精品解析：湖南省衡阳市衡阳县第四中学2024届高三下学期4月月考数学试题

衡阳县第四中学2023-2024年度下学期高三4月月考 数学试题 满分：150分 考试时间：120分钟 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 设集合，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先判断点是否在直线上，再求出交集即可. 【详解】因为点在直线上，点不在直线上， 又，， 所以. 故选：B 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. 4 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，求得，再由复数模的计算公式，即可求解. 【详解】由复数满足，可得， 则. 故选：B. 3. 已知向量满足，且与夹角的余弦值为，则（ ） A. 36 B. C. 32 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量数量积的定义及运算律计算可得. 【详解】设与的夹角为，则， . 故选：B 4. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数以及对数的单调性即可比较. 【详解】由于，，， 因此， 故选：A 5. 若扇形的面积为6，半径为，则该扇形的圆心角为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】利用扇形面积公式和弧长公式即可求. 【详解】由题意，设扇形的弧长为，半径为，圆心角为， 所以，所以， 所以该扇形的圆心角为. 故选：B 6. 有2男2女共4名大学毕业生被分配到三个工厂实习，每人必须去一个工厂且每个工厂至少去1人，且工厂只接收女生，则不同的分配方法种数为（ ） A. 12 B. 14 C. 22 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】按工厂接收的女生人数分两类，求出每类情况数，相加后得到答案. 【详解】按工厂接收的女生人数分类， 第一类：工厂仅接收1名女生，从2名女生中选1人，有种选择， 再把剩余的3人分为两组，和两工厂进行全排列，有种选择， 故有种分配方法； 第二类：工厂接收2名女生，则剩余的两个男生和两个工厂进行全排列， 有种分配方法． 综上，不同的分配方法有种． 故选： 7. 设是等比数列的前n项和，若，，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据成等比数列，得到方程，求出，得到答案. 【详解】由题意得，， 因为成等比数列，故， 即，解得， 故. 故选：D 8. 从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线夹角（锐角或直角）余弦值为（ ） A. B. C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆的相关性质先求出，再利用倍角公式求即可. 【详解】圆即，其圆心，半径， 则过向这个圆作两条切线，切点为，如图： 又， 则， 所以. 故选：B. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 如图所示，圆锥的底面半径和高都等于球的半径，则下列选项中正确的是（ ） A. 圆锥的轴截面为直角三角形 B. 圆锥的表面积大于球的表面积的一半 C. 圆锥侧面展开图的圆心角的弧度数为 D. 圆锥的体积与球的体积之比为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，结合条件由圆锥以及球的表面积体积公式代入计算，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】 对于A，设球半径为，则如图所示：， 所以，故A正确； 对于B，圆锥的表面积为， 球的表面积为，所以，故B正确； 对于C，圆锥的母线长为，底面周长为， 所以圆锥侧面展开图中圆心角的弧度数为，故C错误； 对于D，，，，故D正确. 故选：ABD. 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 若是第二象限角，则是第一或第三象限角 C. D. 若是第四象限角，则点在第四象限 【答案】BC 【解析】 【分析】对于AD：根据角所在象限确定三角函数值的正负即可；对于B：求出角的范围后再判断；对于C：判断弧度制所在象限即可判断. 【详解】对于A：因为，所以，故A错误； 对于B：若是第二象限角，则， 所以，即是第一或第三象限角，故B正确； 对于C：因为，所以，即，故C正确； 对于D：若是第四象限角，则， 所以点在第三象限，故D错误. 故选：BC. 11. 设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中错误的是（ ） A. B. C. 对任意正数， D. 对任意正数， 【答案】ABCD 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的性质和图形，依次判断选项即可. 【详解】对于A：∵由图可知，，， ∴，故A错误； 对于B：由图可得，，故B错误； 对于C：由图可得，对任意正数，， 而，， 故，故C、D错误． 故选：ABCD． 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，则的展开式中常数项为______．（用数字作答） 【答案】84 【解析】 【分析】由条件结合二项式系数的性质列方程求，结合展开式通项公式求解展开式中常数项. 