精品解析：河南省安阳市林州市第一中学2023-2024学年高一下学期6月月考数学试题

2023—2024学年度高一6月考 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间120分钟，满分150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若（是虚数单位），则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 某地一年之内12个月的降水量从小到大分别为：46，48，51，53，53，56，56，56，58，64，66，71，则该地区的月降水量75%分位数为（　　） A. 58 B. 60 C. 61 D. 62 3. 某机构统计了1000名演员的学历情况﹐制作出如图所示的饼状图，其中本科学历的人数为650.现按比例用分层随机抽样的方法从中抽取200人，则抽取的硕士学历的人数为（ ） A. 11 B. 13 C. 22 D. 26 4. 甲､乙两名运动员进入男子羽毛球单打决赛，假设比赛打满3局，赢得2局或3局者胜出，用计算机产生1~5之间的随机数，当出现随机数1或2时，表示一局比赛甲获胜；否则乙获胜.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，产生20组随机数： 423 123 423 344 114 453 525 332 152 342 534 443 512 541 125 432 334 151 314 354 据此估计甲获得冠军的概率为（ ） A. 0.3 B. 0.35 C. 0.65 D. 0.25 5. 若平面向量，，两两的夹角相等，且，，，则（　　） A. B. 5 C. 或6 D. 或 6. 袋子中有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中随机取出两个球，设事件A=“取出的球的数字之积为奇数”，事件B=“取出的球的数字之积为偶数”，事件C=“取出的球的数字之和为偶数”，事件D=“取出的球的数字之和大于5”，则下列说法错误的是（ ） A. 事件A与B是互斥事件 B. 事件A与B是对立事件 C. 事件C与D相互独立 D. 事件C与D不互斥事件 7. 如图，测量河对岸的可视塔底的塔高AB时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得°，，米，在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB=（ ） A. B. C. D. 8. 已知球与正方体的各个面相切，平面截球所得的截面的面积为，则正方体棱长为（　　） A. B. C. 1 D. 2 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某中学高一年级举行了一次数学竞赛，从中随机抽取了一批学生的成绩．经统计，这批学生的成绩全部介于50至100之间，将数据按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出频率分布直方图如图所示．根据图形估计本次竞赛成绩得到以下数据中正确的是（ ） A. B. 众数为80 C. 71百分位数是82 D. 平均分是 10. 下面四个命题中正确的是（　　） A. 对应的点在第二象限 B 若复数，满足，则 C. 方程在复数集内有两解和 D. 已知复数满足，则复数在复平面内对应点的轨迹是圆 11. 在边长为2的正方形中，，分别为，的中点，沿、及把这个正方形折成一个四面体，使得、、三点重合于点，得到四面体，顶点在底面上的射影为，下列结论正确的是（　　） A. B. 点为的外心 C. 点到三个侧面距离的平方和等于 D 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知一组数据，，，，的方差是，那么另一组数，，，，的方差是________． 13. 已知向量，满足，，则最大值为________，最小值为________． 14. 在直三棱柱中，，，则异面直线与所成角正弦值为________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 某部门为了对该城市共享单车加强监督管理，随机调查了1000名用户.根据这1000名用户对某品牌共享单车的评分（满分：100分），绘制出了如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组为 （1）试估计这1000名用户评分的平均分； （2）若采用分层随机抽样的方法从评分在内的用户中抽取5人进行调查，并从这5人中随机选取2人作为记录员，求选取的2名记录员中至少有1人的评分在内的概率. 16. 如图，在棱长为1的正方体中，，，，分别是棱，，，的中点. （1）计算棱台体积； （2）求证：平面平面. 17. 已知，复数在复平面上对应的点分别为为坐标原点. （1）求的取值范围； （2）当三点共线时，求三角形的面积. 18. 已知，，分别为三个内角A，，的对边，． （1）求证：； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 19. 