精品解析：上海市进才中学北校2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023学年第二学期初二年级期末素养分析数学学科试卷 一、选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1. 一次函数的图象不经过 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 用换元法解分式方程 时，如果设 ，那么原方程可化为（ ） A. B. C. D. 3. 下列方程中，没有实数解的是（ ） A. B. C. D. 4. 一个多边形的内角和与外角和相等，这个多边形是（ ） A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 5. 如图，梯形中，为对角线与的交点，那么下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题中，真命题（ ） A. 一组对边平行，且对角线平分一组对角的四边形是菱形 B. 一组对边平行，且另一组对边相等的四边形是平行四边形 C. 一组对边平行，且对角线相等的四边形是等腰梯形 D. 一组对边平行，且一组邻边互相垂直四边形是矩形 二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. 已知一次函数与直线 平行，那么 __________． 8. 当为______时，关于的方程无解． 9. 方程 的根是_________． 10. 方程的根是_____． 11. 已知一次函数，、均为常数的图象如图所示，那么关于的不等式 的解集是_________． 12. 在一个不透明的盒子中放入标号分别为1、2、9、4、5、6、7、8、9的形状、大小、质地完全相同的9个球，充分混合后，从中取出一个球，标号为合数的概率________． 13. 已知某种盆花，若每盆植3株时，平均每株盈利8元；若每盆增加1株，则平均每株盈利减少1元，要使每盆的盈利达到30元，每盆应多植多少株?如果设每盆多植x株，那么可以列出的方程是_________． 14. 已知四边形 中，对角线、相互垂直，，，顺次连接这个四边形各边中点所得的四边形的面积等于________． 15. 如图，已知中，点D、E分别是边、中点，，点F、G分别是、中点，则________． 16. 已知高为的梯形中，， 是锐角，，，，那么梯形的面积为________． 17. 如果把正方形 绕点 旋转得到正方形，点落在对角线上，点落在 的延长线上，那么_______度． 18. 对于任意三角形，如果存在一个菱形，使得这个菱形的一条边与三角形的一条边重合，且三角形的这条边所对的顶点在菱形的这条边的对边上，那么称这个菱形为该三角形的“友好菱形”．问题：如图，在中， ，且的面积为S．如果存在“友好菱形”为菱形，那么S的取值范围是________． 三、简答题：（本大题共4题，每题6分，满分24分） 19. 解方程： ． 20 解方程组： 21. 如图，在四边形中，，点是对角线的中点，的延长线与相交于点，设，，． （1）试用向量、、表示向量：______； （2）写出图中所有与互为相反向量的向量：______； （3）求作： ．（画出所求向量，并直接写出结论） 22. 如图，时下有一种四人对战桌游十分流行，游戏开始前，四个人通常经过抽签决定座位A、B、C、D．小明和小张一同报名参加了这项桌游． （1）小明抽中A座位的概率为______； （2）若面对面座位上的两人视为游戏中的盟友，求小明和小张成为盟友的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 四、解答题：（本大题共4题，第 23、24 每题8分，第25、26题9分，满分34分） 23. 小杰、小明两人在一段笔直的滨江步道上同起点、同终点、同方向匀速步行 米，先到终点的人原地休息．已知小杰先出发分钟，在整个步行过程中，小杰、小明两人间的距离（米）与小杰出发的时间（分）之间的关系如图中折线 所示． （1）求线段的表达式，并写出自变量的取值范围； （2）求小明的步行速度； （3）求小明比小杰早几分钟到达终点? 24. 如图，在平行四边形中，点、、、分别在边、、、上，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当，且时，请判断四边形的形状并证明． 25. 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交轴，轴于A，两点，过点A的直线交轴正半轴于点，且点为线段的中点． （1）求直线函数解析式； （2）试在直线上找一点，使得，请求出点的坐标； （3）若点为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 26. 如图，在正方形中， ，点是对角线的中点，动点、 分别从点、同时出发，点以的速度沿边 向终点 匀速运动，点 以的速度沿折线 向终点 匀速运动，联结 并延长交边 于点 ，联结 并延长交折线 于点 ，联结、、、，得到四边形 ．设点的运动时间为，四边形的面积为 ． （1）的长为 ，的长为 ，(用含的代数式表示) （2）求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）当四边形是轴对称图形时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023学年第二学期初二年级期末素养分析数学学科试卷 一、选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1. 一次函数的图象不经过 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数的图像与性质解答即可. 【详解】∵-3<0，1>0， ∴图像经过一、二、四象限，不经过第三象限. 故选C. 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于y=kx+b（k为常数，k≠0），当k＞0，b＞0，y=kx+b的图象在一、二、三象限；当k＞0，b＜0，y=kx+b的图象在一、三、四象限；当k＜0，b＞0，y=kx+b的图象在一、二、四象限；当k＜0，b＜0，y=kx+b的图象在二、三、四象限． 