微素养·专题突破4 整式运算的实际应用-【精彩练习】2023-2024学年七年级下册数学同步评价作业教师用书配套Word（浙教版）

　整式运算的实际应用 一、面积和周长的计算 【例1】 如图，某村开展了“美丽乡村”建设，现准备在一块长为(3x＋y)米，宽为(2x＋y)米的长方形土地上，划出一块边长为(x＋y)米的正方形建设村民活动中心，为村民休闲健身提供去处，并将图中的阴影部分进行绿化． (1)求绿化面积(用含x，y的代数式表示). (2)求当x＝5，y＝4时的绿化面积． 解：(1)根据题意得，绿化面积为(3x＋y)(2x＋y)－(x＋y)2＝6x2＋3xy＋2xy＋y2－x2－2xy－y2 ＝(5x2＋3xy)平方米． (2)当x＝5，y＝4时，原式＝5×52＋3×5×4 ＝125＋60＝185(平方米)， 答：绿化面积是185平方米． 【变式1】 某小区要修建一个长为(3a－b)米，宽为(a＋2b)米的长方形休闲场所ABCD.长方形内建一个正方形活动区EFGH和连结活动区到长方形四边的四条笔直小路(如图)，正方形活动区的边长为(a－b)米，小路的宽均为2米．活动区与小路铺设鹅卵石，其他地方铺设草坪． (1)求铺设草坪的面积是多少平方米(用含a，b的代数式表示). (2)当a＝10，b＝4时，需要铺设草坪的面积是多少？ 解：(1)草坪的面积为 (3a－b)(a＋2b)－(a－b)2－[3a－b－(a－b)]×2－[a＋2b－(a－b)]×2＝3a2＋5ab－2b2－a2－b2＋2ab－2a×2－3b×2 ＝2a2＋7ab－3b2－4a－6b(平方米). (2)当a＝10，b＝4时，需要铺设草坪的面积为2×102＋7×10×4－3×42－4×10－6×4＝368(平方米). 【变式2】 7张如图1所示的长为a、宽为b(a>b)的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分(两个长方形)用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足(　B　) A．a＝b B．a＝3b C．a＝b D．a＝4b 二、结合乘法公式 【例2】 有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12， (1)正方形A，B的面积之和为__13__． (2)若三个正方形A和两个正方形B如图丙摆放，求阴影部分的面积． 解：(1)设正方形A，B的边长分别为a，b(a＞b)， 由图甲得(a－b)2＝1，由图乙得(a＋b)2－a2－b2＝12， 得ab＝6，a2＋b2＝13. 故答案为13. (2)∵ab＝6，a2＋b2＝13，∴(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab＝1＋24＝25.∵a＋b＞0，∴a＋b＝5. ∵(a－b)2＝1，且a>b，∴a－b＝1， ∴图丙的阴影部分面积S＝(2a＋b)2－3a2－2b2＝a2－b2＋4ab＝(a－b)(a＋b)＋4ab＝5＋24＝29. 【变式】 如图，将一个边长为a＋b的正方形图形分割成四部分(两个正方形和两个长方形)，请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中条件，请用两种方法表示该图形的总面积(用含a，b的代数式表示出来). (2)如果图中的a，b(a>b)满足a2＋b2＝57，ab＝12，求(a＋b)2的值． (3)已知(5＋2x)2＋(2x＋3)2＝60，求(5＋2x)·(2x＋3)的值． 解：(1)大正方形的边长为a＋b，因此面积为(a＋b)2. 大正方形的面积也可以看作四个部分的面积和，即a2＋2ab＋b2. (2)由(1)得(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2， ∵a2＋b2＝57，ab＝12， ∴(a＋b)2＝57＋24＝81. (3)设m＝5＋2x，n＝2x＋3，则m－n＝2，m2＋n2＝60＝(5＋2x)2＋(2x＋3)2， 由(m－n)2＝m2＋n2－2mn，得22＝60－2mn， ∴mn＝28＝(5＋2x)(2x＋3)， 即(5＋2x)(2x＋3)的值为28. 【例3】 小红家的收入分农业收入和其他收入两部分，今年农业收入是其他收入的1.5倍，预计明年农业收入将减少20%，而其他收入将增加40%，那么预计小红家明年的全年总收入是增加了还是减少了？ 解：设小红家今年其他收入为a元，则农业收入为1.5 a元， 故预计明年全年收入比今年多1.5a×(1－20%)＋(1＋40%)a－(a＋1.5a)＝1.2a＋1.4a－2.5a＝0.1a(元). 答：明年的全年总收入将比今年增加． 【变式】 某城市为了鼓励居民节约用水，对自来水用户按如下标准收费．若每月每户用水不超过a吨，以每吨m元收费；若用水超过a吨，则超过的部分以每吨2m元收费．现有一居民本月用水x吨，则应交水费多少元？ 解：当x≤a时，应交水费mx元； 当x＞a时，应交水费 am＋2m(x－a)＝am＋2mx－2ma＝(2mx－ma)元． 【例4】 定义：如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“和谐数”．如4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，因此，4，12，20这三个数都是“和谐数”． (1)28是“和谐数”，且n，m为连续偶数(m>n).当28＝m2－n2时，m＋n＝__14__． (2)设两个连续偶数为2k＋2和2k(其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数吗？为什么？ 解：(1)∵28＝m2－n2＝(m＋n)(m－n)，且m－n＝2， ∴m＋n＝14. 故答案为14. (2)(2k＋2)2－(2k)2＝8k＋4 ＝4(2k＋1). ∵k为非负整数，∴2k＋1一定为正整数， ∴4(2k＋1)一定能被4整除，则由这两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数． 【变式】 观察下列算式： ①1×3－22＝3－4＝－1； ②2×4－32＝8－9＝－1； ③3×5－42＝15－16＝－1； ④______________________________； …… (1)请你按以上规律写出第4个算式． (2)把这个规律用含字母n的式子表示出来． (3)你认为(2)中所写出的式子一定成立吗？并说明理由． 解：(1)4×6－52＝24－25＝－1. (2)答案不唯一，如n(n＋2)－(n＋1)2＝－1. (3)一定成立．左边＝n2＋2n－n2－2n－1＝－1＝右边． 学科网（北京）股份有限公司 $$