专题1.7 探索三角形全等的条件（HL）（知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题1.7 探索三角形全等的条件（HL）（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】直角三角形全等的判定方法——斜边、直角边（HL） （1）判定方法：斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）. （2）书写格式： 如图，在Rt△ABC和△Rt中， 【知识点二】判定两个直角三角形全等的方法 判定一般三角形全等的方法对判定两个直角三角形全等全部适用，因此我们可以根据“HL”“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”这五种方法来判定两个直角三角形全等. 【知识点三】判定两个直角三角形全等的思路 （1） 已知一条直角边对应相等，可用判定方法“SAS”“HL”“ASA”或“AAS”； （2） 已知斜边对应相等，可用判定方法“HL”“AAS”; （3） 已知一锐角对应相等，可用判定方法“ASA”或“AAS”. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】用“HL”证明直角三角形全等 【例1】（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，在和中，，，与分别为，边上的中线，且，求证：． 【变式1】（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，，，垂足分别为，，要根据“”证明与全等，则还需要添加一个条件是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·辽宁大连·期中）如图，在和中，，，若要用“斜边、直角边”直接证明，则还需补充的条件是 ． 【题型2】全等的性质与“HL”综合 【例2】（2024·四川达州·一模）如图，在中，，于点D，，且，过C作． （1）求证：； （2）求证：． 【变式1】（22-23八年级下·全国·假期作业）如图，，，点A，D和B，C分别在直线和上，点E在上，，，，则的值为（    ）    A．3 B．5 C．7 D．9 【变式2】如图，点D在上，于点E，交AC于点F，．若，则 ．      【题型3】全等三角形的综合问题 【例3】（22-23八年级上·重庆綦江·期末）综合与探究： 如图，在和中，，，，的延长线交于点． （1）求证：． （2）若，求的度数． （3）过点作于点，请探究、、三条线段的数量关系，并证明． 【变式1】（23-24八年级上·浙江湖州·期中）如图，，，于点B，于点D，E、F分别是、上的点，且，下列结论中①， ②， ③平分，④平分， ⑤．其中正确的结论是（    ） A．④⑤ B．①② C．③⑤ D．①②③ 【变式2】（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，已知四边形中，，对角线平分，那么为 度．    第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】  （2023·江苏南通·中考真题）如图，点，分别在，上，，，相交于点，． 求证：． 小虎同学的证明过程如下： 证明：∵， ∴． ∵， ∴．第一步 又，， ∴第二步 ∴第三步    （1）小虎同学的证明过程中，第___________步出现错误； （2）请写出正确的证明过程． 【例2】（2019·湖北孝感·中考真题）如图，已知，与交于点，，求证：. 2、拓展延伸 【例1】（23-24八年级上·重庆江北·阶段练习）阅读下列材料，然后解决问题：截长法与补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．具体的做法是在某条线段上截取一条线段等于某特定线段，或将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题．    （1）如图，平分，，探究、与之间的关系． 解决此问题可以用如下方法：在上截，易证，则，，利用三角形的外角定理及等腰三角形的判定，可以得到、及的数量关系是．（此方法为截长法，当然我们也可以考虑延长） （2）问题解决：如图，在四边形中，，，、分别是边，边上的两点，且，求证：． （3）问题拓展：如图，在中，，，平分的外角，交延长线于点，是上一点，且．求证：． 【例2】（22-23七年级上·黑龙江大庆·阶段练习）综合与探究 如图，在和中，，，，的延长线交于点F． （1）求证：． （2）若，请直接写出的度数． （3）过点A作于点H，求证：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.7 探索三角形全等的条件（HL）（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】直角三角形全等的判定方法——斜边、直角边（HL） （1）判定方法：斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）. （2）书写格式： 如图，在Rt△ABC和△Rt中， 【知识点二】判定两个直角三角形全等的方法 判定一般三角形全等的方法对判定两个直角三角形全等全部适用，因此我们可以根据“HL”“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”这五种方法来判定两个直角三角形全等. 【知识点三】判定两个直角三角形全等的思路 （1） 已知一条直角边对应相等，可用判定方法“SAS”“HL”“ASA”或“AAS”； （2） 已知斜边对应相等，可用判定方法“HL”“AAS”; （3） 已知一锐角对应相等，可用判定方法“ASA”或“AAS”. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】用“HL”证明直角三角形全等 【例1】（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，在和中，，，与分别为，边上的中线，且，求证：． 【分析】此题考查了全等三角形的判定，根据三角形中线的定义得到，，由，得到，利用即可证明． 证明：∵与分别为，边上的中线， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 【变式1】（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，，，垂足分别为，，要根据“”证明与全等，则还需要添加一个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理；根据已知公共边为，根据只要找到对应的直角边或，即可求解． 解：在与中， ∴， 故选：B． 【变式2】（23-24八年级上·辽宁大连·期中）如图，在和中，，，若要用“斜边、直角边”直接证明，则还需补充的条件是 ． 【答案】 【分析】根据证明两个直角三角形全等，需满足一组直角边、一组斜边分别相等，由此可得答案． 解：由题意知，在和都是直角三角形，已有一组直角边相等， 若要用“斜边、直角边”直接证明，还需满足“斜边相等”， 因此还需补充的条件是， 故答案为：． 【题型2】全等的性质与“HL”综合 【例2】（2024·四川达州·一模）如图，在中，，于点D，，且，过C作． （1）求证：； （2）求证：． 【分析】本题考查的是同角的余角相等，全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键； （1）证明，即可得到结论； （2）先证明，再证明即可得到结论． （1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（22-23八年级下·全国·假期作业）如图，，，点A，D和B，C分别在直线和上，点E在上，，，，则的值为（    ）    A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【分析】运用方法判定，得，进而求解． 解：∵，， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． 故选：C． 【点拨】本题考查三角形全等的判定和性质，掌握直角三角形全等的判定方法是解题的关键． 【变式2】如图，点D在上，于点E，交AC于点F，．若，则 ．      【答案】/55度 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，证明得到，是解题的关键．利用证明得到，利用三角形外角的性质求出的度数，再利用三角形的外角的性质即可得到答案． 解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 【题型3】全等三角形的综合问题 【例3】（22-23八年级上·重庆綦江·期末）综合与探究： 如图，在和中，，，，的延长线交于点． （1）求证：． （2）若，求的度数． （3）过点作于点，请探究、、三条线段的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析；(2)；(3)，证明见解析 【分析】（1）可利用证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，结合平角的定义可得，根据，可求得，即可求解； （3）连接，过点A作于点J．结合全等三角形的性质利用证明，可得，，进而可证明结论． （1）证明：． ． 在和中， ， ； （2）解： ， ， ． ， ， ； （3）结论： 证明：如图，连接，过点作于点． ， ，， ，． ， ． 在和中， ， ， ． 在和中， ， ， ， ． 【点拨】本题主要考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定条件是解题的关键． 【变式1】（23-24八年级上·浙江湖州·期中）如图，，，于点B，于点D，E、F分别是、上的点，且，下列结论中①， ②， ③平分，④平分， ⑤．其中正确的结论是（    ） A．④⑤ B．①② C．③⑤ D．①②③ 【答案】C 【分析】由E、F分别是上的任意点，可知与不一定相等，与也不一定全等，可判断①错误，②错误；延长到点G，使，连接，先证明，得，由，可以推导出，则，即可证明，得，因为，所以，可判断③正确，因为，所以，可判断⑤正确；由平分结合，推出与题干互相矛盾，可得④错误． 解：∵E、F分别是上的任意点， ∴与不一定相等，故①错误； ∵于点于点D， ∴， ∵， ∴的另一个条件是， ∵与不一定相等， ∴与不一定全等，故②错误； 延长到点G，使，连接，则， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，   ∴ ∴， ∴平分，故③⑤正确； 若平分，而， ∴，与题干信息矛盾，故④错误； 故选C 【点拨】此题重点考查角平分线的定义，线段的和差运算，角的和差运算，全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线并且证明是解题的关键． 【变式2】（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，已知四边形中，，对角线平分，那么为 度．    【答案】59 【分析】延长，过点D作，，根据条件证明可得，过点D作，证明，，运用三角形内角和即可求解． 解：延长，过点D作，，如图，    ∴， ∵对角线平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴平分， 过点D作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题考查几何问题，涉及到角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等，正确作出辅助线是关键． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】  （2023·江苏南通·中考真题）如图，点，分别在，上，，，相交于点，． 求证：． 小虎同学的证明过程如下： 证明：∵， ∴． ∵， ∴．第一步 又，， ∴第二步 ∴第三步    （1）小虎同学的证明过程中，第___________步出现错误； （2）请写出正确的证明过程． 【答案】(1)二 (2)见解析 【分析】（1）根据证明过程即可求解． （2）利用全等三角形的判定及性质即可求证结论． （1）解：则小虎同学的证明过程中，第二步出现错误， 故答案为：二． （2）证明：∵， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键． 【例2】（2019·湖北孝感·中考真题）如图，已知，与交于点，，求证：. 【分析】由证明得出，由等腰三角形的判定定理即可得出结论． 解：∵， ∴和是直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定；熟练掌握等腰三角形的判定定理，证明三角形全等是解题的关键． 2、拓展延伸 【例1】（23-24八年级上·重庆江北·阶段练习）阅读下列材料，然后解决问题：截长法与补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．具体的做法是在某条线段上截取一条线段等于某特定线段，或将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题．    （1）如图，平分，，探究、与之间的关系． 解决此问题可以用如下方法：在上截，易证，则，，利用三角形的外角定理及等腰三角形的判定，可以得到、及的数量关系是．（此方法为截长法，当然我们也可以考虑延长） （2）问题解决：如图，在四边形中，，，、分别是边，边上的两点，且，求证：． （3）问题拓展：如图，在中，，，平分的外角，交延长线于点，是上一点，且．求证：． 【答案】(1)；(2)见解析；(3)见解析 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得出，进而即可求解； （2）延长到，使，证明，根据全等三角形的性质得到，，证明，根据全等三角形的性质证明； （3）作于，在上截取，分别证明，，根据全等三角形的性质证明． 【详解】（1）解： 在上截， ∵平分， ∴，又 ∴； ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴； （2）证明：延长到，使， ，， ， 在和中， ， （）， ，， ， ， ， 在和中， ， （）， ， ； （3）证明：作于，在上截取，    点是外角平分线上一点，，， DE=DH，， 在和中， （） ， 在和中， ， （） ， ， ， 则 ． 【点拨】本题考查的是全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理，正确作出辅助线是解题的关键． 【例2】（22-23七年级上·黑龙江大庆·阶段练习）综合与探究 如图，在和中，，，，的延长线交于点F． （1）求证：． （2）若，请直接写出的度数． （3）过点A作于点H，求证：． 【答案】(1)见解析； (2)；(3)见解析 【分析】（1）可利用证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，结合平角的定义可得，根据，可求得，即可求解； （3）连接，过点A作于点J．结合全等三角形的性质利用证明，可得，，进而可证明结论． （1）证明：∵． ∴． 在和中， ， ∴； （2）∵， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴； （3）证明：如图，连接，过点A作于点J． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． ∴． 【点拨】本题主要考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定条件是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$