精品解析：广东省广州市三校（广铁一中、广州外国语学校、广州大学附属中学）2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题

2023学年第二学期期中三校联考 高二数学 本试卷共2页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用 2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑:如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上:如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案:不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的. 1. 若集合，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 若，，则（ ） A. B. C. 3 D. 5 3. 定义：对于定义域内的任意一个自变量的值，都存在唯一一个使得成立，则称函数为“正积函数”．下列函数是“正积函数”的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知双曲线的顶点到渐近线的距离为，则双曲线的离心率是 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 已知函数为偶函数，其图像在点处的切线方程为，记的导函数为，则（ ） A. B. C. D. 2 6. 某一地区患有癌症的人占0.05，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.9，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.05.现抽查了一个人，试验反应是阳性，则此人是癌症患者的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知中，，，且的最小值为，若P为边AB上任意一点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 若复数满足，则下列命题正确的有（ ） A. 的虚部是－1 B. C. D. 是方程的一个根 10. 在正方体中，是线段上一点，则的大小可以为（ ） A. B. C. D. 11. 已知的三个内角，，满足，则下列结论正确的是（ ） A. 是钝角三角形 B. C. 角的最大值为 D. 角的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 的展开式中的系数为________________（用数字作答）． 13. 春节文艺汇演中需要将A，B，C，D，E，F六个节目进行排序，若A，B两个节目必须相邻，且都不能排在3号位置，则不同的排序方式有__________种． 14. 设直线，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点．若，则的值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 为铭记历史，缅怀先烈，增强爱国主义情怀，某学校开展了共青团知识竞赛活动．在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回答一道有关团史的问题，每个人回答正确与否互不影响．已知甲回答正确的概率为，甲、丙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是． （1）若规定三名同学都回答这个问题，求甲、乙、丙三名同学中至少1人回答正确的概率； （2）若规定三名同学抢答这个问题，已知甲、乙、丙抢到答题机会的概率分别为，求这个问题回答正确的概率． 16. 已知函数． （1）若在上单调递增，求的取值范围； （2）试讨论函数的单调性． 17. 如图，在直四棱柱中，四边形ABCD为梯形，，，，，点E在线段AB上，且，F为BC的中点． （1）求证：平面； （2）若直线与平面ABCD所成角的大小为45°，求二面角的余弦值． 18. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点为，离心率为．过点作直线与椭圆相交于点．若是椭圆的短轴端点时，． （1）求椭圆的标准方程； （2）试判断是否存在，使得成等差数列？若存在，求出直线的方程：若不存在，说明理由． 19. 基本不等式可以推广到一般的情形：对于个正数，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即，当且仅当时，等号成立．若无穷正项数列同时满足下列两个性质：①；②为单调数列，则称数列具有性质． （1）若，求数列的最小项； （2）若，记，判断数列是否具有性质，并说明理由； （3）若，求证：数列具有性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023学年第二学期期中三校联考 高二数学 本试卷共2页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用 2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑:如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上:如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案:不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的. 1. 若集合，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出集合，即可得到、的关系，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】因为，又， 所以真包含于， 即由推得出，故充分性成立； 由推不出，故必要性不成立， 所以是的充分不必要条件. 故选：A 2. 若，，则（ ） A. B. C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量加法和数量积的坐标表示直接计算求解即可. 【详解】由题意可知， 所以， 故选：B 3. 定义：对于定义域内的任意一个自变量的值，都存在唯一一个使得成立，则称函数为“正积函数”．下列函数是“正积函数”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“正积函数”的定义逐项判断即可. 【详解】对于A选项，，由， 当时，则不存在满足情况，故函数不是正积函数； 对于B选项，，由， 则任意一个自变量的值，都存在唯一一个满足，故函数是正积函数； 对于C选项，， 由， 得，当时，，则不唯一， 故函数不是正积函数； 对于D选项，，由， 当时，则不存在满足情况，故函数不是正积函数． 故选：B． 4. 已知双曲线的顶点到渐近线的距离为，则双曲线的离心率是 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【详解】，所以，即，故选A． 5. 已知函数为偶函数，其图像在点处的切线方程为，记的导函数为，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先推导出偶函数的导数为奇函数，再根据条件得到，再利用奇函数的性质求. 【详解】因为为偶函数，所以，两边求导，可得. 又在处的切线方程为：， 所以. 所以. 故选：A 6. 某一地区患有癌症的人占0.05，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.9，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.05.现抽查了一个人，试验反应是阳性，则此人是癌症患者的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】记事件某人是癌症患者，事件化验结果呈阳性，利用全概率公式求出的值，再利用条件概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】记事件某人是癌症患者，事件化验结果呈阳性， 由题意可知，，， 所以， 现在某人的化验结果呈阳性，则此人是癌症患者的概率为：. 故选：D 7. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出通项公式，利用等比数列求和公式进行计算. 【详解】因为， 所以当时，， 两式相减得， 所以， 又也适合该式， 故． 所以为等比数列， 所以． 故选：C 8. 已知中，，，且的最小值为，若P为边AB上任意一点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，由题可得、、三点共线，进而可得的最小值为到边上的高，根据几何关系求出，将化成，通过几何关系求出的最小值即可. 【详解】设，故，若， 由，则，，共线，故， 由图得，当时有最小值，又， ∴，即，即为等边三角形． 由余弦定理，， 设M为BC中点，， ∴当取最小值时，有最小值， ∵为边上任意一点， ∴当时，有最小值， 设，过点作于点，则， 又，为的中位线， ∴，即， ∴． 故选：B. 【点睛】关键点点睛：、构造等边三角形且，，共线，设M为BC中点，由，（先求出），数形结合判断最小与相关线段位置关系. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 若复数满足，则下列命题正确的有（ ） A. 的虚部是－1 B. C. D. 是方程的一个根 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据复数的除法运算和复数模即可判断AB，利用复数的乘方相关运算即可判断CD. 【详解】，则，故A，B正确； ，故C错误； 而成立，故D正确. 故选：ABD. 10. 在正方体中，是线段上一点，则的大小可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，设点，其中，利用空间向量法求出的取值范围，即可得解. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为，则、、、， 设点，其中，则，， 所以，， 当时，，则，则， 所以，， 因为，所以，， 故选：BD. 11. 已知的三个内角，，满足，则下列结论正确的是（ ） A. 是钝角三角形 B. C. 角的最大值为 D. 角的最大值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】A. 证明,即得是钝角三角形，故该选项正确； B. 由题得是最大角，利用分析法证明该选项正确； C.由题证明，因为,所以角的最大值为，所以该选项正确； D.当时 ，.所以该选项错误. 【详解】A. 由题得,所以是钝角三角形，故该选项正确； B. 由题得是最大角，所以，假设，所以，所以该选项正确； C.由题得 所以，因为,所以角的最大值为，所以该选项正确； D. 由已知得 所以, 当时 ，.所以该选项错误. 故选：ABC 【点睛】方法点睛：最值问题常用的求解方法有：（1）函数法；（2）导数法；（3）数形结合法；（4）基本不等式法. 要根据已知条件灵活选择方法求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 的展开式中的系数为________________（用数字作答）． 【答案】-28 【解析】 【分析】可化为，结合二项式展开式的通项公式求解. 【详解】因为， 所以的展开式中含的项为， 的展开式中的系数为-28 故答案为：-28 13. 春节文艺汇演中需要将A，B，C，D，E，F六个节目进行排序，若A，B两个节目必须相邻，且都不能排在3号位置，则不同的排序方式有__________种． 【答案】144 【解析】 【分析】将A，B捆绑，先确定A，B的位置，再将剩余节目排序，即可得出答案. 【详解】解：将A，B捆绑，先确定A，B的位置，有种可能，再将剩余节目排序，有种可能，所以不同的排序方式有（种）． 故答案为：144. 14. 设直线，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点．若，则的值为__________. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】求出点关于的对称点为，设，则，求出关于轴的对称点为，表达出直线的方程，由对称性可得在直线上，代入方程，求出，求出直线的方程，联立直线与直线，求出，从而得到的值. 【详解】设点关于的对称点为， 则，解得，故， 设， 因为，所以， 则，则， 设点关于轴的对称点为， 则直线的方程为， 由对称性可得在直线上，即， 解得， 故直线的方程为， 联立直线与直线， ，解得， 所以，将代入中， . 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 为铭记历史，缅怀先烈，增强爱国主义情怀，某学校开展了共青团知识竞赛活动．在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回答一道有关团史的问题，每个人回答正确与否互不影响．已知甲回答正确的概率为，甲、丙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是． （1）若规定三名同学都回答这个问题，求甲、乙、丙三名同学中至少1人回答正确的概率； （2）若规定三名同学抢答这个问题，已知甲、乙、丙抢到答题机会的概率分别为，求这个问题回答正确的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设乙答题正确的概率为，丙答题正确的概率为，根据相互独立事件的概率公式求出、，再根据对立事件及相互独立事件的概率公式计算可得； （2）根据全概率公式计算可得. 【小问1详解】 设乙答题正确的概率为，丙答题正确的概率为， 则甲、丙两人都回答正确的概率是，解得， 乙、丙两人都回答正确的概率是，解得， 所以规定三名同学都需要回答这个问题， 则甲、乙、丙三名同学中至少1人回答正确的概率. 【小问2详解】 记事件为“甲抢答这道题”，事件为“乙抢答这道题”，事件为“丙抢答这道题”，记事件B为“这道题被答对”， 则，，， 且，，， 由全概率公式可得. 16. 已知函数． （1）若在上单调递增，求的取值范围； （2）试讨论函数的单调性． 【答案】（1） （2）当时，所以在上单调递增； 当时，所以在，上单调递增，在内单调递减. 【解析】 【分析】（1）由题意可知：在上恒成立，结合二次函数分析求解； （2）分和两种情况，结合导数以及二次不等式分析求解. 【小问1详解】 由题意可得：， 若在上单调递增，则在上恒成立， 且，则， 且在上单调递增， 当时，取得最小值， 可得，即， 所以的取值范围. 【小问2详解】 由（1）可得：，且， 当，即时，则， 所以在上单调递增； 当，即时， 令，解得或；令，解得； 所以在，上单调递增，在内单调递减； 综上所述：当时，所以在上单调递增； 当时，所以在，上单调递增，在内单调递减. 17. 如图，在直四棱柱中，四边形ABCD为梯形，，，，，点E在线段AB上，且，F为BC的中点． （1）求证：平面； （2）若直线与平面ABCD所成角的大小为45°，求二面角的余弦值． 【答案】（1）由题意可得，又平面，平面， ∴平面． 连接CE，∵且，∴四边形ADCE为平行四边形，则， 又平面，平面，∴平面． 又且，平面， ∴平面平面． 又平面，∴平面． （2）. 【解析】 【分析】（1）先根据直四棱柱的结构特征证明，再利用线面平行的判定定理证明平面，再通过证明四边形ADCE为平行四边形得到，进而利用线面平行的判定定理得到平面，最后利用面面平行的判定定理与性质即可得出结论； （2）先根据直线与平面ABCD所成角的大小为45°求出，再建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，最后利用向量的夹角公式即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接DE，由题意可得为等边三角形，故， 由平面ABCD可得为直线与平面ABCD所成的角，故，则． 以D为坐标原点，DC，所在直线分别为y，z轴，过D且垂直于平面的直线为x轴，建立空间直角坐标系如图所示， 则，，，， 则，，． 设平面的法向量为， 则，即， 令，得． 设平面的法向量为， 则，即， 令，得， 则， 由图可知二面角为锐二面角， 故二面角的余弦值为． 18. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点为，离心率为．过点作直线与椭圆相交于点．若是椭圆的短轴端点时，． （1）求椭圆的标准方程； （2）试判断是否存在，使得成等差数列？若存在，求出直线的方程：若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） 假设存在直线，使得成等差数列； 由题意知：直线的斜率存在，设， 由得：， 则，解得：， 设，则，， ，， 同理可得：， ， 又，，整理得：， 由得：，， 即无解，不存在符合题意的直线. 【解析】 【分析】（1）根据离心率、向量数量积坐标运算和椭圆关系可求得椭圆标准方程； （2）假设存在满足题意的直线，与椭圆方程联立，由可得的范围，并得到韦达定理的结论；利用两点间距离公式可表示出，根据等差数列定义可构造关于的方程，结合的范围可知方程无解，由此可得结论. 【小问1详解】 由题意知：，即， 当为椭圆的短轴端点时，不妨设，则，， ，又，，解得：， ，，椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 略 【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的存在性问题的求解，解题基本思路是假设直线存在，根据存在时的结论构造出等量关系，结合韦达定理的结论化简等量关系，根据方程是否有解可确定是否存在. 19. 基本不等式可以推广到一般的情形：对于个正数，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即，当且仅当时，等号成立．若无穷正项数列同时满足下列两个性质：①；②为单调数列，则称数列具有性质． （1）若，求数列的最小项； （2）若，记，判断数列是否具有性质，并说明理由； （3）若，求证：数列具有性质． 【答案】（1）最小项为 （2）数列具有性质，理由：， ， 数列满足条件①． 为单调递增数列，数列满足条件②． 综上，数列具有性质． （3）证明：先证数列满足条件①： ． 当时， 则， 数列满足条件①． 再证数列满足条件②： （，等号取不到） 为单调递增数列，数列满足条件②． 综上，数列具有性质. 【解析】 【分析】（1）利用，结合三个数的算术平均不小于它们的几何平均求解； （2）变形，再利用等比数列求和证明性质①，利用证明②； （3）结合二项式定理及n元基本不等式求解. 【小问1详解】 ，当且仅当，即时，等号成立， 数列的最小项为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列求和及二项式定理，证明性质①均需要放缩为可求和数列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $