精品解析：河南省创新发展联盟2023-2024学年高一下学期第二次月考（4月）数学试题

2023—2024学年高一下学期第二次月考 数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章至第八章第4节. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量加减运算法则计算即可得答案. 【详解】易知. 故选：B 2. 复数的实部和虚部分别是（ ） A. 1，1 B. 1， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】由复数代数形式的运算化简即可. 【详解】， 所以数的实部和虚部分别是1,1， 故选：A. 3. 下列结论正确的是（ ） A. 底面是正方形的棱锥是正四棱锥 B. 绕直角三角形的一条边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥 C. 有两个面是四边形且相互平行，其余四个面都是等腰梯形的几何体是四棱台 D. 棱台的所有侧棱所在直线必交于一点 【答案】D 【解析】 【分析】根据正四棱锥定义即可判断A，举反例即可判断BC，根据棱台特点即可判断D. 【详解】对于A，底面是正方形的棱锥且顶点在底面的射影为底面中心才是正四棱锥，故A错误； 对于B，以直角三角形斜边所在的直线为旋转轴时，所形成的几何体是两个同底的圆锥，故B错误； 对于C，如图的几何体满足条件，但侧棱延长线不能相交于一点，不是棱台， C错误； 对于D，由棱台结构特征知侧棱延长后必交于一点，D正确. 故选：D. 4. 一艘轮船从地出发，先沿东北方向航行15海里后到达地，然后从地出发，沿北偏西方向航行10海里后到达地，则地与地之间的距离是（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 15海里 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可求得，利用余弦定理可得，可求得. 【详解】在中，由题意可知海里，海里，. 由余弦定理可得， 则海里. 故选：A. 5. 是在斜二测画法下的直观图，其中，则的面积是（ ） A. B. 4 C. 8 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据斜二测画法的规则，还原平面图形，即可求解. 【详解】如图，还原直角坐标系下的， ，，点分别在轴和轴上， 所以的面积是. 故选：C 6. 在中，角的对边分别是，，，则“”是“是锐角三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理和余弦定理可得，但不一定为锐角；若是锐角三角形可知满足，即可得出结论. 【详解】由是锐角三角形，得，从而， 故，即，即， 可得，即必要性成立； 反之，若“”可得，即， 可得，可知，但角可能为钝角，所以充分性不成立； 故选：B 7. 如图所示，在三棱柱中，若点分别满足，，平面将三棱柱分成体积为的两部分，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例可求得，结合棱台和棱柱体积公式可求得结果. 【详解】，，，，； ，几何体为三棱台， 设三棱柱的高为， ， ，. 故选：A. 8. 18世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，即复数的模的几何意义为对应的点到原点的距离.设复数，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的模的几何意义可得表示动点到定点的距离为定长，的几何意义表示动点到定点的距离，据此可求解. 【详解】由， 可知其几何意义表示动点到定点的距离为定长， 则动点的轨迹是以为圆心，半径为的圆. 同理，的几何意义表示动点到定点的距离. 因为，所以. 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知点，，，则下列结论正确的是（ ） A. 是直角三角形 B. 若点，则四边形是平行四边形 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量垂直、平行的坐标表示，线性运算的坐标表示求解后判断各选项． 【详解】，，所以，，是直角三角形，A正确. 若点，则,，四边形是平行四边形，B正确. 若，则，C错误. 若，则是中点，，D正确. 故选：ABD． 10. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据复数乘法可得，再结合共轭复数以及复数的模长公式逐项分析判断. 【详解】因为， 所以，故AC错误，BD正确. 故选：BD. 11. 在正四棱台中，，，为棱上的动点（含端点），则下列结论正确的是（ ） A. 四棱台的表面积是 B. 四棱台的体积是 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出四棱台的表面积即可判断A；由正四棱台的体积公式计算出体积，即可判断B；将侧面展开在同一平面，结合余弦定理即可判断CD． 【详解】对于A，由题可知，四边形为正方形，所以， 分别取的中点，则为侧面高， 因为侧面为等腰梯形，侧面高， 所以一个侧面的面积为， 故正四棱台的表面积为，故A正确； 对于B，连接，取中点，连接，过点作，则正四棱台高为，，则， 在梯形中，， 所以四棱台的体积，故B正确； 对于C，将侧面展开且处于同一平面，连接与交于点，如图所示，则，所以，由上述结论可知，， 由余弦定理得，，解得，则， 所以， 因为为棱上的动点（含端点），所以点不能共线， 所以，故C错误； 对于D，当点共线时，最短， 由余弦定理得，，解得， 所以的最小值为，故D正确； 故选：ABD． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一个棱台至少有______个面． 【答案】5 【解析】 【分析】根据面数最少的棱台是三棱台，即可求解. 【详解】由题意，面数最少的棱台是三棱台，其中三棱台有个面． 故答案为：. 13. 已知向量，，若向量，的夹角，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量夹角余弦公式以及夹角范围计算即可. 【详解】由题意可得， 因为，所以， 所以， 则， 解得或. 故答案为： 14. 如图，在扇形中，半径，，在半径上，在半径上，是扇形弧上的动点（不包含端点），则平行四边形的周长的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】设，利用平行四边形性质，结合勾股定理求出周长的函数关系，再求出函数的值域即可. 详解】设，则，由，得，显然， 连接，由，，得， ， 因此的周长 显然，当，即时，，而时，， 所以的周长的取值范围是. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，． （1）若是纯虚数，求的值； （2）若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由实部为且虚部不为列式求解； （2）由实部小于0与虚部大于得到不等式组，求出的取值范围． 【小问1详解】 是纯虚数， 故，解得. 【小问2详解】 因为在复平面内对应点在第二象限， 所以，解得， 故的取值范围为． 16. 如图，这是某建筑大楼的直观图，它是由一个半球和一个圆柱组合而成的.已知该几何体的下半部分圆柱的轴截面（过圆柱上､下底面圆的圆心连线的平面）是边长为6的正方形. （1）求该几何体的表面积； （2）求该几何体的体积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可知半球的半径，圆柱的底面圆半径，高.结合球的表面积公式与圆的面积公式，矩形的面积公式可求该几何体的表面积. （2）利用球的体积公式与圆柱的体积公式可求几何体的体积. 【小问1详解】 由题意可知半球的半径，圆柱的底面圆半径，高. 由球的表面积公式可得半球的曲面面积， 由圆的面积公式可得圆柱底面圆的面积， 由圆柱的侧面积公式可得圆柱的侧面积， 故该几何体的表面积. 【小问2详解】 由球的体积公式可得半球的体积. 由圆柱的体积公式可得圆柱的体积. 故该几何体的体积. 17. 在中，点，分别在边，上，且，，是，的交点．设，． （1）用，表示，； （2）求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量的线性运算求解即可； （2）利用，，三点共线，可得，，，三点共线，所以，进而可得，求解即可求得结论. 【小问1详解】 因为，所以是的中点， 则. 因为，所以， 则. 【小问2详解】 因为，所以. 因为，，三点共线，所以 . 因，，三点共线，所以， 则解得. 故. 18. 如图，在长方体中，分别在上.已知，. （1）作出平面截长方体的截面，并写出作法； （2）求（1）中所作截面的周长； （3）长方体被平面截成两部分，求体积较小部分的几何体的体积. 【答案】（1）答案见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）延长，与的延长线交于点，连接并延长，可得交的延长线于，可作所求截面. （2）利用平行线分线段成比例定理可求五边形的周长； （3）利用，可求体积. 【小问1详解】 如图所示，五边形为所求截面. 作法如下： 延长，与的延长线交于点， 连接并延长，分别交于，交的延长线于， 连接，交于点，连接，则五边形为所求截面. 【小问2详解】 因为，所以，则， 由，可得， 得，则， . 由，得，由，得， 则 . 故截面的周长为. 【小问3详解】 ， 故所求体积为. 19. 如图，在平面四边形中，，，，． （1）若为锐角，且，求的面积； （2）求四边形面积的最大值； （3）当时，在四边形所在平面内，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，在中，在中，分别利用余弦定理表示，可得，可求得，可求得的面积； （2），两边平方结合（1）可求得四边形面积的最大值； （3）将绕点旋转，使得，分别与，重合，连接，，可求得，进而由余弦定理可求得，利用可求最小值. 【小问1详解】 连接. 在中，由余弦定理可得，即. 在中，由余弦定理可得，即， 则，即. 因为为锐角，且，所以，所以，则， 故的面积为. 【小问2详解】 四边形的面积， 则.① 由（1）可知，则.② 联立①②，解得，则，等号成立当且仅当， 所以四边形面积的最大值为. 【小问3详解】 将绕点旋转，使得，分别与，重合，连接，， 则，，，. 因为，所以， 所以，则. 由图可知， 当且仅当，，，四点共线时，等号成立， 故的最小值是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年高一下学期第二次月考 数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章至第八章第4节. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 复数的实部和虚部分别是（ ） A. 1，1 B. 1， C. ， D. ， 3. 下列结论正确的是（ ） A. 底面是正方形的棱锥是正四棱锥 B. 绕直角三角形的一条边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥 C. 有两个面是四边形且相互平行，其余四个面都是等腰梯形几何体是四棱台 D. 棱台的所有侧棱所在直线必交于一点 4. 一艘轮船从地出发，先沿东北方向航行15海里后到达地，然后从地出发，沿北偏西方向航行10海里后到达地，则地与地之间的距离是（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 15海里 5. 是在斜二测画法下的直观图，其中，则的面积是（ ） A. B. 4 C. 8 D. 6. 在中，角的对边分别是，，，则“”是“是锐角三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 如图所示，在三棱柱中，若点分别满足，，平面将三棱柱分成体积为的两部分，则（ ） A. B. C. D. 8. 18世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，即复数的模的几何意义为对应的点到原点的距离.设复数，且，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知点，，，则下列结论正确的是（ ） A. 直角三角形 B. 若点，则四边形是平行四边形 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 11. 在正四棱台中，，，为棱上的动点（含端点），则下列结论正确的是（ ） A. 四棱台的表面积是 B. 四棱台的体积是 C. 的最小值为 D. 的最小值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一个棱台至少有______个面． 13. 已知向量，，若向量，的夹角，则的取值范围是________． 14. 如图，在扇形中，半径，，在半径上，在半径上，是扇形弧上的动点（不包含端点），则平行四边形的周长的取值范围是______． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，． （1）若是纯虚数，求值； （2）若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围． 16. 如图，这是某建筑大楼的直观图，它是由一个半球和一个圆柱组合而成的.已知该几何体的下半部分圆柱的轴截面（过圆柱上､下底面圆的圆心连线的平面）是边长为6的正方形. （1）求该几何体的表面积； （2）求该几何体的体积. 17. 在中，点，分别在边，上，且，，是，的交点．设，． （1）用，表示，； （2）求的值． 18. 如图，在长方体中，分别在上.已知，. （1）作出平面截长方体的截面，并写出作法； （2）求（1）中所作截面的周长； （3）长方体被平面截成两部分，求体积较小部分的几何体的体积. 19. 如图，在平面四边形中，，，，． （1）若为锐角，且，求的面积； （2）求四边形面积的最大值； （3）当时，在四边形所在平面内，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$