精品解析：江苏省南通市启东市长江中学2023-2024学年八年级下学期5月月考数学试题

长江中学2023—2024学年度第二学期第二次错题再练 八年级数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 学校甲、乙两支国旗护卫队队员的平均身高均为1.7米，要想知道哪支国旗护卫队队员的身高更为整齐，通常需要比较他们身高的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】D 【解析】 【分析】根据方差的意义判断，方差越小，波动越小，数据越稳定． 【详解】解：由于方差是用来衡量一组数据波动大小的量，故判断甲、乙两支护卫队队员的身高哪支比较整齐，通常需要比较两个队身高的方差． 故选：D 【点睛】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 2. 一次函数的图象经过点，则a的值为（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】将点（a，2）代入，即可求出a的值． 【详解】解：将点（a，2）代入，得： ， 解得：a=0，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图像特征，题目相对简单，正确计算即可． 3. 数据2，1，1，5，1，4，3的众数和中位数分别是（ ） A. 2，1 B. 1，4 C. 1，3 D. 1，2 【答案】D 【解析】 【分析】根据众数和中位数的概念求解． 【详解】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：1，1，1，2，3，4，5， 则众数为：1， 中位数为：2． 故选：D． 【点睛】本题考查了众数和中位数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数． 4. 若ab+c=0，a≠0， 则方程ax2+bx+c=0 必有一个根是 （ ） A. 1 B. 0 C. –1 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得:当ab+c=0，即当x=-1时，ax2+bx+c=a-b+c=0， 故选C. 5. 关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】根据题意得且， 解得且． 故选：． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 6. 已知关于x的一次函数为y=mx+4m﹣2，下列说法中正确的个数为（　　） ①若函数图像经过原点，则m=； ②若m=，则函数图像经过第一、二、四象限； ③函数图像与y轴交于点（0，﹣2）； ④无论m为何实数，函数的图像总经过（﹣4，﹣2）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】把（0，0）代入一次函数，求出m的值，即可判断①；把m=代入一次函数，即可判断②；令x=0，求出y的值，即可判断③；把一次函数整理成y=m（x+4）﹣2，即可判断④，从而得出结论． 【详解】关于x的一次函数为y=mx+4m﹣2，∵函数图像经过原点， ∴0=4m﹣2，解得：m=，故说法①正确； 当m=时，． ∵，， ∴函数图像经过第一、三、四象限，故说法②错误； 令x=0，得y=4m﹣2，与y轴交点为（0，4m﹣2），故说法③错误； 由y=mx+4m﹣2得：y=m（x+4）﹣2，当x=-4时，y=-2，与m的取值无关，故说法④正确． 说法正确有①④，共2个． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质．掌握一次函数的性质是解答本题的关键． 7. 如图，在平面直角坐标系中，直线与相交于点M，点M纵坐标为1，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】不等式x-2≤kx+b的解集，在图上即为y=x-2的图象在y=kx+b的图象下方时自变量的取值范围． 【详解】解：在y=x-2中，令y=1，则x=3， ∴直线y=x-2与直线y=kx+b相较于(3，1)， 根据图象得：y=x-2的图象在y=kx+b的图象下方时自变量的取值范围为x≤3． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数图象的交点问题，熟练掌握一次函数图象与一元一次不等式的关系是解题的关键． 8. 在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（　　） A. x2+130x﹣1400＝0 B. x2+65x﹣350＝0 C. x2﹣130x﹣1400＝0 D. x2﹣65x﹣350＝0 【答案】B 【解析】 【分析】先用表示出矩形挂图的长和宽，利用面积公式，即可得到关于的方程． 【详解】解：由题意可知：挂图的长为，宽为， ， 化简得：x2+65x﹣350＝0， 故选：B． 【点睛】本题主要是考查了一元二次方程的实际应用，熟练根据等式列出对应的方程，是解决该类问题的关键． 9. O是等边△ABC内一点，OB=1，OA=2，∠AOB=150°，则OC的长为（　　） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】如图，将△AOB绕B点顺时针旋转60°到△BO′C的位置， 由旋转的性质，得BO=BO′，， ∴△BO′O为等边三角形， 由旋转的性质可知∠BO′C=∠AOB=150°， ∴∠CO′O=150°-60°=90°， 又∵OO′=OB=1，CO′=AO=2， ∴在Rt△COO′中，由勾股定理，得OC= ． 故选B． 10. 如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，C在y轴的正半轴上，D在直线AB上，且，．若点P为线段上的一个动点，且P关于x轴的对称点Q总在内（不包括边界），则点P的横坐标m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出，进而求出，再由可知点D在线段的垂直平分线上，即在直线上，则，利用待定系数法求出直线和直线的解析式，根据关于x轴对称的点横坐标相同纵坐标互为相反数求出点Q的坐标，再根据点Q在内，则当时，点Q的纵坐标在直线和直线二者的函数值之间，由此建立不等式求解即可． 【详解】解：在中，当时，，当时，， ∴， ∵C在y轴的正半轴上，， ∴， ∵， ∴点D在线段的垂直平分线上，即在直线上， 在中，当时，， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 同理可得直线的解析式为； ∵点P为线段上的一个动点，且其横坐标为m， ∴， ∵P、Q关于x轴对称， ∴， ∵点Q总在内（不包括边界）， ∴， 解得， 故选D． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，坐标与图形变化—轴对称，正确理解题意得到点Q在内，则当时，点Q的纵坐标在直线和直线二者的函数值之间是解题的关键． 二、填空题（11—12每小题3分；13—18每小题4分，共30分） 11. 在平面直角坐标系中，点（2，3）关于原点对称的点的坐标是______． 【答案】（-2，-3） 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案． 【详解】解：点（2，3）关于原点对称的点的 坐标是（-2，-3）， 故答案为：（-2，-3）． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟记关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数是解题关键． 12. 小明的期中数学成绩为80分，期末数学成绩为90分，将期中和期末按照4：6的比例计算，得到总评成绩，则小明的数学总评成绩为_______分． 【答案】86 【解析】 【分析】按照加权平均数的计算方法进行计算即可． 【详解】解：小明的数学总评成绩为： ． 故答案为：86． 【点睛】本题主要考查了加权平均数的计算，熟练掌握加权平均数的计算公式，是解题的关键． 13. 若一次函数的图象过点，，则______（填“”、“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数的性质，当时，y随x的增大而减小，判断即可． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， ∵一次函数的图象过点，，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了比较一次函数值的大小，熟知对于一次函数，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小是解题的关键． 14. 关于x的一元二次方程的一个根为0，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】将代入一元二次方程，转化为关于的方程，要注意，． 【详解】解：将代入一元二次方程得， ， 整理得，， 解得，． 是一元二次方程， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解和一元二次方程的定义，要熟悉一元二次方程的解法和二次项系数的取值范围． 15. 读一读下面的诗词：大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿同．诗词大意是周瑜三十岁当上了东吴都督，去世时年龄是两位数，十位数比个位数小3，个位数的平方等于他去世时的年龄，若设他去世时年龄的个位数为x，则根据题意可列出方程______． 【答案】 【解析】 【分析】设他去世时年龄的个位数为x，则设他去世时年龄的十位数为，然后根据个位数的平方等于他去世时的年龄列出方程即可． 【详解】解：设他去世时年龄的个位数为x，则设他去世时年龄的十位数为， 由题意得，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 16. 定义：点A（x，y）为平面直角坐标系内的点，若满足x=y，则把点A叫做“平衡点”．例如：M（1，1），N（-2，-2），都是“平衡点”．当-3≤x≤2时，直线y=2x+m上有“平衡点”，则m的取值范围是______． 【答案】-2≤m≤3 【解析】 【分析】根据x=y、-3≤x≤2可得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵x=y， ∴x=2x+m，即x=-m． ∵-3≤x≤2， ∴-3≤-m≤2， ∴-2≤m≤3． 故答案是：-2≤m≤3． 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，根据题意得出关于m的不等式组是解答此题的关键． 17. 如果x、y是两个实数（）且，，则__． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了根与系数的关系和分式的化简求值，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 将两边同时除以，然后设，则可得为一元二次方程的两个不相等的实数根；由根与系数的关系可得和的值，然后代入原式计算即可． 【详解】解：， ， ， 设，则， ， ， ∴是方程的两个不相等的实数根， ， ． 故答案为：． 18. 如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，D为AC中点，P为AB上的动点，将P绕点D逆时针旋转得到P´，连CP´，则线段CP´的最小值为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】先过P′作P′E⊥AC于E，根据△DAP≌△P′ED，可得P′E=AD=2，再根据当AP=DE=2时，DE=DC，即点E与点C重合，即可得出线段CP′的最小值为2． 详解】解：如图所示，过P′作P′E⊥AC于E，则， ， 由旋转可得，DP=P′D，， ， ∴∠ADP=∠EP′D， 在△DAP和△P′ED中， ， ∴△DAP≌△P′ED(AAS)， ∴P′E=AD， ∵AC=4，D为AC中点， ∴P′E=AD=2， ， ∴当点E与点C重合时CP′最小， 此时CP′=EP′=2， ∴线段CP′的最小值为2， 故答案为，2． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、垂线段最短以及全等三角形判定与性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，依据垂线段最短进行求解． 三、解答题：（共90分） 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）用公式法解一元二次方程即可； （2）先移项然后用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， a=1，b=-4，c=-1， ， ∴， ∴原方程的根为，． 【小问2详解】 移项得：， 分解因式得：， ∴或， 解得：，． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的基本方法，是解题的关键． 20. 在方格中的位置如图所示． 请在方格纸上建立平面直角坐标系，使得、两点的坐标分别为、．并求出点的坐标； 作出关于横轴对称的△A1B1C1，再作出以坐标原点为旋转中心、旋转后的，并写出，两点的坐标． 【答案】坐标系如图所示，； ，如图所示，，． 【解析】 【分析】（1）根据已知点的坐标，画出坐标系，由坐标系确定C点坐标； （2）由轴对称性画△A1B1C1，由关于原点中心对称性画△A2B2C2，可确定写出C1，C2两点的坐标． 【详解】（1）坐标系如图所示，C（3，﹣3）； （2）△A1B1C1，△A2B2C2如图所示，C1（3，3），C2（﹣3，3）． 【点睛】本题考查了坐标系的确定方法，轴对称、中心对称的画图．关键是根据题意，建立坐标系． 21. 为增强学生的防疫意识，学校拟选拔一支代表队参加市级防疫知识竞赛，甲、乙两支预选队（每队各10人）参加了学校举行的选拔赛，选拔赛满分为100分．现对甲、乙两支预选队的竞赛成绩进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．甲队10名学生的竞赛成绩是：92，84，92，92，96，84，92，100，82，96 b．甲、乙两队学生竞赛成绩统计表： 组别 甲队 乙队 平均分 91 87 中位数 m 85 众数 n 93 方差 31.4 30 （1）在甲、乙两队学生竞赛成绩统计表中，_______，_______； （2）学校准备从甲，乙两支预选队中选取成绩前10名（包括第10名）的学生组成代表队参加市级比赛，小聪的成绩正好是甲乙两队中某一队成绩的中位数，但他却落选了，请判断小聪所属的队伍，并说明理由． 【答案】（1）92；92 （2）乙队 【解析】 【分析】（1）将甲队10名学生的竞赛成绩进行排序即可得众数和中位数； （2）甲队的中位数明显高于乙队，即可判断； 【小问1详解】 解：将甲队10名学生的竞赛成绩进行排序为：82，84，84，92，92，92，92，96，96，100， 甲队10名学生的竞赛成绩的众数为：； ； 故答案为：92，92； 【小问2详解】 答：甲队的中位数明显高于乙队，所以小聪所在队伍为乙队． 【点睛】本题主要考查中位数、众数的概念，掌握中位数、众数的概念是解题的关键． 22. 如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？ 【答案】羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米. 【解析】 【详解】解：设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米． 根据题意得 （100﹣4x）x=400， 解得 x1=20，x2=5． 则100﹣4x=20或100﹣4x=80． ∵80＞25， ∴x2=5舍去． 即AB=20，BC=20． 故羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米． 23. 已知关于的一元二次方程. (1)求证：无论取任何实数时，原方程总有两个实数根； (2)若原方程的两个实数根一个大于，另一个小于，求m的取值范围. 【答案】(1)见解析(2). 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式的符号来证明： （2）先求出原方程的两个实数根，根据两个实数根一个大于3，另一个小于8，列出不等式组，求出m的取值范围． 【详解】(1) 无论取任何实数时， 无论取任何实数，原方程总有两个实数根． (2)解关于的一元二次方程得 ， 由题意得或 分别解两个不等式组得无解或 . 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，当△≥0时，方程有两个实数根；同时考查了公式法解一元二次方程及解一元一次不等式组． 24. 学校体育器材室拟购进甲、乙两种实心球．某公司给出这两种实心球的销售方法为：甲种实心球的销售y（单位：元）与销售量x（单位：个）的函数关系如图所示；乙种实心球20元/个． （1）求y与x之间的函数关系； （2）若学校体育器材室拟购买这两种实心球共100个，且每种均不少于45个，请设计最省钱的方案，并说明理由． 【答案】（1） （2）购买甲种实心球45个，乙种实心球55个；理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据函数图象，分两段用待定系数法，求出函数的解析式即可； （2）设购买甲种实心球m个，则乙种实心球个，需要花费w元，根据题意列出函数关系式，根据每种均不少于45个，求出m的取值范围，根据函数的增减性，得出答案即可． 小问1详解】 解：当时，设，把，代入得： ，解得：， ∴当时，设， 当时，设，把，和，分别代入得： ，解得：， ∴当时，设， 综上分析可知，y与x之间的函数关系式为． 【小问2详解】 设购买甲种实心球m个，则乙种实心球个，需要花费w元，根据题意得： ∵每种均不少于45个， ∴， 解得：， ∵， ∴w随m的增大而增大，当m取最小值45时，w取最小值，且最小值为： ， 即购买甲种实心球45个，乙种实心球55个时，花费最少． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式和一次函数的应用，根据题意列出w与m的函数关系式，并求出m的取值范围，是解题的关键． 25. 阅读下列材料： “ ”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式． 例如： ∵， ∴ ∴ ∴的最小值为1． 试利用“配方法”解决下列问题： （1）已知，则______； （2）已知a，b，c是等腰的三边长，且a、b满足，求的周长； （3）若（x、y为实数），求W的最小值． 【答案】（1） （2）的周长为17 （3）最小值为6 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，将变形为，进而可以判断得解； （2）依据题意，将变形为，进而可以求出a，b，然后进行分类讨论即可得解； （3）依据题意，将变形为，再结合，，进而可以判断得解． 【小问1详解】 解：由题意，∵， ∴，即． ∴，． ∴，． ∴． 故答案为：． 【小问2详解】 解：由题意，∵， ∴． ∴． ∴，． ①当，时，，故不合题意； ②当，时，周长为：． ∴的周长为17． 【小问3详解】 解：由题意， ． 又对于任意实数x，y有，， ∴当，时，即时，最小值为6． 26. 如图，在等边三角形中，点D在上运动，点E在上运动，将点E绕着点D逆时针旋转得到点F，连接D、E、F得到，连接． （1）当点D与点B重合，点E与的中点重合时，如果边长为2，请你在图1的方框内画出符合题意的图形，并求此时的长； （2）当点D与的中点重合时，当点E运动到什么位置时，的周长最小？请你在图2的方框内画出符合题意的图形，并求此时与的数量关系； （3）如图3，求证：．（提示：在答题卡上作图时，请用签字笔描画．） 【答案】（1）1，图见解析 （2）当点D与的中点重合时，当点E运动到时，的周长最小；；图见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）由旋转可得，推出是等边三角形，可得，进而证得即可； （2）由旋转可得是等边三角形，即的周长，得出当时，最小，即的周长最小，再证得，即可求得答案； （3）过点作交于，可证得，可得，利用平行线的判定定理推出，即可证得结论． 【小问1详解】 解：如图所示：即为所求． 当点与点重合，点与的中点重合时， ∵边长为2， ， ∵将点绕着点逆时针旋转得到点， ， ∴是等边三角形， ， ∵是等边三角形， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：当点与的中点重合时，当点运动到时，的周长最小． 理由： ∵点与的中点重合， ∵是等边三角形， ， ∵将点绕着点逆时针旋转得到点， ， ∴是等边三角形， ∴的周长， ∴当时，最小，即的周长最小， ， ； 如图所示：即为所求． 结论：． 理由如下： ， ， ， ； 【小问3详解】 证明：如图3，过点作交于， 则， ∵是等边三角形， ， ， ∴是等边三角形， ， ∵将点绕着点逆时针旋转得到点， ， ， 即， ， ， ， ， ； 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质平行线的性质，直角三角形的性质，旋转变换等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 长江中学2023—2024学年度第二学期第二次错题再练 八年级数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 学校甲、乙两支国旗护卫队队员的平均身高均为1.7米，要想知道哪支国旗护卫队队员的身高更为整齐，通常需要比较他们身高的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 2. 一次函数的图象经过点，则a的值为（ ） A -1 B. 0 C. 1 D. 2 3. 数据2，1，1，5，1，4，3的众数和中位数分别是（ ） A. 2，1 B. 1，4 C. 1，3 D. 1，2 4. 若ab+c=0，a≠0， 则方程ax2+bx+c=0 必有一个根是 （ ） A. 1 B. 0 C. –1 D. 不能确定 5. 关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（　　） A. B. C. D. 6. 已知关于x的一次函数为y=mx+4m﹣2，下列说法中正确的个数为（　　） ①若函数图像经过原点，则m=； ②若m=，则函数图像经过第一、二、四象限； ③函数图像与y轴交于点（0，﹣2）； ④无论m为何实数，函数的图像总经过（﹣4，﹣2）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 如图，在平面直角坐标系中，直线与相交于点M，点M纵坐标为1，则关于x的不等式的解集是（ ） A B. C. D. 8. 在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（　　） A. x2+130x﹣1400＝0 B. x2+65x﹣350＝0 C. x2﹣130x﹣1400＝0 D. x2﹣65x﹣350＝0 9. O是等边△ABC内的一点，OB=1，OA=2，∠AOB=150°，则OC的长为（　　） A. B. C. D. 3 10. 如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，C在y轴的正半轴上，D在直线AB上，且，．若点P为线段上的一个动点，且P关于x轴的对称点Q总在内（不包括边界），则点P的横坐标m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（11—12每小题3分；13—18每小题4分，共30分） 11. 在平面直角坐标系中，点（2，3）关于原点对称的点的坐标是______． 12. 小明的期中数学成绩为80分，期末数学成绩为90分，将期中和期末按照4：6的比例计算，得到总评成绩，则小明的数学总评成绩为_______分． 13. 若一次函数的图象过点，，则______（填“”、“”或“”）． 14. 关于x的一元二次方程的一个根为0，则___________． 15. 读一读下面的诗词：大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿同．诗词大意是周瑜三十岁当上了东吴都督，去世时年龄是两位数，十位数比个位数小3，个位数的平方等于他去世时的年龄，若设他去世时年龄的个位数为x，则根据题意可列出方程______． 16. 定义：点A（x，y）为平面直角坐标系内的点，若满足x=y，则把点A叫做“平衡点”．例如：M（1，1），N（-2，-2），都是“平衡点”．当-3≤x≤2时，直线y=2x+m上有“平衡点”，则m的取值范围是______． 17. 如果x、y是两个实数（）且，，则__． 18. 如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，D为AC中点，P为AB上的动点，将P绕点D逆时针旋转得到P´，连CP´，则线段CP´的最小值为_______． 三、解答题：（共90分） 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 在方格中的位置如图所示． 请在方格纸上建立平面直角坐标系，使得、两点的坐标分别为、．并求出点的坐标； 作出关于横轴对称的△A1B1C1，再作出以坐标原点为旋转中心、旋转后的，并写出，两点的坐标． 21. 为增强学生的防疫意识，学校拟选拔一支代表队参加市级防疫知识竞赛，甲、乙两支预选队（每队各10人）参加了学校举行的选拔赛，选拔赛满分为100分．现对甲、乙两支预选队的竞赛成绩进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．甲队10名学生的竞赛成绩是：92，84，92，92，96，84，92，100，82，96 b．甲、乙两队学生竞赛成绩统计表： 组别 甲队 乙队 平均分 91 87 中位数 m 85 众数 n 93 方差 31.4 30 （1）在甲、乙两队学生竞赛成绩统计表中，_______，_______； （2）学校准备从甲，乙两支预选队中选取成绩前10名（包括第10名）学生组成代表队参加市级比赛，小聪的成绩正好是甲乙两队中某一队成绩的中位数，但他却落选了，请判断小聪所属的队伍，并说明理由． 22. 如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？ 23. 已知关于的一元二次方程. (1)求证：无论取任何实数时，原方程总有两个实数根； (2)若原方程的两个实数根一个大于，另一个小于，求m的取值范围. 24. 学校体育器材室拟购进甲、乙两种实心球．某公司给出这两种实心球的销售方法为：甲种实心球的销售y（单位：元）与销售量x（单位：个）的函数关系如图所示；乙种实心球20元/个． （1）求y与x之间的函数关系； （2）若学校体育器材室拟购买这两种实心球共100个，且每种均不少于45个，请设计最省钱的方案，并说明理由． 25. 阅读下列材料： “ ”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式． 例如： ∵， ∴ ∴ ∴的最小值为1． 试利用“配方法”解决下列问题： （1）已知，则______； （2）已知a，b，c是等腰三边长，且a、b满足，求的周长； （3）若（x、y为实数），求W的最小值． 26. 如图，在等边三角形中，点D在上运动，点E在上运动，将点E绕着点D逆时针旋转得到点F，连接D、E、F得到，连接． （1）当点D与点B重合，点E与的中点重合时，如果边长为2，请你在图1的方框内画出符合题意的图形，并求此时的长； （2）当点D与的中点重合时，当点E运动到什么位置时，的周长最小？请你在图2的方框内画出符合题意的图形，并求此时与的数量关系； （3）如图3，求证：．（提示：在答题卡上作图时，请用签字笔描画．） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$