精品解析：广东省梅州市兴宁市第一中学2023-2024学年八年级下学期第一次月考数学试题

兴宁一中2023-2024八年级下期数学第一次月考试题 （考试时间：120分钟；满分120分） 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（ ） A. 3，4，7 B. 8，10，15 C. 6，8，10 D. 7，24，26 2. 已知则下列结论错误的是( ) A. B. C. D. 3. 若正比例函数的图象经过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC的平分线交AC于点D，BC=12，DB=13，点D到AB的距离是（ ） A 5 B. 6 C. 4 D. 3 6. 如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点D，就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（ ） A. 等边对等角 B. 等角对等边 C. 垂线段最短 D. 等腰三角形“三线合一” 7. 如图，在中，是的垂直平分线，且分别交，于点D和E，连接．若，，则为（　　） A. B. C. D. 8. 某服装网店购进男装、女装共100件，其进价和售价如下表： 进价（元/件） 售价（元/件） 男装 260 320 女装 240 290 该服装网店预计获得利润不少于5200元，设购进件男装，根据题意可列不等式（ ） A. B. C. D. 9. 已知a＜3，则不等式（a﹣3）x＜a﹣3的解集是（　　） A. x＞1 B. x＜1 C. x＞﹣1 D. x＜﹣1 10. 如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF，给出下列四个结论：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AB＝3BF；⑤S△ADB＝2S△BDF，其中正确的结论共有（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在中，，则___________． 12. 已知等腰三角形的两边长分别为5 cm，8 cm，则该等腰三角形的周长是______cm． 13. 如图，直线与相交于点，则关于x的不等式的解集是 ________． 14. 如图，在中，的垂直平分线分别交，于E，D两点，若，已知的周长为，则___________． 15. 点的坐标是，若点在轴或轴上且是等腰三角形，这样的点共有_________个． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 16. （1）计算：． （2）解方程组． 17. 如图，已知直线的图象经过点，，且与x轴交于点C． （1）求直线的解析式； （2）求面积． 18. 如图，在△ABC中，点D为边AC上的一点，BD＝BC，过点D作DE∥AB交BC于点E，且 DE平分∠BDC． 求证：AD＝BC． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 19. 解下列不等式，并把不等式的解集在数轴上表示出来： （1）； （2）． 20. 如图，在中，，点、分别在边、上，且，与相交于点． 求证： （1）是等腰三角形； （2） 21. 如图，在中，． （1）实践与操作：用尺规作图法作边上垂直平分线，交于点D，交于点E；(保留作图痕迹，不要求写作法) （2）应用与计算：连接，若，求长． 五、解答题（三）（本大题共3小题，22题9分，23、24题各12分，共33分） 22. 如图，是的角平分线，分别是和的高． （1）试说明垂直平分； （2）若，求的长． 23. 为进一步落实“乡村振兴”工程，某村在政府的扶持下建起了大棚基地，准备种植两种蔬菜．若种植亩种蔬菜和亩种蔬菜，总收入为万元；若种植亩种蔬菜和亩种蔬菜，总收入为万元． （1）求种植两种蔬菜，平均每亩收入各是多少万元？ （2）村里规划种植这两种蔬菜共亩，且种蔬菜的种植面积不少于种蔬菜种植面积的倍，问种蔬菜种植多少亩，总收入最大，最大总收入是多少？ 24. 如图，是等边三角形，点分别是射线、射线上的动点，点D从点A出发沿着射线移动，点E从点B出发沿着射线移动，点同时出发并且移动速度相同，连接． （1）如图①，当点D移动到线段的中点时，与的长度关系是：_______． （2）如图②，当点D在线段上移动但不是中点时，探究与之间数量关系，并证明你的结论． （3）如图③，当点D移动到线段的延长线上，并且时，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 兴宁一中2023-2024八年级下期数学第一次月考试题 （考试时间：120分钟；满分120分） 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（ ） A. 3，4，7 B. 8，10，15 C. 6，8，10 D. 7，24，26 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理，只需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、，不能够成三角形，故本选项不符合题意； B、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； C、，能构成直角三角形，故本选项符合题意； D、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：C 2. 已知则下列结论错误的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的基本性质，根据不等式的性质：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，可得答案，熟练掌握不等式的性质是关键． 【详解】解：A、不等式的两边都加，不等号的方向不变，得到，故此选项正确，不符合题意； B、不等式的两边都加1，不等号的方向不变，得到，故此选项正确，不符合题意； C、不等式的两边都除以b，不知道b的符号，无法判定与的大小，故此选项错误，符合题意； D、不等式的两边都先乘以，不等号的方向改变，得到，故此选项正确，不符合题意； 故选：C． 3. 若正比例函数的图象经过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正比例函数的图象与性质，将点的坐标代入函数关系式，即可求出答案． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过点， ∴， 解得． 故选：B． 4. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用在数轴上表示不等式的解集时：点是否为空心或实心，方向是向左或向右进行判断即可． 【详解】解：在数轴上表示时，其点应是空心，方向为向右， 因此，综合各选项，只有D选项符合； 故选D． 【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，解题时，首先要能正确画出数轴，其次是能正确确定点是实心或空心，以及方向的左右等． 5. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC的平分线交AC于点D，BC=12，DB=13，点D到AB的距离是（ ） A. 5 B. 6 C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝CD． 【详解】如图，过点D作DE⊥AB于E． ∵BD是∠ABC的平分线，∠C＝90°， ∴DE＝CD＝，即点D到直线AB的距离是5． 故选A． 【点睛】本题考查了，勾股定理，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键． 6. 如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点D，就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（ ） A. 等边对等角 B. 等角对等边 C. 垂线段最短 D. 等腰三角形“三线合一” 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，熟知等腰三角形“三线合一”性质是解答的关键． 根据等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， 故工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”， 故选：D． 7. 如图，在中，是的垂直平分线，且分别交，于点D和E，连接．若，，则为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先利用等腰三角形的性质求得的度数，然后利用三角形的外角的性质求得答案即可；本题考查了等腰三角形的性质及垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等． 【详解】解：∵，， ∴ ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， 故选：C． 8. 某服装网店购进男装、女装共100件，其进价和售价如下表： 进价（元/件） 售价（元/件） 男装 260 320 女装 240 290 该服装网店预计获得利润不少于5200元，设购进件男装，根据题意可列不等式（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出不等式． 根据总利润=（甲的售价-甲的进价）×购进甲的数量+（乙的售价-乙的进价）×购进乙的数量， 设购进件男装，则购进件女装，由该服装网店预计获得利润不少于5200元，列出不等式即可． 【详解】解：设购进件男装，则购进件女装，根据题意，得 故选：D． 9. 已知a＜3，则不等式（a﹣3）x＜a﹣3的解集是（　　） A x＞1 B. x＜1 C. x＞﹣1 D. x＜﹣1 【答案】A 【解析】 【详解】因为a＜3， 所以a﹣3＜0． 两边同时除以a﹣3得： x＞1． 故选A． 10. 如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF，给出下列四个结论：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AB＝3BF；⑤S△ADB＝2S△BDF，其中正确的结论共有（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【解析】 【分析】由角平分线的性质和平行线的性质可证∠ACB=∠ABC，可得AC=AB，由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，CD=BD，由“ASA”可证△CDE≌△BDF，可得S△CDE=S△BDF，CE=BF，DE=DF，即可求解． 【详解】解：∵BC恰好平分∠ABF， ∴∠ABC=∠CBF， ∵BF∥AC， ∴∠ACB=∠CBF， ∴∠ACB=∠ABC， ∴AC=AB，且AD是△ABC的角平分线， ∴AD⊥BC，CD=BD，故②，③正确 ∵CD=BD，且∠ACB=∠CBF，∠CDE=∠BDF， ∴△CDE≌△BDF（ASA） ∴S△CDE=S△BDF，CE=BF，DE=DF，故①正确， ∵AE=2BF， ∴AC=3BF=AB，故④正确， ∵BD=CD， ∴S△ADB=S△ACD， ∵AE=2BF， ∴S△ADB=S△ACD=3S△CDE=3S△BDF，故⑤错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形判定和性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，证明△CDE≌△BDF是本题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在中，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】Rt△ABC 中，∠A与∠B互余，∠A=50°，则∠B=90°-∠A=40°． 【详解】解：在Rt△ABC 中，， ∵∠A与∠B互余， ∴∠B=90°-∠A=40°， 故答案为：40° 【点睛】此题考查了直角三角形中两锐角互余，熟记直角三角形的性质是解题的关键． 12. 已知等腰三角形的两边长分别为5 cm，8 cm，则该等腰三角形的周长是______cm． 【答案】18cm或21cm 【解析】 【分析】等腰三角形的两边长分别为5 cm，8 cm，没有说明哪条是底，哪条是腰，故分两类讨论即可求解． 【详解】解：当腰是5cm，底是8cm时，能构成三角形，周长为5+5+8=18cm； 当腰8cm，底是5cm时，能构成三角形，周长为8+8+5=21cm． 故答案为：18cm或21cm 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义和三角形的三关系，在没有说明底和腰的情况下要注意分类讨论并注意判断是否构成三角形． 13. 如图，直线与相交于点，则关于x的不等式的解集是 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，首先利用函数解析式求出m的值，然后再根据两函数图象的交点坐标可得答案． 【详解】解：∵直线与相交于点， ∴， ∴， ∴， ∴由图像得：关于x的不等式的解是：， 故答案为：． 14. 如图，在中，的垂直平分线分别交，于E，D两点，若，已知的周长为，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质．熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 由垂直平分，可得，由题意知，根据，求解作答即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∵的周长为，， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 点的坐标是，若点在轴或轴上且是等腰三角形，这样的点共有_________个． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、坐标与图形等知识，解题的关键是分以为腰或底两种情况分类讨论，运用数形结合的思想进行解决．根据等腰三角形的性质，要使是等腰三角形，可以分两种情况考虑：当是底边时或是腰时，分别确定点的个数，即可获得答案． 【详解】解：如图，分两种情况进行讨论： 当是底边时，作的垂直平分线，和坐标轴的交点有2个； 当是腰时，以点为圆心，为半径画弧，和坐标轴有4个交点；以点为圆心，为半径画弧，和坐标轴出现2个交点． ∴满足条件的点共有8个． 故答案为：8． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 16. （1）计算：． （2）解方程组． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别求算术平方根，有理数的乘方，立方根，化简绝对值，然后进行加减运算即可； （2）利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 整理得，， 得，， 解得，， 将代入②得，， 解得，， ∴． 【点睛】本题考查了算术平方根，有理数的乘方，立方根，化简绝对值，加减消元法解二元一次方程组．熟练掌握算术平方根，有理数的乘方，立方根，化简绝对值，加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． 17. 如图，已知直线的图象经过点，，且与x轴交于点C． （1）求直线的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1）直线的解析式是 （2） 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法即可求得函数的解析式； （2）根据求得的解析式可求出C点的坐标，再代入三角形的面积公式即可． 【小问1详解】 解：把点，分别代入直线的解析式， 得，， 解得，. ∴直线的解析式是. 【小问2详解】 解：在直线中，令，得. ∴点C坐标为. ∴. 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，解题的关键是明确一次函数图象上点的坐标特征． 18. 如图，在△ABC中，点D为边AC上的一点，BD＝BC，过点D作DE∥AB交BC于点E，且 DE平分∠BDC． 求证：AD＝BC． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据角平分线的性质和平行线的性质证明即可； 【详解】证明：∵DE平分∠BDC， ∴∠BDE＝∠CDE， 又∵DE∥AB， ∴∠BDE＝∠ABD，∠CDE＝∠A， ∴∠ABD＝∠A， ∴AD＝BD ， ∵BD＝BC， ∴AD＝BC． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和平行线的形状，准确证明是解题的关键． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 19. 解下列不等式，并把不等式的解集在数轴上表示出来： （1）； （2）． 【答案】（1），数轴表示见解答； （2），数轴表示见解． 【解析】 【分析】（1）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式，再在数轴上表示出不等式的解集即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式，再在数轴上表示出不等式的解集即可． 本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，正确求出每个不等式的解集是解题的关键． 【小问1详解】 ， ， ， ， 该不等式的解集在数轴上表示如图所示： 【小问2详解】 ， ， ， ， ， ， 该不等式的解集在数轴上表示如图所示： 20. 如图，在中，，点、分别在边、上，且，与相交于点． 求证： （1）是等腰三角形； （2） 【答案】（1）详见解析 （2）详见解析 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握等腰三角形的判定与性质． （1）由可得，结合，可推出，进而得到，即可证明； （2）由（1）知，，可证明，根据全等三角形的性质即可证明． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ， 是等腰三角形； 【小问2详解】 由（1）知，， ，， ， ． 21. 如图，在中，． （1）实践与操作：用尺规作图法作边上的垂直平分线，交于点D，交于点E；(保留作图痕迹，不要求写作法) （2）应用与计算：连接，若，求的长． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）按要求作垂线即可； （2）如图1，连接，则，，，由，可得，由勾股定理得，，根据，计算求解即可． 【小问1详解】 解：如图1，为所求作的垂直平分线； 图1 【小问2详解】 解：如图1，连接， ∵是边上的垂直平分线， ∴，，， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∴ ∴， ∴长为． 【点睛】本题考查了作垂线，垂直平分线的性质，含的直角三角形，勾股定理等知识，熟练掌握作垂线，垂直平分线的性质，含的直角三角形，勾股定理是解题的关键． 五、解答题（三）（本大题共3小题，22题9分，23、24题各12分，共33分） 22. 如图，是的角平分线，分别是和的高． （1）试说明垂直平分； （2）若，求的长． 【答案】（1）详见解析 （2）4 【解析】 【分析】此题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、垂直平分线的判定等知识，证明是解题的关键． （1）利用角平分线的性质证明，证明，则，即可证明结论； （2）根据列式计算即可． 【小问1详解】 证明：∵是的角平分线，分别是和的高． ∴， 与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴． 23. 为进一步落实“乡村振兴”工程，某村在政府的扶持下建起了大棚基地，准备种植两种蔬菜．若种植亩种蔬菜和亩种蔬菜，总收入为万元；若种植亩种蔬菜和亩种蔬菜，总收入为万元． （1）求种植两种蔬菜，平均每亩收入各是多少万元？ （2）村里规划种植这两种蔬菜共亩，且种蔬菜的种植面积不少于种蔬菜种植面积的倍，问种蔬菜种植多少亩，总收入最大，最大总收入是多少？ 【答案】（1）种植种蔬菜每亩收入万元，种蔬菜每亩收入万元 （2）种蔬菜种植亩时，收入最大，最大收入为万元 【解析】 【分析】（1）设种植种蔬菜每亩收入万元，种蔬菜每亩收入万元，根据“种植亩种蔬菜和亩种蔬菜，总收入为万元；若种植亩种蔬菜和亩种蔬菜，总收入为万元”，列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案； （2）设种蔬菜种植亩，总收入为万元，根据题意得，根据一次函数的性质可得出答案． 【小问1详解】 解：设种植种蔬菜每亩收入万元，种蔬菜每亩收入万元， 根据题意得：， 解得：． 答：种植种蔬菜每亩收入万元，种蔬菜每亩收入万元； 【小问2详解】 解：设种蔬菜种植亩，总收入为万元， 根据题意得：， ∵要求种蔬菜的种植面积不少于种蔬菜种植面积的1.5倍， ∴， 解得：， 又，， ∴随的增大而减小， ∴当，取得最大值，（万元） 答：种蔬菜种植亩时，收入最大，最大收入为万元． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组，根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． 24. 如图，是等边三角形，点分别是射线、射线上的动点，点D从点A出发沿着射线移动，点E从点B出发沿着射线移动，点同时出发并且移动速度相同，连接． （1）如图①，当点D移动到线段的中点时，与的长度关系是：_______． （2）如图②，当点D在线段上移动但不是中点时，探究与之间的数量关系，并证明你的结论． （3）如图③，当点D移动到线段的延长线上，并且时，求的度数． 【答案】（1） （2），证明见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可知，所以，由等边三角形及中点可知，而，所以可证，进一步可证； （2）猜测，在射线AB上截取，如图（见详解），利用等边三角形的性质及可知为等边三角形，再利用边角边即可证明，最后根据全等三角形的性质即可证明； （3）按照第（2）问的思路，作出类似的辅助线：在射线CB上截取，如图（见详解），用同样的方法证明，再根据ED⊥DC，证出为等腰直角三角形，即可求出∠DEC的度数． 【小问1详解】 解：， 证明过程如下：由题意可知， ∵D为AB的中点， ∴， ∴， ∴． ∵为等边三角形，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：， 理由如下：在射线AB上截取，连接EF，如图所示， ∵为等边三角形， ∴，． ∵，， ∴为等边三角形， ∴，． 由题意知， ∴， ∴． 即． ∵， ∴． 在和中，， ∴， ∴DE与DC之间的数量关系是． 【小问3详解】 如图，在射线CB上截取，连接DF，如图所示， ∵为等边三角形， ∴，． ∵，， ∴等边三角形， ∴，， ∴． 由题意知， ∵， ∴， 即． ∵， ∴． 在和中，， ∴， ∴． ∵ED⊥DC， ∴为等腰直角三角形， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形，等边三角形，以及全等三角形的判定及性质，能够作出辅助线，并合理利用等边三角形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$