8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

课前准备： 练透、笔记本、草稿纸、笔 不甘平庸又不思进取，清醒的堕落最为可怕 1 如图，在三棱锥V－ABC中，VA＝VB＝VC＝4，∠AVB＝∠AVC＝∠BVC＝30°，过点A作截面AEF，则△AEF周长的最小值为 . 8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的 表面积和体积 问题1：如何求长（正）方体的表面积？ 几何体表面积 展开图 平面图形面积 空间问题 平面问题 转化思想 追问：展开图面积与其表面积有什么关系？ 4 正棱柱的侧面展开图 h a 问题2 (1)正六棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？ 问题2 (2)正五棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？ 正棱锥的侧面展开图 5 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和． 也就是说求多面体的表面积关键在于知道展开图是怎么样的！ 棱锥 棱台 棱柱 6 例1 如图，正四面体P-ABC各棱长均为a，求它的表面积. 解：∵∆PBC是正三角形，其边长为a， ∴四面体P-ABC的表面积 . ∴ O D h’ h 变式：正三棱锥的底面边长为a，高为 ，求它的侧面积. 7 h a 问题3 棱长为a的正方体的体积是多少？ 那以下正六棱柱的体积呢？ 8 问题5 取一摞书放在桌面上，并改变它们的位置，高度、书中每页纸面积和顺序不变， 观察改变前后的体积是否发生变化？ 9 祖暅[gèng]原理 我国古代著名数学家祖冲之在计算圆周率等问题方面有光辉的成就.祖冲之的儿子祖暅也在数学上有突出贡献.祖暅在实践的基础上，于5世纪末提出了这个体积计算原理. 祖暅提出这个原理，要比其他国家的数学家早一千多年.在欧洲只到17世纪，才有意大利数学家卡瓦列里（Cavalieri .B，1598年--1647年）提出上述结论. （429年~500年） “幂势既同，则积不容异” 夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等． 课本P 121-122 10 ①棱柱的体积公式 V棱柱=Sh 一般地，如果棱柱的底面积是S，高是h,那么这个棱柱的体积 棱柱的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离. 特别的，直棱柱的侧棱垂直于底面，故侧棱长即为直棱柱的高. 11 探究棱锥与同底等高的棱柱体积之间的关系： 如果一个棱柱和一个棱锥的底面积相等，高也相等，那么，棱柱的体积是棱锥的体积的3倍． 利用祖暅原理，放入正三棱柱 12 ②棱锥的体积公式 一般地，如果棱锥的底面面积为S，高为h，那么这个棱锥的体积 注意：三棱锥的顶点和底面可以根据需要变换，四面体的每一个面都可以作为底面，可以求点到面的距离. 棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离. ——等体积法 13 ③棱台的体积公式 由于棱台是由棱锥截成的，因此可以利用两个棱锥的体积差，得到棱台的体积公式 (S′, S, h分别是棱台的上下底面积和高) 棱台的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足之间的距离. 14 如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1－BB1D1D的体积为_____. 追问：三棱锥A1－D1EF的体积呢？ 15 1.知识点： (1)棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积. (2)棱柱、棱锥、棱台的体积. (3)组合体的表面积与体积. 2.方 法：等积法、割补法. 3.易错点：平面图形与立体图形的切换不清楚. 16 2.如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，若E、F分别为AB、AC的中点，平面EB1C1将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1:V2 = . 解：设三棱柱ABC-A1B1C1底面积为S，高为h，则三棱柱ABC-A1B1C1的体积为S·h. 则 所以， 故V1:V2 = A1 A B C E B1 C1 F 所以， 17 4 eq \f(1,3)　 $$