如图1，是边长为3的等边三角形，点、分别在线段、上，，，沿将折起到的位置，使得，如图2． （1）求证：平面平面； （2）若点在线段上，且，，求直线与平面所成角的正弦值； （3）在（2）的条件下，判断线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度高一6月考 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间120分钟，满分150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若（是虚数单位），则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的模长公式可求得的值. 【详解】因为，则， 因此，. 故选：A. 2. 某地一年之内12个月的降水量从小到大分别为：46，48，51，53，53，56，56，56，58，64，66，71，则该地区的月降水量75%分位数为（　　） A. 58 B. 60 C. 61 D. 62 【答案】C 【解析】 【分析】由百分位数定义可得答案. 【详解】注意到，则该地区的月降水量75%分位数为第9，第10个数据的平均数，为. 故选：C 3. 某机构统计了1000名演员的学历情况﹐制作出如图所示的饼状图，其中本科学历的人数为650.现按比例用分层随机抽样的方法从中抽取200人，则抽取的硕士学历的人数为（ ） A. 11 B. 13 C. 22 D. 26 【答案】C 【解析】 【分析】首先计算硕士学历的比例，再计数200人应抽取的人数. 【详解】由题意知硕士学历的人数与总人数1000之比为， 现按比例用分层随机抽样的方法从中抽取200人，则抽取的硕士学历的人数为. 故选：C 4. 甲､乙两名运动员进入男子羽毛球单打决赛，假设比赛打满3局，赢得2局或3局者胜出，用计算机产生1~5之间的随机数，当出现随机数1或2时，表示一局比赛甲获胜；否则乙获胜.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，产生20组随机数： 423 123 423 344 114 453 525 332 152 342 534 443 512 541 125 432 334 151 314 354 据此估计甲获得冠军的概率为（ ） A. 0.3 B. 0.35 C. 0.65 D. 0.25 【答案】A 【解析】 【分析】根据题干条件列出满足甲获胜的随机数，再根据古典概型计算即可. 【详解】根据题意，20组随机数中，表示甲获胜的是：123，114，152，512，125，151共6个， 据此估计甲获得冠军的概率为. 故选A. 5. 若平面向量，，两两的夹角相等，且，，，则（　　） A. B. 5 C. 或6 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】依题意可得，，两两的夹角为或，按照此两种情况讨论，结合数量积的运算律即可得出结果. 【详解】因为平面向量，，两两的夹角相等， 所以平面向量，，两两的夹角为或， 又，，， ①当夹角为时，即向量，，同向，则； ②当夹角为时，则， ，， 则， 综上所述，或. 故选：C． 6. 袋子中有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中随机取出两个球，设事件A=“取出的球的数字之积为奇数”，事件B=“取出的球的数字之积为偶数”，事件C=“取出的球的数字之和为偶数”，事件D=“取出的球的数字之和大于5”，则下列说法错误的是（ ） A. 事件A与B是互斥事件 B. 事件A与B是对立事件 C. 事件C与D相互独立 D. 事件C与D不是互斥事件 【答案】C 【解析】 【分析】首先列举样本空间，利用样本空间法，结合互斥，对立事件的定义，判断ABD，根据与的关系，判断C. 【详解】袋子中有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5， 从中随机取出两个球的试验样本空间包含的样本点为：（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5）共10个， 其中事件A包含的样本点为：（1,3），（1,5），（3,5）共3个，故， 事件B包含的样本点为：（1,2），（1,4），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（4,5）共7个，故； 事件C包含的样本点为：（1,3），（1,5），（2,4），（3,5）共4个，故， 事件D包含的样本为：（1,5），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5）共6个，故， 因为事件，，故事件A与B互斥且对立，故A，B正确； 因为,所以C与D不相互独立，故C错误. 因为,所以C与D不互斥，故D正确. 故选:C. 7. 如图，测量河对岸的可视塔底的塔高AB时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得°，，米，在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB=（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知，，CD=50米,利用正弦定理求出,在中，求出. 