第14讲 观察 抽象、运动 想象、转化 表达（9大核心考点）-【暑假自学课】2024年新七年级数学暑假提升精品讲义（苏科版2024）

第14讲 观察 抽象、运动 想象、转化 表达 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．通过观察生活中的物体，认识基本几何体；通过具体实例，引导学生感悟到几何图形是由点、线、面组成的； 2．认识图形的平移、翻折、选择，感悟到让图形“动起来”，感悟点动成线、线动成面、面动成体； 3.能想象并画出简单几何体的表面展开图，能根据表面展开图判断、制作简单几何体。 观察 抽象 1.认识下面几种常见的几何体，并写出名称。 棱柱 棱锥 圆柱 圆锥 球 2.根据是否是球体、柱体、锥体可分为 球 、圆柱和棱柱、圆锥和棱锥 。 根据是否含有曲面可分为 平面 、 曲面 。 根据是否含有顶点可分为 圆 、 非圆 。 3．仔细观察下面的正四面体、正六面体、正八面体，解决下列问题： (1)填空： ①正四面体的顶点数______，面数______，棱数______； ②正六面体的顶点数______，面数______，棱数______； ③正八面体的顶点数______，面数______，棱数______； (2) 若将多面体的顶点数用v表示，面数用f表示，棱数用e表示，则v，f，e之间的数量关系可用一个公式来表示：________ (1)①4，4，6；②8，6，12；③6，8，12(2) 运动 想象 1.从下面现象联想什么图形？ 飞机表演“飞机拉线”时，我们用数学的知识可解释为点动成线．用数学知识解释下列现象： （1）流星从空中划过留下的痕迹可解释为___点动成线___； （2）自行车的辐条运动可解释为__线动成面___； （3）一只蚂蚁行走的路线可解释为__点动成线___； （4）打开折扇得到扇面可解释为__线动成面___； （5）一个圆面沿着它的一条直径旋转一周成球可解释为__面动成体__． 2.图形的三大运动为 平移、翻折、旋转。 3．七巧板游戏是将一个正方形分割成七块，然后用这七块拼接成丰富多彩的几何图形．如图（a）是正方形的一种分割方法，并在每块上标了号码． （1）设正方形网格的边长为1，则面积为2的有 号图形； （2）只改变图（a）中的7号图形的位置，使它和其他部分拼成一个新的多边形，请在图（b）中画出所拼的图形（只需画出7号图形）； （3）将这副七巧板的七块图形重新拼成一个和图（a）、图（b）形状不同的多边形，（不留缝隙且不相互重叠），请在图（c）中画出所拼的图形，并使多边形的顶点落在格点上． 【答案】（1）4、6、7 ；（2）参见解析；（3）参见解析． 试题解析：（1）有3个号的图形面积为2，即4,6,7．（2）将7号移到原图形的左下角或右上角：（3）如图所示： 转化 表达 1.正方体有6个面，12条棱，8个顶点； 2.正方体的展开图共11种，可以分4个类型，“141”6种；”132“3种；”33“1种；”222“1种。 （1）中间四个成一行，两边各一无规矩“141型”，中间一行4个作侧面，上下两个各作为上下底面，共有 6种基本图形。 （2）二三紧连错一个，三一相连一随意“231型”，中间3个作侧面，共3种基本图形： （3）两两相连各错一“222”型，两行只能有1个正方形相连： （4）三个两排一对齐“33”型，两行只能有 1个正方形相连： 3. 请你在横线上写出哪种立体图形的表面能展开成下面的图形 圆锥 三棱柱 六棱柱 长方体 4.如图是每个面上都标有一个汉字的正方体的平面展开图，在此正方体上与“福”字相对的面上的汉字是____汕____．    5．观察下列图形与等式： 根据图形与等式之间的规律，解答下列问题： (1)写出第6个等式：____________；写出第个等式： ____________（用含的式子表示）． (2)求的值． (1)，(2) 考点一：常见的几何体 例1．分别观察下列几何体，其中有曲面的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了认识立体图形，熟练掌握每一个几何体围成的面是平面还是曲面是解题的关键．根据图形观察，围成立体图形的各个面是平面还是曲面逐一判断即可． 【详解】解：结合图形特征，圆柱是由平面和曲面围成，三棱柱、正方体、长方体都是由平面围成的， 只有D选项是含有曲的面的图形， 故选：D． 【变式1-1】下列实物对应的立体图形的名称按从左到右的顺序依次是（　　） A．圆柱、圆锥、正方体、长方体 B．圆柱、球、正方体、长方体 C．棱柱、球、正方体、长方体 D．棱柱、圆锥、四棱柱、长方体 【答案】B 【分析】本题主要考查了立体图形的识别，根据实物读出名称即可． 【详解】圆柱，球，正方体，长方体． 故选：B． 【变式1-2】下列几何体中，棱柱有 个．    【答案】3 【分析】本题考查的是棱柱的概念与识图，棱柱的结构特征：有两个面互相平行，其余各面为平行四边形，根据特征逐一分析四个选项从而可得答案． 【详解】解：棱柱的结构特征：有两个面互相平行，其余各面为平行四边形， 根据特征可得从左向右数，第1、4、6个图形为棱柱，共3个， 故答案为：3． 【变式1-3】根据图回答问题： (1)与图②具有共同特征的图形有哪些？说出共同特征是什么； (2)其他图形中具有共同特征的图形有哪些？说出共同特征是什么． 【答案】(1)图⑤⑦与图②具有共同特征，共同特征是它们都是锥体（答案不唯一） (2)图①③④⑥具有共同特征，共同特征是它们都是柱体（答案不唯一） 【分析】（1）由于图②、⑤、⑦都为锥体，所以它们具有共同特征； （2）由于图①、③、④、⑥它们都是柱体，所以它们具有共同特征． 【详解】（1）解：图⑤、⑦与图②具有共同特征，共同特征是它们都是锥体（答案不唯一）； （2）解：图①、③、④、⑥具有共同特征，共同特征是它们都是柱体（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了认识立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形． 考点二：立体图形分类 例2 ．给出下列几何图形：①五边形；②正方形；③长方体；④三棱柱；⑤圆柱；⑥四棱锥．其中属于立体图形的是（　　） A．③④⑤⑥ B．①②③ C．③⑥ D．④⑤ 【答案】A 【分析】本题考查立体图形的定义，要注意立体图形与平面图形的区分是解题的关键． 根据立体图形的概念和平面图形的定义对各选项进行分析即可． 【详解】解：①②属于平面图形，③④⑤⑥属于立体图形． 故选A． 【变式2-1】下列几何体中，不同类的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查几何体的分类，掌握几何体分为柱体、锥体、球体是解题的关键． 根据几何体的分类，求解即可． 【详解】解：A、是六棱柱，C、 是圆柱，D、是三棱柱，B、是球体， ∴A、C、D是柱体，属一类，B是球体不是一类， 故选：B． 【变式2-2】对几何体分类时，首先确定标准，即： （1）从形状方面，按柱体、 、球划分； （2）从面的方面，按组成的面有无 划分； （3）从顶点方面，按有无 划分． 【答案】 锥体 曲的面 顶点 【分析】根据不同的分类标准的要求即可求解． 【详解】解：（1）从形状方面，按柱体、__锥体______、球划分； （2）从面的方面，按组成的面有无____曲的面______划分； （3）从顶点方面，按有无____顶点____划分． 故答案为（1）锥体，（2）曲的面，（3）顶点． 【点睛】本题考查立体图形的不同分类方法，掌握各种分类标准及要求是解题关键． 【变式2-3】将如图所示的图形按有无曲面分类． 【答案】有曲面的是③④⑤；无曲面的是①②⑥⑦ 【分析】按有无曲面将下面图形进行分类即可． 【详解】有曲面的是③④⑤；无曲面的是①②⑥⑦． 【点睛】本题考查了立体图形的分类问题，掌握立体图形的分类、曲面的定义是解题的关键． 考点三：几何体中的点、棱、面 例3. 如图，线段是正方体的一条棱，则与在同一平面内且与垂直的棱有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【分析】本题主要考查长方体的知识，熟练掌握长方体各棱的关系是解题的关键． 【详解】解：与在同一平面内且与垂直的棱有左面2条，前面2条，共4条， 故选D 【变式3-1】已知一个直棱柱有21条棱，x个面和y个顶点，则的值为（　　） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了棱柱的棱、面和顶点，解题的关键是熟练掌握n棱柱有条棱，个面，个顶点． 【详解】解：由可知，此棱柱是七棱柱， ∴这个七棱柱有个面，有个顶点， ∴，， ∴． 故选：A． 【变式3-2】一个n棱柱有18条棱，底面每条边的长都是，那么它的下底面周长是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了认识立体图形，解题的关键是利用棱柱的特点求出底面多边形的边数． 【详解】解：， ∴这是六棱柱， 即下底面周长是， 故答案为：． 【变式3-3】如图所示是一些常见的多面体． (1)数一下每一个多面体具有的顶点数（V）、棱数（E）和面数（F），并且把结果记入表中： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 正四面体 4 4 6 正方体 正八面体 正十二面体 正二十面体 12 20 30 (2)观察表中数据，猜想多面体的顶点数（V）、棱数（E）和面数（F）之间的关系； (3)若已知一个多面体的顶点数，棱数，请你用（2）中的结果求这个多面体的面数． 【答案】(1)见解析 (2) (3)100 【分析】本题是对欧拉公式的考查，观察图形准确数出各图形的顶点数、面数、棱数是解题的关键． （1）中根据图形数出顶点数，面数，棱数，填入表格即可； （2）根据表格数据，由顶点数与面数的和减去棱数等于2进行解答； （3）中把顶点与棱数代入上步所得公式进行计算即可求解． 【详解】（1）所填数据如表所示： 正方体 8 6 12 正八面体 6 8 12 正十二面体 20 12 30 （2）因为， 所以． （3）由，得，所以，所以这个多面体的面数为100． 考点四：点、线、面、体关系 例4．中国扇文化有着深厚的文化底蕴；历来中国有“制扇王国”之称． 如图，打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点确定一条直线 【答案】B 【分析】本题考查了线、面的关系，根据题意，结合线动成面的数学原理：某一条线在运动过程中留下的运动轨迹会组成一个平面图形，这个平面图形就是一个面，即可得出答案．熟练掌握线动成面的数学原理是解本题的关键． 【详解】解：打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为线动成面， 故选：B． 【变式4-1】“雨是最寻常的，一下就是三两天，可别恼，看，像牛毛，像花针，像细丝，密密地斜织着……”，句中，雨“像细丝”说明（    ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点确定一条直线 【答案】A 【分析】本题考查了点、线、面、体的关系．根据点动成线，线动成面，面动成体，即可解答． 【详解】解：雨“像细丝”说明了：点动成线． 故选：A． 【变式4-2】（1）一张纸对折后，纸上会留下一道折痕，用数学知识可解释为 ； （2）夏夜，天上飞逝的流星形成一道亮光，用数学知识可解释为 ； （3）黑板擦在黑板上擦出一片干净的区域，用数学知识可解释为 ； （4）长方形绕它的一边在的直线旋转，形成一个圆柱，用数学知识可解释为 ． 【答案】 面与面相交得到线 点动成线 线动成面 面动成体 【分析】题目考查了点、线、面之间的动态关系，理解生活中的点、线、面关系是解题的关键． 【详解】（1）一张纸对折后，纸上会留下一道折痕，用数学知识可解释为面与面相交得到线； 故答案为：面与面相交得到线 （2）夏夜，天上飞逝的流星形成一道亮光，用数学知识可解释为点动成线； 故答案为：点动成线 （3）黑板擦在黑板上擦出一片干净的区域，用数学知识可解释为线动成面； 故答案为：线动成面 （4）长方形绕它的一边所在的直线旋转，形成一个圆柱，用数学知识可解释为面动成体． 故答案为：面动成体 【变式4-3】如图，某酒店大堂的旋转门内部由三块宽为1.8m、高为3m的玻璃隔板组成． (1)将此旋转门旋转一周，能形成的几何体是________，这能说明的事实是________（填字母）； A．点动成线    B．线动成面    C．面动成体 (2)求该旋转门旋转一周形成的几何体的体积．（边框及衔接处忽略不计，结果保留） 【答案】(1)圆柱；C (2) 【分析】本题考查了圆柱的体积，平面图形旋转后形成的立方体， （1）旋转门的形状是长方形；长方形旋转一周，能形成的几何体是圆柱； （2）根据圆柱体的体积底面积高计算即可． 【详解】（1）解：∵旋转门的形状是长方形， ∴旋转门旋转一周，能形成的几何体是圆柱，这能说明的事实是面动成体． 故答案为：圆柱；C； （2）解：该旋转门旋转一周形成的几何体是圆柱， 体积为：． 故形成的几何体的体积是． 考点五：平面图形旋转后的立体图形 例5 ．一个长方形的长是厘米，宽是厘米．如图所示，以长为轴旋转一周形成的圆柱甲，以宽为轴旋转一周形成圆柱乙．下面说法正确的是（ ）． A．两个圆柱的底面积一样大 B．两个圆柱的底面周长一样大 C．两个圆柱的侧面积一样大 D．两个圆柱的体积一样大 【答案】C 【分析】根据圆柱的体积、面积，周长，侧面积公式解答即可． 【详解】解：∵长方形的长是厘米，宽是厘米， ∴甲圆柱的底面半径为厘米，乙圆柱的底面半径为厘米， ∴，， ∴， ∴两个圆柱的底面积不一样大， 故错误； ∵长方形的长是厘米，宽是厘米， ∴甲圆柱的底面周长为厘米，乙圆柱的底面周长为厘米， ∴， ∴两个圆柱的底面周长不一样大， 故错误； ∵长方形的长是厘米，宽是厘米， ∴甲圆柱的侧面积为，乙圆柱的侧面积为， ∴， ∴两圆柱的侧面积相等， 故正确； ∵长方形的长是厘米，宽是厘米， ∴甲圆柱的底面半径为厘米，乙圆柱的底面半径为厘米， ∴，， ∴，， ∴， ∴两个圆柱的体积不一样大， 故错误； ∴项符合题意； 故选． 【点睛】本题考查了圆柱的体积，面积，周长。侧面积公式，熟记体积和面积的相关公式是解题的关键． 【变式5-1】将一个直角三角形绕一条直角边所在的直线旋转一周后得到的几何体可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题考查了点线、面、体，根据直角三角形绕直角边旋转是圆锥，可得答案，熟记各种平面图形旋转得到的立体图形是解题的关键． 【详解】解：将一个直角三角形绕它的一条直角边旋转一周得到的几何体是圆锥． 故选：A． 【变式5-2】如图，将边长是的正方形绕它的对称轴（虚线处）旋转一周可以得到一个圆柱，则这个圆柱的表面积是 ，体积是 ．（π取） 【答案】 50.24 【分析】本题考查圆柱的体积，表面积，关键是掌握圆柱体积，侧面积的计算公式．由圆柱体积，侧面积的计算公式，即可求解． 【详解】解∶由题意知∶圆柱的底面圆半径，圆柱的高， 圆柱的体积 ；   圆柱的底面圆的面积，圆柱的侧面积， ∴圆柱的表面积． 故答案为∶，． 【变式5-3】如图，将平面图形甲、乙分别绕轴l、m旋转一周，可以得到立体图形①、②，图形甲是直角边分别为a、2a的直角三角形，图形乙是边长为a的正方形． (1)立体图形①的名称是_______； (2)请问立体图形②比立体图形①的体积大多少？(用含a和π的式子表示， 【答案】(1)圆锥； (2)立体图形②比立体图形①的体积大 ． 【分析】本题主要考查了圆锥的定义、圆锥的体积、圆柱的体积等知识点，掌握圆锥的相关知识成为解题的关键． （1）根据立体图形的定义即可解答； （2）设图形①、②的体积分别为，然后分别求得图形①、②的体积，然后作差即可解答． 【详解】（1）解：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴得到的立体图形为圆锥． 故答案为：圆锥． （2）解：设图形①、②的体积分别为， 则 ，，                                    即立体图形②比立体图形①的体积大． 考点六：几何体展开图的认识 例6. 如图是某个几何体的侧面展开图，则该几何体是（    ） A．四棱锥 B．三棱锥 C．四棱柱 D．三棱柱 【答案】A 【分析】本题考查立体图形的平面展开图，涉及空间想象能力，熟记常见立体图形的平面展开图是解决问题的关键． 【详解】解：由题中图可知，这是四棱锥的侧面展开图， 故选：A． 【变式6-1】把一个立体图形展开成平面图形，其形状如图所示，则这个立体图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何体的展开图，根据立体图形展开成的平面图形底面是三角形，侧面是长方形判断即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：三棱柱的展开图底面是三角形，侧面是长方形，和给出的立体图形展开成的平面图形一致， 故选：． 【变式6-2】将如图所示的几何体沿虚线折叠，折成的几何体的名称是 ． 【答案】三棱柱 【分析】本题考查作图-应用与设计作图．由平面图形的折叠的特点解题． 【详解】解：三个长方形和两个三角形能围成三棱柱， 故，将它折叠能得到三棱柱； 故答案为：三棱柱． 【变式6-3】如图是某长方体包装盒的展开图．具体数据如图所示，且长方体盒子的长是高的2倍．    (1)展开图的6个面分别标有如图所示的序号，则原包装盒与①相对的面是______（填序号）； (2)若设长方体的高为，则 ①长方体的长为______cm，宽为______cm（用含x的式子表示）； ②请利用一元一次方程知识求长方体包装盒的体积． 【答案】(1)⑤； (2)①，；② 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的实际应用，正确的识图，找准等量关系，是解题的关键． （1）根据相对面必定相隔一个长方形，进行判断即可； （2）①根据长方体盒子的长是高的2倍，以及展开图的宽为，列出代数式即可；②根据展开图的长为99cm，列出方程，求出的值，进一步求出长方体的体积即可． 【详解】（1）解：由图形可知，原包装盒与①相对的面是⑤； 故答案为：⑤； （2）①因为长方体盒子的长是高的2倍， 所以长方体的长为， 由图可知：长方体的宽为； 故答案为：，； ②由展开图，得：， 解得， 即长方体的高为15cm， 当时，长方体的长，宽为， ∴长方体的体积为， 答：这个长方体的纸盒的体积为． 考点七：正方体几种展开图的识别 例7．有一个无盖的正方体盒子，下列选项中不可能是它的平面展开图的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查正方体的展开图，根据平面图形的折叠及无盖正方体的展开图即可求解．需要有一定的空间想象能力． 【详解】解：由正方体四个侧面和底面的特征可知，A、B、C选项可以拼成无盖的正方体，而D选项拼成的是缺少两个面且有两个面重合的立体图形，所以D选项展开图不可能是一个无盖的正方体． 故选：D． 【变式7-1】如图是的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图的方法有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】B 【分析】此题主要考查了几何体的展开图，关键是掌握正方体展开图的特点．依据正方体的展开图的结构特征进行判断，即可得出结论． 【详解】解：如图所示： 共有2种方法， 故选：B． 【变式7-2】活动课上，学生们设计制作正方体包装盒，老师发给每名学生一张长方形纸板，其长为，宽为，可以在纸板上画出设计图，将阴影部分剪下再折叠，三名学生的设计如图所示：    （1）其中剪下后不能折成正方体的设计有 （填小张、小李或小王）； （2）有一张宽为，长为（为整数）的长方形网格纸，按照如下方式设计制作正方体包装盒，涂色的部分能够折成正方体，若的网格中没有被涂色的部分占到，则的值为 ．    【答案】 小张 40 【分析】此题主要考查了正方体的展开图，一元一次方程的应用． （1）由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解答即可； （2）的网格中有小正方形，没有被涂色的部分有6个，根据“没有被涂色的部分占到”列方程求解即可． 【详解】解：（1）小李和小王的设计经过折叠均能围成正方体， 小张的设计经过折叠不能折成正方体． 故答案为：小张； （2）由题意得， 解得． 故答案为：40． 【变式7-3】如图所示，将正方体纸盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平可以得到其展开图的平面图形． (1)下列平面图形中，是正方体平面展开图的是______； (2)在图①方格中，画一个与（1）中呈现的类型不一样的正方体的展开图（用阴影表示）； (3)正方体纸盒的剪裁线如图中实线所示，请将其展开图画在图②的方格图中（用阴影表示）． 【答案】(1)C (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了几何体的展开图，正方体展开图共分四种模型，依次为“1—4—1型”、“2—3—1型”、“2—2—2型”、“3—3型”，据此进一步判断即可. 熟记正方体的展开图的11种结构形式是解题的关键． （1）根据正方体的展开图的11种结构形式从而得出答案； （2）可利用“1、4、1”作图（答案不唯一）； （3）根据裁剪线裁剪，再展开． 【详解】（1）A选项中是“2—1—3型”，不是正方体的展开图； B选项中是“3—3型”，但是中间是一个“田”字，不是正方体的展开图； C选项中是“1—4—1型”是正方体的展开图； C选项中是“1—3—2型”， 不是正方体的展开图； 故两个方格图中的阴影部分能表示正方体表面展开图的是C， 故答案为：C． （2）正方体表面展开图如图所示： （3）将其表面展开图画在方格图中如图所示： 考点八：含图案的正方体展开图 例8 ．美术课上，老师要求同学们将如图所示的白纸只沿虚线剪开、用裁开的纸片和白纸上的黑色方块围成一个立体模型，然后放在桌面上，下面四个示意图中，只有一个符合上述要求，那么这个示意图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查的是正方体的展开与折叠，熟练掌握正方体展开图的特征是解题的关键； 动手裁剪，将白纸只沿虚线裁开，用裁开的纸片和白纸上的阴影部分围成一个立体模型，根据图形进行分析； 仔细观察“黑点”状阴影部分所在的位置，即可选出正确答案． 【详解】动手操作折叠成正方体的形状放置到白纸的阴影部分上，所得图形应为： 故选A． 【变式8-1】把左边的正方体的表面展开，可能得到的展开图是（　　）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查正方体的表面展开图及空间想象能力，这类问题动手实际操作是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可知，“■”、“★”、“●”、三个图案应该相邻， A、“■”与“★”图案相对，故不符合题意； B、“■”与“★”图案相对，故不符合题意； C、根据有图案的表面之间的位置关系，是正确的展开图； D、“★”图案的位置应在“●”上面，故不符合题意． 故选：C． 【变式8-2】如图，正方体纸盒的底面和侧面的下半部分涂有黑色漆，下列不是由它展开得到的表面展开图的是 ．（填序号） 【答案】②③④ 【分析】根据正方体展开图的特点找出下底面和上底面，再根据涂有黑色漆的部分作出选择即可． 【详解】解：正方体纸盒的底面和侧面的下半部分涂有黑色漆，将它展开得到的表面展开图如下： 则不是由正方体纸盒展开得到的表面展开图的是②③④， 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查了正方体的展开图，熟练掌握正方体展开图的特点是解题关键． 【变式8-3】如图，右面哪一个图形是左面正方体的展开图？ （1）    A．     B.     C.     D. （2）    A．     B.     C.     D. 【答案】（1）D；（2）C 【分析】根据正方体三个面上的图案特征以及位置分析，进而可得展开图． 【详解】（1）根据正方体的展开图，分析三个面上的特征与位置对应关系，展开图为D选项； （2）根据正方体的展开图，分析三个面上的特征与位置对应关系，展开图为C选项 【点睛】本题考查了含图案的正方体的表面展开图，找到图案的特征与位置对应关系是解题的关键． 考点九：正方体相对面的字 例9. 如图是一个正方体盒子的展开图，把展开图折叠成正方体后，和“数”字一面相对的面上的字是（   ） A．发 B．现 C．之 D．美 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形或“”字的首尾端即为相对面，根据这一特点作答． 【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， 所以“数”与“美”是相对面， 故选：D． 【变式9-1】如图是一个正方体纸盒的展开图，正方体的各面标有数字1，2，3，，A，B，相对面上的两个数互为相反数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，相反数的定义，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点，利用相反数的定义即可求出A的值． 【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， ∴A与2是相对面， ∴． 故选：B． 【变式9-2】如图是一个正方体的展开图，如果正方体相对的面上标注的值相等，那 ， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点找出相对面，然后求解即可得到x、y的值． 【详解】解：∵正方体相对的面上标注的值相等， ∴， 解得， 故答案为：，． 【变式9-3】如图是一个正方体的表面展开图，每个面均有个代数式，请解答下列问题： (1)与面“A”相对的是面“______________”，与面“B”相对的是面“______________”，与面“C”相对的是面“______________”； (2)若，，，且相对两个面上的代数式的和都相等，求代数式F，并求当，b是a的相反数时，代数式F的值． 【答案】(1)D，F，E (2)28 【分析】 本题考查了正方体的展开图形，整式的加减运算，解题关键是从相对面入手进行分析及解答问题． （1）正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，据此作答． （2）根据A与D是相对两个面，且所表示的代数式的和都相等，求得其和，进而分别找到B与F相对的面，A、D根据两个面的代数式的和减去B所表示的代数式，即可求得F分别代表的代数式． 【详解】（1）正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形， ∴与面“A”相对的是面“D”，与面“B”相对的是面“F”，与面“C”相对的是面“E”； 故答案为：D，F，E （2）因为面“A”与面“D”相对，面“B”与面“F”相对， 所以， 所以 ． b是a的相反数，， ， 所以． 1．直角三角板绕直角边旋转一周得到的立体图形是（    ） A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．圆台 【答案】B 【分析】根据面动成体的原理和圆锥的定义即可得出答案． 本题考查了旋转体的定义和常见的几何体，掌握常见的几何体是解题的关键． 【详解】解：直角三角板绕着它的一条直角边所在直线旋转一周可形成圆锥， 故选：B． 2．汽车的雨刷在挡风玻璃上画出了一个扇面，这说明了（    ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上都不正确 【答案】B 【分析】本题考查点、线、面、体的关系，灵活运用点、线、面、体知识点进行解题是本题的重点．可将汽车的雨刷看成一条线，雨刷在刷玻璃上的雨水时形成了面，所以属于线动成面的实际应用． 【详解】解：汽车的雨刷在挡风玻璃上画出了一个扇面，这说明线动成面， 故选：B． 3．如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，与“”所在面相对的面上的字是（    ）    A．中 B．考 C．必 D．胜 【答案】C 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答，解题的关键是正确理解正方体表面展开图． 【详解】解：由正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点可知， “”的对面是“必”， 故选：． 4．下列图形分别绕虚线旋转一周，得到的立体图形是圆锥的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点、线、面、体，理解“点动成线”“线动成面”“面动成体”是解题的关键，根据选项逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. 绕直线l旋转后得到的图形为一个球体； B.选项中的图形旋转后为圆柱； C.可得其旋转后的几何体为圆锥； D.可知其绕直线l旋转后得到的图形为一个圆台； 故选C． 5．下列现象能说明“面动成体”的是(     ) A．天空划过一道流星 B．旋转一扇门，门在空中运动的痕迹 C．扔出一块小石子，石子在空中飞行的路线 D．汽车雨刷在挡风玻璃上划出的痕迹 【答案】B 【分析】根据点、线、面、体之间的关系对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】选项A，天空划过一道流星，说明“点动成线”，本选项错误； 选项B，旋转一扇门，门在空中运动的痕迹，说明“面动成体”，本选项正确； 选项C，抛出一块小石子，石子在空中飞行的路线，说明“点动成线”，本选项错误； 选项D，汽车雨刷在挡风玻璃上刷出的痕迹，说明“线动成面”，，本选项错误． 故选B． 【点睛】本题考查了点、线、面、体，准确认识生活实际中的现象是解题的关键． 6．如图是一个正方体纸盒的表面展开图，在其中的三个正方形a，b，c内分别填入适当的数，使得折成正方体后相对面上的两数满足下列条件：①a面上的数与它对面的数互为倒数；②b面上的数等于它对面的数的绝对值；③c面上的数与它对面的数互为相反数．下列选项正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字和实数运算，倒数，绝对值，相反数的定义，根据正方体展开图的特征可以求出“a”的对面是，“b”的对面是，“c”的对面是2，进而求出a，b，c的值． 【详解】解：由图形可知“a”的对面是，“b”的对面是，“c”的对面是2， ∵a面上的数与它对面的数互为倒数， ，故选项A错误； ∵b面上的数等于它对面上的数的绝对值， ； ∵c面上的数与它对面的数互为相反数， ， 故选：C． 7．一根长方体木料，长米，宽米，厚分米，把它锯成段，表面积最少增加（    ）平方分米． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了长方体表面积问题，依据题意，把它锯成段，需要锯次，每锯次就增加个面，一共增加了个面，要使增加的表面积最少，就要平行于最小面切割才满足条件，根据长方形面积公式可以求出单个截面面积，最后乘即可，求出最小截面面积是解题的关键． 【详解】解：米分米， ∴表面积最少增加平方分米， 故选：． 8．如图一个正方体的六面都标上数字，请问5对面是（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，找出一个面的四个相邻面是判断其对面的关键． 根据图形可知，4与1、6、3、5相邻，可以判断出4与2是相对面，3与1、2、4、5相邻，可以判断出3与6是相对面，然后得出1与5是相对面，然后即可进行选择． 【详解】解：根据图形的相邻面，因为4与1、6、3、5相邻， 所以4与2是相对面， 因为3与1、2、4、5相邻， 所以3与6是相对面，1与5是相对面． 故选：A. 9．五棱柱是由 个面围成的，有 个顶点，共有 条棱． 【答案】 7 【分析】本题主要考查立体图形的认识，解答此题首先要理解五棱柱的概念和特性，柱体中，面与面相交成棱，棱与棱相交成顶点．根据五棱柱的概念和特性即可解． 【详解】解：五棱柱如图所示：    五棱柱是由7个面围成的，有个顶点，共有条棱． 故答案为：7；10；15． 10．国庆期间，某地举行飞行表演，飞机尾部拉出五彩斑斓的线，飞机表演的“飞机拉线”用数学知识解释为 ． 【答案】点动成线 【分析】本题主要考查了点、线的关系，掌握点动成线是解题的关键． 把飞机尾部看作一个点，根据点动成线即可解答． 【详解】解：把飞机尾部看作一个点，飞机表演的“飞机拉线”用数学知识可解释为点动成线． 故答案为：点动成线． 11．如图，是正方体的一种平面展开图，它的每个面上都有一个汉字，那么在原正方体的表面上，与汉字“真”相对的面上的汉字是 ． 【答案】查 【分析】此题主要考查对正方体表面展开图的认识，根据正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，即可求解． 【详解】解：正方体的平面展开图中相对的面一定是相隔一个小正方形，由图形可知，与“真”相对的字是“查”. 故答案为：查． 12．一张长方形纸片，长为，长为，若将这个长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，则形成的几何体的表面积为 ． 【答案】或/或 【分析】本题主要考查的是点、线、面、体，根据图形确定出圆柱的底面半径和高的长是解题的关键．旋转后的几何体是圆柱体，分两种情况，根据圆柱的表面积公式计算即可求解． 【详解】解：若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，则形成的几何体是圆柱； 情况①，绕边所在直线旋转： ； 情况②，绕边所在直线旋转： ． 故形成的几何体的表面积是或． 故答案为：或． 13．车轮旋转时，看起来像一个整体的圆面，这说明了 ；直角三角形绕它的直角边旋转一周形成了一个圆锥体，这说明了 ． 【答案】 线动成面 面动成体 【分析】车轮上有线，看起来像一个整体的圆面，所以是线动成面；直角三角形是一个面，形成圆锥体，所以是面动成体． 【详解】车轮旋转时，看起来像一个整体的圆面，这说明了线动成面；直角三角形绕它的直角边旋转一周，形成了一圆锥体，这说明了面动成体. 故答案为线动成面，面动成体. 【点睛】此题考查点、线、面、体，解题关键在于掌握其定义. 14．一个不透明小立方体的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，其展开图如图1所示． （1）与数字“5”相对的面上的数字是 ； （2）在一张不透明的桌子上，按图2方式将三个这样的小立方体搭成一个几何体，则该几何体能看得到的面上数字之和最大是 ． 【答案】 6 53 【分析】本题考查了正方体的表面展开图，掌握正方体的表面展开图的特征是解答本题的关键． （1）根据正方体表面展开图的特征，即得答案； （2）结合正方体的摆放方式，要使该几何体能看得到的面上数字之和最大，则看不见的面数字之和要最小，逐步求出三个正方体看不见的面上的最小数字，即得该几何体能看得到的面上数字，即可求得数字之和的最大值． 【详解】（1）由图1可知，1的对面是3，2的对面是4，5的对面是6； 故答案为：6． （2）如图2，要使该几何体能看得到的面上数字之和最大，则看不见的数字之和要最小， 上面的正方形体有一个面被遮住，则这个数字为1，能看见的面的数字之和为； 左下的正方体有3个面被遮住，其中两个为相对面，这三个面的数字分别为1，2，3，则能看见的面的数字之和为； 右下的正方体有2个面被遮住，这两个面不是相对面，这两个面的数字分别为1，2，则能看见的面的数字之和为； 所以该几何体能看得到的面上数字之和最大是． 故答案为：53． 15．观察下列多面体，并把表格补充完整． 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数a 6 10 12 棱数b 9 12 面数c 5 8 (1)完成表格中的数据； (2)根据表格中的规律判断，十四棱柱共有 个面，共有 个顶点，共有　 　条棱； (3)若某个棱柱由30个面构成，则这个棱柱为 棱柱． 【答案】(1)见解析 (2)16，28，42 (3)二十八 【分析】本题考查规律型问题，欧拉公式等知识，解题的关键是学会从特殊到一般探究规律的方法． （1）通过认真观察图象，即可一一判断； （2）根据面、顶点、棱的定义一一判断即可； （3）根据棱柱的定义判定即可． 【详解】（1）解：填表如下： 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数 6 8 10 12 棱数 9 12 15 18 面数 5 6 7 8 （2）解：根据上表中的规律可得：棱柱共有个面，共有个顶点，共有条棱， 所以十四棱柱共有16个面，共有28个顶点，共有42条棱； 故答案为：16，28，42； （3）解：若某个棱柱由30个面构成，则这个棱柱为二十八棱柱； 故答案为：二十八． 16．小丽跟妈妈到银行办理业务，她发现银行大堂的旋转门内部是由三块宽为2m、高为3m的玻璃隔板组成的．此情此景，让她想起了六年级数学第一章《丰富的图形世界》里的知识，她提出了以下问题，你能帮她解决吗？ (1)将此旋转门旋转一周，能形成的几何体是______． (2)这能说明的事实是______（选择正确的一项填入）． A．点动成线    B．线动成面    C．面动成体 (3)求该旋转门旋转一周形成的几何体的体积．（边框及衔接处忽略不计，结果保留π） 【答案】(1)长方形 (2)C (3) 【分析】（1）旋转门的形状是长方形； （2）长方形旋转一周，能形成的几何体是圆柱； （3）根据圆柱体的体积＝底面积×高计算即可． 【详解】（1）解：∵旋转门的形状是长方形， ∴旋转门旋转一周，能形成的几何体是圆柱， （2）这能说明的事实是面动成体． 故选： C． （3）该旋转门旋转一周形成的几何体是圆柱， 体积为：． 故形成的几何体的体积是． 【点睛】本题考查了圆柱的体积的求法，掌握圆柱的体积公式，能够正确得出圆柱的底面面积是解决问题的关键． 17．综合与实践 某“综合与实践”小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，他们利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）请你动手操作验证并完成任务．（纸板厚度及接缝处忽略不计） 动手操作一： 根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子． 方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来． 问题解决： （1）若，则该长方体纸盒的底面边长为________；该长方体纸盒的体积为________； 动手操作二： 根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒． 方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来． 拓展延伸： （2）若，该长方体纸盒的表面积为多少？ 【答案】（1）12，864；（2）486 【分析】本题考查求立体图形的体积和表面积，根据题意正确得出立体图形的长宽高是关键． （1）根据图形可得长方体纸盒的底面边长为大正方形的边长－两个小正方形的边长；根据图形求出长方体纸盒的长宽高即可求出体积； （2）根据图2的裁剪，表示出长、宽、高进而求出体积． 【详解】解：（1）该长方体纸盒的底面边长为： 该长方体纸盒的体积为：； 解：（2）裁剪后折叠成长方体的长为：， 裁剪后折叠成长方体的宽为： 裁剪后折叠成长方体的高为：3 ∴长方体纸盒的表面积为 18．如图所示，在一张正方形纸片的四个角上各剪去一个同样大小的正方形，然后把剩下的部分折成一个无盖的长方体盒子．请回答下列问题： (1)剪去的小正方形的边长与折成的无盖长方体盒子的高之间的大小关系为______； (2)如果设原来这张正方形纸片的边长为acm，所折成的无盖长方体盒子的高为hcm，那么这个无盖长方体盒子的容积可以表示为______；（用含a，h的代数式表示，无需化简．） (3)如果原正方形纸片的边长为20cm，剪去的小正方形的边长按整数值依次变化，即分别取1cm，2cm，3cm，4cm，5cm，6cm，7cm，8cm，9cm，10cm时，计算折成的无盖长方体盒子的容积得到下表，请补全表格． 剪去的小正方形的边长/cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 折成的无盖长方体的容积/ 324 576 500 384 252 128 36 0 (4)观察表格，当剪去的小正方形边长为整数，且等于______cm时，折成的无盖长方体盒子的容积最大． 【答案】(1)相等 (2) (3)512；588 (4)3 【分析】本题主要考查了几何体的体积求法以及展开图问题，根据题意表示出长方体体积是解题关键． （1）根据图形作答即可； （2）根据长方体体积公式即可解答； （3）将，3分别代入体积公式，计算即可； （4）根据材料一定时长方体体积最大与底面积和高都有关，进而得出答案． 【详解】（1）解：由折叠可知， 剪去的小正方形的边长与折成的无盖长方体盒子的高之间的大小关系为相等， 故答案为：相等； （2）解：这个无盖长方体盒子的容积； 故答案为； （3）解：当剪去的小正方形的边长取2时，体积为， 当剪去的小正方形的边长取3时，体积为， 故答案为：512，588； （4）解：观察表格可知：当剪去的小正方形的边长的值逐渐增大时，所得到的无盖长方体纸盒的容积的值先增大后减小， 当剪去的小正方形的边长为3cm时，所得到的无盖长方体纸盒的容积最大． 故答案为：3． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲 观察 抽象、运动 想象、转化 表达 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．通过观察生活中的物体，认识基本几何体；通过具体实例，引导学生感悟到几何图形是由点、线、面组成的； 2．认识图形的平移、翻折、选择，感悟到让图形“动起来”，感悟点动成线、线动成面、面动成体； 3.能想象并画出简单几何体的表面展开图，能根据表面展开图判断、制作简单几何体。 观察 抽象 1.认识下面几种常见的几何体，并写出名称。 2.根据是否是球体、柱体、锥体可分为 。 根据是否含有曲面可分为 。 根据是否含有顶点可分为 。 3．仔细观察下面的正四面体、正六面体、正八面体，解决下列问题： (1)填空： ①正四面体的顶点数______，面数______，棱数______； ②正六面体的顶点数______，面数______，棱数______； ③正八面体的顶点数______，面数______，棱数______； (2) 若将多面体的顶点数用v表示，面数用f表示，棱数用e表示，则v，f，e之间的数量关系可用一个公式来表示：________ (1)① ；② ；③ 运动 想象 1.从下面现象联想什么图形？ 飞机表演“飞机拉线”时，我们用数学的知识可解释为点动成线．用数学知识解释下列现象： （1）流星从空中划过留下的痕迹可解释为___ ___； （2）自行车的辐条运动可解释为__ ___； （3）一只蚂蚁行走的路线可解释为__ ___； （4）打开折扇得到扇面可解释为__ ___； （5）一个圆面沿着它的一条直径旋转一周成球可解释为__ __． 2.图形的三大运动为 。 3．七巧板游戏是将一个正方形分割成七块，然后用这七块拼接成丰富多彩的几何图形．如图（a）是正方形的一种分割方法，并在每块上标了号码． （1）设正方形网格的边长为1，则面积为2的有 号图形； （2）只改变图（a）中的7号图形的位置，使它和其他部分拼成一个新的多边形，请在图（b）中画出所拼的图形（只需画出7号图形）； （3）将这副七巧板的七块图形重新拼成一个和图（a）、图（b）形状不同的多边形，（不留缝隙且不相互重叠），请在图（c）中画出所拼的图形，并使多边形的顶点落在格点上． 【答案】（1） ；（2） ；（3） ． 角：（3）如图所示： 转化 表达 1.正方体有 个面， 条棱， 个顶点； 2.正方体的展开图共11种，可以分4个类型，“141”6种；”132“3种；”33“1种；”222“1种。 （1）中间四个成一行，两边各一无规矩“141型”，中间一行4个作侧面，上下两个各作为上下底面，共有 6种基本图形。 （2）二三紧连错一个，三一相连一随意“231型”，中间3个作侧面，共3种基本图形： （3）两两相连各错一“222”型，两行只能有1个正方形相连： （4）三个两排一对齐“33”型，两行只能有 1个正方形相连： 3. 请你在横线上写出哪种立体图形的表面能展开成下面的图形 4.如图是每个面上都标有一个汉字的正方体的平面展开图，在此正方体上与“福”字相对的面上的汉字是____ _ ___．    5．观察下列图形与等式： 根据图形与等式之间的规律，解答下列问题： (1)写出第6个等式：____________；写出第个等式： ____________（用含的式子表示）． (2)求的值． (1)，(2) 考点一：常见的几何体 例1．分别观察下列几何体，其中有曲面的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列实物对应的立体图形的名称按从左到右的顺序依次是（　　） A．圆柱、圆锥、正方体、长方体 B．圆柱、球、正方体、长方体 C．棱柱、球、正方体、长方体 D．棱柱、圆锥、四棱柱、长方体 【变式1-2】下列几何体中，棱柱有 个．    【变式1-3】根据图回答问题： (1)与图②具有共同特征的图形有哪些？说出共同特征是什么； (2)其他图形中具有共同特征的图形有哪些？说出共同特征是什么． 考点二：立体图形分类 例2 ．给出下列几何图形：①五边形；②正方形；③长方体；④三棱柱；⑤圆柱；⑥四棱锥．其中属于立体图形的是（　　） A．③④⑤⑥ B．①②③ C．③⑥ D．④⑤ 【变式2-1】下列几何体中，不同类的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】对几何体分类时，首先确定标准，即： （1）从形状方面，按柱体、 、球划分； （2）从面的方面，按组成的面有无 划分； （3）从顶点方面，按有无 划分． 【变式2-3】将如图所示的图形按有无曲面分类． 考点三：几何体中的点、棱、面 例3. 如图，线段是正方体的一条棱，则与在同一平面内且与垂直的棱有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【变式3-1】已知一个直棱柱有21条棱，x个面和y个顶点，则的值为（　　） A． B． C．2 D．1 【变式3-2】一个n棱柱有18条棱，底面每条边的长都是，那么它的下底面周长是 ． 【变式3-3】如图所示是一些常见的多面体． (1)数一下每一个多面体具有的顶点数（V）、棱数（E）和面数（F），并且把结果记入表中： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 正四面体 4 4 6 正方体 正八面体 正十二面体 正二十面体 12 20 30 (2)观察表中数据，猜想多面体的顶点数（V）、棱数（E）和面数（F）之间的关系； (3)若已知一个多面体的顶点数，棱数，请你用（2）中的结果求这个多面体的面数． 考点四：点、线、面、体关系 例4．中国扇文化有着深厚的文化底蕴；历来中国有“制扇王国”之称． 如图，打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点确定一条直线 【变式4-1】“雨是最寻常的，一下就是三两天，可别恼，看，像牛毛，像花针，像细丝，密密地斜织着……”，句中，雨“像细丝”说明（    ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点确定一条直线 【变式4-2】（1）一张纸对折后，纸上会留下一道折痕，用数学知识可解释为 ； （2）夏夜，天上飞逝的流星形成一道亮光，用数学知识可解释为 ； （3）黑板擦在黑板上擦出一片干净的区域，用数学知识可解释为 ； （4）长方形绕它的一边在的直线旋转，形成一个圆柱，用数学知识可解释为 ． 【变式4-3】如图，某酒店大堂的旋转门内部由三块宽为1.8m、高为3m的玻璃隔板组成． (1)将此旋转门旋转一周，能形成的几何体是________，这能说明的事实是________（填字母）； A．点动成线    B．线动成面    C．面动成体 (2)求该旋转门旋转一周形成的几何体的体积．（边框及衔接处忽略不计，结果保留） 考点五：平面图形旋转后的立体图形 例5 ．一个长方形的长是厘米，宽是厘米．如图所示，以长为轴旋转一周形成的圆柱甲，以宽为轴旋转一周形成圆柱乙．下面说法正确的是（ ）． A．两个圆柱的底面积一样大 B．两个圆柱的底面周长一样大 C．两个圆柱的侧面积一样大 D．两个圆柱的体积一样大 【变式5-1】将一个直角三角形绕一条直角边所在的直线旋转一周后得到的几何体可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   【变式5-2】如图，将边长是的正方形绕它的对称轴（虚线处）旋转一周可以得到一个圆柱，则这个圆柱的表面积是 ，体积是 ．（π取） 【变式5-3】如图，将平面图形甲、乙分别绕轴l、m旋转一周，可以得到立体图形①、②，图形甲是直角边分别为a、2a的直角三角形，图形乙是边长为a的正方形． (1)立体图形①的名称是_______； (2)请问立体图形②比立体图形①的体积大多少？(用含a和π的式子表示， 考点六：几何体展开图的认识 例6. 如图是某个几何体的侧面展开图，则该几何体是（    ） A．四棱锥 B．三棱锥 C．四棱柱 D．三棱柱 【变式6-1】把一个立体图形展开成平面图形，其形状如图所示，则这个立体图形是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】将如图所示的几何体沿虚线折叠，折成的几何体的名称是 ． 【变式6-3】如图是某长方体包装盒的展开图．具体数据如图所示，且长方体盒子的长是高的2倍．    (1)展开图的6个面分别标有如图所示的序号，则原包装盒与①相对的面是______（填序号）； (2)若设长方体的高为，则 ①长方体的长为______cm，宽为______cm（用含x的式子表示）； ②请利用一元一次方程知识求长方体包装盒的体积． 考点七：正方体几种展开图的识别 例7．有一个无盖的正方体盒子，下列选项中不可能是它的平面展开图的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】如图是的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图的方法有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【变式7-2】活动课上，学生们设计制作正方体包装盒，老师发给每名学生一张长方形纸板，其长为，宽为，可以在纸板上画出设计图，将阴影部分剪下再折叠，三名学生的设计如图所示：    （1）其中剪下后不能折成正方体的设计有 （填小张、小李或小王）； （2）有一张宽为，长为（为整数）的长方形网格纸，按照如下方式设计制作正方体包装盒，涂色的部分能够折成正方体，若的网格中没有被涂色的部分占到，则的值为 ．    【变式7-3】如图所示，将正方体纸盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平可以得到其展开图的平面图形． (1)下列平面图形中，是正方体平面展开图的是______； (2)在图①方格中，画一个与（1）中呈现的类型不一样的正方体的展开图（用阴影表示）； (3)正方体纸盒的剪裁线如图中实线所示，请将其展开图画在图②的方格图中（用阴影表示）． 考点八：含图案的正方体展开图 例8 ．美术课上，老师要求同学们将如图所示的白纸只沿虚线剪开、用裁开的纸片和白纸上的黑色方块围成一个立体模型，然后放在桌面上，下面四个示意图中，只有一个符合上述要求，那么这个示意图是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】把左边的正方体的表面展开，可能得到的展开图是（　　）    A．   B．   C．   D．   【变式8-2】如图，正方体纸盒的底面和侧面的下半部分涂有黑色漆，下列不是由它展开得到的表面展开图的是 ．（填序号） 【变式8-3】如图，右面哪一个图形是左面正方体的展开图？ （1）    A．     B.     C.     D. （2）    A．     B.     C.     D. 考点九：正方体相对面的字 例9. 如图是一个正方体盒子的展开图，把展开图折叠成正方体后，和“数”字一面相对的面上的字是（   ） A．发 B．现 C．之 D．美 【变式9-1】如图是一个正方体纸盒的展开图，正方体的各面标有数字1，2，3，，A，B，相对面上的两个数互为相反数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【变式9-2】如图是一个正方体的展开图，如果正方体相对的面上标注的值相等，那 ， ． 【变式9-3】如图是一个正方体的表面展开图，每个面均有个代数式，请解答下列问题： (1)与面“A”相对的是面“______________”，与面“B”相对的是面“______________”，与面“C”相对的是面“______________”； (2)若，，，且相对两个面上的代数式的和都相等，求代数式F，并求当，b是a的相反数时，代数式F的值． 1．直角三角板绕直角边旋转一周得到的立体图形是（    ） A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．圆台 2．汽车的雨刷在挡风玻璃上画出了一个扇面，这说明了（    ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上都不正确 3．如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，与“”所在面相对的面上的字是（    ）    A．中 B．考 C．必 D．胜 4．下列图形分别绕虚线旋转一周，得到的立体图形是圆锥的是（    ） A． B． C． D． 5．下列现象能说明“面动成体”的是(     ) A．天空划过一道流星 B．旋转一扇门，门在空中运动的痕迹 C．扔出一块小石子，石子在空中飞行的路线 D．汽车雨刷在挡风玻璃上划出的痕迹 6．如图是一个正方体纸盒的表面展开图，在其中的三个正方形a，b，c内分别填入适当的数，使得折成正方体后相对面上的两数满足下列条件：①a面上的数与它对面的数互为倒数；②b面上的数等于它对面的数的绝对值；③c面上的数与它对面的数互为相反数．下列选项正确的是（    ）    A． B． C． D． 7．一根长方体木料，长米，宽米，厚分米，把它锯成段，表面积最少增加（    ）平方分米． A． B． C． D． 8．如图一个正方体的六面都标上数字，请问5对面是（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 9．五棱柱是由 个面围成的，有 个顶点，共有 条棱． 10．国庆期间，某地举行飞行表演，飞机尾部拉出五彩斑斓的线，飞机表演的“飞机拉线”用数学知识解释为 ． 11．如图，是正方体的一种平面展开图，它的每个面上都有一个汉字，那么在原正方体的表面上，与汉字“真”相对的面上的汉字是 ． 12．一张长方形纸片，长为，长为，若将这个长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，则形成的几何体的表面积为 ． 13．车轮旋转时，看起来像一个整体的圆面，这说明了 ；直角三角形绕它的直角边旋转一周形成了一个圆锥体，这说明了 ． 14．一个不透明小立方体的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，其展开图如图1所示． （1）与数字“5”相对的面上的数字是 ； （2）在一张不透明的桌子上，按图2方式将三个这样的小立方体搭成一个几何体，则该几何体能看得到的面上数字之和最大是 ． 15．观察下列多面体，并把表格补充完整． 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数a 6 10 12 棱数b 9 12 面数c 5 8 (1)完成表格中的数据； (2)根据表格中的规律判断，十四棱柱共有 个面，共有 个顶点，共有　 　条棱； (3)若某个棱柱由30个面构成，则这个棱柱为 棱柱． 16．小丽跟妈妈到银行办理业务，她发现银行大堂的旋转门内部是由三块宽为2m、高为3m的玻璃隔板组成的．此情此景，让她想起了六年级数学第一章《丰富的图形世界》里的知识，她提出了以下问题，你能帮她解决吗？ (1)将此旋转门旋转一周，能形成的几何体是______． (2)这能说明的事实是______（选择正确的一项填入）． A．点动成线    B．线动成面    C．面动成体 (3)求该旋转门旋转一周形成的几何体的体积．（边框及衔接处忽略不计，结果保留π） 17．综合与实践 某“综合与实践”小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，他们利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）请你动手操作验证并完成任务．（纸板厚度及接缝处忽略不计） 动手操作一： 根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子． 方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来． 问题解决： （1）若，则该长方体纸盒的底面边长为________；该长方体纸盒的体积为________； 动手操作二： 根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒． 方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来． 拓展延伸： （2）若，该长方体纸盒的表面积为多少？ 18．如图所示，在一张正方形纸片的四个角上各剪去一个同样大小的正方形，然后把剩下的部分折成一个无盖的长方体盒子．请回答下列问题： (1)剪去的小正方形的边长与折成的无盖长方体盒子的高之间的大小关系为______； (2)如果设原来这张正方形纸片的边长为acm，所折成的无盖长方体盒子的高为hcm，那么这个无盖长方体盒子的容积可以表示为______；（用含a，h的代数式表示，无需化简．） (3)如果原正方形纸片的边长为20cm，剪去的小正方形的边长按整数值依次变化，即分别取1cm，2cm，3cm，4cm，5cm，6cm，7cm，8cm，9cm，10cm时，计算折成的无盖长方体盒子的容积得到下表，请补全表格． 剪去的小正方形的边长/cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 折成的无盖长方体的容积/ 324 576 500 384 252 128 36 0 (4)观察表格，当剪去的小正方形边长为整数，且等于______cm时，折成的无盖长方体盒子的容积最大． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$