精品解析：上海市复兴高级中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷

复兴中学2023学年第二学期高一年级数学期末 2024.06 一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知等差数列（）满足，则__________. 2. 设复数z满足（i是虚数单位），则z的模为_______. 3. 已知，则角是第________象限的角. 4. 已知复数满足，则________． 5 已知，，则________． 6. 记，在用数学归纳法证明对于任意正整数，的过程中，从到时，不等式左边的比增加了______项. 7. 已知，则向量在向量方向上的数量投影为___________. 8. 在数列中，，，则__________. 9. 已知两点，点在直线上，且满足，则点的坐标为___________. 10. 在△ABC中，,且，则△ABC面积为_____________． 11. 若正项等比数列满足：，则的最大值为__________． 12. 如图，是以为直径的半圆 （不含端点）上一动点，，且．若，则的取值范围是______． 二､选择题（本大题共4题，满分18分，其中第13-14题4分，第15-16题5分） 13. “”是“实系数一元二次方程有虚根”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不是充分条件也不是必要条件 14. 下列四个函数中，以为最小正周期的奇函数是（ ） A. B. C. D. 15. 等差数列中，已知，且，则数列的前项和中最小的是（ ） A. 或 B. C. D. 16. 如图，已知与有一个公共顶点，且与的交点平分，若，则的最小值为 A. 4 B. C. D. 6 三､解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 已知，，且和的夹角为，设，. （1）求y的值； （2）若，求实数的值. 18. 已知为虚数单位，是实系数一元二次方程的两个虚根. （1）设满足方程，求； （2）设，复数所对的向量分别是与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 19. 已知等差数列，是等比数列，且，，，. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前2n项和. 20. 设向量，函数在上的最小值与最大值的和为，又数列满足. （1）求证：； （2）求数列的通项公式； （3）设，试问数列中，是否存在正整数，使得对于任意正整数，都有成立？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由. 21. 已知函数，其中. （1）若，求值； （2）若，函数图像向右平移个单位，得到函数的图像，是的一个零点，若函数在且上恰好有4个零点，求的最小值； （3）令，对任意实数，当时，有成立.将函数的图像向左平移个单位得到函数，已知函数的最大值为10，求满足条件的的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 复兴中学2023学年第二学期高一年级数学期末 2024.06 一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知等差数列（）满足，则__________. 【答案】1 【解析】 【分析】利用等差中项的性质可得，进而可求结果. 【详解】由题设， 所以，即. 故答案为：1 2. 设复数z满足（i是虚数单位），则z的模为_______. 【答案】 【解析】 【详解】 考点：复数的模 3. 已知，则角是第________象限的角. 【答案】三 【解析】 【分析】由已知半角的函数值，结合、并确定其符号，即可知角所在象限. 【详解】， ， ∴角是第三象限角. 故答案为：三. 4. 已知复数满足，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】通过方程解出，再求出即可求解. 【详解】因为，由求根公式可得，， 所以. 故答案为：3 5. 已知，，则________． 【答案】3 【解析】 【详解】试题分析：因为，所以 考点：两角和的正切公式 6. 记，在用数学归纳法证明对于任意正整数，的过程中，从到时，不等式左边的比增加了______项. 【答案】3 【解析】 【分析】根据给定条件，分析从到时式子的变化即可作答. 【详解】因为，， 所以不等式左边的比增加了，共3项. 故答案为：3 7. 已知，则向量在向量方向上的数量投影为___________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据投影的坐标运算，代值计算即可. 【详解】向量在向量方向上的投影， 即 故答案：1. 8. 在数列中，，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用等比数列前项公式求解. 【详解】由，可知数列是首项为，公比为的等比数列， 则，即， 所以 ， 故答案为：. 9. 已知两点，点在直线上，且满足，则点的坐标为___________. 【答案】或##或； 【解析】 【分析】分点在线段的反向延长线、点在线段上以及点在线段的延长线上三种情况，结合平面向量的线性坐标运算即可求出结果. 【详解】若点在线段的反向延长线上，又因为，则有，设，则，所以，解得，即； 若点在线段上，又因为，则有设，则，所以，解得，即； 若点在线段的延长线上，又因为，则显然不成立； 故答案为:或. 10. 在△ABC中，,且，则△ABC的面积为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知，结合正弦定理可得，从而可求sinC及C，利用三角形的内角和公式计算A，利用三角形的面积公式进行计算可求. 【详解】△ABC中, 由正弦定理可得，. b<c∴C>B= 当C=时,A=, 当C=时,A=,. 故答案为或. 【点睛】本题主要考查了正弦定理解三角形及面积公式的求解，属于基础题. 11. 若正项等比数列满足：，则的最大值为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】利用数列是各项均为正数的等比数列，可得，再利用基本不等式，即可求得的最大值． 【详解】解：数列是各项均为正数的等比数列， ， 等比数列各项均为正数， ，即， 当且仅当时取等号， 时，的最大值为． 故答案是：． 【点睛】本题考查了等比数列性质，重点考查了基本不等式的应用，属基础题． 12. 如图，是以为直径的半圆 （不含端点）上一动点，，且．若，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】，把向量内积通过投影转化为三角函数问题 【详解】 设,则,作交OC的延长线于点 由余弦定理 所以,即 ,因为,所以 所以 所以 故答案为 ： 二､选择题（本大题共4题，满分18分，其中第13-14题4分，第15-16题5分） 13. “”是“实系数一元二次方程有虚根”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不是充分条件也不是必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由和根的判别式得到充分性，再得到必要性，得到答案. 【详解】充分性，时，，故， 故， 故有虚根，充分性成立， 反之，有虚根，则，故， ，必要性成立， “”是“实系数一元二次方程有虚根”的充分必要条件. 故选：C 14. 下列四个函数中，以为最小正周期的奇函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由三角函数的奇偶性、周期性即可逐一判断各个选项. 【详解】对于A，是以为最小正周期的奇函数，故A不符合题意； 对于B，是以为最小正周期偶函数，故B不符合题意； 对于C，若，则，为偶函数，故C不符合题意； 对于D，若，显然其定义域为全体实数，且，所以是奇函数，且它的最小正周期为，故D符合题意. 故选：D. 15. 等差数列中，已知，且，则数列的前项和中最小的是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，由可得出，令，求得的取值范围，由此可求得结果. 【详解】设等差数列的公差为，已知，且， 则，解得 ，， 令，可得，可得， 所以，数列的前项和中最小的是. 故选：C. 【点睛】本题考查等差数列前项和的最小值的求解，考查计算能力，属于中等题. 16. 如图，已知与有一个公共顶点，且与的交点平分，若，则的最小值为 A. 4 B. C. D. 6 【答案】C 【解析】 【详解】，又，，又三点共线，，即得，易知，，当且仅当，即时，取等号，故选C. 【易错点晴】本题主要考查平面向量基本定理的应用以及利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）. 三､解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 已知，，且和的夹角为，设，. （1）求y的值； （2）若，求实数的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】(1)利用数量积公式即可求解； (2)利用两向量垂直，数量积为0，列出方程，化简即可求解. 【详解】(1),, ,,解得： (2) ，则 即 ，解得： 【点睛】本题主要考查了数量积公式以及坐标运算，属于中等题. 18. 已知为虚数单位，是实系数一元二次方程的两个虚根. （1）设满足方程，求； （2）设，复数所对的向量分别是与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出的代数形式根据复数相等可得答案； （2）求出与的坐标，根据向量夹角为钝角列出的不等式可得答案. 【小问1详解】 不妨设，则， 因为满足方程， 所以， 可得， 所以，解得， 所以； 【小问2详解】 设，则， 因为复数所对的向量分别是与， 所以，， 可得， ， 若向量与的夹角为钝角， 则，且， 即，且， 解得，， 实数的取值范围是. 19. 已知是等差数列，是等比数列，且，，，. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前2n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用等比数列、等差数列通项公式计算即可. （2）运用分组求和及等差数列、等比数列求和公式计算即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q， 则，，， 又，可得， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得， 故，以它为通项的数列是以-1为首项、公比为-3的等比数列， 所以， 所以数列的前2n项和为：. 即: 数列的前2n项和为. 20. 设向量，函数在上的最小值与最大值的和为，又数列满足. （1）求证：； （2）求数列的通项公式； （3）设，试问数列中，是否存在正整数，使得对于任意的正整数，都有成立？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）或9 【解析】 【分析】（1）根据数量积的坐标运算与二次函数的单调性求解即可； （2）根据数列前项和与通项公的关系求解即可； （3）利用，结合作除法根据求解的最大项即可. 【小问1详解】 证明：由已知， 而函数在上是增函数，所以 【小问2详解】 因为，所以， 两式相减，得，当时不满足， 所以数列的通项公式为 【小问3详解】 因为， 又， 当，即时随的增大而增大. 又，即，即当或9时取最大值. 所以存在或9，使得成立 21. 已知函数，其中. （1）若，求的值； （2）若，函数图像向右平移个单位，得到函数的图像，是的一个零点，若函数在且上恰好有4个零点，求的最小值； （3）令，对任意实数，当时，有成立.将函数的图像向左平移个单位得到函数，已知函数的最大值为10，求满足条件的的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦的二倍角公式化简函数解析式，由函数图象的性质确定最小正周期，即可求出的值； （2）由图象的平移变换得到函数，结合和，求得的值，根据零点个数可知，要使最小，则恰好为零点，由此可求出的最小值； （3）根据，，可得，当且仅当，时取等号，进而求出. 【小问1详解】 函数 若，则与是相邻的最小值点和最大值点， 所以的最小正周期为，由，解得； 【小问2详解】 所以 所以或， 解得或， 又，得，所以，函数最小正周期， 令，即，解得或， 若在上恰好有4个零点，则， 要使最小，则恰好为的零点，所以的最小值为； 【小问3详解】 由题意， 因为，所以，当且仅当时取等号， 又因为函数的最大值为10，所以同时取得最大值1， 所以，所以，所以满足条件的的最小值为. 【点睛】求参数的取值范围的题目中，一般从三方面着手，一是在研究的图像与性质时，可以令，根据定义域，求的范围；二是可以先做出的图象，然后研究函数区间内的极值点、零点、单调区间等；三是已知函数在上单调，则利用，可大概求出的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$