2. 用换元法解分式方程 时，如果设 ，那么原方程可化为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了换元法解分式方程，一元二次方程，设 ，根据题意，化简方程，即可求解． 【详解】解：设 ，原方程可化为 即 故选：B． 3. 下列方程中，没有实数解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程，分式方程，二元二次方程，无理方程，根据题意逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. ，解得：，故A选项不正确，不符合题意； B. 方程两边同时乘以，得，， 解得：或， 经检验，是原方程的增根，原方程的解为， 故B选项不正确，不符合题意； C. ，方程有实数解，故C选项不正确，不符合题意； D. ， ∴ 又∵ ∴原方程无实数解， 故选：D． 4. 一个多边形的内角和与外角和相等，这个多边形是（ ） A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据多边形的内角和公式与多边形的外角和定理列式进行计算是解题的关键． 【详解】解：设多边形的边数为，根据题意得 ， 解得：． 所以这个多边形是四边形． 故选：B． 5. 如图，梯形中，为对角线与的交点，那么下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量的定义与运算法则即可判断各选项． 【详解】解：∵梯形中，， ∴，故A不符合题意； ，故B符合题意； ，故C不符合题意； ，故D不符合题意； 故选B 【点睛】本题考查的是向量的线性运算，熟记运算法则是解本题的关键． 6. 下列命题中，真命题是（ ） A. 一组对边平行，且对角线平分一组对角四边形是菱形 B. 一组对边平行，且另一组对边相等的四边形是平行四边形 C. 一组对边平行，且对角线相等的四边形是等腰梯形 D. 一组对边平行，且一组邻边互相垂直的四边形是矩形 【答案】A 【解析】 【分析】通过已知条件推导出对应图形以及根据平行四边形、等腰梯形、正方形、矩形和菱形的判定定理判断即可． 【详解】解：A、 一组对边平行，且对角线平分一组对角的四边形是菱形，原命题是真命题； B、一组对边平行，且另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，原命题是假命题； C、一组对边平行，且对角线相等的四边形可能是矩形，原命题是假命题； D、一组对边平行，且一组邻边互相垂直的四边形可能是直角梯形，原命题是假命题； 故选：A． 二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. 已知一次函数与直线 平行，那么 __________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的平移，根据平行的两直线的解析式的一次项系数相等，即可求解． 【详解】解：∵一次函数与直线 平行， ∴， 解得：， 故答案为：． 8. 当为______时，关于的方程无解． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元一次方程的解，由方程无解的条件确定出的值即可． 【详解】解： ∴ ∵原方程无解， 解得：， 故答案为：． 9. 方程 的根是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了立方根的应用，掌握立方根的定义是解题关键．根据立方根的定义解方程即可． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 10. 方程的根是_____． 【答案】x＝﹣4 【解析】 【分析】方程两边平方转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到无理方程的解． 详解】解：两边平方得：8﹣2x＝x2， 整理得：（x+4）（x﹣2）＝0， 可得x+4＝0或x﹣2＝0， 解得：x＝﹣4或x＝2， 经检验x＝2是增根，无理方程的解为x＝﹣4． 故答案为x＝﹣4 【点睛】此题考查了无理方程，利用了转化的思想，解无理方程注意要检验． 11. 已知一次函数，、均为常数的图象如图所示，那么关于的不等式 的解集是_________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系从图象上得到函数的增减性及与轴的交点的横坐标，即能求得不等式的解集． 【详解】解：函数的图象经过点，并且函数值随的增大而减小， 所以当时，函数值大于，即关于的不等式的解集是． 故答案：． 12. 在一个不透明的盒子中放入标号分别为1、2、9、4、5、6、7、8、9的形状、大小、质地完全相同的9个球，充分混合后，从中取出一个球，标号为合数的概率________． 【答案】 【解析】 【分析】随机摸出一个小球共有9种等可能结果，其中摸出的小球标号为合数的有5种结果，根据概率公式求解即可． 本题主要考查概率公式，随机事件A的概率事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数． 【详解】解：1、2、9、4、5、6、7、8、9的形状、大小、质地完全相同的9个球， 其中摸出的小球标号为合数的有9、4、6、8、9共五种，概率是， 故答案为：． 13. 已知某种盆花，若每盆植3株时，平均每株盈利8元；若每盆增加1株，则平均每株盈利减少1元，要使每盆的盈利达到30元，每盆应多植多少株?如果设每盆多植x株，那么可以列出的方程是_________． 【答案】 【解析】 【分析】由每盆多植x株，可得每盆共有株；由若每盆增加1株，则平均每株盈利减少1元，可得：增加x株后平均每株盈利为元；接下来根据等量关系：每盆花的株数×平均每株盈利元，即可列出方程． 本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找出等量关系是解答本题的关键． 【详解】解：根据题意可得． 故答案为：． 14. 已知四边形 中，对角线、相互垂直，，，顺次连接这个四边形各边中点所得的四边形的面积等于________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了中位线的性质，矩形的性质与判定，根据中位线的性质可得四边形是平行四边形，再由对角线、相互垂直，可证得四边形是矩形，然后证明四边形是矩形，利用矩形的面积计算公式可得答案． 【详解】解：如图， 、、、分别为各边中点，，， ， ，， 四边形是平行四边形， 对角线、相互垂直， ， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， 四边形的面积为：． 故答案为：． 15. 如图，已知中，点D、E分别是边、中点，，点F、G分别是、的中点，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线及梯形的中位线，熟练掌握两个定理是解题的关键．根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出，再根据梯形的中位线平行于两底边并且等于两底和的一半求解即可． 【详解】解：点D、E分别是边、中点， 是的中位线， ，， ， ， 点F、G分别是、的中点， 是梯形的中位线， ， 故答案为： 16. 已知高为的梯形中，， 是锐角，，，，那么梯形的面积为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了梯形的性质，勾股定理；根据题意分两种情况讨论，分别画出图形，求得的长，根据梯形的面积公式，即可． 【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作于点， 梯形中，， 四边形是矩形， ，， ， ， ． ∴ 如图，． 故答案为：或． 17. 如果把正方形 绕点 旋转得到正方形，点落在对角线上，点落在 的延长线上，那么_______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理；根据旋转的性质以及正方形的性质可得，进而得出，进而即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵ ∴， ∴ 故答案为：． 18. 对于任意三角形，如果存在一个菱形，使得这个菱形的一条边与三角形的一条边重合，且三角形的这条边所对的顶点在菱形的这条边的对边上，那么称这个菱形为该三角形的“友好菱形”．问题：如图，在中， ，且的面积为S．如果存在“友好菱形”为菱形，那么S的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】由的面积为S可得的高为，然后再分三角形的高取最小值和最大值两种情况求解即可． 【详解】解：∵的面积为S， ∴， ∴边上的高为， 如图：当高取最小值时，为等边三角形，A与M或N或上重合， 如图：过A作，垂足为D， ∵等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，即； 如图：当高取最大值时，菱形为正方形， ∴A在中点， ∴，即 ∴． 故填：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、正方形的性质、等边三角形的性质以及勾股定理，考查知识点较多，灵活应用相关知识成为解答本题的关键． 三、简答题：（本大题共4题，每题6分，满分24分） 19. 解方程： ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，解一元二次方程，先去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：， 方程两边同时乘以得，， 即， 解得：或， 经检验，当时，， 当时，， ∴是原方程的解． 20. 解方程组： 【答案】，. 【解析】 【分析】由①可得或，进而转化为2个二元一次方程组，解方程组求解即可． 【详解】解：， 由①得或， 所以原方程组化为或， 解两个方程组得或， 所以原方程组的解为，． 【点睛】本题考查了解二元二次方程组，降次消元是解题的关键． 21. 如图，在四边形中，，点是对角线的中点，的延长线与相交于点，设，，． （1）试用向量、、表示向量：______； （2）写出图中所有与互为相反向量的向量：______； （3）求作： ．（画出所求向量，并直接写出结论） 【答案】（1） （2）和 （3）见详解 【解析】 【分析】（1）由，，，，代入即可； （2）由，可知，因此图中与互为相反向量的向量有和； （3）如图，作，，则向量即为所求． 【小问1详解】 解：∵，，， ． 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵点是对角线的中点， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴图中与互为相反向量的向量有和， 故答案为：和； 【小问3详解】 如图， 向量即为所求 作，， 则四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 则向量即为所求． 【点睛】本题考查平面向量三角形法则、四边形法则，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相反向量的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念． 22. 如图，时下有一种四人对战桌游十分流行，游戏开始前，四个人通常经过抽签决定座位A、B、C、D．小明和小张一同报名参加了这项桌游． （1）小明抽中A座位的概率为______； （2）若面对面座位上的两人视为游戏中的盟友，求小明和小张成为盟友的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及小明和小张成为盟友的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得，小明抽中A座位的概率为； 【小问2详解】 列表如下： 共有12种等可能的结果，其中小明和小张成为盟友的结果有：（A，C），（B，D），（C，A），（D，B），共4种结果， ∴小明和小张成为盟友的概率为． 四、解答题：（本大题共4题，第 23、24 每题8分，第25、26题9分，满分34分） 23. 小杰、小明两人在一段笔直的滨江步道上同起点、同终点、同方向匀速步行 米，先到终点的人原地休息．