【详解】因为的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等， 所以，解得， 所以二项式的展开式的通项公式为，， 令得，所以的展开式中常数项为. 故答案为：84 13. 三棱锥中，平面ABC，，，，，则二面角的大小为__________. 【答案】30° 【解析】 【分析】根据题意，结合二面角的定义，可知为二面角的平面角，解直角三角形PCA即可得解. 【详解】由题可得，即， 如图： 平面ABC，平面ABC，， 又，，PC，平面PAC， 平面PAC， 而平面PAC，， 即为二面角的平面角， 在直角三角形PCA中，， 可得 故答案： 14. 若函数的导函数为，且满足，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】先求导，然后代入求出，进而可得，接着代入计算即可. 【详解】由得， 所以，得， 所以， 所以. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知数列的前n项和为，． （1）求数列的通项公式； （2）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用与的关系式，结合等比数列的定义与通项公式即可得解； （2）利用等差数列的通项公式即可得解. 【小问1详解】 因为， 当时，，所以， 当时，， 所以，整理得， 所以数列是以3为首项，公比为3的等比数列， 所以数列的通项公式为; 【小问2详解】 因为， 由题意得：，即， 所以. 16. 如图，在四棱锥中，因为平面，底面ABCD为菱形，E，F分别为AB，PD的中点，且 （1）求证：∥平面； （2）求二面角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）通过取中点，连接，设法证明，即可由线线平行证明线面平行； （2）先证明平面，推理得，建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标和相关向量的坐标，求得两个平面的法向量坐标，利用空间向量的夹角公式即可求得. 【小问1详解】 如图，取中点，连接，因是的中点，则且 又ABCD为菱形，且E分别为AB的中点，则且，故且， 故得，则，因平面，平面，故∥平面. 【小问2详解】 因平面，平面,则,因， 平面，故平面， 又平面，则.故可以分别为的正方向，建立空间直角坐标系. 则 ,则, 设平面的法向量为，则故可取； 因平面，故平面的法向量可取为， 由，又因二面角是锐二面角，故二面角是. 17. 亚运聚欢潮，璀璨共此时.2023年9月第19届亚洲运动会在杭州举办，来自亚洲45个国家和地区的1万多名运动员在这里团结交流、收获友谊，奋勇拼搏、超越自我，共同创造了亚洲体育新的辉煌和荣光，赢得了亚奥理事会大家庭和国际社会的广泛好评．亚运会圆满结束后，杭州某学校组织学生参加与本届亚运会有关的知识竞赛．为更好地了解该校学生对本届亚运会有关赛事和知识的掌握情况，采用随机抽样的方法抽取了600名学生进行调查，成绩全部分布在40~100分之间，根据调查的结果绘制的学生成绩频率分布直方图如图所示， （1）求频率分布直方图中的值； （2）估计这600名学生成绩的中位数； （3）根据频率分布直方图，按分层抽样的方法从成绩在的学生中选取5人，再从这5人中任意选取2人，求这2人中至少有1人成绩不低于90分的概率． 【答案】（1） （2）80 （3） 【解析】 【分析】（1）根据各矩形面积之和为1，列式计算，即可求得a的值； （2）根据频率分布直方图，结合中位数的求解方法，即可求得答案； （3）求出内的人数之比，根据分层抽样可求得两组各抽取的人数，列举出从这5人中任意选取2人的所有可能情况，再列举出这2人中至少有1人成绩不低于90分的情况，根据古典概型的概率公式，即可求得答案. 【小问1详解】 由频率分布直方图，得， 解得； 【小问2详解】 由频率分布直方图，得， ， 则估计这600名学生成绩的中位数为80； 【小问3详解】 由题意得，成绩在的频率为， 成绩在的频率为，频率之比为， 所以按分层抽样的方法从中选取5人，成绩在的学生有2人，分别记为， 成绩在的学生有3人，分别记为， 从这5人中任意选取2人，有，共10种选法， 其中至少有1人成绩不低于90分的选法有，，共9种， 所以这2人中至少有1人成绩不低于90分的概率. 18. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，上顶点为，且． （1）求离心率； （2）射线与交于点，且，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，可得，的关系，进而求出椭圆的离心率； （2）由（1）可得与，与的关系，设直线的方程，与椭圆的方程联立，可得点的坐标，求出的表达式，由题意可得，的值，由椭圆的性质可得的周长为，即求出三角形的周长． 【小问1详解】 依题意可得上顶点，左，右焦点分别为，， 所以，， 又， 所以，即，即， 所以，所以离心率； 【小问2详解】 由（1）可得，，则椭圆方程为， 射线的方程为， 联立，整理可得， 解得或，则，即， 所以，解得，则， 所以的周长． 19. 函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数． （1）若函数对称中心为，求函数的解析式． （2）由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为n个一次因式的乘积．进而，一元n次多项式方程有n个复数根（重根按重数计）．