【详解】由已知，，CD=50米，故， 所以，即，解得， 又因为在点C测得塔顶A的仰角为，即， 所以在中，. 故选：A 8. 已知球与正方体的各个面相切，平面截球所得的截面的面积为，则正方体棱长为（　　） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】解法1：设正方体棱长为，利用截面圆的半径、到平面的距离、球的半径构成的直角三角形可得答案；解法2：设正方体棱长为，利用的面积相等解得可得答案． 【详解】解法1：设正方体棱长为，则球半径为， ∵平面截此球所得的截面的面积为，∴截面圆的半径为， 由题意，球心与的距离为， 设到平面的距离为， 是边长为的等边三角形，， 由得，可得， ，由平面，所以球心到平面的距离为， ∴，∴，即正方体棱长为； 解法2：设正方体棱长为，内切球与正方体各面的切点， 恰好为等边三角形各边的中点，截面圆为等边三角形的内切圆， 又因为平面截此球所得的截面的面积为， 所以截面圆的半径为，， 所以，整理得， 故截面圆的半径，解得， 即正方体棱长为． 故选：D． 【点睛】关键点点睛：在方法1中关键点是根据勾股定理求出. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某中学高一年级举行了一次数学竞赛，从中随机抽取了一批学生的成绩．经统计，这批学生的成绩全部介于50至100之间，将数据按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出频率分布直方图如图所示．根据图形估计本次竞赛成绩得到以下数据中正确的是（ ） A. B. 众数80 C. 71百分位数是82 D. 平均分是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据频率分布直方图的性质先确定图中的值，再计算众数、百分位数、平均数，逐项判断即可. 【详解】由频率分布直方图可得，，解得，故A正确； 众数的估计值为，故B错误； 前三组数据的频率之和为，前四组数据的频率之和为 则设71百分位数是，所以，解得，所以71百分位数是82，故C正确； 由频率分布直方图估计平均数为，故D正确. 故选：ACD. 10. 下面四个命题中正确的是（　　） A. 对应的点在第二象限 B. 若复数，满足，则 C. 方程在复数集内有两解和 D. 已知复数满足，则复数在复平面内对应点的轨迹是圆 【答案】AD 【解析】 【分析】根据复数的几何意义可判断A；根据复数的乘法运算可判断B；直接求解方程可判断C；化简可得，再根据复数的几何意义可判断D. 【详解】对于A，复数对应的点为，故该点在第二象限内，故A正确； 对于B，令，，满足，但，故B错误； 对于C，方程在复数集内有两解和，故C错误； 对于D，复数满足，整理得：， 故（无意义），所以复数在复平面内对应点的轨迹为圆，故D正确． 故选：AD． 11. 在边长为2的正方形中，，分别为，的中点，沿、及把这个正方形折成一个四面体，使得、、三点重合于点，得到四面体，顶点在底面上的射影为，下列结论正确的是（　　） A. B. 点为的外心 C. 点到三个侧面距离的平方和等于 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由平面判断A；通过证明平面得到，同理可证，，即可判断B；利用补体思想，以为体对角线构造长方体，结合长方体对角线的几何性质判断C；取的中点为，连接，，由面积公式及勾股定理判断D. 【详解】因为，，，平面， 所以平面，又平面，所以，故A正确； 因为平面，平面，所以， 又，又，所以平面，又平面，所以． 同A证明过程及上述过程，可证，，所以点为的垂心，故B错误； 如图以为体对角线构造长方体，其中平面，平面，平面， 又，所以点到三个侧面距离的平方和等于，故C正确； 取的中点为，连接，，则，， ，故D正确． 故选：ACD． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知一组数据，，，，的方差是，那么另一组数，，，，的方差是________． 【答案】5 【解析】 【分析】利用计算可得答案. 【详解】∵一组数据，，，，的方差是， ∴另一组数据，，，，的方差． 故答案为：5． 13. 已知向量，满足，，则最大值为________，最小值为________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】利用整体法得到，再利用向量数量积的运算法则，结合三角函数的值域即可得解. 【详解】，，设和的夹角为，， 又， ， 当时，取得最大值，即取最大值； 当时，取得最大值，即取最小值. 故答案为：；． 14. 在直三棱柱中，，，则异面直线与所成角的正弦值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】解法一：作辅助线，分析可知为异面直线与所成角或其补角，再结合长度关系分析求解；解法二：根据三垂线定理可得，即可得结果. 【详解】解法一：连接，，取中点为，连接，， 因为分别为的中点，则∥， 可知为异面直线与所成角或其补角， 由题意可得：，，， 则，即， 所以异面直线与所成角为，即正弦值为1； 解法二：因为平面，且，根据三垂线定理可知， 所以异面直线与所成角为，即正弦值为1； 故答案为：1． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 某部门为了对该城市共享单车加强监督管理，随机调查了1000名用户.根据这1000名用户对某品牌共享单车的评分（满分：100分），绘制出了如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组为 （1）试估计这1000名用户评分的平均分； （2）若采用分层随机抽样的方法从评分在内的用户中抽取5人进行调查，并从这5人中随机选取2人作为记录员，求选取的2名记录员中至少有1人的评分在内的概率. 【答案】（1）76.2分 （2） 【解析】 【分析】（1）先由概率之和等于1，得出a=0.006，再由频率分布直方图中求平均数的公式得出平均数. （2）先由分层抽样得出中抽2人，抽3人，再由古典概型即可得出要求的概率. 【小问1详解】 由（0.004+a+0.022+0.028+0.022+0.018）×10=1，解得a=0.006， 则平均评分分数为=（45×0.004+55×0.006+65×0.022+75×0.028+85×0.022+95×0.018）×10=76.2，所以估计这1000名用户评分的平均分为76.2分. 【小问2详解】 由频率分布直方图可知，评分在[40，50），[50，60）内的人数分别为40，60. 若采用分层随机抽样的方法从评分在[40，50），[50，60）内的用户中抽取5人，则 [40，50）中选：（人），分别记作A，B； [50，60）中选：（人），分别记作a，b，c. 从这5人中任选2人的所有情况有：（A，B），（A，a），（A，b），（A，c），（B，a），（B，b），（B，c），（a，b），（a，c），（b，c），共10种情况. 其中至少有1人的评分在[40，50）内的情况有：（A，B），（A，a），（A，b），（A，c），（B，a），（B，b），（B，c），共7种情况. 故所求概率 16. 如图，在棱长为1的正方体中，，，，分别是棱，，，的中点. （1）计算棱台的体积； （2）求证：平面平面. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据棱台的体积公式求解. （2）连接，则，利用线面平行的判定定理得到平面，同理平面，利用面面平行的判定定理证明. 【详解】（1）由题可知，，，. 根据棱台的体积公式，可得. （2）如图所示: 连接，则. 又平面， 平面 所以平面 连接，则 所以四边形为平行四边形， 所以. 又平面，平面， 所以平面 因为， 所以平面平面 【点睛】本题主要考查几何体的体积求法以及线面平行和面面平行的判定定理，还考查了空间想象和逻辑推理的能力，属于中档题. 17. 已知，复数在复平面上对应的点分别为为坐标原点. （1）求的取值范围； （2）当三点共线时，求三角形的面积. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）易得，再由，利用基本不等式求解； （2）根据三点共线，由得到，再利用数量积求得夹角，利用三角形的面积公式求解. 【小问1详解】 解：因为， 所以， 当且仅当时取得等号， 所以； 【小问2详解】 因为， 且三点共线时，有， 即， 解得 此时，， 所以， 所以. 18. 已知，，分别为三个内角A，，的对边，． （1）求证：； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意利用正弦定理可得，利用三角恒等变换分析可得，即可得结果； （2）根据题意利用余弦定理可得，，利用正弦定理边化角，结合正弦函数可得，即可得结果. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得， 又因为， 代入整理得， 且，则， 可得，整理得， 由可知，则，解得， 可知，所以． 【小问2详解】 因为，即， 由余弦定理可得，即， 所以， 由正弦定理可得， 则，， 则， 可得 ， 因为为锐角三角形，则，解得， 则，可得， 则，可知， 所以． 19. 如图1，是边长为3的等边三角形，点、分别在线段、上，，，沿将折起到的位置，使得，如图2． （1）求证：平面平面； （2）若点在线段上，且，，求直线与平面所成角的正弦值； （3）在（2）的条件下，判断线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在，． 【解析】 【分析】（1）由余弦定理得到，由勾股定理逆定理得，，得到线面垂直，证明出面面垂直； （2）由余弦定理得到，由等体积法求出点到平面的距离，求出直线与平面所成角的正弦值； （3），得到，线面平行，得到平面平面，又平面，故得到线面平行，故线段上存在点，使得平面且． 【小问1详解】 证明：在中，，，， 由余弦定理得， ∴， ∴． 在中，，，， ∴， ∴． ∵，、平面， ∴平面． 又平面， ∴平面平面． 【小问2详解】 设点到平面的距离为， 由题意得，，，， ∴， ∴，， 由可得， ，解得， 设直线与平面所成角为，又因为， 所以， 故直线与平面所成角的正弦值为． 【小问3详解】 在线段上存在点，使得平面且, 证明如下：是边长为3等边三角形，且， 故，为等边三角形， 在平面内，， ∴， 又平面，平面， ∴平面； 在平面内，，， ∴． 又平面，平面， ∴平面， 又， ∴平面平面，又平面， ∴平面． ∴在线段上存在点，使得平面且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$