已知小杰先出发分钟，在整个步行过程中，小杰、小明两人间的距离（米）与小杰出发的时间（分）之间的关系如图中折线 所示． （1）求线段的表达式，并写出自变量的取值范围； （2）求小明的步行速度； （3）求小明比小杰早几分钟到达终点? 【答案】（1） （2）小明的步行速度为米/分 （3）小明比小杰早分钟到达终点 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用； （1）根据图示，设线段的表达式为：，把，代入得到关于，的二元一次方程组，解之，即可得到答案， （2）根据线段，求出甲的速度，根据图示可知：乙在点处追上甲，根据速度路程时间，计算求值即可， （3）根据图示，求出二者相遇时与出发点的距离，进而求出与终点的距离，结合（2）的结果，分别计算出相遇后，到达终点二者所用的时间，二者的时间差即可所求答案． 【小问1详解】 设线段的表达式为： ， 把，代入得： ，解得：， 即线段的表达式为： ， 【小问2详解】 由线段可知：小杰的速度为：(米/分)， 小明的步行速度为：(米/分)， 答：小明的步行速度为米/分， 【小问3详解】 在处小杰、小明相遇时，与出发点的距离为：米)， 与终点的距离为：(米)， 相遇后，到达终点小杰所用的时间为：(分)， 相遇后，到达终点小明所用的时间为：(分)， (分)， 答：小明比小杰早分钟到达终点． 24. 如图，在平行四边形中，点、、、分别在边、、、上，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当，且时，请判断四边形的形状并证明． 【答案】（1）见解析 （2）四边形是矩形，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质； （1）根据全等证得，，对边相等，即可证得四边形是平行四边形； （2）证得四边形中一个角为直角，即可证得四边形是矩形． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ，，，， ，，且， ， ， 同理可得， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 四边形是矩形，证明如下， ， ，， ， ， ， ，， ，， ， ， 平行四边形是矩形． 25. 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交轴，轴于A，两点，过点A的直线交轴正半轴于点，且点为线段的中点． （1）求直线的函数解析式； （2）试在直线上找一点，使得，请求出点的坐标； （3）若点为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）存在，，或 【解析】 【分析】（1）通过函数求出A、M两点坐标，由两点坐标求出直线AM的函数解析式； （2）设点的坐标为，按照等量关系“”即可求出； （3）设点N的坐标为，结合平行四边形的性质和中点坐标公式，分三种情况进行讨论即可． 【小问1详解】 当时，， ∴点坐标为，即， 当时，， 解得：， ∴点A的坐标为，即， ∵点为线段的中点， ∴，即点的坐标为． 设直线的函数解析式为， 将，，代入， 得：， 解得， ∴直线的函数解析式为； 【小问2详解】 设点的坐标为， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：，， 即：，， ∴点的坐标为或； 【小问3详解】 存在，理由如下： 设点的坐标为， ∵点的坐标为，点的坐标为，点A的坐标为， 分三种情况考虑： ①当AM为对角线时，， 解得：， ∴点的坐标为； ②当AB为对角线时，， 解得：， ∴点的坐标为； ③当BM为对角线时，， 解得：， ∴点的坐标为． 综上所述：在坐标平面内存在点，使以A，，，为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为，或． 【点睛】此题考查一次函数综合题，解题关键在于求出A、M两点坐标，再利用待定系数法求解析式． 26. 如图，在正方形中， ，点是对角线的中点，动点、 分别从点、同时出发，点以的速度沿边 向终点 匀速运动，点 以的速度沿折线 向终点 匀速运动，联结 并延长交边 于点 ，联结 并延长交折线 于点 ，联结、、、，得到四边形 ．设点的运动时间为，四边形的面积为 ． （1）的长为 ，的长为 ，(用含的代数式表示) （2）求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）当四边形是轴对称图形时，请直接写出的值． 【答案】（1）， （2） （3）的值是 或 ． 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得出，，即可证得和全等，从而得出； （2）分，两种情况分别画出图形，根据正方形的面积、直角三角形的面积、平行四边形的面积即可求解； （3）根据（2）中的图形，分四边形为矩形、菱形分别求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得， ， ， ， ， 四边形是正方形， ， ，， 点是对角线的中点， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 当时，点在边上， 四边形是正方形， ， ，， 点是对角线的中点， ， 在和中， ， ， ． 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 当时，点在边上，如图， 同上，， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ； 综上， ； 【小问3详解】 ①当时， 当四边形是矩形时，是轴对称图形，此时 ∵，， ∴ ∴，即，解得： 当四边形是菱形时，， ， 解得舍去； ②当时， 当四边形是矩形时，， ， 解得； 当四边形是菱形时，， ， ， 方程无解，舍去； 综上，当四边形是轴对称图形时，的值是或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定与性质，矩形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，动点问题等知识，熟练掌握这些知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$