如设实系数一元二次方程，在复数集内的根为，，则方程可变形为，展开得：则有，即，类比上述推理方法可得实系数一元三次方程根与系数的关系． ①若，方程在复数集内的根为，当时，求的最大值； ②若，函数的零点分别为，求的值. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（1）确定为奇函数，根据得到，解得答案； （2）①根据根与系数的关系确定，代入计算得到，根据范围得到最值；②取变换得到，得到根与系数的关系，确定，计算得到答案. 【小问1详解】 由为奇函数，则恒成立. 即， 整理得：恒成立，故，解得， 故. 【小问2详解】 ①若，则，由题有的三个实根为. 设， 展开得， 故， 则， 又，故， 综上：当时，的最大值为； ②时，，由有， 同时除以得，令，，， 由题知是方程的三个根， 则， 展开得，， 则. 【点睛】方法点睛：整体换元法可以简化分式的大部分运算，也体现了数学中转化思想. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 衡阳县第四中学2023-2024年度下学期高三4月月考 数学试题 满分：150分 考试时间：120分钟 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 设集合，，则（　　） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. 4 D. 12 3. 已知向量满足，且与夹角的余弦值为，则（ ） A 36 B. C. 32 D. 4. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 若扇形面积为6，半径为，则该扇形的圆心角为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 6. 有2男2女共4名大学毕业生被分配到三个工厂实习，每人必须去一个工厂且每个工厂至少去1人，且工厂只接收女生，则不同的分配方法种数为（ ） A. 12 B. 14 C. 22 D. 24 7. 设是等比数列的前n项和，若，，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 8. 从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线夹角（锐角或直角）的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 如图所示，圆锥的底面半径和高都等于球的半径，则下列选项中正确的是（ ） A. 圆锥的轴截面为直角三角形 B. 圆锥表面积大于球的表面积的一半 C. 圆锥侧面展开图的圆心角的弧度数为 D. 圆锥的体积与球的体积之比为 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 若是第二象限角，则是第一或第三象限角 C. D. 若是第四象限角，则点在第四象限 11. 设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中错误的是（ ） A. B. C. 对任意正数， D. 对任意正数， 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，则的展开式中常数项为______．（用数字作答） 13. 三棱锥中，平面ABC，，，，，则二面角的大小为__________. 14. 若函数的导函数为，且满足，则__________． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知数列的前n项和为，． （1）求数列的通项公式； （2）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求． 16. 如图，在四棱锥中，因为平面，底面ABCD为菱形，E，F分别为AB，PD中点，且 （1）求证：∥平面； （2）求二面角的大小． 17. 亚运聚欢潮，璀璨共此时.2023年9月第19届亚洲运动会在杭州举办，来自亚洲45个国家和地区的1万多名运动员在这里团结交流、收获友谊，奋勇拼搏、超越自我，共同创造了亚洲体育新的辉煌和荣光，赢得了亚奥理事会大家庭和国际社会的广泛好评．亚运会圆满结束后，杭州某学校组织学生参加与本届亚运会有关的知识竞赛．为更好地了解该校学生对本届亚运会有关赛事和知识的掌握情况，采用随机抽样的方法抽取了600名学生进行调查，成绩全部分布在40~100分之间，根据调查的结果绘制的学生成绩频率分布直方图如图所示， （1）求频率分布直方图中的值； （2）估计这600名学生成绩的中位数； （3）根据频率分布直方图，按分层抽样方法从成绩在的学生中选取5人，再从这5人中任意选取2人，求这2人中至少有1人成绩不低于90分的概率． 18. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，上顶点为，且． （1）求的离心率； （2）射线与交于点，且，求的周长． 19. 函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数． （1）若函数的对称中心为，求函数的解析式． （2）由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为n个一次因式的乘积．进而，一元n次多项式方程有n个复数根（重根按重数计）．如设实系数一元二次方程，在复数集内的根为，，则方程可变形为，展开得：则有，即，类比上述推理方法可得实系数一元三次方程根与系数的关系． ①若，方程在复数集内的根为，当时，求的最大值； ②若，函数的零点分别为，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$