以D正确. 故选：ABD 11. 下列结论不正确的是（ ） A. 已知向量，向量且向量与的夹角是，则 B. 若向量满足，且，则在上的投影向量为 C. 函数向左平移个单位得到，若是偶函数，则 D. 若，则是第二或第三象限的角 【答案】ABD 【解析】 【分析】由已知可得，计算判断A；由已知可得，进而求得投影向量判断B；由图象变换可得，利用为偶函数，可求判断C；，可判断D. 【详解】对于A:，求得，故A错误. 对于B:由，可得， 解得，则在上的投影向量为，故B错误. 对于C:由题意，函数向左平移得到， 所以，因为为偶函数，所以， 又因为，所以，故C正确. 对于:当时，不是第二或第三象限角，故D错误. 故选：ABD. 12. 在中，角的对边分别为，已知的周长为，则（ ） A. 若，则是等边三角形 B. 存在非等边满足 C. 内部可以放入的最大圆的半径为 D. 可以完全覆盖的最小圆的半径为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由余弦定理与正弦定理及三角形的面积公式逐项求解即可. 【详解】因为的周长为3，且，可得， 由余弦定理得． 对于A，因为，所以， 即，则，所以为等边三角形，故A正确； 对于B，假设，则，即，则， 此时为等边三角形，故B错误； 对于C，由，可得， 当且仅当时等号成立，解得或（舍去）， 所以的面积的内切圆半径为， 所以内部可以放入的最大圆的半径为，故C正确； 对于D，设外接圆的半径为，因为， 当且仅当时等号成立，所以，解得或（舍去）， 由，可得， 因为，所以， 所以可以完全覆盖的最小圆的半径为，故D正确． 故选：ACD． 三､填空题（5*4=20分） 13. 若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为 ，则＋＝______. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据函数的周期性和奇偶性及分段函数的性质求函数值. 【详解】解：由题意得： 函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为 故答案为： 14. 若为的外心，且，则的内角等于______． 【答案】 【解析】 【分析】由向量加法的平行四边形法则，结合三角形外心的性质求解即得. 【详解】由，得四边形是平行四边形， 由点是的外心，得，则是菱形， 因此都是正三角形，则， 所以. 故答案为： 15. 将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若存在，使得，则=_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数图象的平移变换求得g(x)，然后考察最值点可得. 【详解】由题知 所以 所以 则Z， Z， 即Z， Z， 所以 当时，. 故答案为： 16. 已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________． 【答案】## 【解析】 【分析】设，利用余弦定理表示出后，结合基本不等式即可得解. 【详解】[方法一]：余弦定理 设， 则在中，， 在中，， 所以 ， 当且仅当即时，等号成立， 所以当取最小值时，. 故答案为：. [方法二]：建系法 令 BD=t，以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系. 则C（2t,0），A（1，），B（-t,0） [方法三]：余弦定理 设BD=x,CD=2x.由余弦定理得 ，， ，， 令，则， ， ， 当且仅当，即时等号成立. [方法四]：判别式法 设，则 在中，， 在中，， 所以，记， 则 由方程有解得： 即，解得： 所以，此时 所以当取最小值时，，即. 四､解答题 17. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求角的大小； （2）若的面积为，，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，余弦定理边化角，利用同角三角函数的商数关系化简，再由正弦定理边化角，得，可得角的大小； （2）由的面积求出，再由余弦定理求出，可得的周长. 【小问1详解】 中，由，得， 由余弦定理得， 即， 由正弦定理得， ，，得， ，则. 【小问2详解】 若的面积为，则，得， ，由余弦定理，得， 解得， 的周长为. 18. 已知函数，． （1）求的最小正周期； （2）求在上的单调递增区间； （3）当时，求的最大值和最小值． 【答案】（1） （2） （3）；． 【解析】 【分析】（1）利用周期公式即可求解； （2）由，，结合即可求解； （3）由求得，从而利用正弦函数的性质即可求解. 【小问1详解】 的最小正周期． 【小问2详解】 由，，得，． 又 所以函数的单调递增区间为． 【小问3详解】 ∵，∴ 当，即时，； 当，即时，． 19. 如图，在中，是的中点，是线段上靠近点的四等分点，设． （1）若长为长为，求的长； （2）若是上一点，且，试判断三点是否共线？并说明你的理由． 【答案】（1）； （2） 三点不共线， 理由如下： ， ， ， 假设，则存在唯一实数，使得， 即， 所以，无解， 与不平行， 三点不共线． 【解析】 【分析】（1）先将用表示，再根据向量的模的求法及数量积的运算律即可得解； （2）先将分别用，再根据平面向量共线定理即可得出结论. 【小问1详解】 是的中点， ， ； 【小问2详解】 略 20. 在中，角所对的边分别是，设向量，且． （1）求角A的值； （2）若，求的周长l的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用向量垂直关系的坐标表示，余弦定理化简、计算作答. （2）由（1）中信息，利用均值不等式求解作答. 【小问1详解】 因，且，则， 由余弦定理得，整理得：， 于是得，而，所以. 【小问2详解】 由（1）知，，当且仅当时取“=”， 而，因此，，即有 所以的周长l的取值范围是. 21. 已知点，是函数图象上的任意两点，且角的终边经过点，若时，的最小值为． （1）求函数的解析式； （2）求函数的对称中心及在上的减区间； （3）若方程在内有两个不相同的解，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）对称中心；减区间：，； （3）或. 【解析】 【分析】（1）根据函数图象性质可得参数值及函数解析式； （2）由（1）函数解析式，利用整体法求函数的对称中心及单调区间； （3）设，将方程转化为函数与公共点问题. 【小问1详解】 解：角的终边经过点，, , , 由时，的最小值为， 得，即，, ， 【小问2详解】 解：令，即，即，所以函数的对称中心为， 令，得， 又因为， 所以在上的减区间为， 【小问3详解】 解：， ， ， 设， 问题等价于方程在仅有一根或有两个相等的根． ，， 作出曲线，与直线的图象． 时，；时，；时，． 当或时，直线与曲线有且只有一个公共点． 的取值范围是：或． 22. 如图，在中，已知边上的中点为，点是边上的动点（不含端点），相交于点. （1）求； （2）当点为中点时，求：的余弦值； （3）求：的最小值；当取得最小值时设，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理求解； （2）设，由中点可得，再由数量积的运算性质求解即可； （3）设则可转化为关于的二次函数，求最值即可，再由及三点共线得解即可. 【小问1详解】 ，由余弦定理知： ， . 【小问2详解】 设， 分别为的中点， ， ， ， 又. . 【小问3详解】 设 ， 当即时，取最小值， ， ， ， 三点共线， ， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $