精品解析：辽宁省大连王府高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

大连王府高级中学2023-2024学年度下学期第二学段考试 高一数学试题 命题人：李洪岩 校对人：李洪岩 满分150分 时间120分钟 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 1 2. 已知，则 A. B. C. D. 3. 中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成；一个半径为的扇形，它的周长是 ，则这个扇形所含弓形的面积是（ ） A. B. C. D. 4. 锐角中，角、、所对的边分别为、、，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 在中，三个内角，，的对边分别为，，，若的面积为，且，则等于 A. B. C. D. 6. 已知，均为锐角，，则取得最大值时，的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 7. 若，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列命题中，真命题的个数是（ ） （1）若，则是等腰三角形； （2）若，则是直角三角形； （3）若，则是钝角三角形； （4）若，则是等边三角形． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选项的得0分. 9. 下列各式运算结果为有理数的是（ ） A. B. C. D. 10. 南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积可用公式，其中a、b、c、S为三角形的三边和面积）表示．在中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，若，且，则下列命题正确的是（ ） A. 面积的最大值是 B. C. D. 面积的最大值是 11. “奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的是（ ） A. 若，则M为的重心 B. 若M为的内心，则 C. 若，，M为的外心，则 D. 若M为的垂心，，则 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 如图所示，梯形是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形ABCD中对角线AC的长度为________________． 13. 设锐角的三个内角，满足，则的最小值为_______． 14. 在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国、各地区代表团的“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界（如图①），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（如图②）．已知正六边形的边长为2，点满足，则________；若点是正六边形边上的动点（包括端点），则的最大值为________________． 四．解答题：本题共5小题，共77分 15. 已知函数， （1）求函数的最大值和最小正周期； （2）设的内角的对边分别且,，若求值． 16. 已知的内角所对的边分别为且满足 （1）求证：； （2）若，且为锐角三角形，求的面积的取值范围. 17. 在大力推进城镇化的旧房改造进程中，晓颖家旧房拆迁拿到一套新房外加一间店面.晓颖准备将店面改建成超市，遇到如下问题：如图所示，一条直角走廊宽为2米，现有一转动灵活的平板车希望能自如在直角走廊运行.平板车平板面为矩形ABEF，它的宽为1米.直线EF分别交直线AC、BC于M、N，过墙角D作DP⊥AC于P，DQ⊥BC于Q；请你结合所学知识帮晓颖解决如下问题： （1）若平板车卡在直角走廊内，且∠，试将平板面的长AB表示为的函数； （2）证明：当时， （3）若平板车要想顺利通过直角走廊，其长度不能超过多少米? 18. 筒车（chinese noria）亦称“水转筒车”.一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史．这种靠水力自动的古老筒车，在家乡郁郁葱葱的山间、溪流间构成了一幅幅远古的田园春色图．水转筒车是利用水力转动的筒车，必须架设在水流湍急的岸边．水激轮转，浸在水中的小筒装满了水带到高处，筒口向下，水即自筒中倾泻入轮旁的水槽而汇流入田．某乡间有一筒车，其最高点到水面的距离为，筒车直径为，设置有8个盛水筒，均匀分布在筒车转轮上，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转一周需要，如图，盛水筒A（视为质点）的初始位置距水面的距离为（定义盛水筒在水面上时距离为正，在水面下时距离为负）． （1）盛水筒A经过后距离水面的高度为h（单位：m），求筒车转动一周的过程中，h关于t的函数的解析式； （2）盛水筒B（视为质点）与盛水筒A相邻，设盛水筒B在盛水筒A的顺时针方向相邻处，求盛水筒B与盛水筒A的高度差的最大值（结果用含的代数式表示），及此时对应的t． （参考公式：，） 19. 已知为平面内不共线的三点，表示的面积 （1）若求； （2）若，，，证明:； （3）若，，，其中，且坐标原点恰好为的重心，判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大连王府高级中学2023-2024学年度下学期第二学段考试 高一数学试题 命题人：李洪岩 校对人：李洪岩 满分150分 时间120分钟 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】化简复数，分子分母同时乘以，进而求得复数，再求出，由此得到虚部. 【详解】，，所以的虚部为. 故选：C 【点睛】本小题主要考查复数的乘法、除法运算，考查共轭复数的虚部，属于基础题. 2. 已知，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】∵，∴ ∴， 故选B 3. 中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成；一个半径为的扇形，它的周长是 ，则这个扇形所含弓形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过扇形的周长，求出扇形的弧长，求出扇形的圆心角，然后求出扇形的面积，三角形的面积，即可得到这个扇形所含弓形的面积. 【详解】 可得：扇形面积， 三角形面积， 可得弓形面积， 故选：C 4. 锐角中，角、、所对的边分别为、、，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理，结合可求得角B．又由三角形为锐角三角形，求得角C的取值范围，即可求解． 【详解】由正弦定理得， 又 故选B. 【点睛】本题主要考查正弦定理和正弦两角和差公式的应用．正弦定理和余弦定理在解三角形中应用比较多，这两个定理和其推论一定要熟练掌握并能够灵活运用，注意锐角三角形中角的范围的确定，是本题解答的关键，考查计算能力，逻辑推理能力，属于中档题. 5. 在中，三个内角，，的对边分别为，，，若的面积为，且，则等于 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用余弦定理与面积公式求解即可. 【详解】∵， ∴， 代入已知等式得： 即， ∵ab≠0，∴， ∵， ∴解得：cosC=−1(不合题意,舍去)，cosC=0， ∴sinC=1， 则. 故选:C. 6. 已知，均为锐角，，则取得最大值时，的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】先利用展开变形，可得，再利用展开变形，将用表示出来，利用基本不等式求最值及等号成立条件即可. 【详解】, 则， 所以， 整理得， 因为，均为锐角，且，即， 所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以， 所以取得最大值时，的值为. 故选：D. 7. 若，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简解析式，得函数最大最小值与周期，利用条件转化为与最值的关系，再由最值与周期的关系可得. 【详解】 ，的周期为，且 令，则， 则，由的值域为， 故， 则，故， 由知，，或. 即为函数的最大与最小值，或最小与最大值， 当对应图象上相邻两最值点时，的值最小， 故. 故选：B. 8. 已知中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列命题中，真命题的个数是（ ） （1）若，则是等腰三角形； （2）若，则是直角三角形； （3）若，则是钝角三角形； （4）若，则是等边三角形． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角形的性质、正弦定理、同角三角函数的基本关系进行计算求解. 【详解】中，，由正弦定理有： ，因为中， 所以，即，即， 所以或，故（1）错误； 中，因为，所以， 所以或，故（2）错误； 中，，当时， ，，，显然不满足； 当中有1为负，2个为正，不妨设， 则，，，所以是钝角三角形；故（3）正确； 中，，所以， 所以 因为， 所以，所以， 则是等边三角形，故（4）正确；故A，C，D错误. 故选：B. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选项的得0分. 9. 下列各式运算结果为有理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由诱导公式及二倍角余弦公式化简求值；对于B，弦切互化，用两角和正弦公式及二倍角公式、诱导公式化简求值；对于C，由三角恒等变换公式化简求值；对于D，弦切互化，用两角和正弦公式及二倍角公式、诱导公式化简求值. 【详解】，是有理数，故A正确； ，是有理数，故B正确； ，不是有理数，故C错误； ，是有理数，故D正确. 故选：ABD. 10. 南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积可用公式，其中a、b、c、S为三角形的三边和面积）表示．在中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，若，且，则下列命题正确的是（ ） A. 面积的最大值是 B. C. D. 面积的最大值是 【答案】BD 【解析】 【分析】化简得到，得到，故B正确，C错误；再代入公式求出，从而求出面积最大值. 【详解】由题意，得， 即， 所以根据正弦定理有，故B正确，C错误． 由，得 ， 当，即时，面积取到最大值是，A错误，D正确； 故选：BD． 11. “奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的是（ ） A. 若，则M为的重心 B. 若M为的内心，则 C. 若，，M为的外心，则 D. 若M为的垂心，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，作出辅助线，得到，故，同理得到，，所以M为的重心，故A项正确；B选项，设内切圆半径为r，得到，，，代入公式得到；C选项，设的外接圆半径为R，表达出，，，从而得到答案；D选项，求出，设，，由面积比得到，，由三角函数值得到方程，得到，同理得到，利用求出答案. 【详解】对于A，取BC的中点Q，连接MQ， 由，则， 所以， 所以A，M，Q三点共线，且， 设R，T分别为AB，AC的中点，同理可得，， 所以M为的重心，故A项正确； 对于B，由M为的内心，设内切圆半径为r， 则有，，， 所以， 即，故B项正确； 对于C，由M为的外心，设的外接圆半径为R， 又因为，， 所以，，， 所以， ， ， 所以，故C错误； 对于D，延长AM交BC于点D，延长BO交AC于点F，延长CO交AB于点E， 由M为的垂心，，则， 又，则，， 设，，则，， 所以，即， 所以，同理， 故，， ∴ ，故D正确． 故选：ABD． 【点睛】结论点睛：点为所在平面内的点，且，则点为的重心， 点为所在平面内的点，且，则点为的垂心， 点为所在平面内的点，且，则点为的外心， 点为所在平面内的点，且，则点为的内心， 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 如图所示，梯形是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形ABCD中对角线AC的长度为________________． 【答案】 【解析】 【分析】画出原图形，由勾股定理求出答案. 【详解】根据题意，由直观图知原几何图形是直角梯形ABCD，如图， 由斜二测法则知，， 所以， 故答案为： 13. 设锐角的三个内角，满足，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】 【详解】由题设可知，，则． 又由及 得， 即， 则， ① 由，①式两边同时除以， 可得． 设，则， 由知，，则． 于是有，故， 从而有． 又，得，而．所以．故． ． 因为，于是求的最小值转化为求函数的最小值． 考虑函数， 即在上单调递增，从而． 因此的最小值在时取得，为． 由得，，从而， 故当，时，取得最小值． 故答案为：. 14. 在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国、各地区代表团的“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界（如图①），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（如图②）．已知正六边形的边长为2，点满足，则________；若点是正六边形边上的动点（包括端点），则的最大值为________________． 【答案】 ①. 2 ②. 6 【解析】 【分析】由正六边形的性质可得，，利用向量的数量积的运算律求出，然后利用数量积的定义和正六边形的性质求出的最大值. 【详解】由题意得，， ∴， ∴， 又以及正六边形的几何特征可知为的中点， 则 ， 要使最大，可知当在处时，最大，此时最大， 即. 故答案为：；． 四．解答题：本题共5小题，共77分 15. 已知函数， （1）求函数的最大值和最小正周期； （2）设的内角的对边分别且,，若求值． 【答案】（1）的最大值为0，最小正周期是；（2） 【解析】 【分析】试题分析：（1）利用两角和与差的三角函数公式及二倍角公式将化成的形式，再根据正弦函数的性质求得. （2）由，结合余弦定理得： 由结合正弦定理得 解方程组可得值． 试题解析： （1） 则的最大值为0，最小正周期是 （2）则 ，由正弦定理得 ① 由余弦定理得： 即 ② 解①②得 考点：1、两角和与差的三角函数公式及二倍角公式；2、正弦定理与余弦定理. 【详解】请在此输入详解！ 16. 已知的内角所对的边分别为且满足 （1）求证：； （2）若，且为锐角三角形，求的面积的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理进行角化边，结合二倍角公式证明即可. （2）将三角形的面积表示为一元解析式，后分析其单调性，利用为锐角三角形求出角度的范围，再求面积范围即可. 【小问1详解】 在中，由正弦定理得， 故由余弦定理得， ， 而， ， 故成立， 因为，则，故，则， 所以又，则成立，故原命题得证. 【小问2详解】 易知，由正弦定理得， 故，由正弦定理得， 而，则，由题意得为锐角三角形， 故，由上问得，故有，解得， 由三角形内角和定理得，解得， 故，由，可得， 将原式化为， ， 令，故设，由，在上单调递减， 故在上单调递减，可得， 故，即的面积的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形，解题关键是合理表示三角形面积，然后化简成为一元函数，求出角度的范围，最后利用换元法得到所要求的取值范围即可． 17. 在大力推进城镇化的旧房改造进程中，晓颖家旧房拆迁拿到一套新房外加一间店面.晓颖准备将店面改建成超市，遇到如下问题：如图所示，一条直角走廊宽为2米，现有一转动灵活的平板车希望能自如在直角走廊运行.平板车平板面为矩形ABEF，它的宽为1米.直线EF分别交直线AC、BC于M、N，过墙角D作DP⊥AC于P，DQ⊥BC于Q；请你结合所学知识帮晓颖解决如下问题： （1）若平板车卡在直角走廊内，且∠，试将平板面的长AB表示为的函数； （2）证明：当时， （3）若平板车要想顺利通过直角走廊，其长度不能超过多少米? 【答案】（1）=（）；（2）证明见解析；（3）. 【解析】 【分析】（1）由题意分别表示出，DN=，，，根据矩形面积即可求解. （2）在单位圆中作出锐角的正弦线、余弦线，使得在中，，再由，即证. （3）由题意可知平板车的长度不能超过的最小值，即平板车的长度，记 ，利用函数的单调性即可求出最值. 【详解】（1），DN=，， ， AB=EF=DM+DN-MF-EN + =（） （2）在单位圆中作出锐角的正弦线、余弦线， 使得 在中，，即 且 由得 且，故有 综上有当时， （3）“平板车要想顺利通过直角走廊”即对任意角， 平板车的长度不能超过的最小值，即平板车的长度； 记 ，有=， 则== 记，，则， 函数在上的单调递减； 当时取得最小值. 【点睛】关键点点睛：本题考查了三角函数的应用，解题的关键是表示出=（），令，换元得出函数，结合函数的单调性求解，考查了转化能力、计算能力. 18. 筒车（chinese noria）亦称“水转筒车”.一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史．这种靠水力自动的古老筒车，在家乡郁郁葱葱的山间、溪流间构成了一幅幅远古的田园春色图．水转筒车是利用水力转动的筒车，必须架设在水流湍急的岸边．水激轮转，浸在水中的小筒装满了水带到高处，筒口向下，水即自筒中倾泻入轮旁的水槽而汇流入田．某乡间有一筒车，其最高点到水面的距离为，筒车直径为，设置有8个盛水筒，均匀分布在筒车转轮上，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转一周需要，如图，盛水筒A（视为质点）的初始位置距水面的距离为（定义盛水筒在水面上时距离为正，在水面下时距离为负）． （1）盛水筒A经过后距离水面的高度为h（单位：m），求筒车转动一周的过程中，h关于t的函数的解析式； （2）盛水筒B（视为质点）与盛水筒A相邻，设盛水筒B在盛水筒A的顺时针方向相邻处，求盛水筒B与盛水筒A的高度差的最大值（结果用含的代数式表示），及此时对应的t． （参考公式：，） 【答案】（1） （2），或． 【解析】 【分析】（1）建立平面直角坐标系，设，，根据题意求出得到函数的解析式； （2）由，求出高度差，再利用已知条件给出的参考公式进行化简变形，利用三角函数的有界性进行分析求解即可． 【小问1详解】 以简车转轮的中心O为原点，与水面平行的直线为x轴建立平面直角坐标系， 设，，由题意知，，， ∴，，即， 当时，，解得， 结合图像初始位置可知， 又因为，所以， 综上． 【小问2详解】 经过后A距离水面的高度， 由题意知，所以经过后B距离水面的高度， 则盛水筒B与盛水筒A的高度差为， 利用， ， 当，即时，H取最大值， 又因为，所以当或时，H取最大值， 综上，盛水筒B与盛水筒A的高度差的最大值约为，此时或． 19. 已知为平面内不共线的三点，表示的面积 （1）若求； （2）若，，，证明:； （3）若，，，其中，且坐标原点恰好为的重心，判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1）；（2）详见解析；（3）是定值，值为，理由见解析. 【解析】 【分析】（1） 已知三点坐标，则可以求出三边长度及对应向量，由向量数量积公式可以求出夹角余弦值，从而算出正弦值，利用面积公式完成作答； （2） 和（1）的方法一样，唯独不同在于（1）是具体值，而（2）中是参数，我们可以把参数当做整体（视为已知）能处理； （3） 由恰好为的正心可以获取，而可以借助（2）的公式直接运用，本题也就完成作答. 【详解】（1）因为， 所以，， 所以 因为，所以， 所以 （2）因为，所以 所以 因为 所以 所以 所以； （3）因为为的重心，所以 由(1)可知 又因为为的重心，所以， 平方相加得:， 即， 所以 所以， 所以是定值，值为 【点睛】已知三角形三点，去探究三角形面积问题，通过向量数量积为载体，算出相对应边所在向量的模长、夹角余弦值，进一步算出正弦值，从而算出面积，这三问存在层层递进的过程，从特殊到一般慢慢设问，非常好的一个探究性习题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $