8.6.2 直线与平面垂直课件（1）-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

课前准备： 练透、笔记本、草稿纸、笔 不甘平庸又不思进取，清醒的堕落最为可怕 1 8.6.2 直线与平面垂直 3 1. 直线和平面所成角 如图，过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影. 斜线 斜足 射影 垂足 垂线 直线与平面所成的角θ的取值范围是什么? 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角,叫做这条直线和这个平面所成的角，如图中∠PAO. 过一点作垂直于已知平面的直线,则该点与垂足间的线段,叫做这个点到该平面的垂线段, 垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离. 4 例1 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，求: （1）A1C1与面ABCD所成的角 （2） A1C1与面BB1C1C所成的角 （1）0o （2）45o 5 2. 直线与平面垂直的定义 记作l⊥α. 如果直线 l 与平面α内的任意直线都垂直，则称直线 l 和平面α互相垂直. α P l 画法：画图时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直. 平面α的垂线 垂足 直线l的垂面 它们唯一的公共点P叫做垂足. 直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面. 直线与平面垂直时， 结论：若 l⊥α，则直线 l 与平面α内任意一条直线都垂直. 线面垂直 线线垂直 定义 6 l 一条？ 由定义判定直线与平面垂直，简便吗？ 问题1 怎么来判定直线与平面垂直？ l l 两条？ 7 问题2 为什么一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直时，这条直线就和这个平面垂直？你能从向量的角度解释原因吗？ l m α n 8 3. 直线和平面垂直的判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. 线线垂直 　　 　 线面垂直 判定定理 定义 垂直 内 相交 符号语言： 图形语言： 线线垂直线面垂直 9 【练习】下列说法正确的是 ( ) A.若直线 l 与平面α内的所有直线都垂直，则 l ⊥α； B.若直线 l 与平面α内的无数条直线都垂直，则 l ⊥α； C.若直线 l 与平面α内的任意一条直线都垂直，则 l ⊥α； D.若 l ⊥α，则直线 l 垂直于平面α 内的任意一条直线． l m α n ACD 10 例2 求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面. 已知：如图，a//b，a⊥α，求证：b⊥α. 证明： 如图，在平面α内取两条相交直线m，n. ∵a⊥α， ∴a⊥m， a⊥n. 又∵a//b， ∴b⊥m， b⊥n. 又m⊂α，n⊂α，且m,n是两条相交直线. ∴b⊥α. 结论：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面. (证明线面垂直的另一方法) 11 【练习】在正方体ABCD-A'B'C'D'中，判断直线AC与BD'的位置关系． 12 【练习】在正方体ABCD-A'B'C'D'中，判断直线AC与BD'的位置关系． 改：证明直线BD'⊥平面AB'C的位置关系． 13 练　如图，在四面体ABCD中，棱CD＝ ，其余各棱长都为1，E为CD的中点.求证： (1)CD⊥平面ABE； ∵E为CD的中点，且AD＝AC， ∴CD⊥AE. 又∵BD＝BC，∴CD⊥BE. ∵AE∩BE＝E，AE，BE⊂平面ABE， ∴CD⊥平面ABE. (2)AE⊥平面BCD. 14 (2)AE⊥平面BCD. ∵AB2＝AE2＋BE2，∴AE⊥BE. 又AE⊥CD，CD∩BE＝E，且CD，BE⊂平面BCD， ∴AE⊥平面BCD. 15 例1 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，求: （1）A1C1与面ABCD所成的角 （2） A1C1与面BB1C1C所成的角 （1）0o （2）45o 条件不变，求直线A1B和平面A1DCB1所成的角. 16 ∵AD＝AC＝1，DC＝， ∴∠DAC＝90°，AE＝. 同理BE＝， $$