精品解析：江苏省盐城市六校联考2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题

2023-2024学年度第二学期期中考试 高一年级数学试题 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.） 1. 设复数z满足(1+i)z=2i，则∣z∣=（ ） A. B. C. D. 2 2. 已知向量，，若与共线，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 3. 在△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，若，则△ABC一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等边三角形 4. 给出下列四个命题，其中正确的是（ ） ①空间四点共面，则其中必有三点共线； ②空间四点不共面，则其中任何三点不共线； ③空间四点中存在三点共线，则此四点共面； ④空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面 A. ②③ B. ①②③ C. ①② D. ②③④ 5. 圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇尚的图腾.如图所示的是一个圆形，圆心为O，A，B是圆O上的两点，若，则（ ） A. 4 B. 8 C. D. 16 6. 如图，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对（x，y）叫做向量在坐标系中的坐标.若，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 7. 如图，在正方体中，点E是上底面的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A B. C. D. 8. 在△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝3，tan2B＝tan A·tan C，则角B等于（ ） A 30° B. 45° C. 120° D. 60° 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分.请把答案填涂在答题卡相应位置上.） 9. 已知向量，满足，，，则下列结论中正确的是（ ） A. 与夹角为 B. C. D. 10. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 欧拉公式（其中i为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里占有非常重要的地位.被誉为数学中的“天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的有（ ） A. 为纯虚数 B. 的共轭复数为 C. 的最大值为 D. 若，在复平面内分别对应点，，则△面积的最大值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分.请把答案填写在答题卡相应位置上.） 12. 一个圆锥截成圆台，已知圆台的上､下底面半径的比是1∶4，截去小圆锥的母线长为，则圆台的母线长为___________. 13. 若，，则______. 14. 如图，某景区有三条道路，其中长为千米，是正北方向，长为千米，是正东方向，某游客在道路上相对东偏北度的且距离为千米的位置，则___________. 四、解答题（本大题共5小题，共计77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知，，同一平面内，且. （1）若，且，求； （2）若，且，求与的夹角的余弦值. 16. 在平面直角坐标系中，已知向量，. （1）若，，求的值； （2）若与的夹角为且，求的值. 17. 已知，，． （1）若点A、B、C不能构成三角形，求m的值； （2）若点A、B、C构成的三角形为直角三角形，求m的值． 18. 如图，在凸四边形中，已知． （1）若，，求的值； （2）若，四边形的面积为4，求的值． 19. 已知中，角A，B，C对应边分别a，b，c. （1）求证：； （2）已知. ①若，求A； ②若是锐角三角形，且，求周长的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年度第二学期期中考试 高一年级数学试题 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.） 1. 设复数z满足(1+i)z=2i，则∣z∣=（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】求出即得解. 【详解】解：由题意可得，所以， 所以. 故选：C 2. 已知向量，，若与共线，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由平面向量线性运算的坐标表示可得、，再由平面向量共线的坐标表示即可得解. 【详解】由已知得，， 又因为与共线， 所以有，解得. 故选：D. 【点睛】本题考查了平面向量线性运算及共线的坐标表示，考查了运算求解能力，属于基础题. 3. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等边三角形 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理化边为角，逆用和角公式即得结论. 【详解】由，利用正弦定理，， 即,因,则或（不合题意舍去）， 故△ABC一定是等腰三角形. 故选：A. 4. 给出下列四个命题，其中正确的是（ ） ①空间四点共面，则其中必有三点共线； ②空间四点不共面，则其中任何三点不共线； ③空间四点中存在三点共线，则此四点共面； ④空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面 A. ②③ B. ①②③ C. ①② D. ②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面的相关公理即可得解. 【详解】对于①，空间四点共面，如平面四边形，其中任何三点不共线，故①错误； 对于②，空间四点不共面，如果任意三点有共线的，那么此四个点就共面，与已知矛盾，故②正确； 对于③，空间四点中有三点共线，根据不共线的三点确定一个平面，得到此四点必共面；故③正确； 对于④，空间四点中任何三点不共线，则此四点可能共面，如平面四边形，故④错误； 故选：A. 5. 圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇尚的图腾.如图所示的是一个圆形，圆心为O，A，B是圆O上的两点，若，则（ ） A. 4 B. 8 C. D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】由平面向量数量积的定义结合圆的性质特征求解即可 【详解】由题意可得. 故选：B 6. 如图，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对（x，y）叫做向量在坐标系中的坐标.若，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据坐标系中向量的坐标规定，先求出的值，再将分别用，表示，计算出的表达式，最后利用向量模的定义求出. 【详解】依题意，， ，则, 则，故. 故选：C. 7. 如图，在正方体中，点E是上底面的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量夹角求解. 【详解】以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系如图所示，设正方体棱长为2， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：B 8. 在△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝3，tan2B＝tan A·tan C，则角B等于（ ） A. 30° B. 45° C. 120° D. 60° 【答案】D 【解析】 【分析】由两角和的正切公式，结合诱导公式可证tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C，再结合已知条件求得tan B＝，进而得解. 【详解】由两角和的正切公式变形得： tan A＋tan B＝tan(A＋B)(1－tan Atan B)＝tan(180°－C)(1－tan Atan B) ＝－tan C(1－tan Atan B)＝－tan C＋tan Atan Btan C， ∴tan A＋tan B＋tan C＝－tan C＋tan Atan Btan C＋tan C＝tan Atan Btan C＝3. ∵tan2B＝tan Atan C，∴tan3B＝3， ∴tan B＝，B＝60°. 故选：D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分.请把答案填涂在答题卡相应位置上.） 9. 已知向量，满足，，，则下列结论中正确的是（ ） A. 与夹角为 B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由条件求出的值，再根据向量的数量积定义求得夹角，即可判断A,B项；利用向量垂直的充要条件可判断C项；再由向量数量积的运算律求模判断D项即得. 【详解】由两边平方，，因，，故可得，，故B正确； 对于A，由可得，因，故得，即A正确； 对于C，由，则与不垂直，即C错误； 对于D，由，即，故D正确. 故选：ABD. 10. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，利用三角降幂公式化简，代入特殊角的三角函数即可算得；对于B，展开后，逆用两角和差的正切公式计算即得；对于C，通分后利用二倍角公式，辅助角公式和诱导公式即可求得；对于D，将待证式化成余弦，利用二倍角公式化简即得. 【详解】对于A，由，故A错误； 对于B， ，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：BD. 11. 欧拉公式（其中i为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里占有非常重要的地位.被誉为数学中的“天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的有（ ） A. 为纯虚数 B. 的共轭复数为 C. 的最大值为 D. 若，在复平面内分别对应点，，则△面积的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A,B,只需按照欧拉公式赋值代入，计算即可判断；对于C，需要求出的表达式，利用三角函数的值域即得；对于D，需要建立复数与对应向量的一一对应关系，利用向量坐标的夹角公式推出面积的表达式，即可得到. 【详解】对于A，显然为纯虚数，故A正确； 对于B，，其共轭复数为，故B错误； 对于C，因， 故， 因，则，故的最大值为，故C错误； 对于D，由，则有，由，则有， 于是，,则，设, 则，故， 则△面积为， 因，,故△面积的最大值为,故D正确. 故选：AD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分.请把答案填写在答题卡相应位置上.） 12. 一个圆锥截成圆台，已知圆台的上､下底面半径的比是1∶4，截去小圆锥的母线长为，则圆台的母线长为___________. 【答案】9 【解析】 【分析】作出圆锥的轴截面的平面图，利用相似三角形的知识可以解决. 【详解】解析如图所示，设圆台的母线长为， 截得的圆台的上､下底面半径分别为，， 则根据三角形相似的性质，得，解得. 故答案为： 13. 若，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由题设求出，利用拆角变换，将化成，利用和角公式计算即得. 【详解】由，可得， 则， 于是， . 故答案为：. 14. 如图，某景区有三条道路，其中长为千米，是正北方向，长为千米，是正东方向，某游客在道路上相对东偏北度的且距离为千米的位置，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】方法一：利用等面积法可知，再利用同角三角函数的基本关系化简计算可得结果. 方法二：有垂直可以考虑建立坐标系：，，利用三点共线（向量公式或者斜率公式）即可. 【详解】千米,千米, 三角形面积，由面积和法得：， ，两边平方可得： ，∴， ， 解得：，由， 解得：. 法二：由题意可知,以为坐标原点，为轴建立坐标系，则有，，, 因为,所以， 化简可得： 两边平方可得： ，∴， ， 解得：，由，解得：. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共计77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知，，在同一平面内，且. （1）若，且，求； （2）若，且，求与的夹角的余弦值. 【答案】（1）或；（2）. 【解析】 【分析】（1）设，由平面向量平行的坐标表示及模的坐标表示可得，即可得解； （2）由平面向量垂直可得，再由平面向量数量积的运算可得，最后由即可得解. 【详解】（1）设， 因为，，， 所以，解得或， 所以或； （2）因为，所以， 又，， 所以，所以， 所以. 【点睛】本题考查了平面向量共线及模的坐标表示，考查了平面向量数量积的应用及运算求解能力，属于中档题. 16. 在平面直角坐标系中，已知向量，. （1）若，，求的值； （2）若与夹角为且，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知向量的坐标结合向量垂直列式求得，再利用两角差的正切求值； （2）直接利用数量积求夹角公式及辅助角公式可得，求得的值，则的值可求． 【小问1详解】 因为，且， 所以，，所以 ， 故； 【小问2详解】 因为，， 所以，， ，因为与的夹角为， 所以，即， 所以，因为，所以， 所以，所以. 17. 已知，，． （1）若点A、B、C不能构成三角形，求m的值； （2）若点A、B、C构成的三角形为直角三角形，求m的值． 【答案】（1） （2）或或 【解析】 【分析】（1）点A、B、C不能构成三角形说明三点共线， 利用共线性质列出方程解出参数即可； （2）分类讨论直角的情况，转化为向量数量积为0， 列出方程解出即可. 【小问1详解】 因为点A、B、C不能构成三角形， 所以点A、B、C三点共线， 所以， 因为， ， 所以， 即， 所以若点A、B、C不能构成三角形，则. 小问2详解】 若点A、B、C构成的三角形为直角三角形， 则： ①若为直角，此时， 即， 所以， ②若为直角，此时， 即，由 所以 所以， ③若为直角，此时， 即， 解得， 所以若点A、B、C构成的三角形为直角三角形， 则或或. 18. 如图，在凸四边形中，已知． （1）若，，求的值； （2）若，四边形的面积为4，求的值． 【答案】（1）； （2）﹒ 【解析】 【分析】(1)△中求出BD，在△中，由正弦定理求出，根据即可求； (2)在△、△中，分别由余弦定理求出，两式相减可得cosA与cosC关系式；又由的sinA与sinC的关系式；两个关系式平方后相加即可求出cos(A＋C)﹒ 【小问1详解】 在△中，∵， ∴． 在△中，由正弦定理得，， ∴． ∵，∴， ∴． 【小问2详解】 在△、△中，由余弦定理得， ， ， 从而①， 由得， ②， 得，， ∴． 19. 已知中，角A，B，C对应边分别为a，b，c. （1）求证：； （2）已知. ①若，求A； ②若是锐角三角形，且，求周长的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）将右式利用和角公式展开，化简并消去余弦即得； （2）①利用正弦定理和（1）的结论得到，推理得，计算即得角； ②利用① 的结论，推得，由正弦定理将边分别用角的三角函数表示，求出角的范围，借助于余弦函数的值域即可求得周长范围. 【小问1详解】 由 ， 故有成立； 【小问2详解】 ①由和正弦定理可得，, 又，则有, 由（1）可得，因， 故得，,又， 所以或(不合题意舍去), 即，又,，解得，. ② 因，，所以； 由正弦定理得: ，即,则, ， 则的周长为， 又是锐角三角形，由可得， 则，故 即的周长的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$