精品解析：山东省淄博市沂源县第二中学2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题

2023-2024学年度高二数学期中考试卷 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名､班级､考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上．写在木试卷上无效． 第I卷（选择题） 一､单选题（共8小题，每题5分，共40分） 1. 记等差数列的前n项和为.若，，则（ ） A. 49 B. 63 C. 70 D. 126 2. 小明设置六位数字的手机密码时，计划将自然常数…的前6位数字2，7，1，8，2，8进行某种排列得到密码.若排列时要求相同数字不相邻，且相同数字之间有一个数字，则小明可以设置的不同密码种数为（ ） A. 24 B. 16 C. 12 D. 10 3. 记为等差数列的前项和，若，则（ ） A. 20 B. 16 C. 14 D. 12 4. 甲，乙，丙，丁四位师范生分配到A，B，C三所学校实习，若每所学校至少分到一人，且甲不去A学校实习，则不同的分配方案的种数是（ ） A. 48 B. 36 C. 24 D. 12 5. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列是公比为2的等比数列，且，则等于（ ） A. 24 B. 48 C. 72 D. 96 7. 若函数在区间上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列的前n项和，将依原顺序按照第n组有项的要求分组，则2024所在的组数为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 二､多选题（共3小题，每题6分，共18分．全部选对的6分，部分选对的部分分，有选错的的0分） 9. 已知为函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，则（ ） A. 有个极值点 B. 是的极大值点 C. 是的极大值点 D. 在上单调递增 10. 已知等比数列的公比为q，前项和为，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知为等差数列，前n项和为，，公差，则（ ） A. B. 当或6时，取得最小值为30 C. 数列的前10项和为50 D. 当时，与数列共有671项互为相反数． 第II卷（非选择题） 三､填空题（共3小题，每题5分，共15分） 12. 第40届潍坊国际风筝会期间，某学校派人参加连续天的志愿服务活动，其中甲连续参加天，其他人各参加天，则不同的安排方法有______种．（结果用数值表示） 13. 已知等比数列的前项和为，且，，数列的公比______． 14. 已知定义在上的函数，为的导函数，定义域也是 R，满足，则 _______. 四､解答题（共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知数列．求： （1）数列的通项公式； （2）数列的前项和的最大值． 16. 已知数列的首项，且满足． （1）证明：为等比数列； （2）已知，为的前n项和，求． 17. 已知曲线在处的切线与直线垂直. （1）求的值； （2）若恒成立，求的取值范围. 18. 某城镇在规划的一工业园区内架设一条16千米的高压线，已知该段线路两端的高压线塔已经搭建好，余下的工程只需要在已建好的两高压线塔之间等距离的再修建若干座高压电线塔和架设电线．已知建造一座高压线电塔需2万元，搭建距离为x千米的相邻两高压电线塔之间的电线和人工费用等为万元，所有高压电线塔都视为“点”，且不考虑其他因素，记余下的工程费用为y万元． （1）试写出y关于x的函数关系式． （2）问：需要建造多少座高压线塔，才能使工程费y有最小值？最小值是多少？（参考数据：） 19. 已知函数 （1）讨论函数在区间上的单调性； （2）证明函数在区间上有且仅有两个零点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度高二数学期中考试卷 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名､班级､考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上．写在木试卷上无效． 第I卷（选择题） 一､单选题（共8小题，每题5分，共40分） 1. 记等差数列的前n项和为.若，，则（ ） A. 49 B. 63 C. 70 D. 126 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的项的“等和性”得到，再运用等差数列的前n项和公式计算即得. 【详解】因是等差数列，故，于是 故选：B 2. 小明设置六位数字的手机密码时，计划将自然常数…的前6位数字2，7，1，8，2，8进行某种排列得到密码.若排列时要求相同数字不相邻，且相同数字之间有一个数字，则小明可以设置的不同密码种数为（ ） A. 24 B. 16 C. 12 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】分两个2之间是8和不是8两大类讨论即可. 【详解】若两个2之间是8，则有282817；282871；728281；128287；172828；712828； 828217；828271；782821；182827；178282；718282，共12种 若两个2之间是1或7，则有272818；818272；212878； 878212，共4种； 则总共有16种， 故选：B. 3. 记为等差数列的前项和，若，则（ ） A. 20 B. 16 C. 14 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列的性质求得，然后依次求得，公差，最后求得． 【详解】∵是等差数列， ∴，，所以， ∴公差， ∴， ∴， 故选：D． 4. 甲，乙，丙，丁四位师范生分配到A，B，C三所学校实习，若每所学校至少分到一人，且甲不去A学校实习，则不同的分配方案的种数是（ ） A. 48 B. 36 C. 24 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】分A学校只有1人去实习和A学校有2人去实习两种情况讨论求解. 【详解】①若A学校只有1人去实习，则不同的分配方案的种数是， ②若A学校有2人去实习，则不同的分配方案的种数是， 则不同的分配方案的种数共有. 故选：C. 5. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复合函数的求导公式计算即可. 【详解】令， 则. 故选：D. 6. 已知数列是公比为2的等比数列，且，则等于（ ） A. 24 B. 48 C. 72 D. 96 【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列通项公式的性质得出结果. 【详解】因为数列是公比为2的等比数列，且， 所以， 故选：B. 7. 若函数在区间上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】因为函数在内单调递增，转化为导函数在恒成立. 【详解】,因为函数在区间上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立.因为在上单调递减，所以当时，，所以， 则的取值范围为. 故选：B 8. 已知数列的前n项和，将依原顺序按照第n组有项的要求分组，则2024所在的组数为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】先求出数列的通项公式，得到2024在数列中的项数，再根据第n组有项求出前组所含项数，即可求解. 【详解】因为， 所以当时，， 当时，符合， 所以，故由得， 将依原顺序按照第n组有项的要求分组， 故第一组项，第二组项，第三组项，，第组有项， 故前组共有， 又， 故2024所在的组数为. 故选：B. 二､多选题（共3小题，每题6分，共18分．全部选对的6分，部分选对的部分分，有选错的的0分） 9. 已知为函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，则（ ） A. 有个极值点 B. 是的极大值点 C. 是的极大值点 D. 在上单调递增 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据图象判断出的符号，由此确定正确答案. 【详解】根据函数的图象可知， 在区间，单调递增； 在区间，单调递减. 所以有个极值点、是的极大值点、在上单调递增， 是的极小值点， 所以ABD选项正确，C选项错误. 故选：ABD 10. 已知等比数列的公比为q，前项和为，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意求出公比，求出和代入选项验证即可. 【详解】由可知显然不合题意，故有，解得，故A错B对； ，， 代入C，D选项验证，C正确； D选项右边，D错误. 故选：BC 11. 已知为等差数列，前n项和为，，公差，则（ ） A. B. 当或6时，取得最小值为30 C. 数列的前10项和为50 D. 当时，与数列共有671项互为相反数． 【答案】AC 【解析】 【分析】根据等差数列基本量求出通项公式及，即可判断A、B；判断通项大于零时的取值，将的前10项和列出，利用和之间的关系及的公式代入即可判断C；分析中的负项的性质及大小，进而判断中项的性质及大小，计算项数即可. 【详解】解：因为等差数列，且，公差， 所以， ， 所以，， 所以选项A正确； 因为， 根据二次函数的对称性及开口向下可知： 取得最大值为，故选项B错误； 记的前10项和为， 因为，当时，解得， 当时，解得， 所以 ， 因为，所以， 所以，故选项C正确； 记，因为，， 所以，所以当时，， 由，，可知为偶数， 若与互为相反数，则，且为偶数， 由，所以为偶数，即为偶数，即为偶数， 即，即，且为偶数，所以，且为偶数， 故这样的有670个，故选项D错误. 故选：AC 第II卷（非选择题） 三､填空题（共3小题，每题5分，共15分） 12. 第40届潍坊国际风筝会期间，某学校派人参加连续天的志愿服务活动，其中甲连续参加天，其他人各参加天，则不同的安排方法有______种．（结果用数值表示） 【答案】 【解析】 【分析】首先考虑甲连续天的情况，再其余人全排列，按照分步乘法计数原理计算可得. 【详解】在天里，连续天的情况，一共有种， 则剩下的人全排列有种排法， 故一共有种排法． 故答案为：． 13. 已知等比数列的前项和为，且，，数列的公比______． 【答案】 【解析】 【分析】利用等比数列前n项和公式联立方程组即可求解. 【详解】由题意可知：， 根据等比数列的前项公式可得：①，②, 联立①②可得，解得. 故答案为： 14. 已知定义在上的函数，为的导函数，定义域也是 R，满足，则 _______. 【答案】 【解析】 【分析】求导得到，赋值累加即可. 【详解】对两边同时求导得 ， 即， 则，， 则. 故答案为：. 四､解答题（共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知数列．求： （1）数列的通项公式； （2）数列的前项和的最大值． 【答案】（1）； （2）28 【解析】 【分析】（1）根据题目条件得到是以13为首项，为公差的等差数列，求出通项公式； （2）求出通项公式，解不等式，得到数列从第5项开始小于0，从而得到数列的前4项和最大，利用求和公式求出答案. 【小问1详解】 由，可知， 所以数列是以13为首项，以为公差的等差数列， 所以； 【小问2详解】 由（1）可知， 令，解得， 令，解得， 即数列从第5项开始小于0，所以数列的前4项和最大， 最大值为． 16. 已知数列的首项，且满足． （1）证明：为等比数列； （2）已知，为的前n项和，求． 【答案】（1）证明见解析 （2）1048 【解析】 【分析】（1）由结合定义证明即可； （2）由（1）得出，再讨论n为奇数和偶数，结合等比和等差求和公式得出． 【小问1详解】 由可得． 又，所以是以为公比，1为首项的等比数列． 【小问2详解】 由（1）可得，即． 当n为奇数时，； 当n为偶数时，． 所以 ． 17. 已知曲线在处的切线与直线垂直. （1）求的值； （2）若恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据斜率关系，即可求导求解， （2）求导判断函数的单调性，即可求解函数的最值求解. 【小问1详解】 由于的斜率为，所以， 又,故，解得， 【小问2详解】 由（1）知，所以， 故当时，单调递增， 当时，单调递减， 故当时，取最小值， 要使恒成立，故，解得， 故的取值范围为 18. 某城镇在规划的一工业园区内架设一条16千米的高压线，已知该段线路两端的高压线塔已经搭建好，余下的工程只需要在已建好的两高压线塔之间等距离的再修建若干座高压电线塔和架设电线．已知建造一座高压线电塔需2万元，搭建距离为x千米的相邻两高压电线塔之间的电线和人工费用等为万元，所有高压电线塔都视为“点”，且不考虑其他因素，记余下的工程费用为y万元． （1）试写出y关于x的函数关系式． （2）问：需要建造多少座高压线塔，才能使工程费y有最小值？最小值是多少？（参考数据：） 【答案】（1） （2）需建19座高压线塔可使得余下的工程费用最低，且最小值为44.72万元 【解析】 【分析】（1）由已知可得工程费用包括建造高压线电塔所需费用和搭建距离为x千米的相邻两高压电线塔之间的电线和人工费用的总和，即可列出函数关系式； （2）利用导数求解函数的单调性，然后求出最小值即可. 【小问1详解】 （1）由题意知，需要新建的高压线塔为座． 所以， 即． 【小问2详解】 由（1），得， 令得或（舍去）． 由，得；由，得， 所以函数y在区间上单调递减；在区间上单调递增． 所以当时，函数y取得最小值， 且， 此时应建高压线塔为（座）． 故需建19座高压线塔可使得余下的工程费用最低，且最小值为44.72万元． 19. 已知函数 （1）讨论函数在区间上的单调性； （2）证明函数在区间上有且仅有两个零点. 【答案】（1）单调递增； （2） 由（1）知，，当时，，函数在上单调递增， ，，因此函数在上有唯一零点； 当时，令，求导得，在上单调递增， ，则存在，使得， 当时，，函数，即单调递减， 当时，，函数，即单调递增， 又，，则存在，使得， 当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减， 而，，因此函数上有唯一零点， 所以函数在区间上有且仅有两个零点. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，再判断导函数值的正负即得. （2）利用导数，结合零点存在性定理推理论证即可. 【小问1详解】 函数，当时，， 所以在上的单调递增. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $