3.2 单项式与多项式 暑假讲义 2024-2025学年 苏科版 七年级数学上册

第六讲 单项式与多项式 教学目标： 1.知道字母能表示什么；能用字母写出简单问题中的数量关系； 2. 能按要求列出代数式，会求代数式的值； 3.会识别单项式系数与次数、多项式的项与系数； 4.理解并掌握单项式、多项式、整式等概念，弄清它们之间的区别与联系. 教学重难点： 理解并掌握单项式、多项式、整式等概念 模块一 代数式 【知识积累】 1.代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子． 单独的一个数或者一个字母也是代数式．带有“＜（≤）”“＞（≥）”“=”“≠”等符号的不是代数式． 2.代数式书写规范： （1）数和字母相乘，可省略乘号，并把数字写在字母的前面； （2）字母和字母相乘，乘号可以省略不写或用“·”表示一般情况下，按26个字母的顺序从左到右来写； （3）后面带单位的相加或相减的式子要用括号括起来； （4）除法运算写成分数形式，即除号改为分数线； （5）带分数与字母相乘时，带分数要写成假分数的形式； （6）当“1”与任何字母相乘时,“1”省略不写；当“－1”乘以字母时，只要在那个字母前加上“－”号； （7）π是一个数，不要当作是字母； （8）代数式中可以包含绝对值，如|3|、|a|、|a－1|. 【考点一 代数式的概念】 1．下列各式中，是代数式的有（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2.下列各式：0，，F＝ma，m＋2＞m，2x2﹣3x＋11，B≠12，，﹣y，6π，其中代数式的有 个． 【考点二 代数式的书写】 3.下列式子，符合代数式书写规范的是（    ） A．元 B． C． D． 4.下列代数式中，符合代数式书写要求的有（    ） ①   ②   ③   ④千米 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5.下列式子，符合代数式书写格式的是（） A． B． C． D．人 6.下列各式最符合代数式书写规范的是（    ） A． B． C．个 D． 7.用代数式表示数 （1）比a多2的数： . （2）4与y的差的相反数： . （3） a与b的和的倒数： . （4） a与b的平方和： . （5） 被5除，商m余1的数： . （6）与b＋3的和是5x的数： . 模块二 单项式 【知识积累】 1. 单项式概念 如，，－1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式。 注意： （1）单项式包括三种类型： ①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子； ②单独的一个数；③单独的一个字母． （2） 单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算． 2.单项式的系数 单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数． （1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数； （2）圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数； （3）当一个单项式的系数是1或－1时，“1”通常省略不写； （4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数. 3.单项式的次数 一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数． 单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点： （1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏； （2）不能将数字的指数一同计算． 【考点三 单项式的判断】 8.在式子、、、、、0.81、、0中，单项式共有（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 9.在代数式中，单项式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10.下列代数式，，，，0，中，单项式的个数有 个． 【考点四 单项式的系数、次数】 11．下列说法中正确的是（　　） A．不是单项式 B．的系数是 C．的系数是，次数是4 D．的系数为0，次数为2 12．单项式表示球的表面积，其中表示圆周率，表示球的半径．下列说法中，正确的是（    ） A．系数是4，次数是2 B．系数是4，次数是3 C．系数是，次数是3 D．系数是，次数是2 13（1）单项式的系数是 ． （2）关于、的单项式的次数是 ． （3）若单项式与单项式的次数相同，则 ． 模块三 多项式 1.多项式的概念 几个单项式的和叫做多项式 2.多项式的项与次数 每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项． （1）多项式的每一项包括它前面的符号． （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式． 多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数． （1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数． （2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出． 【考点五 多项式的判断】 14．下列式子，，，中，多项式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．在式子中，多项式的个数是 个． 16．下列式子① x＝5，② －a7，③ ，④ 7，⑤ m，⑥ ，⑦ 3a＋b，⑧ 中，是单项式的有 ；是多项式的有 ．(填序号) 17．把下列代数式的序号填入相应的横线上 ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦ (1) 单项式 ；(2)多项式 ；(3)整式 【考点六 多项式的项、项数或次数】 18（1）多项式3x3y＋2x2y－4xy2＋2y－1是 次 项式． （2）多项式是 次 项式． （3）多项式中一次项是 ． （4）多项式是关于的二次三项式，则的值是 . 19．已知多项式是五次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同，则m= ，n= ． 【考点七 将多项式按某个字母升（降）幂排序】 20．把多项式按所含单项式的次数由高到低排列，写出新的多项式这样显得整齐美观 ． 21（1）将代数式4a2b＋3ab2﹣2b3＋a3按a的升幂排列的是 ． （2）把多项式4a3b－3ab2＋a4－5b5按字母b的升幂排列是 ． 模块四 用代数式表示数、形规律 【考点八 数字规律题】 22．在如图的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，⋯，则第2023次输出的结果为（    ）    A．3 B．6 C．1010 D．2023 23．是不为的有理数，我们把称为的“哈利数”．如：的“哈利数”是，的“哈利数”是，已知，是的“哈利数”，是的“哈利数”，是的“哈利数”，…，依此类推，则（    ） A．3 B． C． D． 24．如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上数字0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示数的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上，则数轴上表示数的点与圆周上表示数字（    ）的点重合．    A．0 B．1 C．2 D．3 25．观察下列等式：，，．将以上三个等式两边分别相加得：． (1)猜想并写出：__________． (2)直接写出下列各式的计算结果： ①__________； ②若a、b为有理数，且，则__________； (3)探究并计算：． 【考点九 图形规律题】 26．三边都相等的三角形叫做等边三角形．如图，将数轴从点开始向右折出一个等边三角形，点，，表示的数分别为，，．现将等边三角形向右滚动，则与表示数2024的点重合的点（    ） A． 是点 B．是点 C．是点 D．不存在 27．观察如图，第1个图形中有1个正方形，第2个图形中有3个正方形，第3个图形中有6个正方形，…，依此规律，第100个图形中正方形的个数是（    ）个 A．5000 B．5050 C．5020 D．5100 28．如图，正方形的边长为1，电子蚂蚁从点分别以1个单位/秒的速度顺时针绕正方形运动，电子蚂蚁从点以3个单位/秒的速度逆时针绕正方形运动，则第2018次相遇在 点． 29．将一张等边三角形纸片剪成四个大小、形状一样的小等边三角形（如图所示），记为第一次操作，然后将其中右下角的等边三角形又按同样的方法剪成四小片，记为第二次操作，若每次都把右下角的等边三角形按此方法剪成四小片，如此循环进行下去． (1)如果剪n次共能得到______个等边三角形． (2)若原等边三角形的边长为1，设表示第n次所剪出的小等边三角形的边长，如． ①试用含的式子表示______； ②计算______； (3)运用（2）的结论，计算的值． 模块五 代数式的值 【考点十 求代数式的值】 30．当时，代数式的值为2024，当时，代数式的值为 ． 31．计算：已知，． (1)当时，求的值； (2)求的最大值． 32． 已知，则 ． 【习题】 1．如图，正方形的边长为a，将它的边长增加3得到一个新的正方形，增加的面积用代数式表示为（    ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（    ） A．的系数是 B．是单项式 C．的次数是8 D．是二次三项式 3．下列式子中：，整式有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 4．单项式的系数是 ． 5．代数式是 次 项式． 6．若代数式的值是4，则多项式的值是 ． 7．已知为互不相等的三个有理数，且，若式子的最小值为3，则的值为（    ） A．12 B．9 C．18 D．15 8. 已知：，，且，求的值； 9．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值是20时，根据程序计算，第一次输出的结果为10，第二次输出的结果为5……这样下去第2023次输出的结果为（　　）    A． B． C． D． 10．定义一种关于整数的“”运算：（1）当是奇数时，结果为，（2）当为偶数时，结果为（其中是正整数，且使得为奇数）；并且运算重复进行．例如：时，第一次经“”运算的结果是3，第二次经“”运算的结果是14，第三次经“”运算的结果是7，第四次经“”运算的结果是26……．若，则第2024次经“”运算的结果是（    ） A．29 B．92 C．23 D．74 11．三边都相等的三角形叫做等边三角形．如图，将数轴从点开始向右折出一个等边三角形，点，，表示的数分别为，，．现将等边三角形向右滚动，则与表示数2024的点重合的点（    ） A．是点 B．是点 C．是点 D．不存在 12．给出一列按规律排列的代数式：a，﹣3a2，5a3，﹣7a4，9a5，…，则第n个代数式为 ． 13．我们知道：...，仔细观察上述规律：的末位数字应为 ． 14．有一台单功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数后则显示的结果．比如依次输入1，2，则输出的结果是；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算． (1)若陈叔叔依次输入7，8，9，则最后输出的结果是______； (2)若陈叔叔将1到5这5个整数随意地一个一个的输入，全部输入完毕后显示的最后结果设为，则的最大值为______，如果要得到这个最大值，请写出一种输入的顺序； (3)若陈叔叔将1到（）这个正整数随意地一个一个的输入，全部输入完毕后显示的最后结果设为．则的最小值是______，最大值是______． 参考答案 【考点一 代数式的概念】 1．B 2．6 【考点二 代数式的书写】 3.B 4.A 5.A 6.B 7.（1）a＋2 （2）－（3－y） （3） （4）a2＋b2（5）5m＋1 （6）5x－（b＋3） 【考点三 单项式的判断】 8.B 9.D 10. 4/四 【考点四 单项式的系数、次数】 11．C 12．D 13（1） （2）3 （5）8．2 【考点五 多项式的判断】 14.B 15. 2 16．②④⑤⑥ ③⑦ 17. ③⑤⑦ ①② ①②③⑤⑦ 【考点六 多项式的项、项数或次数】 18.（1）四 五 （2）三、 三 （3） 19. 2 2 1 【考点七 将多项式按某个字母升（降）幂排序】 20. （1） （2）﹣2b3+3ab2+4a2b+a3 21．a4+4a3b-3ab2-5b5． 【考点八 数字规律题】 22．B 23．C 24．B 25． （1）解：∵，，， ∴， 故答案为：； （2）解：① ； 故答案为：． ②∵， ∴，， 解得：，， ； 故答案为：． （3）解： ． 【考点九 图形规律题】 26．A 解：等边三角形，点，，表示的数分别为，，． ，即， 点，，表示的数分别为、、，即等边三角形边长为， 将等边三角形继续向右滚动，则从即点开始3个为一循环，且循环为，，， ， 与表示数2024的点重合的点为， 故选：A． 27．B 解：由题意可知，第1个图形中正方形的个数是个， 第2个图形中正方形的个数是个， 第3个图形中正方形的个数是个， 第4个图形中正方形的个数是个， 归纳类推得：第个图形中正方形的个数是个，（为正整数）， 则第100个图形中正方形的个数是个， 故选：B． 28．C 解：由题意可得， 第一次相遇在点， 第二次相遇在点， 第三次相遇在点， 第四次相遇在点， 第五次相遇在点， ， 每四次一个循环， ， 第2018次相遇在点， 故答案为：C． 29． （1）解：由题意可知： 剪1次共得到的等边三角形个数为：； 剪2次共得到的等边三角形个数为：； 剪3次共得到的等边三角形个数为：； …， 所以剪n次共得到的等边三角形个数为个． 故答案为：． （2）解：①因为原等边三角形的边长为1， 所以第1次所剪出的小等边三角形的边长为：； 第2次所剪出的小等边三角形的边长为：； 第3次所剪出的小等边三角形的边长为：； …， 所以第n次所剪出的小等边三角形的边长为：，即， 故答案为：； ②由①题可知： ； 令①， 则②， ②-①得： ， 即． 故答案为：． （3）解： ． 【考点十 求代数式的值】 30． 31．1 32．2027 【习题】 1．D 2．D 3．C 4． 5． 四 单 6．D 7． （1）解：∵，， ∴，， ∵， ∴，或，， 当，时，； 当，时，， ∴的值为或3； （2）解：当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，， ∵， ∴的最大值为5． 8． 解：，， ， ， 当时，不满足条件； 当，时，原式； 当，时，原式． 综上所述，值为：或． 9．A 解：由题意知，第1次输出的结果为10， 第2次输出的结果为5， 第3次输出的结果为， 第4次输出的结果为， 第5次输出的结果为， 第6次输出的结果为， 第7次输出的结果为， 第8次输出的结果为， 第9次输出的结果为， …… 这列数除前2个数外，每4个数为一个周期， ∵， ∴第2023次计算输出的结果是， 故选：A． 10．B 解：由题意得： 当时，则第一次“”运算的结果为29，第二次“”运算的结果为92，第三次“”运算的结果为23，第四次“”运算的结果为74，第五次“”运算的结果为37，第六次“”运算的结果为116，第七次“”运算的结果为29，….；由此可发现规律为 “”运算的结果按照29、92、23、74、37、116循环下去， ∵； ∴第2024次“”运算的结果为92； 故选：B． 11．A 12．（﹣1）n+1（2n﹣1）•an ∵系数为：1，﹣3，5，﹣7，9…， ∴第n项系数为（﹣1）n+1（2n﹣1）， ∵a的指数为：1，2，3，4，5…， ∴第n项a的指数为n， ∴第n个代数式为：（﹣1）n+1（2n﹣1）•an， 故答案为：（﹣1）n+1（2n﹣1）•an 13．7. 解： 末位数字按照3,9,7,1的规律每四个数循环一次， ∴的末位数字是7. 14． （1）解：，， ∴若陈叔叔依次输入7，8，9，则最后输出的结果是8， 故答案为：8； （2）解：∵对于两个正数m、n，的结果一定满足不大于m、n中较大的数， ∴陈叔叔将1到5这5个整数随意地一个一个的输入一定不大于5， ∵按照1，3，4，2输入后的结果为， ∴最后输入5后的结果为， ∴陈叔叔将1到5这5个整数随意地一个一个的输入结果可以取到5，即陈叔叔将1到5这5个整数随意地一个一个的输入的最大结果为5， 故答案为：5；1，3，4，2，5； （3）解：对于任意两个正整数，一定不超过中较大的一个， 对于任意三个正整数，一定不超过中最大的一个， 以此类推，设小明出入的个数的顺序为，则，一定不超过中最大的数， ∴， 可以通过这种方式得到：， 任意四个连续正整数可以通过这种方式得到：， k为非负整数，当时，连续四个正整数结合可得到0，则最小值为0，前三个结合得到0，接下来连续四个结合得到0，仅剩下n，则最大值为n； 当时，除1外，连续四个正整数结合得到0，则最小值为1， 从1开始连续四个正整数结合得到0，仅剩下n，则最大值为n； 当时，从1开始连续四个正整数结合得到0，仅剩下n和，则最小值为1， 从2开始连续四个正整数结合得到0，仅剩下1和n，最大值为； 当时，前三个结合得到0，接下来连续四个正整数结合得到0， 则最小值为0， 从3开始连续四个正整数结合得到0，仅剩下1，2和n， 则最大值为． 综上所述，m的最大值为n，最小值为0， 故答案为：0；n． 15． （1）解：完成了1次移动游戏，结果为平局，则甲向东移动1个单位长度到，乙向西移动1个单位长度到4， 移动后甲、乙两人相距个单位， 故答案为：6； （2）解：①乙赢了次， 乙输了次， 乙赢，则甲向西移动1个单位长度，同时乙向西移动2个单位长度， 乙赢了次后，乙向西移动的单位长度为， 若甲赢，则甲向东移动2个单位长度，同时乙向东移动1个单位长度； 乙输了次后，乙向东移动的单位长度为：， ∴乙最终停留的位置对应的数为：， ． ②为正整数， 当时，该位置距离原点最近； （3）解：由题意可得刚开始两人的距离为8， 若平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度， 若平局，移动后甲乙的距离缩小2个单位， 若甲赢，则甲向东移动2个单位长度，同时乙向东移动1个单位长度， 若甲赢，移动后甲乙的距离缩小1个单位， 若乙赢，则甲向西移动1个单位长度，同时乙向西移动2个单位长度， 若乙赢，移动后甲乙的距离缩小1个单位， 甲乙每移动一次甲乙的距离缩小2个单位或1个单位， 甲与乙的位置相距3个单位，共需缩小5个单位， 当没有平局的情况，需要移5次，即； 当有一次平局的情况，还需要移3次，即； 当有两次平局的情况，还需要移1次，即； 的值为3或4或5，故答案为：3或4或5． 学科网（北京）股份有限公司 $$